第25-26章 一元二次方程和二次函数阶段综合试题2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本试卷聚焦九年级上册一元二次方程与二次函数，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合新定义运算、物理电路分析、实际生活应用等情境，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配月考阶段检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12题|一元二次方程一般形式、配方法、根与系数关系、二次函数图像平移|第9题结合电路图像考查二次函数应用，体现跨学科思维| |填空题|7题|方程根的特征、增长率问题、几何图形面积计算|第19题通过矩形与正方形摆放情境，考查方程建模能力| |解答题|7题|新定义“好根方程”、二次函数最值、销售利润、植物园面积设计|23题以科技产品销售为背景构建利润函数，27题结合栅栏围地与植物栽种，强化模型观念与应用意识|

第25-26章 一元二次方程和二次函数 阶段综合试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 2．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 3．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 4．已知方程的两个根分别为，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 5．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 6．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(   )．    A．9 B．10 C．11 D．12 7．将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 8．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 9．如图甲所示电路中，为定值电阻，为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（   ） A．当电流增大时，消耗的电功率也增大 B．当时，的阻值最小 C．当时，的阻值为 D．当电流为时，滑动变阻器的电功率为0 10．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 11．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．已知α、β是方程的两个实数根，则的值为______． 15．重庆市某中学九年级5班的同学在第一学月体育测试时有25名同学获得满分，经过两个学月的专项体能训练，在第三学月体育测试时满分同学增加到了36人，则该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为________． 16．如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为___________． 17．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 18．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 19．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为_____________． 三、解答题 20．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 21．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 22．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 23．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 24．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 25．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 26．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 27．为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求x的值； (3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（/棵） 0.4 1 0.4 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A D C B B D D 题号 11 12 答案 A B 1．A 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 2．D 本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 解：由题意得， ， ∴． 故选D． 3．B 本题考查了一元二次方程的定义、解的定义和解一元二次方程，熟练掌握方程的根就是能使方程左右两边相等的未知数的值，二次项系数不等于0，是解题的关键． 先把代入方程得到，根据，即可求出k的值． 解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为1， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．A 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 解：∵方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：A． 5．D 根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． ∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 6．C 根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故选：C． 本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 7．B 先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 8．B 本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 9．D 本题考查了二次函数的应用，结合图象逐一判断即可解答，熟练运用二次函数的图象和性质解题是关键． 解：A、根据图像，当电流增大时，消耗的电功率先增大再减小，故该选项不符合题意； B、根据，结合图象，可得当时，的阻值不是最小，故该选项不符合题意； C、当时，的阻值为，故该选项不符合题意； D、当时，的阻值为，根据电路的总电压不变可得， 解得， 则总电压为伏， 当电流为时，电路中的总阻值为， 则， 故滑动变阻器的电功率为，故选项正确， 故选：D． 10．D 观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 11．A 本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 12．B 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 13． 根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14．2 本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解的定义得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法计算求值即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，是解题的关键． 解：由题意，，， ∴， ∴； 故答案为：2． 15． 本题考查了一元二次方程的应用，设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论． 解：设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意得， ， 解得， 所以，该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为， 故答案为：． 16．1 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 解：由题意可得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：1． 17．或 先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 18．①②③④ 根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 19．/8平方厘米 设矩形的长为，宽为，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出的值，再求图③的面积求解即可． 解：设矩形的长为，宽为，由题意，得： ， 整理，得：， 把②代入①得：③， 把③代入①得：， 整理，得：， 解得：， 当时，， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为cm，宽为cm， ∴图③中的阴影面积为：； 故答案为：． 本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 20．(1)①③ (2)的值为或 (3) 本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． （1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 21．(1) 证明：二次函数的图象经过点， ， ； (2)①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． （1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． （1）略 （2）①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 22．(1)， (2) 或 （1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． （1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 23．(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． （1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． （1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 24．(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． （1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 25．(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) （1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． （1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 26．(1) (2) (3)或 （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． （1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 27．(1)； (2)x的值为10； (3)这批植物不可以全部栽种到这块空地上． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意； （3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：，可得，推出b的最大值为214，此时，再求出实际植物面积即可判断. （1）解：； （2）解：由题意：， 解得或8， ∵时，，不符合题意， ∴x的值为10； （3）解：∵， ∴时，y有最大值162， 设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意：， ∴， ∴b的最大值为214，此时， 需要种植的面积， ∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上． 学科网（北京）股份有限公司 $