第 25 章 《一元二次方程》【单元进阶卷】2026-2027 学年人教版数学九年级上册

第25章 一元二次方程 单元进阶卷（人教版九年级上册） 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 25.1 一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数与常数项。 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 ① 判断方程是否为一元二次方程（注意化简及 a≠0 条件）。 ② 将方程化为一般形式并写出各项系数。 ③ 代入已知根求字母参数的值。 25.2 降次——解一元二次方程 1. 直接开平方法：解形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2. 配方法：移项→二次项系数化为1→配方→开方求解。 3. 公式法：（b²-4ac≥0）。 4. 因式分解法：提公因式、公式法或十字相乘，令各因式为0。 5. 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根。 6. 韦达定理：两根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ① 针对方程特点选择最优解法（优先因式分解法）。 ② 规范书写配方法的推导与解题过程。 ③ 利用 Δ 判断根的情况或求参数取值范围。 ④ 韦达定理求代数式的值或构造新方程。 25.3 实际问题与一元二次方程 1. 基本思路：审、设、列、解、验、答（特别注意检验解是否符合实际意义）。 2. 常见模型： · 增长率模型：a(1±x)ⁿ=b · 面积模型：利用面积公式表示几何图形 · 传播/循环赛模型：单循环赛场数=n(n-1)/2 · 利润模型：总利润=单件利润×销售量 ① 增长率/降低率应用题（连续两次增减等）。 ② 几何图形面积计算（矩形围栏、道路宽度）。 ③ 握手问题、互赠礼物、比赛场次问题。 ④ 商品销售定价与利润最大化问题。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若关于 x 的方程 (m−2)x|m|+3x−1=0 是一元二次方程，则 m 的值是（　　） A．2　　B．−2　　C．±2　　D．0 【答案】B 【解析】 一元二次方程要求未知数的最高次数是 2，且二次项系数不为 0． 由 |m|=2，得 m=2 或 m=−2； 又二次项系数 m−2≠0，即 m≠2， ∴m=−2，故选 B． 易错提醒：只看到 |m|=2 就选 C，是漏掉了「二次项系数不为 0」这一条件． 2．用配方法解一元二次方程 x2−4x+m=0，配方后得到 (x−2)2=5，则 m 的值为（　　） A．−1　　B．1　　C．9　　D．−9 【答案】A 【解析】 移项得 x2−4x=−m， 两边同时加上一次项系数一半的平方 22=4，得 x2−4x+4=−m+4， 即 (x−2)2=4−m． 由题意 4−m=5，解得 m=−1，故选 A． 易错提醒：配方时右边要同步加上 4，否则会得到 m=9（选项 C 的错解）． 3．若关于 x 的一元二次方程 kx2+4x+1=0 没有实数根，则 k 的最小整数值是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【答案】C 【解析】 ∵kx2+4x+1=0 是一元二次方程，∴k≠0． ∵方程没有实数根，∴Δ=42−4×k×1=16−4k<0， 解得 k>4． ∴k 的最小整数值是 5，故选 C． 易错提醒：k>4 不含 4，且 k=0 时方程退化为一元一次方程，两种情况都要排除． 4．下列关于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的说法中，正确的是（　　） A．若 a+b+c=0，则方程必有一个根为 −1　　B．若 ac<0，则方程必有两个不相等的实数根　　C．若 b=0，则方程一定有两个实数根　　D．若方程有两个不相等的实数根，则 a 与 c 一定异号 【答案】B 【解析】 A．当 a+b+c=0 时，把 x=1 代入左边恰为 a+b+c=0，即方程必有一个根为 1，而不是 −1，故 A 错误； B．∵ac<0，∴−4ac>0，∴Δ=b2−4ac>0，方程必有两个不相等的实数根，故 B 正确； C．b=0 时 Δ=−4ac，当 ac>0 时 Δ<0，例如 x2+1=0 无实数根，故 C 错误； D．如 x2−3x+2=0 有两个不相等的实数根，而 a=1、c=2 同号，故 D 错误． 故选 B． 5．某校九年级举行班级篮球赛，赛制为单循环（每两个班之间都比赛一场），一共比赛了 66 场，则参加比赛的班级有（　　） A．10 个　　B．11 个　　C．12 个　　D．13 个 【答案】C 【解析】 设参加比赛的班级有 n 个．单循环赛中每个班都要与其余 (n−1) 个班各赛一场，而每场比赛被两个班重复计算一次， ∴总共比赛 场． 由题意得 =66，即 n2−n−132=0， 因式分解得 (n−12)(n+11)=0，解得 n1=12，n2=−11． ∵n 为班级数，必须为正整数，∴n=−11 不合题意，舍去． ∴参加比赛的班级有 12 个，故选 C． 易错提醒：若误用 n(n−1)=66，会错选 B（11 个）． 6．若关于 x 的一元二次方程 (a−1)x2+x+a2−1=0 有一个根为 0，则 a 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．0 【答案】B 【解析】 把 x=0 代入方程，得 0+0+a2−1=0，即 a2=1， ∴a=1 或 a=−1． 又∵该方程是一元二次方程，∴二次项系数 a−1≠0，即 a≠1． ∴a=−1，故选 B． 易错提醒：只代入求根就选 C，忽略了 a≠1 这一限制，是本题最常见的错误． 7．某品牌手机经过两次连续降价，售价由每部 5000 元降到每部 4050 元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（　　） A．5%　　B．10%　　C．15%　　D．9% 【答案】B 【解析】 设每次降价的百分率为 x． 第一次降价后售价为 5000(1−x) 元，第二次降价后售价为 5000(1−x)2 元， 由题意得 5000(1−x)2=4050， ∴(1−x)2=0.81，开方得 1−x=±0.9， ∴x1=0.1=10%，x2=1.9． ∵降价的百分率不能大于 1，∴x=1.9 不合题意，舍去． ∴每次降价的百分率为 10%，故选 B． 8．一元二次方程 x2−2x+1=0 的两个根是（　　） A．x1=+1，x2=−1　　B．x1=x2=　　C．x1=+2，x2=−2　　D．x1=2+，x2=2− 【答案】A 【解析】 这里 a=1，b=−2，c=1． Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×1=8−4=4>0． ∴x===±1， 即 x1=+1，x2=−1，故选 A． 易错提醒：(−2)2 等于 8 而不是 4，把根号系数平方漏掉是常见错误． 9．设 x1、x2 是一元二次方程 x2+x−3=0 的两个实数根，则 x12−x2+2026 的值为（　　） A．2026　　B．2029　　C．2030　　D．2031 【答案】C 【解析】 ∵x1 是方程 x2+x−3=0 的根，∴x12+x1−3=0， ∴x12=3−x1（降次）． 由根与系数的关系得 x1+x2=−1． ∴x12−x2+2026=(3−x1)−x2+2026 =2029−(x1+x2)=2029−(−1)=2030． 故选 C． 易错提醒：不要用求根公式硬算 x1、x2 再代入，既繁琐又容易算错；「降次 + 两根之和」是这类题的通法． 10．若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别是 −1 和 3，则关于 y 的方程 a(y+2)2+b(y+2)+c=0 的两个根之积是（　　） A．−3　　B．3　　C．−1　　D．1 【答案】A 【解析】 观察两个方程的结构：把已知方程中的 x 换成 (y+2)，就得到所求方程， ∴令 t=y+2，则 a(y+2)2+b(y+2)+c=0 即 at2+bt+c=0． 由已知，at2+bt+c=0 的两个根是 t=−1 和 t=3， ∴y+2=−1 或 y+2=3，即 y=−3 或 y=1． ∴两个根之积为 (−3)×1=−3，故选 A． 易错提醒：整式 a(y+2)2+b(y+2)+c 是一个关于 y 的二次式，不能直接套用原方程的两根之积 ，必须先换元还原． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．一元二次方程 (x+1)(x−2)=3x 的一般形式是＿＿＿＿（写成 ax2+bx+c=0 的形式，其中 a>0）． 【答案】x2−4x−2=0 【解析】 去括号得 x2−x−2=3x， 移项、合并同类项得 x2−4x−2=0． 检验：Δ=(−4)2−4×1×(−2)=16+8=24>0，方程确有两个实数根． 12．若关于 x 的一元二次方程 x2−4x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】m<2 【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=(−4)2−4×1×2m=16−8m>0， 解得 m<2． 易错提醒：题目已说明是一元二次方程，二次项系数为 1，无需再讨论系数不为 0；但要注意是「不相等」两个根，故取 Δ>0 而不是 Δ≥0． 13．设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x−3=0 的两个实数根，则 + 的值为＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 先判断根的存在性：Δ=42−4×1×(−3)=16+12=28>0，方程确有两个实数根． 由根与系数的关系得 x1+x2=−4，x1x2=−3． ∴+===． 易错提醒：先通分再代入，不要分别去解 x1、x2 的具体值． 14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是 73，则每个支干长出的小分支数是＿＿＿＿． 【答案】8 【解析】 设每个支干长出 x 个小分支，则支干有 x 个，小分支有 x·x=x2 个． 由题意得 1+x+x2=73， 整理得 x2+x−72=0，因式分解得 (x+9)(x−8)=0， ∴x1=8，x2=−9． ∵小分支数必须是正整数，∴x=−9 不合题意，舍去． ∴每个支干长出 8 个小分支． 15．已知 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+5=0 的两个实数根，且 x12+x22=36，则 m 的值为＿＿＿＿． 【答案】3 【解析】 ∵方程有两个实数根， ∴Δ=[−2(m+1)]2−4(m2+5)=4m2+8m+4−4m2−20=8m−16≥0， ∴m≥2． 由根与系数的关系得 x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5． ∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =4(m+1)2−2(m2+5)=2m2+8m−6． 由 2m2+8m−6=36，得 2m2+8m−42=0，即 m2+4m−21=0， 因式分解得 (m+7)(m−3)=0，∴m=−7 或 m=3． ∵m≥2，∴m=−7 不合题意，舍去，∴m=3． 检验：当 m=3 时，Δ=8×3−16=8>0，方程确有两个实数根，符合题意． 16．若关于 x 的两个一元二次方程 x2+px+q=0 与 x2+qx+p=0（p≠q）有且只有一个公共根，则 p+q 的值为＿＿＿＿． 【答案】−1 【解析】 设这两个方程的一个公共根为 t， 则 t2+pt+q=0 且 t2+qt+p=0． 两式相减得 (p−q)t+(q−p)=0，即 (p−q)(t−1)=0． ∵p≠q，∴p−q≠0，∴t=1，即公共根为 1． 把 t=1 代入 t2+pt+q=0，得 1+p+q=0， ∴p+q=−1． 检验：此时两个方程即 x2+px−(p+1)=0 与 x2−(p+1)x+p=0，它们的另一根分别是 −(p+1) 与 p，只要 −(p+1)≠p（即 p≠），两方程就恰有一个公共根，符合题意． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6 分）用适当的方法解下列方程： (1) 用因式分解法解方程：x2−4x−12=0； (2) 用公式法解方程：2x2−4x+1=0； (3) 用直接开平方法解方程：(2x−1)2=9． 【答案】(1) x1=6，x2=−2；(2) x1=，x2=；(3) x1=2，x2=−1． 【解析】 (1) 左边分解因式：x2−4x−12=(x−6)(x+2)， ∴(x−6)(x+2)=0，∴x−6=0 或 x+2=0，∴x1=6，x2=−2． (2) 这里 a=2，b=−4，c=1， Δ=b2−4ac=(−4)2−4×2×1=16−8=8>0， ∴x===， 即 x1=，x2=． (3) 由 (2x−1)2=9，得 2x−1=±3， ∴2x−1=3 或 2x−1=−3，∴x1=2，x2=−1． 方法小结：能直接开平方或因式分解的优先用它们，其余用公式法． 18．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2+3m+2=0． (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程有一个根为 3，求 m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 当 m=2 时，另一个根为 4；当 m=1 时，另一个根为 2． 【解析】 (1) 证明： Δ=[−(2m+3)]2−4×1×(m2+3m+2) =4m2+12m+9−4m2−12m−8=1． ∵Δ=1>0 与 m 的取值无关， ∴无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2) 把左边分解因式： m2+3m+2=(m+1)(m+2)，且 (m+1)+(m+2)=2m+3， ∴x2−(2m+3)x+m2+3m+2=[x−(m+1)][x−(m+2)]=0， ∴方程的两个根为 x1=m+1，x2=m+2． 若 m+1=3，则 m=2，另一个根为 m+2=4； 若 m+2=3，则 m=1，另一个根为 m+1=2． ∴当 m=2 时，另一个根为 4；当 m=1 时，另一个根为 2． 19．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+3=0 有两个实数根 x1、x2． (1) 求 m 的取值范围； (2) 若 (x1−1)(x2−1)=4，求 m 的值． 【答案】(1) m≥1；(2) m=1+． 【解析】 (1) ∵方程有两个实数根， ∴Δ=[−2(m+1)]2−4×1×(m2+3) =4(m+1)2−4(m2+3)=4m2+8m+4−4m2−12=8m−8≥0， ∴m≥1． (2) 由根与系数的关系得 x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+3． ∵(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1 =(m2+3)−2(m+1)+1=m2−2m+2， ∴m2−2m+2=4，即 m2−2m−2=0， ∴m==1±． ∵m≥1，而 1−<1，∴m=1− 不合题意，舍去． ∴m=1+． 20．（6 分）某商店销售一种商品，进价为每件 30 元，当售价为每件 50 元时，每月可售出 200 件．为了扩大销售，商店决定降价销售．经市场调查发现：售价每降低 1 元，每月销量就增加 20 件． (1) 若每件售价降低 x 元，用含 x 的代数式表示每月的销售利润； (2) 要使每月销售利润为 4480 元，售价应定为每件多少元？ 【答案】(1) 每月销售利润为 (20−x)(200+20x) 元；(2) 售价应定为每件 46 元或 44 元． 【解析】 (1) 每件售价降低 x 元后，每件利润为 50−x−30=(20−x) 元， 每月销量为 (200+20x) 件， ∴每月销售利润为 (20−x)(200+20x) 元． (2) 由题意得 (20−x)(200+20x)=4480， 整理得 4000+400x−200x−20x2=4480， 即 −20x2+200x−480=0，∴x2−10x+24=0， 因式分解得 (x−4)(x−6)=0，∴x1=4，x2=6． 当 x=4 时，售价为 50−4=46（元）；当 x=6 时，售价为 50−6=44（元）． 检验：降价前每月利润为 (50−30)×200=4000（元），两种定价的利润 4480 元都大于 4000 元，符合「扩大销售、增加利润」的要求． 答：售价应定为每件 46 元或 44 元． 21．（6 分）如图，一幅长 30 cm、宽 20 cm 的矩形风景画，四周镶上一条宽度相同的边框．镶上边框后整幅画（含边框）的面积为 1200 cm2．设边框的宽度为 x cm． (1) 用含 x 的代数式表示镶边框后整幅画的长和宽，并列出方程（化为一般形式）； (2) 求边框的宽度． 【答案】(1) 长为 (30+2x) cm，宽为 (20+2x) cm，方程为 x2+25x−150=0；(2) 边框的宽度为 5 cm． 【解析】 (1) 边框的宽度为 x cm，则整幅画的长为 (30+2x) cm，宽为 (20+2x) cm， 由题意得 (30+2x)(20+2x)=1200， 整理得 600+100x+4x2=1200，即 4x2+100x−600=0， 两边同除以 4，得 x2+25x−150=0． (2) 把 x2+25x−150 分解因式： ∵(−5)×30=−150，且 −5+30=25，∴x2+25x−150=(x+30)(x−5)， ∴(x+30)(x−5)=0，∴x1=5，x2=−30． ∵边框的宽度必须为正数，∴x=−30 不合题意，舍去，∴x=5． 检验：(30+2×5)×(20+2×5)=40×30=1200（cm2），符合题意． 答：边框的宽度为 5 cm． 22．（7 分）某商店销售一种工艺品，进价为每件 20 元．经市场调查，日销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表： (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若某天销售这种工艺品的利润为 2000 元，求当天的售价； (3) 该商店某天销售这种工艺品的利润能否达到 2400 元？请说明理由． 售价 x（元/件） 30 35 40 45 日销售量 y（件） 200 150 100 50 【答案】(1) y=−10x+500；(2) 当天的售价为 30 元/件或 40 元/件；(3) 不能达到 2400 元，理由见解析． 【解析】 (1) 设 y=kx+b． 把 x=30，y=200 与 x=35，y=150 代入，得 30k+b=200，35k+b=150， 两式相减得 5k=−50，∴k=−10；代入 30k+b=200 得 b=500． ∴y=−10x+500． 检验：x=40 时 y=−10×40+500=100；x=45 时 y=−10×45+500=50，均与表格相符． (2) 当天的利润为 (x−20)·y=(x−20)(−10x+500) 元， 由题意得 (x−20)(−10x+500)=2000， 整理得 −10x2+700x−10000=2000，即 −10x2+700x−12000=0， 两边同除以 −10，得 x2−70x+1200=0， 因式分解得 (x−30)(x−40)=0，∴x1=30，x2=40． 检验：x=30 时 y=200，利润 (30−20)×200=2000（元）； x=40 时 y=100，利润 (40−20)×100=2000（元），均符合题意． 答：当天的售价为 30 元/件或 40 元/件． (3) 不能达到 2400 元．理由如下： 若利润为 2400 元，则 (x−20)(−10x+500)=2400， 整理得 −10x2+700x−10000=2400，即 x2−70x+1240=0． ∵Δ=(−70)2−4×1×1240=4900−4960=−60<0， ∴这个方程没有实数根，即该商店每天销售这种工艺品的利润不能达到 2400 元． 23．（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(k−1)x+k2−2k−3=0． (1) 若该方程有一个根为 0，求 k 的值； (2) 若该方程有两个正实数根 x1、x2，且 x12+x22=26，求 k 的值． 【答案】(1) k=3 或 k=−1；(2) k=4． 【解析】 (1) 把 x=0 代入方程，得 k2−2k−3=0， 因式分解得 (k−3)(k+1)=0，∴k=3 或 k=−1． 检验：k=3 时原方程为 x2−4x=0，两根为 0 和 4，符合题意； k=−1 时原方程为 x2+4x=0，两根为 0 和 −4，也符合题意． ∴k=3 或 k=−1． (2) 先看根的存在性： Δ=[−2(k−1)]2−4×1×(k2−2k−3) =4(k2−2k+1)−4k2+8k+12=16>0， ∴无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得 x1+x2=2(k−1)，x1x2=k2−2k−3． ∵两根都是正数，∴x1+x2>0 且 x1x2>0， 即 2(k−1)>0 且 k2−2k−3>0， ∴k>1 且 (k>3 或 k<−1)，∴k>3． 又 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =4(k−1)2−2(k2−2k−3)=2k2−4k+10， ∴2k2−4k+10=26，即 2k2−4k−16=0， ∴k2−2k−8=0，因式分解得 (k−4)(k+2)=0，∴k=4 或 k=−2． ∵k>3，∴k=−2 不合题意，舍去，∴k=4． 检验：k=4 时方程为 x2−6x+5=0，两根为 1 和 5，均为正数，且 12+52=26，符合题意． 24．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=12 cm，BC=6 cm．点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动．当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为 t（s）． (1) 求 t 的取值范围，并用含 t 的代数式表示线段 PB、BQ 的长； (2) 若 △PBQ 的面积为 8 cm2，求 t 的值； (3) 在运动过程中，△PBQ 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积及此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 0≤t≤3，PB=(12−t) cm，BQ=2t cm；(2) t=6−2；(3) 存在，△PBQ 的最大面积为 27 cm2，此时 t=3． 【解析】 (1) 点 P 从 A 运动到 B 需要 12÷1=12（s），点 Q 从 B 运动到 C 需要 6÷2=3（s）． ∵当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止运动，∴0≤t≤3． ∴AP=t，PB=AB−AP=(12−t) cm；BQ=2t cm． (2) ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B=90°， ∴S△PBQ=·PB·BQ=(12−t)·2t=t(12−t)． 由 t(12−t)=8，得 t2−12t+8=0． 这里 a=1，b=−12，c=8，Δ=(−12)2−4×1×8=144−32=112>0， ∴t==6±2． ∵0≤t≤3，而 6+2>6>3 不合题意，舍去； 6−2≈0.7，满足 0≤t≤3． ∴t=6−2． (3) 存在最大值． 由 (2) 得 S=t(12−t)=−t2+12t=−(t−6)2+36． ∵0≤t≤3，∴−6≤t−6≤−3，∴9≤(t−6)2≤36， ∴−36≤−(t−6)2≤−9，∴0≤S≤27． 当 t=3 时，(t−6)2 取最小值 9，S 取最大值 27． 检验：t=3 时 PB=12−3=9（cm），BQ=2×3=6（cm），S=×9×6=27（cm2），符合题意． ∴在运动过程中，△PBQ 的面积存在最大值，最大面积为 27 cm2，此时 t=3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 25 章 《一元二次方程》【单元进阶卷】2026-2027 学年人教版九年级上册数学 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 章节 核心知识点梳理 典型题型总结 25.1 一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数与常数项。 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 ① 判断方程是否为一元二次方程（注意化简及 a≠0 条件）。 ② 将方程化为一般形式并写出各项系数。 ③ 代入已知根求字母参数的值。 25.2 降次——解一元二次方程 1. 直接开平方法：解形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2. 配方法：移项→二次项系数化为1→配方→开方求解。 3. 公式法：（b²-4ac≥0）。 4. 因式分解法：提公因式、公式法或十字相乘，令各因式为0。 5. 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根。 6. 韦达定理：两根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ① 针对方程特点选择最优解法（优先因式分解法）。 ② 规范书写配方法的推导与解题过程。 ③ 利用 Δ 判断根的情况或求参数取值范围。 ④ 韦达定理求代数式的值或构造新方程。 25.3 实际问题与一元二次方程 1. 基本思路：审、设、列、解、验、答（特别注意检验解是否符合实际意义）。 2. 常见模型： · 增长率模型：a(1±x)ⁿ=b · 面积模型：利用面积公式表示几何图形 · 传播/循环赛模型：单循环赛场数=n(n-1)/2 · 利润模型：总利润=单件利润×销售量 ① 增长率/降低率应用题（连续两次增减等）。 ② 几何图形面积计算（矩形围栏、道路宽度）。 ③ 握手问题、互赠礼物、比赛场次问题。 ④ 商品销售定价与利润最大化问题。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．若关于 x 的方程 (m−2)x|m|+3x−1=0 是一元二次方程，则 m 的值是（　　） A．2　　B．−2　　C．±2　　D．0 2．用配方法解一元二次方程 x2−4x+m=0，配方后得到 (x−2)2=5，则 m 的值为（　　） A．−1　　B．1　　C．9　　D．−9 3．若关于 x 的一元二次方程 kx2+4x+1=0 没有实数根，则 k 的最小整数值是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 4．下列关于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的说法中，正确的是（　　） A．若 a+b+c=0，则方程必有一个根为 −1　　B．若 ac<0，则方程必有两个不相等的实数根　　 C．若 b=0，则方程一定有两个实数根　　D．若方程有两个不相等的实数根，则 a 与 c 一定异号 5．某校九年级举行班级篮球赛，赛制为单循环（每两个班之间都比赛一场），一共比赛了 66 场，则参加比赛的班级有（　　） A．10 个　　B．11 个　　C．12 个　　D．13 个 6．若关于 x 的一元二次方程 (a−1)x2+x+a2−1=0 有一个根为 0，则 a 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．0 7．某品牌手机经过两次连续降价，售价由每部 5000 元降到每部 4050 元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（　　） A．5%　　B．10%　　C．15%　　D．9% 8．一元二次方程 x2−2x+1=0 的两个根是（　　） A．x1=+1，x2=−1　　B．x1=x2=　　C．x1=+2，x2=−2　　D．x1=2+，x2=2− 9．设 x1、x2 是一元二次方程 x2+x−3=0 的两个实数根，则 x12−x2+2026 的值为（　　） A．2026　　B．2029　　C．2030　　D．2031 10．若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别是 −1 和 3，则关于 y 的方程 a(y+2)2+b(y+2)+c=0 的两个根之积是（　　） A．−3　　B．3　　C．−1　　D．1 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．一元二次方程 (x+1)(x−2)=3x 的一般形式是＿＿＿＿（写成 ax2+bx+c=0 的形式，其中 a>0）． 12．若关于 x 的一元二次方程 x2−4x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 13．设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x−3=0 的两个实数根，则 + 的值为＿＿＿＿． 14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是 73，则每个支干长出的小分支数是＿＿＿＿． 15．已知 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+5=0 的两个实数根，且 x12+x22=36，则 m 的值为＿＿＿＿． 16．若关于 x 的两个一元二次方程 x2+px+q=0 与 x2+qx+p=0（p≠q）有且只有一个公共根，则 p+q 的值为＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）用适当的方法解下列方程： (1) 用因式分解法解方程：x2−4x−12=0； (2) 用公式法解方程：2x2−4x+1=0； (3) 用直接开平方法解方程：(2x−1)2=9． 18．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2+3m+2=0． (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程有一个根为 3，求 m 的值及方程的另一个根． 19．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+3=0 有两个实数根 x1、x2． (1) 求 m 的取值范围； (2) 若 (x1−1)(x2−1)=4，求 m 的值． 20．（6 分）某商店销售一种商品，进价为每件 30 元，当售价为每件 50 元时，每月可售出 200 件．为了扩大销售，商店决定降价销售．经市场调查发现：售价每降低 1 元，每月销量就增加 20 件． (1) 若每件售价降低 x 元，用含 x 的代数式表示每月的销售利润； (2) 要使每月销售利润为 4480 元，售价应定为每件多少元？ 21．（6 分）如图，一幅长 30 cm、宽 20 cm 的矩形风景画，四周镶上一条宽度相同的边框．镶上边框后整幅画（含边框）的面积为 1200 cm2．设边框的宽度为 x cm． (1) 用含 x 的代数式表示镶边框后整幅画的长和宽，并列出方程（化为一般形式）； (2) 求边框的宽度． 22．（7 分）某商店销售一种工艺品，进价为每件 20 元．经市场调查，日销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表： (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若某天销售这种工艺品的利润为 2000 元，求当天的售价； (3) 该商店某天销售这种工艺品的利润能否达到 2400 元？请说明理由． 售价 x（元/件） 30 35 40 45 日销售量 y（件） 200 150 100 50 23．（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(k−1)x+k2−2k−3=0． (1) 若该方程有一个根为 0，求 k 的值； (2) 若该方程有两个正实数根 x1、x2，且 x12+x22=26，求 k 的值． 24．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=12 cm，BC=6 cm．点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动．当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为 t（s）． (1) 求 t 的取值范围，并用含 t 的代数式表示线段 PB、BQ 的长； (2) 若 △PBQ 的面积为 8 cm2，求 t 的值； (3) 在运动过程中，△PBQ 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积及此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $