第 25 章 《一元二次方程》【易错复盘卷】2026-2027 学年人教版数学九年级上册

第 25 章 《一元二次方程》【易错复盘卷】2026-2027 学年人教版九年级上册数学满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章易错点汇总】 一、方程定义的三条件缺一不可 整式方程、只含一个未知数、最高次数为 2 且二次项系数不为 0．形如 (m−1)x2+2x−3=0 的方程，若只说「是关于 x 的方程」则需分 a=0 与 a≠0 讨论；若已明说是「一元二次方程」，则必须满足二次项系数 ≠0． 二、直接开平方与重根 a2=n（n>0）要开「±」，负平方根最易丢；Δ=0 时方程有两个相等的实数根，x1=x2 要写成两个相等的根，不能说「只有一个根」． 三、配方法的两个动作 先把二次项系数化为 1，再两边同时加上「一次项系数一半的平方」；常数项与一次项系数一半的平方容易加减弄反． 四、公式法的两处符号 Δ=b2−4ac 中 c 为负数时「负负得正」，Δ 极易算小；求根公式分子是 −b，b>0 时别把负号弄丢；分母是 2a 不是 a． 五、因式分解法的两条铁律 只有「积为 0」才能令各因式为 0，(x−1)(x−2)=2 必须先移项再分解；两边不能约去含未知数的因式（如 x²=3x 约去 x 会丢掉根 x=0）． 六、判别式定根（见下图） 先化成一般形式，确认 a≠0，再算 Δ：Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根．应用题中「能否达到」常用 Δ<0 或配方求最值来说理． 七、根与系数的关系有前提 必须是「一元二次方程有实数根」（Δ≥0 且 a≠0）才能使用 x1+x2=−、x1x2=；由对称式求出参数后，务必回代检验 Δ≥0，不合题意的根要舍去． 八、对称式常备变形 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2、(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2、+=——漏掉 −2x1x2 是高频错误． 九、实际问题的解要取舍 增长率、降低率满足 0<x<1，开方所得的负根、大于 1 的根要舍去并说明；人数、排数必须为正整数；边长为正；「经过/再次回到」要排除 t=0 的初始时刻． 十、审题三问 ①变化了几轮（两轮变化用 (1±x)2，别漏最初的基数）；②「提高到」与「提高了」单位 1 不同；③单位是否统一（元/分、米/厘米）． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．下面是四位同学解方程 (x+3)2=16 的结论，其中正确的是（　　） A．解得 x=1　　B．解得 x=−7　　C．解得 x1=1，x2=−7　　D．解得 x1=1，x2=7 2．某种商品先提价 10%，再降价 10%，则现价与原价相比（　　） A．不变　　B．上涨了 1%　　C．下降了 1%　　D．下降了 10% 3．解方程 (x−1)(x−2)=2 时，甲同学得到 x1=3，x2=0，乙同学得到 x1=3，x2=−1，丙同学得到 x1=1，x2=2，则（　　） A．甲对　　B．乙对　　C．丙对　　D．三人都错 4．用公式法解方程 2x2+3x−1=0，下列说法或结果错误的是（　　） A．Δ=32−4×2×(−1)=17　　B．x=　　C．x=　　D．该方程有两个不相等的实数根 5．若关于 x 的方程 x2+2kx+1=0 的两个实数根互为相反数，则 k 的值（　　） A．存在，k=0　　B．存在，k=1　　C．存在，k=−1　　D．不存在 6．一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2−7x+12=0 的两个根，则该直角三角形斜边的长为（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．13 7．以 2+ 和 2− 为根的一元二次方程是（　　） A．x2+4x+1=0　　B．x2−4x+1=0　　C．x2−4x−1=0　　D．x2+4x−1=0 8．两个连续奇数的积为 195，则这两个连续奇数的和为（　　） A．28　　B．−28　　C．28 或 −28　　D．30 9．把长为 12 cm、宽为 5 cm 的长方形的长增加 x cm（x>0），宽减少 x cm，得到一个新长方形．关于新旧长方形的面积，下列说法正确的是（　　） A．周长相等，所以面积也相等　　B．新长方形的面积比原长方形大　　C．新长方形的面积比原长方形小　　D．面积可能变大、变小或不变 10．某景区门票价格为每人 30 元时，每天接待游客 60 人．经测算，票价每降价 1 元，每天接待的游客增加 4 人．景区希望门票日总收入为 1904 元．设门票降价 x 元，则可列方程为（　　） A．(30−x)(60+4x)=1904　　B．(30−x)(60−4x)=1904　　C．(30+x)(60+4x)=1904　　D．30×60+4x=1904 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．方程 3x(x−1)=2(x+1) 的一般形式是＿＿＿＿＿＿，它的根是＿＿＿＿＿＿． 12．已知关于 x 的方程 x2−6x+m=0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为＿＿＿＿． 13．方程 x2−5x+2=0 的两个根中，较大的根记为 x2，则 x2 的取值范围是＿＿＿＿＜x2＜＿＿＿＿（填相邻的两个整数）． 14．若关于 x 的二次三项式 x2+2(m−1)x+4 是一个完全平方式，则 m 的值为＿＿＿＿． 15．方程 x2−3|x|+2=0 的根的个数是＿＿＿＿． 16．已知 x 是方程 x2−2026x+1=0 的一个不等于 0 的根，则代数式 x2−2025x+ 的值为＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）小明在判断方程 2x2+3x−4=0 的根的情况时，写出如下过程： 「∵a=2，b=3，c=−4，∴Δ=b2−4ac=32−4×2×(−4)=9−32=−23<0，∴原方程没有实数根．」 (1) 指出小明解题过程中的错误； (2) 写出正确的判断过程，并用公式法求出这个方程的根． 18．（6 分）某班有 1 名同学患流感，经过两轮传染后，全班共有 121 人患流感．设每轮传染中平均每名患病者传染 x 名健康同学． (1) 求每轮传染中平均每名患病者传染多少名健康同学； (2) 按这样的传染速度，再经过一轮传染后，患流感的总人数将达到多少人？ 19．（6 分）某学校礼堂共有若干排座位，已知每排的座位数比排数多 16，且该礼堂共有 1161 个座位． (1) 求该礼堂有多少排座位； (2) 若改造后每排增加 2 个座位且排数不变，改造后礼堂共能容纳多少人？ 20．（6 分）用适当的方法解下列方程： (1) 4(x−2)2=36； (2) x2−6x−16=0； (3) (2x+1)2−4(2x+1)+3=0． 21．（6 分）某工厂对一种产品的生产工艺进行革新，该产品 2025 年 3 月的单件生产成本为 250 元，5 月降到 202.5 元，且 3 月至 5 月每月成本的降低率相同． (1) 求月平均降低率； (2) 按此降低率，预计 6 月份这种产品的单件生产成本是多少元？ 22．（7 分）某网店销售一种画册，进价为每本 30 元．当售价为每本 40 元时，日均销量为 200 本；市场调查发现：售价每上涨 1 元，日均销量减少 10 本．商家统计了三种定价方案的数据如下表（其中 50 元方案的销量与利润被墨水污染）： (1) 求 50 元方案对应的日均销量与日均利润； (2) 若商家希望日均利润达到 2250 元，售价应定为多少元？ 售价（元/本） 40 45 50 55 日均销量（本） 200 150 ？ 50 日均利润（元） 2000 2250 （被墨水污染） 1250 23．（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(k−1)x+k2=0 的两个实数根为 x1、x2． (1) 用含 k 的代数式表示 x1+x2 与 x1x2； (2) 若 x12+x22=4，求 k 的值． 24．（8 分）小亮在离地面 20 m 的阳台上竖直向上抛出一个小球，小球离地面的高度 h（m）与运动时间 t（s）满足关系 h=20+15t−5t2． (1) 小球能否到达离地面 35 m 的高度？请通过计算说明理由； (2) 小球抛出后，经过多少秒它再次回到离地面 20 m 的高度？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 25 章 《一元二次方程》【易错复盘卷】2026-2027 学年人教版九年级上册数学答案 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章易错点汇总】 一、方程定义的三条件缺一不可 整式方程、只含一个未知数、最高次数为 2 且二次项系数不为 0．形如 (m−1)x2+2x−3=0 的方程，若只说「是关于 x 的方程」则需分 a=0 与 a≠0 讨论；若已明说是「一元二次方程」，则必须满足二次项系数 ≠0． 二、直接开平方与重根 a2=n（n>0）要开「±」，负平方根最易丢；Δ=0 时方程有两个相等的实数根，x1=x2 要写成两个相等的根，不能说「只有一个根」． 三、配方法的两个动作 先把二次项系数化为 1，再两边同时加上「一次项系数一半的平方」；常数项与一次项系数一半的平方容易加减弄反． 四、公式法的两处符号 Δ=b2−4ac 中 c 为负数时「负负得正」，Δ 极易算小；求根公式分子是 −b，b>0 时别把负号弄丢；分母是 2a 不是 a． 五、因式分解法的两条铁律 只有「积为 0」才能令各因式为 0，(x−1)(x−2)=2 必须先移项再分解；两边不能约去含未知数的因式（如 x²=3x 约去 x 会丢掉根 x=0）． 六、判别式定根（见下图） 先化成一般形式，确认 a≠0，再算 Δ：Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根．应用题中「能否达到」常用 Δ<0 或配方求最值来说理． 七、根与系数的关系有前提 必须是「一元二次方程有实数根」（Δ≥0 且 a≠0）才能使用 x1+x2=−、x1x2=；由对称式求出参数后，务必回代检验 Δ≥0，不合题意的根要舍去． 八、对称式常备变形 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2、(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2、+=——漏掉 −2x1x2 是高频错误． 九、实际问题的解要取舍 增长率、降低率满足 0<x<1，开方所得的负根、大于 1 的根要舍去并说明；人数、排数必须为正整数；边长为正；「经过/再次回到」要排除 t=0 的初始时刻． 十、审题三问 ①变化了几轮（两轮变化用 (1±x)2，别漏最初的基数）；②「提高到」与「提高了」单位 1 不同；③单位是否统一（元/分、米/厘米）． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．下面是四位同学解方程 (x+3)2=16 的结论，其中正确的是（　　） A．解得 x=1　　B．解得 x=−7　　C．解得 x1=1，x2=−7　　D．解得 x1=1，x2=7 【答案】C 【解析】 由 (x+3)2=16，两边直接开平方，得 x+3=±4， ∴x+3=4 或 x+3=−4，解得 x1=1，x2=−7．故选 C． 【易错陷阱】直接开平方时只取正平方根，漏掉负平方根 x+3=−4，就会错选 A；若把 −4 只移到一边则会错选 B、D．牢记：a2=n（n>0）时 a=±，有两个根． 2．某种商品先提价 10%，再降价 10%，则现价与原价相比（　　） A．不变　　B．上涨了 1%　　C．下降了 1%　　D．下降了 10% 【答案】C 【解析】 设原价为 a 元，则提价 10% 后为 a(1+10%)=1.1a 元， 再降价 10% 后为 1.1a×(1−10%)=0.99a 元． ∵0.99a<a，且 (1−0.99)a=0.01a=1%·a，∴现价下降了 1%，故选 C． 【易错陷阱】以为「提 10% 再降 10% 抵消了、价格不变」——两次变化的比例基数不同：提价以原价 a 为基数，降价以 1.1a 为基数，所以降得更多． 3．解方程 (x−1)(x−2)=2 时，甲同学得到 x1=3，x2=0，乙同学得到 x1=3，x2=−1，丙同学得到 x1=1，x2=2，则（　　） A．甲对　　B．乙对　　C．丙对　　D．三人都错 【答案】A 【解析】 原方程即 x2−3x+2=2，移项合并得 x2−3x=0， 因式分解得 x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3．故甲对，选 A． 【易错陷阱】「两个因式的积等于 2」≠「两个因式分别等于 1 和 2」，丙同学就是把 (x−1)(x−2)=2 误当成积为 0 用因式为零求解；积不是 0 时，必须先移项化为一般形式再分解因式． 4．用公式法解方程 2x2+3x−1=0，下列说法或结果错误的是（　　） A．Δ=32−4×2×(−1)=17　　B．x=　　C．x=　　D．该方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 这里 a=2，b=3，c=−1，Δ=b2−4ac=9−4×2×(−1)=9+8=17>0，故方程有两个不相等的实数根，A、D 正确； x==，B 正确，C 错误．故选 C． 【易错陷阱】①计算 Δ 时，−4ac 中的 c=−1，「负负得正」，漏掉符号就得到 9−8=1；②求根公式中分子是 −b，b=3 时 −b=−3，漏掉负号就会错成 C． 5．若关于 x 的方程 x2+2kx+1=0 的两个实数根互为相反数，则 k 的值（　　） A．存在，k=0　　B．存在，k=1　　C．存在，k=−1　　D．不存在 【答案】D 【解析】 设两实数根为 x1、x2，由根与系数的关系得 x1+x2=−2k． ∵两根互为相反数，∴x1+x2=0，∴k=0． 但当 k=0 时，原方程为 x2+1=0，Δ=−4<0，方程没有实数根，与题设矛盾！ ∴满足条件的 k 不存在，故选 D． 【易错陷阱】由 x1+x2=0 解得 k=0 就作答（错选 A）——使用根与系数的关系的前提是方程有实数根，求出参数后必须回代检验 Δ≥0！ 6．一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2−7x+12=0 的两个根，则该直角三角形斜边的长为（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．13 【答案】A 【解析】 解方程 x2−7x+12=0，因式分解得 (x−3)(x−4)=0，∴两直角边长为 3 和 4． 由勾股定理，斜边长===5．故选 A． 【易错陷阱】①解方程漏根或不会分解；②得到 3、4 后误以为「斜边=两直角边之和 7」（错选 C）而不用勾股定理；③把斜边算成 而不是 ． 7．以 2+ 和 2− 为根的一元二次方程是（　　） A．x2+4x+1=0　　B．x2−4x+1=0　　C．x2−4x−1=0　　D．x2+4x−1=0 【答案】B 【解析】 两根之和=(2+)+(2−)=4，两根之积=(2+)(2−)=4−3=1． 以 x1、x2 为根的方程为 x2−(x1+x2)x+x1x2=0，即 x2−4x+1=0．故选 B． 【易错陷阱】①一次项系数是「两根之和的相反数」，漏掉负号就错选 A；②常数项是「两根之积」，把它也添上负号就错选 C；③套公式时 x2−(和)x+(积)=0 中「减」字丢掉会错选 D． 8．两个连续奇数的积为 195，则这两个连续奇数的和为（　　） A．28　　B．−28　　C．28 或 −28　　D．30 【答案】A 【解析】 设较小的奇数为 x，则另一个为 x+2．由题意得 x(x+2)=195， 即 x2+2x−195=0，因式分解得 (x−13)(x+15)=0，解得 x1=13，x2=−15． 当 x=13 时，两数为 13 和 15，和为 28；当 x=−15 时，两数为 −15 和 −13，和为 −28． ∴这两数之和为 28 或 −28，故选 C． 【易错陷阱】①未加任何限制时，−15、−13 也是连续奇数、积也是 195，直接舍去负根就漏了解（漏选）；②本题四个选项中 C 是「28 或 −28」，务必完整作答．（若题目限定为正奇数，才只取 28．） 9．把长为 12 cm、宽为 5 cm 的长方形的长增加 x cm（x>0），宽减少 x cm，得到一个新长方形．关于新旧长方形的面积，下列说法正确的是（　　） A．周长相等，所以面积也相等　　B．新长方形的面积比原长方形大　　C．新长方形的面积比原长方形小　　D．面积可能变大、变小或不变 【答案】C 【解析】 原面积=12×5=60 cm2；新长方形的长为 (12+x) cm、宽为 (5−x) cm， 新面积=(12+x)(5−x)=60−12x+5x−x2=60−(7x+x2)． ∵x>0，∴7x+x2>0，∴新面积=60−(7x+x2)<60，即新面积比原面积小．故选 C． 【易错陷阱】「周长相等，面积就相等」是直觉误区：一增一减虽然周长不变，但面积减少了 7x+x2 cm2，只要 x>0 就一定变小． 10．某景区门票价格为每人 30 元时，每天接待游客 60 人．经测算，票价每降价 1 元，每天接待的游客增加 4 人．景区希望门票日总收入为 1904 元．设门票降价 x 元，则可列方程为（　　） A．(30−x)(60+4x)=1904　　B．(30−x)(60−4x)=1904　　C．(30+x)(60+4x)=1904　　D．30×60+4x=1904 【答案】A 【解析】 降价 x 元后，票价为 (30−x) 元；每天游客人数为 (60+4x) 人； 日总收入=票价×人数，故可列方程 (30−x)(60+4x)=1904．故选 A． 【易错陷阱】①降价后票价是 30−x，写成 30+x 是把「降价」当「涨价」（C）；②降价后游客应「增加」4x 人，写成 60−4x 是方向弄反（B）；③总收入是乘积关系，写成 30×60+4x 是把等量关系当成了「原收入加增量」（D）． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．方程 3x(x−1)=2(x+1) 的一般形式是＿＿＿＿＿＿，它的根是＿＿＿＿＿＿． 【答案】3x2−5x−2=0；x1=2，x2=− 【解析】 去括号：3x2−3x=2x+2，移项（注意变号）得 3x2−3x−2x−2=0，即一般形式 3x2−5x−2=0． 因式分解：(3x+1)(x−2)=0，∴x1=2，x2=−． 【易错陷阱】①移项时「2(x+1)=2x+2」整体要变号为 −2x−2，只变 x 不变常数就得到 3x2−5x+2=0（错）；②分解 3x2−5x−2 时凑成 (3x−1)(x+2)（符号错），正确的是 (3x+1)(x−2)=0． 12．已知关于 x 的方程 x2−6x+m=0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为＿＿＿＿． 【答案】8 【解析】 设较小的根为 t，则另一根为 2t．由根与系数的关系得 t+2t=3t=6，∴t=2， 两根为 2 和 4，∴m=x1x2=2×4=8． 检验：Δ=36−32=4>0，确有两个不相等的实数根，符合题意． 【易错陷阱】①不会「设一根为 t」表示倍数关系；②求出 m 后不检验 Δ（本题 m=8 时 Δ=4>0 成立；若求得 m 使 Δ<0 则须舍去）；③把 m 误当两根之和． 13．方程 x2−5x+2=0 的两个根中，较大的根记为 x2，则 x2 的取值范围是＿＿＿＿＜x2＜＿＿＿＿（填相邻的两个整数）． 【答案】4＜x2＜5 【解析】 由求根公式 x=，较大的根 x2=． ∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴＜x2＜，即 4.5＜x2＜5． ∴x2 介于 4 和 5 之间，即 4＜x2＜5． 【易错陷阱】①≈4.1，有人四舍五入后认为 x2≈4.55≈5，误答「5＜x2＜6」；②估算 时用 17≈16 得 ≈4，误答「3＜x2＜4」——夹逼时必须保证 严格介于 4 与 5 之间． 14．若关于 x 的二次三项式 x2+2(m−1)x+4 是一个完全平方式，则 m 的值为＿＿＿＿． 【答案】3 或 −1 【解析】 x2+2(m−1)x+4 是完全平方式，则 x2+2(m−1)x+4=(x±2)2， ∴2(m−1)=±4，∴m−1=2 或 m−1=−2，∴m=3 或 m=−1． 【易错陷阱】只想到 2(m−1)=4 得 m=3，漏掉 2(m−1)=−4 的情形！「一次项系数是一次项指数与平方项底数乘积的 2 倍」，符号可正可负，必须双解． 15．方程 x2−3|x|+2=0 的根的个数是＿＿＿＿． 【答案】4 【解析】 ∵x2=|x|2，设 t=|x|（t≥0），原方程化为 t2−3t+2=0， 因式分解得 (t−1)(t−2)=0，∴t=1 或 t=2． 由 |x|=1 得 x=±1；由 |x|=2 得 x=±2．∴原方程共有 4 个根． 【易错陷阱】①把 |x| 当成 x，解得 x=1、2 就收工——漏掉两个负根；②设元后忘了「由 t 求 x 时要开绝对值」，答案只写 2 个根；③误以为「一元二次方程最多 2 个根」而不敢填 4（含绝对值的方程不是整式意义下的一元二次方程，可以多于 2 个根）． 16．已知 x 是方程 x2−2026x+1=0 的一个不等于 0 的根，则代数式 x2−2025x+ 的值为＿＿＿＿． 【答案】2025 【解析】 由 x2−2026x+1=0 得 x2−2026x=−1． ∵x≠0，两边同除以 x，得 x−2026+=0，即 x+=2026． ∴x2−2025x+=(x2−2026x)+x+=−1+2026=2025． 【易错陷阱】①不会「两边除以 x」制造 x+ 这一整体；②把 x2−2025x 拆成 x2−2026x+x 是关键，凑不出整体就寸步难行；③用求根公式硬算 运算量巨大且极易出错． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）小明在判断方程 2x2+3x−4=0 的根的情况时，写出如下过程： 「∵a=2，b=3，c=−4，∴Δ=b2−4ac=32−4×2×(−4)=9−32=−23<0，∴原方程没有实数根．」 (1) 指出小明解题过程中的错误； (2) 写出正确的判断过程，并用公式法求出这个方程的根． 【答案】(1) 错在计算 Δ 时符号出错：−4ac=−4×2×(−4)=+32，不是 −32；(2) Δ=41>0，方程有两个不相等的实数根；x1=，x2=． 【解析】 (1) 小明的错误在 Δ 的计算：c=−4，−4ac=−4×2×(−4)=+32，「负负得正」，他算成 9−32 是符号弄错了． (2) 正确过程：Δ=b2−4ac=32−4×2×(−4)=9+32=41>0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 由求根公式 x==， ∴x1=，x2=． 【易错陷阱】①「负负得正」漏判，Δ 算成负数，结论完全相反；②求根公式分子 −b=−3，漏负号；分母 2a=4，写成 2；③Δ<0 时还硬套公式求根． 18．（6 分）某班有 1 名同学患流感，经过两轮传染后，全班共有 121 人患流感．设每轮传染中平均每名患病者传染 x 名健康同学． (1) 求每轮传染中平均每名患病者传染多少名健康同学； (2) 按这样的传染速度，再经过一轮传染后，患流感的总人数将达到多少人？ 【答案】(1) 每轮平均每名患病者传染 10 名健康同学；(2) 再经过一轮传染后，患流感的总人数将达到 1331 人． 【解析】 (1) 第一轮传染后患病人数为 1+x，第二轮传染后为 (1+x)+x(1+x)=(1+x)2． 由题意得 (1+x)2=121， 开方得 1+x=±11，∴x1=10，x2=−12． ∵传染人数不能为负，∴x=−12 不合题意，舍去．∴x=10，即每轮平均每名患病者传染 10 名健康同学． (2) 再经过一轮，患病总人数为 (1+10)3=1331（人）． 答：每轮平均每名患病者传染 10 名健康同学；再经过一轮，总人数将达 1331 人． 【易错陷阱】①列成 x2=121（漏掉「最初的 1 名患病者」），正确累计模型是 (1+x)2；②开方漏负根（x=−12 也要写出再舍去）；③第 (2) 问误算成 121+10=131——新一轮应以 121 人为基数传染． 19．（6 分）某学校礼堂共有若干排座位，已知每排的座位数比排数多 16，且该礼堂共有 1161 个座位． (1) 求该礼堂有多少排座位； (2) 若改造后每排增加 2 个座位且排数不变，改造后礼堂共能容纳多少人？ 【答案】(1) 该礼堂共有 27 排座位；(2) 改造后礼堂共能容纳 1215 人． 【解析】 (1) 设该礼堂有 x 排座位，则每排有 (x+16) 个座位． 由题意得 x(x+16)=1161，即 x2+16x−1161=0， 因式分解得 (x−27)(x+43)=0，解得 x1=27，x2=−43． ∵排数必须为正整数，∴x=−43 不合题意，舍去．∴x=27，该礼堂共有 27 排座位． (2) 改造后每排有 27+16+2=45 个座位，共容纳 27×45=1215（人）． 答：该礼堂共有 27 排座位；改造后共能容纳 1215 人． 【易错陷阱】①等量关系「排数×每排座位数=总座位数」列反；②分解 x2+16x−1161 时凑不出因式（应先估算 ==70）；③解得负根不检验不说明，直接两个都写上；④第 (2) 问误用每排 27+2 个座位（应在原每排 43 个的基础上加 2）． 20．（6 分）用适当的方法解下列方程： (1) 4(x−2)2=36； (2) x2−6x−16=0； (3) (2x+1)2−4(2x+1)+3=0． 【答案】(1) x1=5，x2=−1；(2) x1=8，x2=−2；(3) x1=0，x2=1． 【解析】 (1) 两边同除以 4，得 (x−2)2=9，开平方得 x−2=±3， ∴x1=5，x2=−1． (2) 因式分解得 (x−8)(x+2)=0，∴x1=8，x2=−2． (3) 把 2x+1 看作一个整体，原方程即 t2−4t+3=0（t=2x+1）， 因式分解得 (t−1)(t−3)=0，∴t=1 或 t=3． 由 2x+1=1 得 x=0；由 2x+1=3 得 x=1．∴x1=0，x2=1． 【易错陷阱】①(1) 不先除以 4 就开平方，或开平方漏负根；②(2) 分解时凑成 (x−8)(x+2) 之外错号；③(3) 把 (2x+1)2 展开成 4x2 运算量大且易错——整体换元/整体分解才是最优路径，展开后漏解更常见． 21．（6 分）某工厂对一种产品的生产工艺进行革新，该产品 2025 年 3 月的单件生产成本为 250 元，5 月降到 202.5 元，且 3 月至 5 月每月成本的降低率相同． (1) 求月平均降低率； (2) 按此降低率，预计 6 月份这种产品的单件生产成本是多少元？ 【答案】(1) 月平均降低率为 10%；(2) 预计 6 月份的单件生产成本是 182.25 元． 【解析】 (1) 设月平均降低率为 x．3 月到 5 月共经过 2 个月， 由题意得 250(1−x)2=202.5， ∴(1−x)2=0.81，开方得 1−x=±0.9，∴x1=0.1=10%，x2=1.9． ∵降低率不能大于 1，∴x=1.9 不合题意，舍去．∴月平均降低率为 10%． (2) 6 月份成本为 202.5×(1−10%)=202.5×0.9=182.25（元）． 答：月平均降低率为 10%；预计 6 月份单件生产成本为 182.25 元． 【易错陷阱】①把「3 月到 5 月」当成 1 个月的变化，列成 250(1−x)=202.5——中间隔了 4 月、5 月两次降低；②开方得 x=1.9 不检验直接作答；③第 (2) 问误用 250×(1−10%)3=182.25 虽然数值碰巧一致，但应理解成「在 5 月基础上再降一次」为 202.5×0.9． 22．（7 分）某网店销售一种画册，进价为每本 30 元．当售价为每本 40 元时，日均销量为 200 本；市场调查发现：售价每上涨 1 元，日均销量减少 10 本．商家统计了三种定价方案的数据如下表（其中 50 元方案的销量与利润被墨水污染）： (1) 求 50 元方案对应的日均销量与日均利润； (2) 若商家希望日均利润达到 2250 元，售价应定为多少元？ 售价（元/本） 40 45 50 55 日均销量（本） 200 150 ？ 50 日均利润（元） 2000 2250 （被墨水污染） 1250 【答案】(1) 50 元方案的日均销量为 100 本，日均利润为 2000 元；(2) 售价应定为每本 45 元． 【解析】 (1) 设售价上涨 x 元，则日均销量为 (200−10x) 本，每本利润为 (10+x) 元． 由题意得 (10+x)(200−10x)=2000， 整理得 −10x2+100x=0，即 x2−10x=0，解得 x1=0，x2=10． 当 x=10 时，售价为 50 元，日均销量为 200−10×10=100（本），日均利润为 (10+10)×100=2000（元）．（x=0 即原 40 元方案，利润同样为 2000 元，与表中一致．） ∴50 元方案的日均销量为 100 本，日均利润为 2000 元． (2) 由题意得 (10+x)(200−10x)=2250， 整理得 −10x2+100x−250=0，即 x2−10x+25=0， 配方得 (x−5)2=0，∴x=5，售价为 40+5=45（元）． 检验：45−30=15（元/本），销量 200−50=150（本），15×150=2250（元），符合题意． 答：售价应定为每本 45 元． 【易错陷阱】①(1) 中方程有两个解 x=0 与 x=10，误以为 x=0 无意义而丢掉讨论——它恰好对应表中 40 元方案，是检验表格的好机会；②(2) 中 Δ=0，方程有两个相等的实数根，售价只有 45 元一个答案，有同学误以为「必有双解」而硬凑第二个答案；③利润=（售价−进价）×销量，忘了减进价 30 元． 23．（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(k−1)x+k2=0 的两个实数根为 x1、x2． (1) 用含 k 的代数式表示 x1+x2 与 x1x2； (2) 若 x12+x22=4，求 k 的值． 【答案】(1) x1+x2=2(k−1)，x1x2=k2；(2) k 的值为 0． 【解析】 (1) 这里 a=1，b=−2(k−1)，c=k2，由根与系数的关系得 x1+x2=−=2(k−1)，x1x2==k2． (2) ∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2， ∴[2(k−1)]2−2k2=4，即 4k2−8k+4−2k2=4， 整理得 k2−4k=0，解得 k1=0，k2=4． 检验：Δ=[−2(k−1)]2−4k²=4(k−1)2−4k²=−8k+4≥0，即 k≤． ∵k=4 时 Δ<0，方程没有实数根，不合题意，舍去；k=0 时 Δ=4>0，符合题意． ∴k 的值为 0． 【易错陷阱】①由 k²−4k=0 得 k=0 或 4 后直接作答——没有检验 Δ≥0 就使用根与系数的关系是本题最大的陷阱（k=4 时无实根）；②展开 [2(k−1)]² 时漏平方（写成 2(k−1)²）；③把 x1²+x2² 误写成 (x1+x2)²，漏掉 −2x1x2． 24．（8 分）小亮在离地面 20 m 的阳台上竖直向上抛出一个小球，小球离地面的高度 h（m）与运动时间 t（s）满足关系 h=20+15t−5t2． (1) 小球能否到达离地面 35 m 的高度？请通过计算说明理由； (2) 小球抛出后，经过多少秒它再次回到离地面 20 m 的高度？ 【答案】(1) 不能到达离地面 35 m 的高度（小球离地面的最大高度为 31.25 m）；(2) 经过 3 s 小球再次回到离地面 20 m 的高度． 【解析】 (1) 若小球能到达离地面 35 m 的高度，则 20+15t−5t²=35， 整理得 t2−3t+3=0，Δ=(−3)2−4×1×3=9−12=−3<0， ∴该方程没有实数根，即小球不能到达离地面 35 m 的高度． （事实上 15t−5t²=−5(t²−3t)=−5[(t−)2−]=−5(t−)2+≤=11.25，最大高度为 20+11.25=31.25 m<35 m．） (2) 由题意得 20+15t−5t²=20，即 15t−5t²=0， 因式分解得 5t(3−t)=0，解得 t1=0，t2=3． t=0 表示小球刚抛出的时刻，而「再次」回到 20 m 高度应取 t=3． 答：小球不能到达离地面 35 m 的高度；抛出后经过 3 s 再次回到离地面 20 m 的高度． 【易错陷阱】①(1) 直接令 h=35 解方程，算出无解后不会「配方说明最大高度」或只答「不能」不写理由；②(2) 把 t=0 也当成答案（它对应抛出瞬间，不是「再次」回到），或两边除以 t 丢掉 t=0 后忘记讨论；③列式时把 20 m 当成阳台以上高度，漏加初高 20． 学科网（北京）股份有限公司 $