一元二次方程单元测试卷（A卷）2026-2027学年人教版九年级数学上册

一元二次方程单元测试卷（A卷） 一、单选题（共36分） 1．（本题4分）下列各方程是一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．（本题4分）是下列哪个一元二次方程的根（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（本题4分）设，是一元二次方程的两个根，则（      ） A． B． C． D． 5．（本题4分）一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D．无法确定 6．（本题4分）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（      ） A． B． C． D． 7．（本题4分）年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（      ） A． B． C． D． 8．（本题4分）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（　　） A．40人 B．41人 C．42人 D．43人 二、填空题（共24分） 10．（本题4分）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 11．（本题4分）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______． 12．（本题4分）若a是方程的一个解，则的值是________． 13．（本题4分）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 14．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________． 15．（本题4分）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 三、解答题（共90分） 16．（本题12分）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 17．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若、是方程的两根，且，求的值． 18．（本题12分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19．（本题8分）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠病毒的携带者． (1)每个人每轮传染多少人？(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？ 20．（本题12分）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 21．（本题12分）某快餐店9月1日的外卖收入为6万元，随着订餐人数的不断增多，9月3日的外卖收入达到万元． (1)求从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率； (2)随着外卖的爆火，快餐店新设计了一款套餐进行销售，已知新设计的每份套餐的生产成本为元，经过一段时间的销售后发现：当该款套餐的售价定为元/份时，平均每天售出份；售价每份每降低1元，平均每天多售出3份．现快餐店计划下调该套餐的售价，使平均每天的销售利润为元． ①为了推广该款新套餐，且尽可能多的增大销量，求下调后每份套餐的售价； ②试探究该套餐平均每天能否获利元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 22．（本题12分）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 23．（本题12分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 3．B 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 4．A 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为，∴，，， ∴，，则A对应正确结论． 5．C 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 6．B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为，则． 7．D 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为．年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为，由题意得． 8．A 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛，∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场，因此列方程得，符合题意的为选项A. 9．D 【详解】解：设这个班级共有x名学生，根据题意，得，解得（舍去）， 所以这个班级共有学生43人． 10．9 【详解】解：，，， 所以，，则，故答案为：9． 11． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ，整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 12． 【详解】解：∵是方程的一个解，∴把代入方程得，整理得， 两边同除以得，∴． 13．，/， 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或，解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 14．且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 15． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根，∴根的判别式， 化简得，解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 16．(1)，；(2)，；(3)，；(4)， 【详解】（1）解：，，或，，； （2）解： ， ，； （3）解： ，； （4）解： ，． 17．【详解】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵、是方程的两根，∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：，解得． 18．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，解得； （2）解：∵，是该方程的两个根，∴，， ∴，解得，， 由（1）可知：，∴． 19．【详解】（1）解：设每个人每轮传染x人，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：每个人每轮传染12人． （2）解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）； 答：若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有2197人成为新冠病毒的携带者． 20．【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：，解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； (2)不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 21．【详解】（1）解：从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率为x， ，，(舍)， 答：日平均增长率为； （2）解：①设下调了元，根据题意得： ，，， ∵尽可能多的增大销量，∴降价尽可能大， 故， 元， 答：下调后每份套餐的售价为元； ②解：设下调了元该套餐平均每天能获利元，根据题意得： ， ， ， ∴原方程无实根， 故该套餐平均每天不能获利元． 22．【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，，则， 整理得：，解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为，则， 整理得：，， ∴此方程无解，∴的面积不能等于． 23．【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $