精品解析：湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 射击运动员甲在一次射击测试中射靶10次，每次命中的环数如下：4、4、5、7、7、8、8、9、9、10，则甲在测试中命中环数的中位数是（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 3. 椭圆的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为6的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C D. 7. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 8. 设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A. B. 5 C. D. 4 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若互斥，则 C 若相互独立，则 D. 若相互独立，则 10. 下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（　　） A. 当变化时，方程表示直线过定点 B. 等腰三角形中，，则点的轨迹方程为 C. 过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于为坐标原点，则的最小值为6 D. 过点作直线与轴，轴分别交于为坐标原点，若的面积为4，则这样的直线有3条 11. 椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值为2 B. 椭圆上存在点，使得 C. 过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D. 过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为___________ 13. 圆：与圆：的公共弦长为______. 14. 如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则___________ 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，所对的边为，已知 （1）求角的大小． （2）若的面积为且，求的周长． 16. 已知的三个顶点分别是， （1）求的外接圆的标准方程． （2）过点作圆的切线，求的方程． 17. 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． （1）求打完两局比赛结束概率． （2）求比赛打满6局结束的概率． （3）若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 18. 在如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形． （1）求三棱锥体积的最大值． （2）在（1）的条件下，求三棱锥的外接球半径． （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求的方程． （2）设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． （3）若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则计算可得答案. 【详解】， 虚部为. 故选：D 2. 射击运动员甲在一次射击测试中射靶10次，每次命中的环数如下：4、4、5、7、7、8、8、9、9、10，则甲在测试中命中环数的中位数是（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的概念求解. 【详解】该数据一共有10个数据，所以其中位数是第5与第6个数的平均数. 第5个数为7，第6个数为8， 所以该组数据的中位数为. 故选：B 3. 椭圆的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点所在位置，再根据的关系求，可确定焦点坐标. 【详解】由得椭圆的焦点在轴上， 且，，所以，又，所以. 所以椭圆的焦点坐标. 故选：A 4. 掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为6的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记向上的点数之和为6为事件，分别计算样本空间包含的样本点个数与事件包含的样本点个数，利用古典概型可得答案. 【详解】，记向上的点数之和为6为事件． . 故选：B 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案. 【详解】设与直线关于轴对称的直线的上一点为， 则在直线上，即得，即， 故与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：A 7. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，结合圆与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 8. 设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若相互独立，则 D. 若相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由事件关系及概率的性质判断A；由互斥事件的概率求法判断B，应用概率的性质及独立事件的乘法判断C，由对立事件的概率求法、独立事件的乘法判断D. 【详解】A，由，则，错误， B，由互斥，则，正确， C，由相互独立，则，正确， D，，由相互独立，则，正确. 故选：BCD 10. 下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（　　） A. 当变化时，方程表示的直线过定点 B. 等腰三角形中，，则点的轨迹方程为 C. 过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于为坐标原点，则的最小值为6 D. 过点作直线与轴，轴分别交于为坐标原点，若的面积为4，则这样的直线有3条 【答案】AD 【解析】 【分析】令的系数为零，解方程组，求得直线所过定点，判断A；设点C的坐标，根据，求得点C的轨迹方程，并去掉与共线时的两点，判断B；据题意设直线的截距式方程，利用基本不等式求得的最小值，判断C；分情况讨论直线与轴，轴交点的位置，分别求出对应的直线，判断D. 【详解】对于A，由，得 方程表示的直线过定点故A正确． 对于B，设，由得： 点的轨迹方程为且去掉两点，故B错误. 对于C，由题可设直线，则 所以， 当且仅当，即，也即时取等号， 所以的最小值为，故C错误 对于D，设，则有． 当时，， ，由，有， 当时，，有且， 解得：， 当时，，同理可得， 共3条直线，故D正确. 故选：AD. 11. 椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值为2 B. 椭圆上存在点，使得 C. 过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D. 过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用基本不等式可得；B项，设，由数量积坐标运算化简可得；C项，先对切线斜率不存在时分析，再设点斜式直线方程，联立椭圆方程，结合得到关于的方程，由韦达定理得斜率之积为即可；D项，按斜率是否存在讨论，利用弦长公式及韦达定理得到的函数表达式，求解函数值域进而由面积公式可得范围. 详解】A选项，由椭圆，可知， 则，， 则， 可得，当且仅当时取等号， 即当点位于短轴端点时，取最大值，故A正确； B选项，设椭圆上任一点，又，， 则，可得， 则， 故不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， ①当时，则， 可知椭圆的两条切线恰好垂直，即； ②当时，则椭圆的两条切线都存在斜率， 可设过点的椭圆切线方程为， 联立，消得， 由直线与椭圆相切， ， 化简得，则此关于的方程有两根，设为， 则， 由即为两切线的斜率，所以， 综合①②可知，，故C正确； D选项，当切线的斜率不存在时，切线方程为， 联立，解得，故此时； 当切线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆的圆心，半径， 则由直线与圆相切可得， 圆心到直线的距离，即， 联立，消得， 由，化简得， 由韦达定理得，. 则 ， 由得代入上式可得 ， 设，， 则 ，由，可得， 当，即时，最大，最大值为； 当，即时，最小，最小值为； 综上所述，的范围为. 又由， 故面积的取值范围为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的相关概念，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，， 则，且， 所以. 故答案为：. 13. 圆：与圆：的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】联立， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 14. 如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，又、，代入可得，根据四点共面，可得的值，由，分析整理，化简计算，即可得答案. 【详解】因为，且，，所以， 又， 所以， 又为的中点，， 所以，， 则， 因为四点共面， 所以，解得． 所以 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，所对的边为，已知 （1）求角的大小． （2）若的面积为且，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及余弦定理求得，即可得； （2）由三角形面积公式、余弦定理求得、，进而得到，即可得三角形的周长. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系知，则， 由，所以； 【小问2详解】 由题意，则， 由余弦定理，则， 所以，则， 周长为. 16. 已知的三个顶点分别是， （1）求的外接圆的标准方程． （2）过点作圆的切线，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，分别代入三点的坐标，解方程可得参数的值，从而得到圆的一般方程，变形可得其标准方程； （2）讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得直线的方程. 【小问1详解】 设外接圆方程 将代入得 则圆的一般方程为 整理得. 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以点在圆外. 当的斜率存在时，设，即 圆心，半径.圆心到切线的距离 解得：，此时切线 当切线的斜率不存在时，切线方程为，与圆相切. 综合得，的方程为：或. 17. 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． （1）求打完两局比赛结束的概率． （2）求比赛打满6局结束的概率． （3）若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【小问1详解】 打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： 【小问2详解】 打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： 【小问3详解】 甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 18. 在如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形． （1）求三棱锥体积的最大值． （2）在（1）的条件下，求三棱锥的外接球半径． （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥体积公式为，求出高的最大值即可得到体积的最大值； （2）先确定底面的外心，再定位球心所在直线；最后设球半径为，利用“球心到顶点的距离=半径”列方程求解即可； （3）先选择合适的原点，定各点坐标；用旋转角表示动点的坐标， 再分别求出两个平面的法向量， 利用法向量夹角的余弦公式，将二面角的余弦值表示为参数的函数；最后通过换元法简化函数，结合二次函数的最值性质，求出余弦值的最小值即可. 【小问1详解】 因为，所以：， 取中点，则， ， 所以， 即平面时取等号， 三棱锥体积最大值为. 【小问2详解】 由（1）平面，为外心 故球心在上， 即，解得：. 【小问3详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， 故， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则 ， 设平面的法向量， ， 取，则， 设平面与平面的夹角为， 故， 令， ， 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为. 19. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求的方程． （2）设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． （3）若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）设平行于直线直线的方程为，分析可知当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，进而运算求解； （3）设，可得过的直线：，联立方程可得韦达定理，结合向量的数量积可得，代入整理可得，进而分析求解. 【小问1详解】 由题意得：，即， 又因，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知：， 则，直线的斜率， 则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大， 联立方程，消去y得， 则，解得：， 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 假设直线上存在点，使得平分， 因为，可知点在椭圆内，则过的直线与椭圆必相交， 过的直线：，设，， 联立方程，消去y可得， 则，， 若，则， 设， 则，，， 可得， ， 则，即， 整理得：， 可得， 整理可得，即， 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $