专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）下面能构成集合的是（       ） A. 中国的小河流 B. 大于5小于11的偶数 C. 高一年级的优秀学生 D. 某班级跑得快的学生 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知集合，若，则（       ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）下列关系中，正确的是（       ） A. -2N+ B. Z C. πQ D. 5N 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）（多选）已知集合，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知集合，则集合的真子集个数为　　　　　　　　. 3．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）集合． （1）若，求实数的值； （2）已知，求实数的取值范围． 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知，则（ ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·甘肃多校·联考）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（     ） A. ，或 B. ，或 C.  D.  4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）（多选）已知集合，集合，则集合可能为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）设集合，则（       ） A.  B. 的元素个数为16 C.  D. 的子集个数为64 10．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知全集，集合，，则集合可以表示为 A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）设集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知集合，，则实数的取值集合为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）（多选）设，若，则实数的值可以为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（       ） A. 5 B. 10 C. 6 D. 9 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（       ） A. 集合是“闭集合” B. 正整数集是“闭集合” C. 若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D. 若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 22．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 23．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知全集． （1）求； （2）求. 24．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知全集，不等式的解集是，集合，. （1）求实数的值； （2）求； （3）若，求的取值范围. 25．（2026·甘肃多校·联考）已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 26．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，且． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 27．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 28．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知集合，，，求 （1） （2） 29．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）设集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 30．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知集合，. （1）当时，求和； （2）若，求实数m的取值范围. 31．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）“”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）“”是“关于x的方程（）有实数解”的（       ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”成立的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 4．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，正整数能被整除，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知条件，条件，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）“”的一个必要不充分条件是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）设a，b是实数，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：. （1）计算：； （2），是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由； （3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素. 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知集合 （1），若是的充分不必要条件，求的取值范围. （2）若，求的取值范围. 12．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 考点05 全称量词与存在量词 1．（2026·甘肃多校·联考）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知命题p：，，则是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）命题“”的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）下列叙述正确的是（     ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 5．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知命题：，，则是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）下列命题中，真命题是（     ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B.  C. 的充要条件是 D.  8．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）已知集合，，则（        ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 命题：，的否定是：， B. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 C. 已知、，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是或 13．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）命题“”的否定是　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）命题“，”的否定是　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）下面能构成集合的是（       ） A. 中国的小河流 B. 大于5小于11的偶数 C. 高一年级的优秀学生 D. 某班级跑得快的学生 【答案】B 【分析】 结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案. 【详解】 由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合； 对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知集合，若，则（       ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 根据元素与集合的关系列方程求解即可. 【详解】 因为，所以或， 而无实数解，所以. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）下列关系中，正确的是（       ） A. -2N+ B. Z C. πQ D. 5N 【答案】C 【分析】 根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 【详解】 对于A，-2是负整数，则-2N+，A错误； 对于B，是分数，则Z，B错误； 对于C，π是无理数，则πQ，C正确； 对于D，5是正整数，则5N，D错误； 故选：C 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）（多选）已知集合，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 【答案】AD 【分析】 先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】 ， 选项A：，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知集合，则集合的真子集个数为　　　　　　　　. 【答案】7 【分析】 根据真子集的定义，即可求解. 【详解】 由，有3个元素， 得集合A的真子集个数为. 故答案为：7. 3．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）集合． （1）若，求实数的值； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. (1) 小问详解： 因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． (2) 小问详解： 集合， 集合， 因为，所以，从而 ，解得， 所以实数的取值范围为. 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知，则（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】由题可知： 所以 ， ， 所以答案选A 【详解】【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题. 2．（2026·甘肃多校·联考）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据补集的运算法则即可得出结果. 【详解】 由补集的定义可知，， 故选：A． 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（     ） A. ，或 B. ，或 C.  D.  【答案】A 【分析】 解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【详解】 解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先利用并集运算求解，再利用补集运算求解即可. 【详解】 因为集合，所以， 又，所以. 故选：B 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）（多选）已知集合，集合，则集合可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据集合并集的概念可得选项． 【详解】 因为，，所以集合可能为A选项，，D选项， 而对于B选项，此时，不满足题意， 对于C选项，此时，不满足题意， 故选：AD． 【点睛】 本题考查并集的概念与运算，属于基础题． 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】 由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】 由题意，，所以, 所以. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】 ，. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）设集合，则（       ） A.  B. 的元素个数为16 C.  D. 的子集个数为64 【答案】BCD 【分析】 解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解. 【详解】 对于ABC，因为， 所以，即， 所以有个元素，故A错误，BC正确； 对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据集合的并集运算即可求解. 【详解】 ，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知全集，集合，，则集合可以表示为 A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【详解】根据集合的基本运算可得答案. 【详解】 A. ；B. ； C. ； D. . 故选：BD. 12．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）设集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，结合集合交集和并集的概念与运算，即可求解. 【详解】 由集合，，， 可得，所以. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据图形可得，阴影部分表示的集合为，求出即可. 【详解】 根据图形可得，阴影部分表示的集合为， ， . 故选：B. 14．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知集合，，则实数的取值集合为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题对进行分类讨论，根据不同的值验证是否满足集合元素互异性即可. 【详解】 由得：， ① 若 时， ，此时，，满足 ，符合题意； ② 若 时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去； ③ 若 时，则有 ，解得  或 ， 当 时，， ，满足 ，符合题意； 当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去. 综上，实数 的取值集合为 . 故选：B 15．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用并集的概念计算即可. 【详解】 依得，即， 则. 故选：B 16．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先得到，利用并集概念得到答案. 【详解】 ，， 则． 故选：D 17．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）（多选）设，若，则实数的值可以为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据，可得，因为，所以分和两种情况进行讨论，进而求解即可． 【详解】 因为，所以， 又因为，所以分和两种情况进行讨论， 当时，也即方程无解，所以 当时，方程有一解，即， 因为，所以或，解得：或， 综上可知：实数的值为或或， 故选：ACD． 18．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（       ） A. 5 B. 10 C. 6 D. 9 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，如图所示： 则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由新定义，列举计算即可； 【详解】 当都是偶数或都是奇数时， 则 或 或 或 或 或 或 或 或 ； 当是偶数，是奇数时，， 或 ； 当是奇数，是偶数时，， 或 ； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 20．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】 如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 21．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（       ） A. 集合是“闭集合” B. 正整数集是“闭集合” C. 若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D. 若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】BCD 【分析】 根据“闭集合”的定义可判断ABD选项；取，结合“闭集合”的定义可判断C选项. 【详解】 对于A选项，因为，则，故集合不是“闭集合”，A错； 对于B选项，对任意的、，，故正整数集是“闭集合”，B对； 对于C选项，取，则、、，即为“闭集合”，C对； 对于D选项，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，D对. 故选：BCD. 22．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），.     （2）      【分析】 （1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. (1) 小问详解： 当时，，而， 则，. (2) 小问详解： 由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 23．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知全集． （1）求； （2）求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 根据交、并、补集的运算法则运算即可． (1) 小问详解： ∵全集， ∴. (2) 小问详解： ∵，∴． 24．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知全集，不等式的解集是，集合，. （1）求实数的值； （2）求； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合集合并集与补集的运算，即可求解； （3）根据集合交集的概念与运算，分别求得的取值范围，即可求解. (1) 小问详解： 由不等式的解集是， 可得 ，解得. (2) 小问详解： 由不等式，可得，解得，即， 因为，可得或， 可得或. (3) 小问详解： 由集合，，， 因为，可得，又因为，可得， 所以实数的取值范围为. 25．（2026·甘肃多校·联考）已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再由并集的定义求解即可； （2）先求出，分和，由子集的定义列出不等式组，解方程即可得出答案 (1) 小问详解： 由可得：， 由可得：或， 所以或， . (2) 小问详解： ，因为, ①，则，解得：， ②，则 或 ，解得：. 故实数的取值范围为：． 26．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，且． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据已知可知，解分式不等式求得集合，由包含关系构造不等式组求得结果； （2）由交集结果可直接构造不等式组求得结果. 【详解】 （1）是的充分条件，， ， ，解得：， 实数的取值范围为. （2）由（1）知：， ，或，解得：或，又， 实数的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）化简集合，由交并运算可得； （2）转化条件为，再结合数轴求解即可． (1) 小问详解： ， . 当时，， 则，. (2) 小问详解： ，. 由， 结合数轴可知，要使，则. 实数的取值范围为. 28．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知集合，，，求 （1） （2） 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. （2）利用交集、补集的定义，结合集合的运算性质求解. (1) 小问详解： 由集合，，得或， 又，所以 (2) 小问详解： 由，得，而， 所以或. 29．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）设集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：当时，， 又因为，则. (2) 小问详解： 解：因为，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 因为，则 ，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 30．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知集合，. （1）当时，求和； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由并集、交集运算即可求解； （2）由条件得到 ，求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 所以， (2) 小问详解： ， 由可得： ，解得， 所以实数m的取值范围是. 31．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】（1） 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；     （2） 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；     （3）7．      【分析】 （1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】 思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）“”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】 由，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）“”是“关于x的方程（）有实数解”的（       ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【详解】先求出方程（）有实数解的条件，然后再判断求解. 【详解】方程（）有实数解 则，解得：或， 所以当时，方程（）有实数解， 当方程（）有实数解时，不一定成立. 故“”是“关于x的方程（）有实数解”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”成立的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】 A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】 对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，正整数能被整除，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 借助充分条件与必要条件的性质判断即可得. 【详解】 由题知命题表示正整数a能被2整除， 而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出， 而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B． 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知条件，条件，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】 首先判断集合的包含关系，再判断充分、必要条件. 【详解】 因为， 所以：”是：的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）“”的一个必要不充分条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求不等式的解集，根据集合的包含关系确定“”的必要不充分条件. 【详解】 由. 所以不等式的解集为. 因为，所以“”是“”的充要条件； 因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件； 因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：C 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 根据充要条件的定义判断. 【详解】 对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 8．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）设a，b是实数，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 由，得，则， 取，满足，而，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【详解】 由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：. （1）计算：； （2），是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由； （3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素. 【答案】（1）     （2） ，都有成立，理由如下： 依题意，设，则， ， 所以.     （3）      【分析】 （1）按照题设规定即可求得； （2）将，代入运算规定即可； （3）按照题设条件得出，按照运算规则得出，此时要分类讨论为0的情况，而得出之后要代入题设验证，这样充分性必要性都得到了证明，即可得出结论. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立， 设，即，则， 当时，显然有成立，即元素为中任意元素， 当时，则 ，解得 ， 因此，当，都有成立时，得， 反之，当时，， 设， 所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素. 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知集合 （1），若是的充分不必要条件，求的取值范围. （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），（2） 【分析】 （1）由题意可得集合C是集合B的真子集，可得 ，从而可求得结果 （2）分和两种情况求解的情况，求出的取值范围，再求其补集可得答案 【详解】 （1）因为，是的充分不必要条件， 所以集合C是集合B的真子集， 所以 ，解得， 所以的取值范围为， （2）当时，，得，此时， 当时，若，则 或 ， 解得或， 所以当或时，， 所以当时，， 所以的取值范围为 12．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【详解】先解出关于的不等式，根据，的关系，得到不等式组，解出即可． 【详解】 解：由，得， 根据是的必要不充分条件， ，解得：， 的范围是：． 故答案为： 【点睛】 本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含． 13．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，集合，可得或， 因为，所以. (2) 小问详解： 若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足 ，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 考点05 全称量词与存在量词 1．（2026·甘肃多校·联考）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 全称称量词命题的否定是存在量词命题，把全称改为存在，把结论否定。 【详解】 由题可知命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知命题p：，，则是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 根据存在量词命题：的否定为全称量词命题：，，由命题得到，即可得解. 【详解】 命题p：，，则：，. 故选：A 3．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）命题“”的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】 因为命题“”属于全称量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）下列叙述正确的是（     ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 【答案】ABD 【分析】 利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D. 【详解】 对于A：当时，，所以，为真命题，故A正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分条件，故C错误； 对D：命题“，”的否定为：，，显然，则命题，为真命题，故D正确； 故选：ABD. 5．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知命题：，，则是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 由全称命题的否定是把任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】 由全称命题的否定为特称命题，即把任意改为存在，并否定原结论， 所以是，. 故选：C 6．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 存在量词命题的否定是把条件里的存在量词改为全称量词，否定结论. 【详解】 命题“，”的否定为“”. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）下列命题中，真命题是（     ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B.  C. 的充要条件是 D.  【答案】A 【分析】 根据不等式的基本性质，和特称量词命题和全称量词命题的证明方法，逐一说明各选项命题真假，得出结果. 【详解】 当且时，，所以当时，x，y至少有一个大于1，所以A正确； 当时，，所以B错误； 当时，可知无法推导，所以不具备充分性，C错误； ，所以，所以D错误； 故选：A. 8．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解． 【详解】 命题“”的否定是“”. 故选：D 9．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 根据命题的真假以及命题的否定，可得的范围，从而得到结果. 【详解】 因为，为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以. 故选:BD. 10．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求得真时对应的取值范围，由此确定正确选项. 【详解】 当真时，在区间上恒成立，所以， 所以成立的一个充分不必要条件可以是. 故选：A 11．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）已知集合，，则（        ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【分析】 利用集合间关系依次判定选项即可. 【详解】 由于集合，，则，所以，，故A正确； 对于B,由于中所有元素都属于，故B不正确； 对于C，取，则，，所以C不正确； 对于D，由，即中所有元素都属于，所以D正确. 故选：AD 12．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 命题：，的否定是：， B. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 C. 已知、，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是或 【答案】ACD 【分析】 利用全称命题的否定可判断A选项；分、两种情况讨论，结合二次不等式可得出关于的不等式组，可求出的取值范围，可判断B选项；根据充分条件、必要条件的定义可判断C选项；分析可知命题“，”为真命题，可得出，可求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】 对于A选项，命题：，为全称量词命题， 该命题的否定是：，，A对； 对于B选项，因为不等式对一切实数都成立， 当时，则有对一切实数恒成立， 当时，由题意可得 ，解得. 综上所述，实数的取值范围是，B错； 对于C选项，已知、，若，不妨取，则不成立， 即由“”推不出“”； 若，则，可得，所以， 即由“”可推出“”， 因此，“”是“”的必要不充分条件，C对； 对于D选项，若命题“，”的否定是假命题， 故命题“，”为真命题， 则，解得或， 因此实数的取值范围是或，D对. 故选：ACD. 13．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】 命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 14．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）命题“”的否定是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用全称题词命题的否定是存在量词命题写出结论即可. 【详解】 命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：“”. 故答案为： 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）命题“，”的否定是　　　　　　. 【答案】， 【分析】 利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】 命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故答案为：，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．B 2．C 3．C 考点02 集合间的基本关系 1．AD 2．【答案】7 【分析】 根据真子集的定义，即可求解. 【详解】 由，有3个元素， 得集合A的真子集个数为. 故答案为：7. 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. (1) 小问详解： 因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． (2) 小问详解： 集合， 集合， 因为，所以，从而 ，解得， 所以实数的取值范围为. 考点03 集合的基本运算 1．A 2．A 3．A 4．B 5．AD 6．D 7．D 8．C 9．BCD 10．A 11．BD 12．B 13．B 14．B 15．B 16．D 17．ACD 18．C 19．B 20．AD 21．BCD 22．【答案】（1），.     （2）      【分析】 （1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. (1) 小问详解： 当时，，而， 则，. (2) 小问详解： 由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 根据交、并、补集的运算法则运算即可． (1) 小问详解： ∵全集， ∴. (2) 小问详解： ∵，∴． 24．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合集合并集与补集的运算，即可求解； （3）根据集合交集的概念与运算，分别求得的取值范围，即可求解. (1) 小问详解： 由不等式的解集是， 可得 ，解得. (2) 小问详解： 由不等式，可得，解得，即， 因为，可得或， 可得或. (3) 小问详解： 由集合，，， 因为，可得，又因为，可得， 所以实数的取值范围为. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再由并集的定义求解即可； （2）先求出，分和，由子集的定义列出不等式组，解方程即可得出答案 (1) 小问详解： 由可得：， 由可得：或， 所以或， . (2) 小问详解： ，因为, ①，则，解得：， ②，则 或 ，解得：. 故实数的取值范围为：． 26．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据已知可知，解分式不等式求得集合，由包含关系构造不等式组求得结果； （2）由交集结果可直接构造不等式组求得结果. 【详解】 （1）是的充分条件，， ， ，解得：， 实数的取值范围为. （2）由（1）知：， ，或，解得：或，又， 实数的取值范围为. 27．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）化简集合，由交并运算可得； （2）转化条件为，再结合数轴求解即可． (1) 小问详解： ， . 当时，， 则，. (2) 小问详解： ，. 由， 结合数轴可知，要使，则. 实数的取值范围为. 28．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. （2）利用交集、补集的定义，结合集合的运算性质求解. (1) 小问详解： 由集合，，得或， 又，所以 (2) 小问详解： 由，得，而， 所以或. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：当时，， 又因为，则. (2) 小问详解： 解：因为，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 因为，则 ，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 30．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由并集、交集运算即可求解； （2）由条件得到 ，求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 所以， (2) 小问详解： ， 由可得： ，解得， 所以实数m的取值范围是. 31．【答案】（1） 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；     （2） 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；     （3）7．      【分析】 （1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】 思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 考点04 充分条件与必要条件 1．B 2．D 3．ABD 4．B 5．A 6．C 7．BD 8．A 9．C 10．【答案】（1）     （2） ，都有成立，理由如下： 依题意，设，则， ， 所以.     （3）      【分析】 （1）按照题设规定即可求得； （2）将，代入运算规定即可； （3）按照题设条件得出，按照运算规则得出，此时要分类讨论为0的情况，而得出之后要代入题设验证，这样充分性必要性都得到了证明，即可得出结论. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立， 设，即，则， 当时，显然有成立，即元素为中任意元素， 当时，则 ，解得 ， 因此，当，都有成立时，得， 反之，当时，， 设， 所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素. 11．【答案】（1），（2） 【分析】 （1）由题意可得集合C是集合B的真子集，可得 ，从而可求得结果 （2）分和两种情况求解的情况，求出的取值范围，再求其补集可得答案 【详解】 （1）因为，是的充分不必要条件， 所以集合C是集合B的真子集， 所以 ，解得， 所以的取值范围为， （2）当时，，得，此时， 当时，若，则 或 ， 解得或， 所以当或时，， 所以当时，， 所以的取值范围为 12．【答案】 【详解】先解出关于的不等式，根据，的关系，得到不等式组，解出即可． 【详解】 解：由，得， 根据是的必要不充分条件， ，解得：， 的范围是：． 故答案为： 【点睛】 本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，集合，可得或， 因为，所以. (2) 小问详解： 若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足 ，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 考点05 全称量词与存在量词 1．C 2．A 3．D 4．ABD 5．C 6．C 7．A 8．D 9．BD 10．A 11．AD 12．ACD 13．A 14．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用全称题词命题的否定是存在量词命题写出结论即可. 【详解】 命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：“”. 故答案为： 15．【答案】， 【分析】 利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】 命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故答案为：，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $