专题04 直线和圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

专题04 直线和圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（       ） A.  B. 1 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且， 由圆的圆心为， 圆心到的距离为， 圆心到：的距离为， 所以，整理得到， 由，所以． 故选：D． 2．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B.  C.  D. 5 【答案】D 【分析】 分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，结合圆与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 3．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 利用等面积法，而当时，取得最小值，由此计算可得结论. 【详解】 由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，，， ，要使得最小，只要最小，由切线长公式知，只要最小. 当时，，此时, 所以的最小值是， 故选：C. C 4．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，将问题转化为圆心到直线为1求解. 【详解】 圆的圆心，半径， 由圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 得圆心到直线为1，则，而， 所以. 故选：B 5．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（       ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 【答案】BD 【分析】 先求得三角形的“欧拉线”，根据“欧拉线”与圆相切求得，根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、斜率的范围、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，， 的中点坐标为，则的垂直平分线方程为， 即“欧拉线”为. 由“欧拉线”与圆相切， 到直线的距离， 则圆的方程为：， 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误； 圆心到直线的距离为， 圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确； 的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得的最小值是，故C错误； 的圆心坐标，半径为， 圆的的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确. 故选：BD 6．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形， 则圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式可得，解得， 故选：D. 7．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解. 【详解】 设关于直线对称的点的坐标为， 则 ，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 8．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）（多选）已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C. 当∠PAB最大时，△PAB的面积为 D. △PAB的面积的最大值为 【答案】BD 【分析】 由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答. 【详解】 显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2， 直线方程为，圆心在直线上，    对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A不正确； 对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得， 因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确； 对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时， ，，C错误； 对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确. 故选：BD 9．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（     ） A. . B.  C. . D.  【答案】B 【分析】 由题知圆与圆的位置关系为相交，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】 由题，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有两条公切线， 所以圆与圆的位置关系为相交， 所以，即 所以，即，解得或 所以实数的取值范围为 故选：B 10．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）（多选）设直线，，圆，则下列说法正确的有（     ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 必与圆相交 D. 若与圆交于，，则弦长的最小值为4 【答案】BCD 【分析】 对AB用两条直线平行垂直的条件判断可得，对CD可通过直线过定点及弦长公式可得. 【详解】 对于A：由且的斜率为，得 ，化简 ，解得，故A错误； 对于B：由，得，解得，所以B正确； 对于C：，即，令 ， 解得，所以直线过定点，且， 所以定点M在圆内，所以直线必与圆相交，所以C正确； 对于D：由上可知直线过定点，且定点M在圆内， 所以当时，圆心距； 当不垂直时，圆心距，所以， 所以弦长，所以D正确. 故选：BCD. 11．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）若满足，则的最小值为 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意得方程表示圆心为、半径为的右半圆，然后结合截距的概念，利用直线与半圆的位置关系数形结合求解即可. 【详解】 由题意，方程需满足， 将方程平方整理得，即圆心为、半径为的右半圆， 令，即，所以为直线在轴上的截距， 当直线过右半圆上顶点时，直线在轴上的截距最大，此时最小， 所以的最小值为． 故选：B 12．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）已知圆：与圆：恰有3条公切线，则实数的值为（） A. 10 B.  C. 14或 D. 10或 【答案】C 【分析】 根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可 【详解】 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∵圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或， 故选：C 13．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】 变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 14．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）（多选）已知为圆：的直径，直线：与轴交于点，则（     ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒有公共点 C. 面积的最大值为4 D. 直线被圆截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】 P是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项. 【详解】 直线：过定点，A选项正确； 直线与x轴交于点P，， 且P在圆内部， 所以l与C恒有公共点，B正确； P到AB的最大距离，即到圆心的距离为2， ，故C错误； l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大， 且此距离为P到圆心的距离为2，故弦长为，故D正确. 故选：ABD 15．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（     ） A. 存在实数，使得直线与圆相切 B. 当时，直线被圆截得的弦长为 C. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再结合各选项一一判断即可. 【详解】 圆，即， 所以圆心，半径； 对于A：圆心到直线的距离， 令，解得或， 所以当或时直线与圆相切，故A正确； 对于B：当时，则直线被圆截得的弦长为，故B错误； 对于C：当时，即圆心到直线的距离为，又圆的半径， 所以圆上到直线的距离为的点有个，故C正确； 对于D：若直线与圆相交，则，解得， 即实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 16．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知是圆上任意一点，若是定值，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用点到直线的距离公式将问题转化为点到直线和的距离之和的5倍，再根据直线与圆的位置关系得出. 【详解】 由题得 其中，和分别表示点到直线和的距离， 因是定值，则此圆夹在两直线和之间， 如图： 所以 ，得， 则实数的取值范围是. 故选：A 17．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得． 【详解】 圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 18．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 由题意，圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解． 【详解】 由圆可得圆心，半径， ∵为正三角形，边长为， ∴圆心到直线的距离为， 即，解得． 故选：D． 19．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【分析】 设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误. 【详解】 由得：，可设，； 对于A，， 当时，，A正确； 对于B，， 当时，；B正确； 对于C，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：， ，，C错误； 对于D，， 当时，，D错误. 故选：AB. 【点睛】 关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解. 20．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知点及圆，点 ，在圆上，若，则的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】如图所示，当四边形为正方形且时，取得最小值或最大值，求出的坐标即可得出答案． 【详解】 如图所示， 当四边形为正方形且时，取得最小值或最大值． 由图可知所在直线斜率，则方程为， 则与圆的两个交点分别为、， ， 解得，， 所以，，，， 则的最小值为：，最大值为：， 所以的取值范围为，． 故选：A． 【点睛】 解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM的方程，进而可求得M点坐标，即可求得答案，考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题． 21．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）（多选）已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】ABC 【分析】 由给定条件可得两圆相交，进而求出的范围即可. 【详解】 圆：的圆心，半径；圆：的圆心，半径， 则，由圆与圆有且仅有两条公共切线，得圆与圆相交， 因此，选项中符合题意. 故选：ABC 22．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由有，即曲线表示以为圆心，半径为的半圆，设与直线平行的直线为，由直线上的点到直线的距离为，解出，作出图象，利用数形结合即可求解. 【详解】 由有，所以曲线表示以为圆心，半径为的半圆. 又直线，圆心到直线上的距离为：， 所以设与直线平行的直线为，使得直线到直线的距离为， 所以，解得，所以， 由圆心到直线的距离为： ，所以直线与曲线相交， 圆心到直线的距离为： ， 所以直线与曲线相交， 作出图象： 由图可知，曲线上有个点到直线的距离为， 故选：C. 23．（25-26学年高二上·湖北·期中）（多选）已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（     ） A. 直线与圆没有交点 B. 与直线平行且截圆的弦长为的直线为 C. 若点为圆上的动点，则的最小值为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为 【答案】AD 【分析】 求出圆心到直线的距离可判断A；设与直线平行直线方程为，根据圆的弦长公式可求出c，判断B；结合圆的性质可求的最小值判断C；结合圆的切线性质可求出的最大值，判断D. 【详解】 A选项，由题意知圆C的方程为，圆心为，半径为1， 直线l的方程为， 则圆心到的距离为， 故直线与圆相离，A正确； B选项，设与直线平行直线方程为， 则圆心到的距离为， 直线截圆的弦长为，得，解得， 故，解得或， 故与直线平行且截圆的弦长为的直线为或，B错误； C选项，由A知直线与圆相离，故圆心到直线的距离减去半径为的最小值， 由A可知，圆心到直线的距离为，故的最小值为，C错误； D选项，如图，, 由题意可知，与相互垂直，因为， ，所以求出的最大值，则求的最小值， 当时，取得最小值，取得最大值，最大值为， 因为为锐角，所以的最大值为的最大值为，D正确， 故选：AD 24．（25-26学年高二上·湖北·期中）若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得方程有且仅有两个不同的实数根，将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况. 【详解】 关于的方程有且仅有两个不同的实数根， 所以，即方程有且仅有两个不同的实数根， 将方程转化为：半圆与直线有两个不同交点， 当直线与半圆相切时，有，解得， 所以半圆与直线有两个不同交点时. 直线一定过， 由图象知直线过时直线的斜率取最大值为1， . 故选：A 25．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）（多选）已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（     ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有一个 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出，即可判断A，设求出切点弦的方程，从而求出定点坐标，即可判断B，求出以为直径的圆的方程，再判断圆与圆Q的位置关系，即可判断C，设此时满足，则从而求出最小值，即可判断D. 【详解】 圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A正确； 设，则的中点为，， 以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得，即， 由 ，解得 ，因此直线过定点，故B正确； 对于直线，令，则，即， 令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为，又， 则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C错误； 因为，，设，，则， 则，即 又，，所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确.    故选：ABD 26．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，、，点满足.设点的轨迹为，则下列说法正确的是（       ） A. 轨迹的方程为 B. 若，则的最小值为 C. 当轨迹上恰有三个不同的点到直线的距离为3时， D. 在上不存在点，使得 【答案】ABD 【分析】 根据阿波罗尼斯圆的定义与方程结合直线与圆的位置关系、三角形面积最大值的计算对选项逐个分析. 【详解】 设，P不与A、B重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示，    对于A：由曲线的方程为，所以A正确； 对于B：设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最小值为，所以B正确； 对于C：圆上恰有三个不同的点到直线距离为， 需圆心到直线距离（且， 圆心到直线的距离：时，直线， 圆上到距离为3的点有三个（相切1个，相交2个）， 故也满足，所以C错误； 对于D：设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，所以D正确. 故选：ABD 27．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 直线经过定点 B. 圆上的点到直线的距离的最大值为 C. 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则这样的直线有2条 D. 若，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则中点到点的距离的最小值为 【答案】AB 【分析】 整理直线的方程，列出方程组可求直线经过定点，即可判断A；圆上的点到直线的距离的最大值为，即可判断B；由题意，到直线的距离等于3，利用点到直线的距离求解可判断C；设直线上一点，点在以为直径的圆上，与圆相减可得方程，可得直线经过定点，点轨迹是以为直径的圆（点除外），其半径为，根据圆的性质求解中点到点的距离的范围，即可判断D． 【详解】 直线，整理得， 由 ，解得 ，即直线经过定点，故A正确； 圆的圆心，半径为2， 点到直线的距离的最大值为，此时， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为，故B正确； 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则到直线的距离等于3， 所以，解得， 则满足条件的直线只有1条，故C错误； 若，则直线， 设直线上一点，所以， 因为分别为过点所作的圆的两条切线，所以， 所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 整理可得：， 与已知圆相减可得， 又，消去可得，即， 即直线的方程为， 由 ，可得 ，所以直线经过定点， 设的中点为，则， 故点轨迹是以为直径的圆（点除外）， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 设点，则， 从而点在圆外， 则中点到点的距离， 当且仅当点与重合时取等号， 由于点轨迹是以为直径的圆（点除外），所以等号取不到， 故，故D错误． 故选：AB. 28．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】 将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 29．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）（多选）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（       ） A. 点的轨迹的方程是： B. 点的轨迹关于直线对称的圆的方程为 C. 已知点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则直线CD的方程为 D. 已知点为坐标原点，若点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为E，F，则四边形OEMF面积的最小值是 【答案】ACD 【分析】 根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】 设，又，，所以， 所以，所以， 整理得，故选项A正确； 由，可得圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则：的中点为，所以 解得且， 因此，对称圆的圆心为，所以对称圆的方程为，故B错误； 因为，所以，点在圆外，可以作两条切线。 又， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 即，两圆方程相减得， 整理得，故选项C正确； 的方程为，圆心，半径. 因为， 又，所以， 的最小值是点到直线l的距离：， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 30．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（       ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 【答案】ABD 【详解】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证. 【详解】 因为，，点满足， 设点，则 ， 化简得：，即 ，故A正确； 因为，所以，则 ，解得 ，故B正确； 易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误； 假设存在异于，的两点，，则， 化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以 解得 或 （舍去），故存在 ，故D正确； 故选：ABD 【点睛】 关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解. 31．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 【答案】（1）     （2）；      【分析】 （1）由为直径求出圆心与半径，即可得到圆的方程； （2）先判断点在圆上，由求出直线的斜率，从而求得直线方程，再求点，利用即可求出的面积. (1) 小问详解： 因为，，所以中点为，， 又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意，圆的圆心到点的距离为， 故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，， 则，故切线方程为，即， 令，解得，则得， 故. 32．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】 由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 33．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作出圆关于对称的圆，数形结合得到三点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最小， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，其最小值为． 故答案为： 34．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆：. （1）过点M作圆C的切线，求切线的方程； （2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长. 【答案】（1）或     （2）相交，      【分析】 （1）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可求得切线方程； （2）由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系，进一步利用弦长公式可求得弦长的值. (1) 小问详解： 解：很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离， 满足题意时有：，解得：， 则此时的直线方程为：，即， 综上可得，直线方程为：或. (2) 小问详解： 解：圆心到直线的距离：， 则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：. 35．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）圆：与圆：的公共弦长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】 联立 ， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 36．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知的三个顶点分别是， （1）求的外接圆的标准方程． （2）过点作圆的切线，求的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的一般方程为，分别代入三点的坐标，解方程可得参数的值，从而得到圆的一般方程，变形可得其标准方程； （2）讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得直线的方程. (1) 小问详解： 设外接圆方程为 将代入得 则圆的一般方程为 整理得. 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以点在圆外. 当的斜率存在时，设，即 圆心，半径.圆心到切线的距离 解得：，此时切线 当切线的斜率不存在时，切线方程为，与圆相切. 综合得，的方程为：或. 37．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】 思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 38．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）或．     （2）或      【分析】 （1）根据直线与圆相切，进行求解； （2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可. (1) 小问详解： 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 又圆的半径为， 则圆心 到直线的距离为，解得． 故直线的方程为，即． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为也成立, 故所求直线的方程为或； (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，，结合（1）知直线和圆相切，不合题意， 故可知直线的斜率存在，故可设直线的方程为， 则圆心到直线的距离为， 则，即， 解得或． 故所求直线的方程为或 39．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知点，线段长度为，经过点且与两坐标轴的截距都相等的直线与线段始终有交点，则点的轨迹长度为　　　　　. 【答案】 【分析】 先写出直线方程，再应用直线和圆位置关系得出的轨迹是，应用弧长公式计算求解. 【详解】 过点且与两坐标轴的截距都相等的直线，直线的方程为， 点B在以A为圆心，为半径的圆上， 因直线与线段有交点，故点与点在直线的两侧或其中一点在直线上， 设直线与圆的交点为M、N，则的轨迹是劣弧， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以，点的轨迹长度为. 故答案为：. 40．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知，是圆与轴的交点，为直线上的动点，为上的动点.    （1）判断圆与圆的公切线条数，并说明理由； （2）如图1：过点作圆的切线，切点为，，当最小时，求直线的方程； （3）如图2：，与圆的另一个交点分别为，.直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） 3条公切线；理由如下： 圆的圆心为半径为，圆圆心，半径为， 圆心距为，半径和半径为， ，两圆外切，故两圆有3条公切线.     （2）      （3） 过定点.      【分析】 （1）根据圆心间距离和半径和相等得出圆圆的位置关系进而得出公切线条数； （2）根据题意可得，又，则当取最小值时，最小，当直线时时，取得最小值，求出此时的切线方程，从而可求得切点坐标，即可得出答案； （3）设，求出直线的方程，然后求出两点的坐标，求出直线的方程，即可得出答案 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为直线，为圆的切线，所以，则， 又，所以， 则当取最小值时，最小，即直线时，取得最小值，即， 此时切线的斜率不存在，切线的方程为，    此时切线的斜率存在，切线的方程为， 一个切点坐标为，同理另一切点坐标为， 所以直线的方程为，即当最小时， 直线的方程为； (3) 小问详解： 证明：如图，，设， （i）当时，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立 ， 得，则，则， 同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为， 即，所以直线恒过定点.    （ii）当时，与点重合，与点重合，此时的直线方程，直线过. 综上所述：直线恒过定点. 41．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知圆与直线相切于坐标原点，且为圆与轴的一个交点. （1）求圆的方程； （2）求与圆相切且在坐标轴上截距相等的直线的方程. 【答案】（1）     （2）或或      【分析】 （1）先设圆标准方程，再根据条件列出方程，解方程组得结果； （2）由直线截距的概念，讨论两截距为0时和两截距不为0时，应用圆心到直线距离等于半径运算可得解. (1) 小问详解： 设圆C的标准方程为， 因为圆C过点，且圆与直线相切于坐标原点， 所以，，， 解得 ，半径. 所以圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 当直线过原点时，切线方程为， 则，所以，所以直线为； 当直线不过原点时，切线方程为， 则，所以，所以直线为或.. 所以切线的方程为或或. 42．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知圆 与圆 相外切. （1）求圆的标准方程； （2）若，求 的最小值； （3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在定点B，B的坐标为.      【分析】 （1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可 （2）将转化点到圆心 与圆心 的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可； （3）设，用式子表示， 分析得到取得定值即可. (1) 小问详解： 圆心 圆心 因为圆 与圆 相外切， 所以   即 解得 或    因为，所以 舍去，故 故圆的标准方程为 (2) 小问详解： 若，则点在直线上， 则 表示点到圆心 与圆心 的距离之和， 设如图关于直线对称点，     则 得 ，则点 数形结合易知，到圆心 与圆心 的距离之和的最小值等于   即 (3) 小问详解： 假设存在定点B，设， 则    当 即时， 为定值，且定值 ， 故存在定点B，且B的坐标为. 43．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）分析可知，点在圆外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上， 所以，即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为：； (2) 小问详解： 由（1）可得圆：， 则圆心，半径， 因为，则点在圆外， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在， 可设直线方程，即， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 可得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上，切线的方程为或； (3) 小问详解： 直线被圆截得的弦长为， 圆心到直线l的距离为， 又直线l的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 整理可得， 由，得， 即， 解得或， 因为，则，则，故， 当且仅当 时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为． 44．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. (1) 小问详解： ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得 , 解得 ,即圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ① 当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ② 当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 45．（25-26学年高二上·湖北·期中）已知圆与直线，动直线过定点. （1）求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）直线为，相离；     （2）是，.      【分析】 （1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. (1) 小问详解： 点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离； (2) 小问详解： 由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由 ，消去得， 所以，则， ，则， ， 由 ，得 ，则， ， ， 为定值. 46．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点． （ⅰ）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2）（ⅰ）7；（ⅱ）是，交点在定直线上      【分析】 （1）设，，由中点坐标公式可得 ，代入即可求解； （2）（ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，可得直线的方程，求弦长 ，，即可求解； （ⅱ）设直线的方程，与圆的方程联立，由韦达定理可得，联立直线与直线的方程，结合即可求解. (1) 小问详解： 设，，因为点在圆上，所以① ， 因为为中点，所以 ，整理得 ， 代入① 式中，得，整理得， 所以曲线的方程为； (2) 小问详解： （ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，即， 则直线方程为， 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为； （ⅱ）设直线的方程为，即， 设，， 联立 ，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 故直线与直线的交点在定直线上. 【点睛】 方法点睛：求动点轨迹的方法有：① 定义法：根据已知的曲线的定义判断； ② 直接法：当所求的动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”的步骤求轨迹方程即可；③ 代入法：有两个动点，，其中点的轨迹方程已知，同时两动点的坐标存在关系，设点的坐标为，，然后建立两坐标的关系式，代入的轨迹方程中即可；④ 参数法：动点的横纵坐标没有直接关系，但是都和某个参数存在某种关系，可以通过消参的思路得到横纵坐标之间的关系，即可得到轨迹方程. 47．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）①② 存在，      【分析】 （1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）① 利用代点法求出点的轨迹方程，② 在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. (1) 小问详解： 由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为， ∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得 所以，所以圆C的标准方程为； (2) 小问详解： ① 设，，则，， 由得： ，所以 D在圆C上运动， 整理可得点T的轨迹方程E为：    ② 当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立 化简可得， 方程的判别式 ， 设，，，则 ， 若x轴平分∠ANB，则，所以， 又，，所以， 所以， 所以 所以 解得， ∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 48．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： （1）若，，求A，B之间的余弦距离； （2）若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求出，，利用定义求解； （2）设，，根据定义求出，利用进行放缩，利用辅助角求解； （3）求出，，根据定义求出，令，整理得到，则问题转化为半圆与有公共点时的取值范围. (1) 小问详解： 由已知，， ； (2) 小问详解： 设，， 则， ， 又取，时， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 由已知有 ，， ， 令，则有， 问题等价于半圆与直线有公共点， 即半圆与有公共点时的取值范围. 由半圆方程得：，圆心，半径为3. 如图，当直线过点时，， 当直线与半圆相切时，由得：，. 分析知，取. 故半圆与有公共点时，， 于是，. 49．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）已知实数满足，，则的最大值是　　　　　　　　　　　、 【答案】 【分析】 根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值. 【详解】 设，所以是圆上两点，， 所以，记直线， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 设的中点为，过作的垂线，垂足为，如图所示， ， 所以表示的是两点到直线的距离之和的倍， 又，所以， 表示的是到直线的距离的倍， 由于是直角三角形，所以， 所以在圆上运动，圆心为，半径为， 所以到直线的距离最大值为， 又，所以的最大值是． 故答案为：． 50．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． （1）求面积的最小值； （2）设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 【答案】（1）12     （2）① ；②      【分析】 （1）设l：，再得到点A，B，表示出面积，再通过换元法求最值即可； （2）① 依据题意，再化简即可得到点的轨迹方程；② 设直线m：，n：，则为定值，即该圆在两平行直线m，n之间，结合直线与圆的位置关系求解即可． (1) 小问详解： 设l的直线方程为，则l与的交点为， l与的交点为， 又A，B纵坐标均为正数，∴ ∴． ∴． 令，则，， ∴．当且仅当，即时等号成立． 故面积的最小值为12． (2) 小问详解： （i）依题意有．化简得． 点M的轨迹方程为． （ii）设直线m：，n：， 点M到平行直线m，n的距离之和为 若为定值，则T为定值． 而点M轨迹是圆心为，半径为的圆，则该圆在两平行直线m，n之间． 又圆心到直线n的距离为． 圆心到直线m的距离为． ∴∴或． 直线m的纵截距为，直线m在圆的下方，结合图象有．． 则a的取值范围为． 或解：依题意，点M轨迹是圆心为，半径为的圆， 令，则有， ∴， 若为定值，即为定值， ∴恒成立， ∴，即． 51．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）将圆的方程整理得，由 ，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. (1) 小问详解： ， 整理得， 由 ，解得 或 ， 即动圆恒过两定点的坐标为或. (2) 小问详解： 由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. (3) 小问详解： 设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得 ， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件. 52．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）平面直角坐标系xOy中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程： （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1）     （2）和.     （3）      【分析】 （1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. (1) 小问详解： 过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. (2) 小问详解： 圆的圆心为，半径为3， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率为， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. (3) 小问详解： 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立 ，得， 设，则 ， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 53．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1），；     （2）（i）内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由 得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【分析】 （1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， (1) 小问详解： ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； (2) 小问详解： （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）略 【点睛】 方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线和圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．D 2．D 3．C 4．B 5．BD 6．D 7．A 8．BD 9．B 10．BCD 11．B 12．C 13．C 14．ABD 15．ACD 16．A 17．D 18．D 19．AB 20．A 21．ABC 22．C 23．AD 24．A 25．ABD 26．ABD 27．AB 28．C 29．ACD 30．ABD 31．【答案】（1）     （2）；      【分析】 （1）由为直径求出圆心与半径，即可得到圆的方程； （2）先判断点在圆上，由求出直线的斜率，从而求得直线方程，再求点，利用即可求出的面积. (1) 小问详解： 因为，，所以中点为，， 又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意，圆的圆心到点的距离为， 故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，， 则，故切线方程为，即， 令，解得，则得， 故. 32．【答案】 【分析】 将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】 由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 33．【答案】 【分析】 作出圆关于对称的圆，数形结合得到三点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最小， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，其最小值为． 故答案为： 34．【答案】（1）或     （2）相交，      【分析】 （1）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可求得切线方程； （2）由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系，进一步利用弦长公式可求得弦长的值. (1) 小问详解： 解：很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离， 满足题意时有：，解得：， 则此时的直线方程为：，即， 综上可得，直线方程为：或. (2) 小问详解： 解：圆心到直线的距离：， 则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：. 35．【答案】 【分析】 由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】 联立 ， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 36．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的一般方程为，分别代入三点的坐标，解方程可得参数的值，从而得到圆的一般方程，变形可得其标准方程； （2）讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得直线的方程. (1) 小问详解： 设外接圆方程为 将代入得 则圆的一般方程为 整理得. 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以点在圆外. 当的斜率存在时，设，即 圆心，半径.圆心到切线的距离 解得：，此时切线 当切线的斜率不存在时，切线方程为，与圆相切. 综合得，的方程为：或. 37．【答案】 【分析】 由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】 思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 38．【答案】（1）或．     （2）或      【分析】 （1）根据直线与圆相切，进行求解； （2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可. (1) 小问详解： 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 又圆的半径为， 则圆心 到直线的距离为，解得． 故直线的方程为，即． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为也成立, 故所求直线的方程为或； (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，，结合（1）知直线和圆相切，不合题意， 故可知直线的斜率存在，故可设直线的方程为， 则圆心到直线的距离为， 则，即， 解得或． 故所求直线的方程为或 39．【答案】 【分析】 先写出直线方程，再应用直线和圆位置关系得出的轨迹是，应用弧长公式计算求解. 【详解】 过点且与两坐标轴的截距都相等的直线，直线的方程为， 点B在以A为圆心，为半径的圆上， 因直线与线段有交点，故点与点在直线的两侧或其中一点在直线上， 设直线与圆的交点为M、N，则的轨迹是劣弧， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以，点的轨迹长度为. 故答案为：. 40．【答案】（1） 3条公切线；理由如下： 圆的圆心为半径为，圆圆心，半径为， 圆心距为，半径和半径为， ，两圆外切，故两圆有3条公切线.     （2）      （3） 过定点.      【分析】 （1）根据圆心间距离和半径和相等得出圆圆的位置关系进而得出公切线条数； （2）根据题意可得，又，则当取最小值时，最小，当直线时时，取得最小值，求出此时的切线方程，从而可求得切点坐标，即可得出答案； （3）设，求出直线的方程，然后求出两点的坐标，求出直线的方程，即可得出答案 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为直线，为圆的切线，所以，则， 又，所以， 则当取最小值时，最小，即直线时，取得最小值，即， 此时切线的斜率不存在，切线的方程为，    此时切线的斜率存在，切线的方程为， 一个切点坐标为，同理另一切点坐标为， 所以直线的方程为，即当最小时， 直线的方程为； (3) 小问详解： 证明：如图，，设， （i）当时，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立 ， 得，则，则， 同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为， 即，所以直线恒过定点.    （ii）当时，与点重合，与点重合，此时的直线方程，直线过. 综上所述：直线恒过定点. 41．【答案】（1）     （2）或或      【分析】 （1）先设圆标准方程，再根据条件列出方程，解方程组得结果； （2）由直线截距的概念，讨论两截距为0时和两截距不为0时，应用圆心到直线距离等于半径运算可得解. (1) 小问详解： 设圆C的标准方程为， 因为圆C过点，且圆与直线相切于坐标原点， 所以，，， 解得 ，半径. 所以圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 当直线过原点时，切线方程为， 则，所以，所以直线为； 当直线不过原点时，切线方程为， 则，所以，所以直线为或.. 所以切线的方程为或或. 42．【答案】（1）     （2）     （3）存在定点B，B的坐标为.      【分析】 （1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可 （2）将转化点到圆心 与圆心 的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可； （3）设，用式子表示， 分析得到取得定值即可. (1) 小问详解： 圆心 圆心 因为圆 与圆 相外切， 所以   即 解得 或    因为，所以 舍去，故 故圆的标准方程为 (2) 小问详解： 若，则点在直线上， 则 表示点到圆心 与圆心 的距离之和， 设如图关于直线对称点，     则 得 ，则点 数形结合易知，到圆心 与圆心 的距离之和的最小值等于   即 (3) 小问详解： 假设存在定点B，设， 则    当 即时， 为定值，且定值 ， 故存在定点B，且B的坐标为. 43．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）分析可知，点在圆外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上， 所以，即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为：； (2) 小问详解： 由（1）可得圆：， 则圆心，半径， 因为，则点在圆外， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在， 可设直线方程，即， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 可得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上，切线的方程为或； (3) 小问详解： 直线被圆截得的弦长为， 圆心到直线l的距离为， 又直线l的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 整理可得， 由，得， 即， 解得或， 因为，则，则，故， 当且仅当 时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为． 44．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. (1) 小问详解： ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得 , 解得 ,即圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ① 当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ② 当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 45．【答案】（1）直线为，相离；     （2）是，.      【分析】 （1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. (1) 小问详解： 点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离； (2) 小问详解： 由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由 ，消去得， 所以，则， ，则， ， 由 ，得 ，则， ， ， 为定值. 46．【答案】（1）     （2）（ⅰ）7；（ⅱ）是，交点在定直线上      【分析】 （1）设，，由中点坐标公式可得 ，代入即可求解； （2）（ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，可得直线的方程，求弦长 ，，即可求解； （ⅱ）设直线的方程，与圆的方程联立，由韦达定理可得，联立直线与直线的方程，结合即可求解. (1) 小问详解： 设，，因为点在圆上，所以① ， 因为为中点，所以 ，整理得 ， 代入① 式中，得，整理得， 所以曲线的方程为； (2) 小问详解： （ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，即， 则直线方程为， 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为； （ⅱ）设直线的方程为，即， 设，， 联立 ，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 故直线与直线的交点在定直线上. 【点睛】 方法点睛：求动点轨迹的方法有：① 定义法：根据已知的曲线的定义判断； ② 直接法：当所求的动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”的步骤求轨迹方程即可；③ 代入法：有两个动点，，其中点的轨迹方程已知，同时两动点的坐标存在关系，设点的坐标为，，然后建立两坐标的关系式，代入的轨迹方程中即可；④ 参数法：动点的横纵坐标没有直接关系，但是都和某个参数存在某种关系，可以通过消参的思路得到横纵坐标之间的关系，即可得到轨迹方程. 47．【答案】（1）     （2）①② 存在，      【分析】 （1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）① 利用代点法求出点的轨迹方程，② 在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. (1) 小问详解： 由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为， ∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得 所以，所以圆C的标准方程为； (2) 小问详解： ① 设，，则，， 由得： ，所以 D在圆C上运动， 整理可得点T的轨迹方程E为：    ② 当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立 化简可得， 方程的判别式 ， 设，，，则 ， 若x轴平分∠ANB，则，所以， 又，，所以， 所以， 所以 所以 解得， ∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 48．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求出，，利用定义求解； （2）设，，根据定义求出，利用进行放缩，利用辅助角求解； （3）求出，，根据定义求出，令，整理得到，则问题转化为半圆与有公共点时的取值范围. (1) 小问详解： 由已知，， ； (2) 小问详解： 设，， 则， ， 又取，时， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 由已知有 ，， ， 令，则有， 问题等价于半圆与直线有公共点， 即半圆与有公共点时的取值范围. 由半圆方程得：，圆心，半径为3. 如图，当直线过点时，， 当直线与半圆相切时，由得：，. 分析知，取. 故半圆与有公共点时，， 于是，. 49．【答案】 【分析】 根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值. 【详解】 设，所以是圆上两点，， 所以，记直线， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 设的中点为，过作的垂线，垂足为，如图所示， ， 所以表示的是两点到直线的距离之和的倍， 又，所以， 表示的是到直线的距离的倍， 由于是直角三角形，所以， 所以在圆上运动，圆心为，半径为， 所以到直线的距离最大值为， 又，所以的最大值是． 故答案为：． 50．【答案】（1）12     （2）① ；②      【分析】 （1）设l：，再得到点A，B，表示出面积，再通过换元法求最值即可； （2）① 依据题意，再化简即可得到点的轨迹方程；② 设直线m：，n：，则为定值，即该圆在两平行直线m，n之间，结合直线与圆的位置关系求解即可． (1) 小问详解： 设l的直线方程为，则l与的交点为， l与的交点为， 又A，B纵坐标均为正数，∴ ∴． ∴． 令，则，， ∴．当且仅当，即时等号成立． 故面积的最小值为12． (2) 小问详解： （i）依题意有．化简得． 点M的轨迹方程为． （ii）设直线m：，n：， 点M到平行直线m，n的距离之和为 若为定值，则T为定值． 而点M轨迹是圆心为，半径为的圆，则该圆在两平行直线m，n之间． 又圆心到直线n的距离为． 圆心到直线m的距离为． ∴∴或． 直线m的纵截距为，直线m在圆的下方，结合图象有．． 则a的取值范围为． 或解：依题意，点M轨迹是圆心为，半径为的圆， 令，则有， ∴， 若为定值，即为定值， ∴恒成立， ∴，即． 51．【答案】（1）或；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）将圆的方程整理得，由 ，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. (1) 小问详解： ， 整理得， 由 ，解得 或 ， 即动圆恒过两定点的坐标为或. (2) 小问详解： 由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. (3) 小问详解： 设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得 ， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件. 52．【答案】（1）     （2）和.     （3）      【分析】 （1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. (1) 小问详解： 过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. (2) 小问详解： 圆的圆心为，半径为3， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率为， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. (3) 小问详解： 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立 ，得， 设，则 ， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 53．【答案】（1），；     （2）（i）内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由 得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【分析】 （1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， (1) 小问详解： ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； (2) 小问详解： （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）略 【点睛】 方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线和圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（       ） A.  B. 1 C. 2 D.  2．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B.  C.  D. 5 3．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 4 4．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  5．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（       ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 6．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）（多选）已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C. 当∠PAB最大时，△PAB的面积为 D. △PAB的面积的最大值为 9．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（     ） A. . B.  C. . D.  10．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）（多选）设直线，，圆，则下列说法正确的有（     ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 必与圆相交 D. 若与圆交于，，则弦长的最小值为4 11．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）若满足，则的最小值为 （       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）已知圆：与圆：恰有3条公切线，则实数的值为（） A. 10 B.  C. 14或 D. 10或 13．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）（多选）已知为圆：的直径，直线：与轴交于点，则（     ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒有公共点 C. 面积的最大值为4 D. 直线被圆截得弦长的最小值为 15．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（     ） A. 存在实数，使得直线与圆相切 B. 当时，直线被圆截得的弦长为 C. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 16．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知是圆上任意一点，若是定值，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  18．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 19．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 20．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知点及圆，点 ，在圆上，若，则的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）（多选）已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（     ） A.  B.  C. 2 D.  22．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．（25-26学年高二上·湖北·期中）（多选）已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（     ） A. 直线与圆没有交点 B. 与直线平行且截圆的弦长为的直线为 C. 若点为圆上的动点，则的最小值为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为 24．（25-26学年高二上·湖北·期中）若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）（多选）已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（     ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有一个 D. 的最小值为 26．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，、，点满足.设点的轨迹为，则下列说法正确的是（       ） A. 轨迹的方程为 B. 若，则的最小值为 C. 当轨迹上恰有三个不同的点到直线的距离为3时， D. 在上不存在点，使得 27．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 直线经过定点 B. 圆上的点到直线的距离的最大值为 C. 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则这样的直线有2条 D. 若，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则中点到点的距离的最小值为 28．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（   ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）（多选）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（       ） A. 点的轨迹的方程是： B. 点的轨迹关于直线对称的圆的方程为 C. 已知点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则直线CD的方程为 D. 已知点为坐标原点，若点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为E，F，则四边形OEMF面积的最小值是 30．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（       ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 31．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 32．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是　　　　　　． 33．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为　　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆：. （1）过点M作圆C的切线，求切线的方程； （2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长. 35．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）圆：与圆：的公共弦长为　　　　　　. 36．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）已知的三个顶点分别是， （1）求的外接圆的标准方程． （2）过点作圆的切线，求的方程． 37．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为　　　　　　　． 38．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 39．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知点，线段长度为，经过点且与两坐标轴的截距都相等的直线与线段始终有交点，则点的轨迹长度为　　　　　. 40．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知，是圆与轴的交点，为直线上的动点，为上的动点.    （1）判断圆与圆的公切线条数，并说明理由； （2）如图1：过点作圆的切线，切点为，，当最小时，求直线的方程； （3）如图2：，与圆的另一个交点分别为，.直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，若不过定点，请说明理由. 41．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知圆与直线相切于坐标原点，且为圆与轴的一个交点. （1）求圆的方程； （2）求与圆相切且在坐标轴上截距相等的直线的方程. 42．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知圆 与圆 相外切. （1）求圆的标准方程； （2）若，求 的最小值； （3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由. 43．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 44．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 45．（25-26学年高二上·湖北·期中）已知圆与直线，动直线过定点. （1）求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 46．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点． （ⅰ）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 47．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 48．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： （1）若，，求A，B之间的余弦距离； （2）若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围. 49．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）已知实数满足，，则的最大值是　　　　　　　　　　　、 50．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． （1）求面积的最小值； （2）设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 51．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 52．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）平面直角坐标系xOy中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程： （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 53．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $