专题03 椭圆（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

专题03 椭圆 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．A 2．A 3．C 4．B 5．CD 6．B 7．D 8．B 9．ACD 10．D 11．BCD 12．C 13．C 14．D 15．A 16．BC 17．B 18．ACD 19．C 20．ACD 21．ABD 22．A 23．【答案】 【分析】 根据椭圆的相关概念，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】 设，， 则，且， 所以. 故答案为：. 24．【答案】 【分析】 由题意得到 ，求解即可. 【详解】 因为表示椭圆， 所以 ，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 25．【答案】 【分析】 根据以及两角和的正切公式，可得，这可看成是直线斜率相乘为 ，然后根据两点间斜率公式以及椭圆方程，即可求解. 【详解】 由可得 所以 设， 所以 故 故答案为： 26．【答案】 【分析】 根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】 由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：. 27．【答案】（1）     （2）     （3） ，， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即   ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点.      【分析】 （1）根据离心率公式，可得，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可求得答案. （2）分析可得直线l斜率存在，设方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得、表达式，代入弦长公式，可得表达式，再求得O到直线MN的距离，代入面积公式，结合m的范围，即可得答案. （3）由，可得，将直线方程代入，结合韦达定理，化简可得或，分别讨论，分析检验，即可得答案. (1) 小问详解： 由题意得： ，解得 ，椭圆方程为： (2) 小问详解： 因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则 ，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. (3) 小问详解： 略 28．【答案】 【分析】 设，则，，再根据关于x轴对称，关于轴对称，可求得，再由在椭圆上，构造出的齐次式即可得解. 【详解】 设，则，， 由题知关于x轴对称，关于轴对称， 所以，，即，， 所以， 所以 ，即， 所以，即， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 29．【答案】3 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点最短弦长为通径求出最小值. 【详解】 由椭圆的对称性可知． 设点，．所以， 想求的最小值，只需求的最小值， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径：， 故的最小值为3. 故答案为：3. 30．【答案】 【分析】 易知点在椭圆外，根据椭圆的定义可知，即可得解. 【详解】    如图所示，设椭圆的右焦点为， 由椭圆， 得，，，则， ， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 且， 即的最大值为. 故答案为：13 31．【答案】 【分析】 利用椭圆对称性求出，由椭圆的定义求出，进而求出，即可求出椭圆的方程． 【详解】 由题意知，，轴，故， 又，由，解得， ，所以， 从而， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 33．【答案】 【分析】 根据条件，求出点的轨迹方程，再利用三角换元，即可求解. 【详解】 因为，由题有， 整理得到， 令， 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 34．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存在； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时.      【分析】 （1）根据题意可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）设平行于直线的直线的方程为，分析可知当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，进而运算求解； （3）设，可得过的直线：，联立方程可得韦达定理，结合向量的数量积可得，代入整理可得，进而分析求解. (1) 小问详解： 由题意得：，即， 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意可知：， 则，直线的斜率， 则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大， 联立方程 ，消去y得， 则，解得：， 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 所以面积的最大值为. (3) 小问详解： 假设直线上存在点，使得平分， 因为，可知点在椭圆内，则过的直线与椭圆必相交， 过的直线：，设，， 联立方程 ，消去y可得， 则，， 若，则， 设， 则，，， 可得， ， 则，即， 整理得：， 可得， 整理可得，即， 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存在； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时. 35．【答案】（1） 当时，，，由椭圆的对称性可知性质成立 当时，，，， 因为点在椭圆上， 所以，， 设与直线，的夹角分别为，， 则. 同理，，，∴． 该性质成立.     （2） 当时，面积的最大值为 当时，面积的最大值为．      【分析】 （1）考虑点为椭圆左右顶点时，性质显然成立；当，分别写出，，，由题意写出椭圆在点出切线方程，由题中公式求出与直线，的夹角的正切值，从而证明结论； （2）设直线方程代入曲线方程，消元后整理为一元二次方程，由韦达定理表示出，令，当时，利用基本不等式求出的最大值，从而求得的面积的最大值；当时，由双勾函数的性质得到的最大值，从而求得的面积的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，，， 将代入得， 则，， ， 令，则，． 当时，，当且仅当，即时取等号， 得，的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为 当时，面积的最大值为． 36．【答案】（1）     （2）     （3）是，为定值．      【分析】 （1）根据椭圆的焦点三角形求出 的值，再由离心率求出 ，即得椭圆的标准方程； （2）法1：设，利用两点之间距离公式化简计算，根据二次函数的图象性质即可求得答案；法2：设，计算，结合正弦函数的值域和二次函数的性质即可求得； （3）设直线的方程，与椭圆方程联立，设，写出韦达定理，由代入坐标计算推得，，计算并化简，即可得到为定值. (1) 小问详解： 由题意的周长为，解得， 又由可得 ，则， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： 法1：设是椭圆上任意一点，则满足，， ， 因，则函数在时取得最大值为， 故的最大值是． 法2：设是椭圆上任意一点， ， 设，则，函数在上单调递减， 故当时函数取得最大值，此时的最大值是． (3) 小问详解： 由题意，得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 联立 ，消去，整理得， ，设， 则， 又，则， 由得，所以，同理得， 所以 ， 所以为定值． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程； （2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为，半径为. 由圆方程知圆心，半径， 由圆方程知圆心，半径， 由圆与圆外切可知由圆与圆内切，可知， 故， 由椭圆定义可知，圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆(除去点)， 其中，且，即， 又， 故轨迹方程为； (2) 小问详解： 由题知圆心，半径为， 设且满足，则， ， 又，故，. 38．【答案】（1）；     （2） 法一：连接，如图19－2所示，由垂径定理得， 所以， 设，由在上，则， 所以， 所以定值. 法二：① 当直线的斜率不存在时，， 此时，，则. ② 当的斜率存在时，设，，， 联立 得， 由韦达定理得，则中点， 联立 ，解得， 故， 综上所述，.     （3）.      【分析】 （1）根据题意，可得直线过定点，直线过定点，且， 所以与的交点的轨迹为以为直径的圆，根据几何关系即可确定圆心和半径，即可得到轨迹的方程； （2）法一：连接，可得，设，代入求解即可； 法二：通过对直线的斜率是否存在进行分类，分别求得点的坐标，代入求解即可； （3）法一：设定点使得，可得，又在阿氏圆上，所以，结合几何关系即可求得的最小值； 法二：设定点使得，结合阿氏圆的几何性质，可求得，结合几何关系即可求得的最小值； (1) 小问详解： 由题意，直线，， 所以直线过定点，直线过定点，且， 易知直线的斜率存在， 所以与的交点的轨迹为以为直径的圆，（除去点）. 其中圆心为，半径为，如图19－1所示， 所以的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 法一：设定点使得， 则满足，化简整理得：. 因为在阿氏圆上，所以，即， 所以 （当且仅当、、共线，且在、之间时取等）. 法二：设定点使得， 设圆与直线交于、， 则为的外角平分线与的交点、为内平分线与的交点，图19－3所示 由阿氏圆的性质：， 所以，即， 所以 （当且仅当、、共线，且在、之间时时取等）. 39．【答案】（1）或     （2） （i）设斜率为，则的斜率为，，， 联立 消得， 结合韦达定理和中点坐标公式得，所以. ，联立 消得， 结合韦达定理和中点坐标公式得，所以. 故为定值. （ii）      【分析】 （1）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由垂直，即，最后代入即可求解； （2）（i）设，，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，计算得到定值； （ii）由（i）得直线的方程，再求点到直线的距离为，计算，，结合基本不等式得到三角形的最值. (1) 小问详解： 由椭圆方程可知：，，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，，联立 ， 消去得， 所以，即. 且，因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）得，，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 因为， 所以 所以 令，则（时，只需考虑的情况） 对于，所以， 根据基本不等式，当且仅当，即时取等号 所以，进而. 从而得到面积的最大值为. 40．【答案】（1）     （2） 设， 由 ，消得到，由，解得, 此时， 又， 则， 所以为定值.     （3）或或      【分析】 （1）根据条件建立方程，化简即可求解； （2）设，联立直线与椭圆方程，利用根与系间的关系得，再利用两点间的距离公式，得，即可求解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，求出，结合条件，即可求解. (1) 小问详解： 由题有，化简得到， 即，所以动点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 易知两条直线的斜率存在且不为，设， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由 ，消得到，解得或， 所以，同理可得， 又， 同理可得， 由题可得，整理得到， 即，解得或或， 又，所以的值或或. 41．【答案】.25 【分析】 利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】 设椭圆，则． 设椭圆，，则． 设，由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则，， 当时，取得最大值， 故答案为：． 42．【答案】（1）     （2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在，      【分析】 （1）由题意可得 ，解出即可得； （2）（ⅰ）由可得，代入椭圆方程则可得，从而可得点坐标，再利用两点间斜率公式计算即可得；（ⅱ）可猜想，使得平分，设，则可计算出点坐标，再分斜率存在与否，得到，最后利用相似三角形的性质可得点符合要求，即可得. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得 ，则， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： （ⅰ）由，且，，三点共线，则， 则，解得，又，则， 由，则直线，即， 令，则，故，又，则直线； （ⅱ）设直线与轴的交点为，由（ⅰ）猜想平分， 由直线不与轴重合，可设，， 联立 ，消去得， 则，即， 将直线的方程与直线联立，则，则， ① 当斜率不存在时，由（ⅰ）得； ② 当斜率存在时，，则， 又，故； 由，得，则， 设点关于直线的对称点为，则，则， 由，则， 又，故，则， 故轴上存在定点，使得. 43．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意可得 ，解方程即可求解； （2）不妨设直线：，，，联立方程由韦达定理可得： ，化简四边形的面积，结合不等式即可求解. (1) 小问详解： 由椭圆的长半轴长等于焦距，且过点， 得 ,又，解得 ， 则椭圆的方程为； (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，四边形显然不存在. 不妨设直线，，， 将直线方程与椭圆联立，得， 显然恒成立，则 ，且，异号. 则四边形的面积， 令，四边形的面积可化为. ∵函数在上单调递增，则， ∴四边形的面积的取值范围为. 44．【答案】 【分析】 由题得到、关于原点对称，设出P、两点坐标，再由和的斜率之差和夹角条件求出P点坐标，再将P点坐标代入椭圆方程，即可求解离心率. 【详解】 因为为椭圆的上顶点，所以设 . 又因为点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，所以根据椭圆的对称性得到、关于原点对称. 所以设 ，，所以直线和的斜率分别为 ，； 由直线和的斜率之差为，得，得； 因为，由，即，得到， 因为在椭圆上，所以，即，得到， 椭圆的离心率  因此，椭圆的离心率为. 故答案为：. 45．【答案】（1） 设， 椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为， 因为切线与相交于点， 所以，且， 说明均在直线上， 所以直线的方程为.     （2）     （3）1      【分析】 （1）设，由题中结论求得切线，的方程，由与相交于点，可得均在直线上，即可得出直线的方程； （2）由条件求得，根据在椭圆上及确定范围即可； （3）联立，的方程，可得，分别联立直线，与椭圆的方程，利用韦达定理求得，，代入可求得，所以点的横坐标，所以，，即可求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，，， 可得，所以， 又在椭圆上， 则，得， 因此， 因为，所以，则， 所以， 即的取值范围是. (3) 小问详解： 的方程为，的方程为， 联立 ，可得 ，即， 点的坐标为，则， 直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 联立 ，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 联立 ，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 又，， 所以 ， 所以点的横坐标，所以， 又为线段的中点，故，可得. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）椭圆的焦点坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为 （       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（       ） A. 短轴长是3 B. 的周长为15 C. 离心率 D. 若，则的面积为9 6．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）（多选）设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（       ） A. 离心率 B. 的最小值为 C. 的大小可以是 D. 满足为等腰三角形的点有个 10．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 12．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知，两点的坐标分别是，，是椭圆上一点，若为直角三角形，则满足条件的点的个数为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 14．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（       ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 15．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）（多选）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（     ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 17．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，点在圆：上.若椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，且的最小值为，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值为2 B. 椭圆上存在点，使得 C. 过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D. 过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 19．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知点，，是圆与轴的交点.若点满足：以为直径的圆与圆相切.则面积的最大值为（       ） A.  B. 4 C. 6 D. 8 20．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 点到点的距离的最大值为 C. 的外接圆半径的最小值为 D. 若直线过点，且椭圆上存在一点，使得，其中，则的取值范围为 21．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）（多选）设为椭圆的长轴的两个端点，为椭圆上与不重合的动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则下列结论中正确的是（       ） A. 直线的斜率之积为 B. 最大值为7 C. 存在点满足 D. 若的内心为的延长线交线段于点，则 22．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　 24．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　　　　. 25．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）设椭圆长轴的端点分别为，点为椭圆上异于的一点，若在中满足，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为　　　　　． 27．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 28．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为　　　　　　． 29．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　 32．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 33．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求的方程． （2）设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． （3）若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 35．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过的直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值； 36．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，的周长为8，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点到椭圆上点的距离的最大值； （3）设，试判断是否为定值？请说明理由． 37．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 38．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知直线，. （1）求与的交点的轨迹的方程； （2）过作动直线与轨迹交于、两点，若为的中点，与直线相交于点，求证：为定值. （3）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在（1）、（2）的前提下，求的最小值（其中为坐标原点）. 39．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知，分别为椭圆的左，右焦点. （1）设过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）经过右焦点的直线，分别与椭圆交于点，和点，，且它们的斜率乘积为，，分别是线段和的中点. （i）证明：直线和的斜率乘积为定值； （ii）求面积的最大值. 40．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于两点，求证：为定值； （3）记为轨迹上顶点，过点作相互垂直的两条直线分别与轨迹相交于两点.设直线的斜率为且，若，求的值. 41．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为　　　　　　. 42．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求直线的斜率； （ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 43．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆：的长半轴长等于焦距，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形面积的取值范围. 44．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，. （1）证明：直线的方程为； （2）求的取值范围（用表示）； （3）若点的坐标为，求. （附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出椭圆的两个焦点及短轴的两个端点，然后依椭圆的标准方程可得答案. 【详解】 椭圆方程 ， 因此焦点为  和 ， 短轴的两个端点为   和 ， 由题意知：所求椭圆的四个顶点为：、、、， 这些点位于坐标轴上，因此新椭圆的方程应为标准形式，且长轴和短轴沿坐标轴， 因此所求椭圆方程为 ：. 故选：A 2．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）椭圆的焦点坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先判断焦点所在位置，再根据的关系求，可确定焦点坐标. 【详解】 由得椭圆的焦点在轴上， 且，，所以，又，所以. 所以椭圆的焦点坐标. 故选：A 3．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据焦点在轴上的椭圆列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】 若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义，即可求解三角形的周长. 【详解】 由椭圆的定义可得：， 的周长为：． 故选：B． 5．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（       ） A. 短轴长是3 B. 的周长为15 C. 离心率 D. 若，则的面积为9 【答案】CD 【分析】 根据短轴长的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D. 【详解】 A，由，可得，，所以椭圆的短轴长为，故A不正确； B，的周长为，故B不正确. C，离心率，故C正确； D，，， 又因为，所以， 即，解得, 所以，故D正确. 故选：CD 6．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】 令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 7．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】 由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B 9．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）（多选）设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（       ） A. 离心率 B. 的最小值为 C. 的大小可以是 D. 满足为等腰三角形的点有个 【答案】ACD 【分析】 由椭圆的几何性质分别判断即可. 【详解】 由椭圆方程知：，，； 对于A，离心率，A正确； 对于B，为椭圆左焦点，，B错误； 对于C，当为椭圆上下顶点时，，， ，， 则当在椭圆上运动时，，则大小可以是，C正确； 对于D，当为椭圆上下顶点时，，满足为等腰三角形； ，即， 能成立，根据椭圆对称性知：此时有点满足题意； 同理可知：时，有点满足题意； 满足为等腰三角形的点有个，D正确. 故选：ACD 10．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将问题转化为求的最小值，利用对称性即可求解. 【详解】 因为椭圆焦点为、， 所以焦距，即，离心率，因此求的最大值等价于求的最小值， 因为是椭圆上任意点，所以， 因此的最小值对应的最小值点在直线上， 直线与两焦点、同侧，取关于直线的对称点， 所以线段的中点在直线上，故，即； 直线与直线垂直斜率乘积为，故，即， 联立得，，即， 当、、共线时，最小，最小值为， ， 因此的最小值为，即， 代入离心率公式得：． 故选：D． 11．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】 根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答． 【详解】 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 显然，则，离心率，B正确； 当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确. 故选：BCD 12．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【详解】 如图，作出符合题意的图形， ，设，则，， 过的直线与椭圆交于，两点， ，，，， ，在直角三角形中，由勾股定理得， 即，化简得， ，，在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 化简得，即. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知，两点的坐标分别是，，是椭圆上一点，若为直角三角形，则满足条件的点的个数为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 按的直角顶点位置分类，结合以原点为圆心，长为半径的圆与椭圆交点情况得答案. 【详解】 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 则点分别为椭圆的左右焦点， 当或是的直角顶点时，直线，直线与椭圆有4个交点， 此时符合条件的点有4个； 当点为的直角顶点时，， 此时以原点为圆心，1为半径的圆与椭圆有两个交点，即短轴端点，即点有2个， 所以满足条件的点的个数为6. 故选：C 14．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（       ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【分析】 根据椭圆的定义转化求解即可. 【详解】 由椭圆方程知：，左焦点， 设椭圆的右焦点为 由椭圆的定义知：， 所以周长为 因为，当且仅当三点共线时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即周长的最大值为. 故选：D 15．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得的最大值. 【详解】 设， ， 在三角形中，由余弦定理得： . 由于，所以的最大值为. 故选：A 16．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）（多选）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（     ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【答案】BC 【分析】 利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断D，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解C即可. 【详解】 对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A错误； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于D，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故D错误； 对于C，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故C正确． 故选：BC． 17．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，点在圆：上.若椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，且的最小值为，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得的值，利用椭圆的定义结合圆的几何性质，利用点共线的条件即可求解. 【详解】 由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，所以，即， 设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知， 所以， 所以，解得或5， 因为，所以，故,, ，当且仅当共线，且在之间时取等号， 故选：B 18．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值为2 B. 椭圆上存在点，使得 C. 过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D. 过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 A项，利用基本不等式可得；B项，设，由数量积坐标运算化简可得；C项，先对切线斜率不存在时分析，再设点斜式直线方程，联立椭圆方程，结合得到关于的方程，由韦达定理得斜率之积为即可；D项，按斜率是否存在讨论，利用弦长公式及韦达定理得到的函数表达式，求解函数值域进而由面积公式可得范围. 【详解】 A选项，由椭圆，可知， 则，， 则， 可得，当且仅当时取等号， 即当点位于短轴端点时，取最大值，故A正确； B选项，设椭圆上任一点，又，， 则，可得， 则， 故不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， ① 当时，则， 可知椭圆的两条切线恰好垂直，即；    ② 当时，则椭圆的两条切线都存在斜率， 可设过点的椭圆切线方程为， 联立 ，消得， 由直线与椭圆相切， ， 化简得，则此关于的方程有两根，设为， 则， 由即为两切线的斜率，所以， 综合① ② 可知，，故C正确；    D选项，当切线的斜率不存在时，切线方程为， 联立 ，解得，故此时；    当切线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆的圆心，半径， 则由直线与圆相切可得， 圆心到直线的距离，即， 联立 ，消得， 由，化简得， 由韦达定理得，. 则 ， 由得代入上式可得 ， 设，， 则 ，由，可得， 当，即时，最大，最大值为； 当，即时，最小，最小值为； 综上所述，的范围为. 又由， 故面积的取值范围为，故D正确；    故选：ACD. 19．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知点，，是圆与轴的交点.若点满足：以为直径的圆与圆相切.则面积的最大值为（       ） A.  B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 显然点在圆内，由以为直径的圆与圆相切，得两圆内切， 设以为直径的圆的圆心为，，为中点，则为的中位线， 因此，即有， 于是点的轨迹为以为左右焦点，长轴长为6的椭圆，该椭圆短半轴长， 又，所以当且仅当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，最大值为. 故选：C 20．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 点到点的距离的最大值为 C. 的外接圆半径的最小值为 D. 若直线过点，且椭圆上存在一点，使得，其中，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据椭圆的方程求得，进而判断A；设点，进而根据距离公式求的最大值即可判断B；根据正弦定理得，进而将问题转化为求取得最大值，再根据余弦定理解决焦点三角形的角的问题即可判定C；根据向量关系，结合韦达定理表示出，再求范围即可判断D. 【详解】 对于A：由椭圆的标准方程得，， 故，A选项正确； 对于B：设点，则，，即， 故， 所以，当时，有最大值，即有最大值.故B选项错误； 对于C：在中，由正弦定理，其中为外接圆半径， 所以，故要使的外接圆半径最小，则只需取得最大， 设点，则由椭圆的定义知， 所以，在中，由余弦定理 ， 由基本不等式，当且仅当时等号成立，， 所以，，故，即， 所以取得最大值时，，此时， 所以，的外接圆半径的最小值为，故C选项正确； 对于D：若直线过点，则，即直线， 因为椭圆上存在一点，使得， 故设，则， 因为点在椭圆上，所以， 因为点在椭圆上，则，， 所以， 由于，所以 联立方程 得，显然， 所以， 所以 ， 所以， 由于，， 所以的取值范围为，故D选项正确. 故选：ACD 21．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）（多选）设为椭圆的长轴的两个端点，为椭圆上与不重合的动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则下列结论中正确的是（       ） A. 直线的斜率之积为 B. 最大值为7 C. 存在点满足 D. 若的内心为的延长线交线段于点，则 【答案】ABD 【分析】 设则，分别表示出和，计算化简，A正确，由椭圆定义得到，从而，当点在的延长线上时取得最大值，从而取得最大值，B正确；由圆的性质判断点的轨迹，圆和椭圆没有交点，C错误；在和中分别利用角平分线性质定理，得到，D正确. 【详解】 由椭圆知，，， A选项，因为为长轴的两个端点，所以， 设，，则， ， ，A正确； B选项，因为点是椭圆上一点，所以，所以， ，    是椭圆内一点，，当且仅当点在的延长线上，即在时等号成立， 因为，的最大值为， 的最大值为，B正确； C选项，若点满足，则点落在以为直径，即以原点为圆心，为半径的圆上，    因为，所以圆与椭圆没有交点，所以不存在，C错误； D选项，内心是角平分线的交点，由角平分线性质定理，    在中，因为是的角平分线，所以， 在中，因为是的角平分线，所以， 所以，D正确； 故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用已知求得，利用余弦定理可求得，结合，可得是方程的两根，利用判别式可求解. 【详解】 和分别是向量和的单位向量， 因为，所以，又， 所以，所以， 因为为椭圆上的任意一点，有， 设，，则， 在三角形中，，且夹角. 由余弦定理：，即： 又， 所以，解得， 又，所以是方程的两根， 所以，所以，又因为， 所以，所以，所以，又， 所以的取值范围是. 故选：A. 23．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据椭圆的相关概念，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】 设，， 则，且， 所以. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意得到 ，求解即可. 【详解】 因为表示椭圆， 所以 ，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 25．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）设椭圆长轴的端点分别为，点为椭圆上异于的一点，若在中满足，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据以及两角和的正切公式，可得，这可看成是直线斜率相乘为 ，然后根据两点间斜率公式以及椭圆方程，即可求解. 【详解】 由可得 所以 设， 所以 故 故答案为： 26．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】 由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：. 27．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） ，， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即   ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点.      【分析】 （1）根据离心率公式，可得，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可求得答案. （2）分析可得直线l斜率存在，设方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得、表达式，代入弦长公式，可得表达式，再求得O到直线MN的距离，代入面积公式，结合m的范围，即可得答案. （3）由，可得，将直线方程代入，结合韦达定理，化简可得或，分别讨论，分析检验，即可得答案. (1) 小问详解： 由题意得： ，解得 ，椭圆方程为： (2) 小问详解： 因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则 ，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，则，，再根据关于x轴对称，关于轴对称，可求得，再由在椭圆上，构造出的齐次式即可得解. 【详解】 设，则，， 由题知关于x轴对称，关于轴对称， 所以，，即，， 所以， 所以 ，即， 所以，即， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 29．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点最短弦长为通径求出最小值. 【详解】 由椭圆的对称性可知． 设点，．所以， 想求的最小值，只需求的最小值， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径：， 故的最小值为3. 故答案为：3. 30．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 易知点在椭圆外，根据椭圆的定义可知，即可得解. 【详解】    如图所示，设椭圆的右焦点为， 由椭圆， 得，，，则， ， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 且， 即的最大值为. 故答案为：13 31．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用椭圆对称性求出，由椭圆的定义求出，进而求出，即可求出椭圆的方程． 【详解】 由题意知，，轴，故， 又，由，解得， ，所以， 从而， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 32．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 33．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件，求出点的轨迹方程，再利用三角换元，即可求解. 【详解】 因为，由题有， 整理得到， 令， 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 34．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求的方程． （2）设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． （3）若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存在； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时.      【分析】 （1）根据题意可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）设平行于直线的直线的方程为，分析可知当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，进而运算求解； （3）设，可得过的直线：，联立方程可得韦达定理，结合向量的数量积可得，代入整理可得，进而分析求解. (1) 小问详解： 由题意得：，即， 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意可知：， 则，直线的斜率， 则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大， 联立方程 ，消去y得， 则，解得：， 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 所以面积的最大值为. (3) 小问详解： 假设直线上存在点，使得平分， 因为，可知点在椭圆内，则过的直线与椭圆必相交， 过的直线：，设，， 联立方程 ，消去y可得， 则，， 若，则， 设， 则，，， 可得， ， 则，即， 整理得：， 可得， 整理可得，即， 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存在； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时. 35．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过的直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值； 【答案】（1） 当时，，，由椭圆的对称性可知性质成立 当时，，，， 因为点在椭圆上， 所以，， 设与直线，的夹角分别为，， 则. 同理，，，∴． 该性质成立.     （2） 当时，面积的最大值为 当时，面积的最大值为．      【分析】 （1）考虑点为椭圆左右顶点时，性质显然成立；当，分别写出，，，由题意写出椭圆在点出切线方程，由题中公式求出与直线，的夹角的正切值，从而证明结论； （2）设直线方程代入曲线方程，消元后整理为一元二次方程，由韦达定理表示出，令，当时，利用基本不等式求出的最大值，从而求得的面积的最大值；当时，由双勾函数的性质得到的最大值，从而求得的面积的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，，， 将代入得， 则，， ， 令，则，． 当时，，当且仅当，即时取等号， 得，的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为 当时，面积的最大值为． 36．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，的周长为8，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点到椭圆上点的距离的最大值； （3）设，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）是，为定值．      【分析】 （1）根据椭圆的焦点三角形求出 的值，再由离心率求出 ，即得椭圆的标准方程； （2）法1：设，利用两点之间距离公式化简计算，根据二次函数的图象性质即可求得答案；法2：设，计算，结合正弦函数的值域和二次函数的性质即可求得； （3）设直线的方程，与椭圆方程联立，设，写出韦达定理，由代入坐标计算推得，，计算并化简，即可得到为定值. (1) 小问详解： 由题意的周长为，解得， 又由可得 ，则， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： 法1：设是椭圆上任意一点，则满足，， ， 因，则函数在时取得最大值为， 故的最大值是． 法2：设是椭圆上任意一点， ， 设，则，函数在上单调递减， 故当时函数取得最大值，此时的最大值是． (3) 小问详解： 由题意，得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 联立 ，消去，整理得， ，设， 则， 又，则， 由得，所以，同理得， 所以 ， 所以为定值． 37．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程； （2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为，半径为. 由圆方程知圆心，半径， 由圆方程知圆心，半径， 由圆与圆外切可知由圆与圆内切，可知， 故， 由椭圆定义可知，圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆(除去点)， 其中，且，即， 又， 故轨迹方程为； (2) 小问详解： 由题知圆心，半径为， 设且满足，则， ， 又，故，. 38．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知直线，. （1）求与的交点的轨迹的方程； （2）过作动直线与轨迹交于、两点，若为的中点，与直线相交于点，求证：为定值. （3）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在（1）、（2）的前提下，求的最小值（其中为坐标原点）. 【答案】（1）；     （2） 法一：连接，如图19－2所示，由垂径定理得， 所以， 设，由在上，则， 所以， 所以定值. 法二：① 当直线的斜率不存在时，， 此时，，则. ② 当的斜率存在时，设，，， 联立 得， 由韦达定理得，则中点， 联立 ，解得， 故， 综上所述，.     （3）.      【分析】 （1）根据题意，可得直线过定点，直线过定点，且， 所以与的交点的轨迹为以为直径的圆，根据几何关系即可确定圆心和半径，即可得到轨迹的方程； （2）法一：连接，可得，设，代入求解即可； 法二：通过对直线的斜率是否存在进行分类，分别求得点的坐标，代入求解即可； （3）法一：设定点使得，可得，又在阿氏圆上，所以，结合几何关系即可求得的最小值； 法二：设定点使得，结合阿氏圆的几何性质，可求得，结合几何关系即可求得的最小值； (1) 小问详解： 由题意，直线，， 所以直线过定点，直线过定点，且， 易知直线的斜率存在， 所以与的交点的轨迹为以为直径的圆，（除去点）. 其中圆心为，半径为，如图19－1所示， 所以的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 法一：设定点使得， 则满足，化简整理得：. 因为在阿氏圆上，所以，即， 所以 （当且仅当、、共线，且在、之间时取等）. 法二：设定点使得， 设圆与直线交于、， 则为的外角平分线与的交点、为内平分线与的交点，图19－3所示 由阿氏圆的性质：， 所以，即， 所以 （当且仅当、、共线，且在、之间时时取等）. 39．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知，分别为椭圆的左，右焦点. （1）设过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）经过右焦点的直线，分别与椭圆交于点，和点，，且它们的斜率乘积为，，分别是线段和的中点. （i）证明：直线和的斜率乘积为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）或     （2） （i）设斜率为，则的斜率为，，， 联立 消得， 结合韦达定理和中点坐标公式得，所以. ，联立 消得， 结合韦达定理和中点坐标公式得，所以. 故为定值. （ii）      【分析】 （1）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由垂直，即，最后代入即可求解； （2）（i）设，，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，计算得到定值； （ii）由（i）得直线的方程，再求点到直线的距离为，计算，，结合基本不等式得到三角形的最值. (1) 小问详解： 由椭圆方程可知：，，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，，联立 ， 消去得， 所以，即. 且，因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）得，，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 因为， 所以 所以 令，则（时，只需考虑的情况） 对于，所以， 根据基本不等式，当且仅当，即时取等号 所以，进而. 从而得到面积的最大值为. 40．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于两点，求证：为定值； （3）记为轨迹上顶点，过点作相互垂直的两条直线分别与轨迹相交于两点.设直线的斜率为且，若，求的值. 【答案】（1）     （2） 设， 由 ，消得到，由，解得, 此时， 又， 则， 所以为定值.     （3）或或      【分析】 （1）根据条件建立方程，化简即可求解； （2）设，联立直线与椭圆方程，利用根与系间的关系得，再利用两点间的距离公式，得，即可求解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，求出，结合条件，即可求解. (1) 小问详解： 由题有，化简得到， 即，所以动点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 易知两条直线的斜率存在且不为，设， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由 ，消得到，解得或， 所以，同理可得， 又， 同理可得， 由题可得，整理得到， 即，解得或或， 又，所以的值或或. 41．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为　　　　　　. 【答案】.25 【分析】 利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】 设椭圆，则． 设椭圆，，则． 设，由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则，， 当时，取得最大值， 故答案为：． 42．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求直线的斜率； （ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在，      【分析】 （1）由题意可得 ，解出即可得； （2）（ⅰ）由可得，代入椭圆方程则可得，从而可得点坐标，再利用两点间斜率公式计算即可得；（ⅱ）可猜想，使得平分，设，则可计算出点坐标，再分斜率存在与否，得到，最后利用相似三角形的性质可得点符合要求，即可得. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得 ，则， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： （ⅰ）由，且，，三点共线，则， 则，解得，又，则， 由，则直线，即， 令，则，故，又，则直线； （ⅱ）设直线与轴的交点为，由（ⅰ）猜想平分， 由直线不与轴重合，可设，， 联立 ，消去得， 则，即， 将直线的方程与直线联立，则，则， ① 当斜率不存在时，由（ⅰ）得； ② 当斜率存在时，，则， 又，故； 由，得，则， 设点关于直线的对称点为，则，则， 由，则， 又，故，则， 故轴上存在定点，使得. 43．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知椭圆：的长半轴长等于焦距，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意可得 ，解方程即可求解； （2）不妨设直线：，，，联立方程由韦达定理可得： ，化简四边形的面积，结合不等式即可求解. (1) 小问详解： 由椭圆的长半轴长等于焦距，且过点， 得 ,又，解得 ， 则椭圆的方程为； (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，四边形显然不存在. 不妨设直线，，， 将直线方程与椭圆联立，得， 显然恒成立，则 ，且，异号. 则四边形的面积， 令，四边形的面积可化为. ∵函数在上单调递增，则， ∴四边形的面积的取值范围为. 44．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题得到、关于原点对称，设出P、两点坐标，再由和的斜率之差和夹角条件求出P点坐标，再将P点坐标代入椭圆方程，即可求解离心率. 【详解】 因为为椭圆的上顶点，所以设 . 又因为点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，所以根据椭圆的对称性得到、关于原点对称. 所以设 ，，所以直线和的斜率分别为 ，； 由直线和的斜率之差为，得，得； 因为，由，即，得到， 因为在椭圆上，所以，即，得到， 椭圆的离心率  因此，椭圆的离心率为. 故答案为：. 45．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，. （1）证明：直线的方程为； （2）求的取值范围（用表示）； （3）若点的坐标为，求. （附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） 【答案】（1） 设， 椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为， 因为切线与相交于点， 所以，且， 说明均在直线上， 所以直线的方程为.     （2）     （3）1      【分析】 （1）设，由题中结论求得切线，的方程，由与相交于点，可得均在直线上，即可得出直线的方程； （2）由条件求得，根据在椭圆上及确定范围即可； （3）联立，的方程，可得，分别联立直线，与椭圆的方程，利用韦达定理求得，，代入可求得，所以点的横坐标，所以，，即可求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，，， 可得，所以， 又在椭圆上， 则，得， 因此， 因为，所以，则， 所以， 即的取值范围是. (3) 小问详解： 的方程为，的方程为， 联立 ，可得 ，即， 点的坐标为，则， 直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 联立 ，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 联立 ，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 又，， 所以 ， 所以点的横坐标，所以， 又为线段的中点，故，可得. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $