精品解析：湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025年秋季学期高二年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 7. 曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，取得最小值，其值为 B. 当时，平面 C. 的最小值为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在上的投影向量为________． 13. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么________． 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 四、解答题：共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. （1）以为基底表示； （2）若，求的值. 16. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． （1）若，求甲得4分的概率； （2）要使甲获胜的概率大，求的取值范围． 17. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 18. 如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. （1）建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； （2）为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 19. 四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，分别为线段的中点． （1）线段上一点，满足，求证：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高二年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线在轴上的截距的内涵求解即可. 【详解】令则 直线在轴上的截距为， 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】显然关于平面对称点坐标为. 故选：A. 3. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径 【详解】将圆的一般方程化成标准方程为：，所以圆的圆心坐标为，半径为， 故选：B 4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 5. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 6. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解. 【详解】由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为. 8. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的，然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有且，可取2，3，4，5，6； 当时，有且，可取4，5，6； 当时，有且，可取6； 当或时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有14种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点共36种， 所以为钝角的概率 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对； 对于B选项，若与相互独立，则， 所以，，B对； 对于C选项，若，且， 所以，事件与相互独立，C对； 对于D选项，若，则，所以，，D错. 故选：ABC. 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，取得最小值，其值为 B. 当时，平面 C. 的最小值为 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式计算判断B、C；利用空间位置关系的向量证明判断A；确定直线与平面交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，，， ，，由已知， 则点， 对于A，， 则， 因此当时，取得最小值，A正确； 对于B，，，，而，， ，，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，B错误； 对于C，，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，，，如图， 因为为边的中点，则，当平面时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，，平面，平面， 则平面，即有，而，所以， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故答案为： 13. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据古典概型公式列方程求解. 【详解】设事件“两次取出的都是红球”，则. 因为，所以， 所以，解得． 故答案为：6. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据材料先求出三个平面的法向量，再根据交线的方向向量与平面和的法向量垂直求出直线的方向向量，在带图直线与平面夹角的正弦公式求值即可． 【详解】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量可取． 同理平面的法向量可取， 的法向量可取， 设平面与的交线的方向向量为， 则，令，则，，所以． 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 四、解答题：共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. （1）以为基底表示； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可. 【小问1详解】 （1） 【小问2详解】 ，所以. 16. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． （1）若，求甲得4分的概率； （2）要使甲获胜的概率大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用独立概率乘法求甲恰好赢两局的概率，相加即可； （2）先分析甲获胜的条件是赢至少两局，分别求出赢两局和赢三局的概率，总胜率表达为的一次函数，从而得到不等式，得到，结合得范围. 【小问1详解】 甲得分规则：每个项目胜得分，负得分，总得分可能为， 甲得4分，说明他三局中赢局、输局， 三个项目胜率分别为：， 赢2局的可能情形： 赢第1、2局，输第3局，概率， 赢第1、3局，输第2局，概率， 赢第2、3局，输第1局，概率， 总概率：， 所以：甲得分的概率为； 【小问2详解】 由题意可得个项目一共分，总共分或分者即可取胜， 则甲得分的概率为， 甲得分的概率为， 所以甲得分或分的概率为， 故乙得分或分的概率为， 要使甲获胜的概率大，所以，， 结合概率范围，得. 17. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 18. 如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. （1）建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； （2）为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【答案】（1）（，） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. 【小问1详解】 以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. 【小问2详解】 如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 19. 四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，分别为线段的中点． （1）线段上一点，满足，求证：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 又因为四棱锥的底面是边长为2的正方形， 所以，因此建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， ，，， 设平面的法向量为， 于是有， 因为， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质、正方形的性质，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再结合空间向量数量积的运算性质进行运算证明即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式，结合基本不等式、配方法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的法向量为，， 则有， 由（1）可知平面的法向量为， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，或，舍去， 点的坐标为， 平面的法向量为，， 所以 设直线与平面所成角为， 所以； 【小问3详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 当时，代数式有最小值， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $