专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A.  B. （） C. （） D. （） 2．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）若函数 ，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 5 3．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设函数 ，则等于（       ） A.  B. 3 C.  D.  5．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）设函数 ，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）下列图象中，是函数图象的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）下列函数中与函数相等的是 A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 9．（2026·甘肃多校·联考）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·甘肃多校·联考）下列各组函数表示相等函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知函数 则等于（        ） A. 4 B.  C.  D. 2 12．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）下列图形能表示函数图像的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）已知函数 ，关于函数的结论正确的是（       ） A.  B.  C. 若，则 D. 的解集为 18．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）下列各组函数表示相同函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（2026·甘肃兰州·三模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C. [1，3] D. (1，3] 24．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 25．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）下列各项中，与表示同一函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数则函数定义域为（    ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数 ，若，且，设，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）设，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）函数在上取得最小值，则实数的取值范围是 A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数满足，则　　　　　　　　 33．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）函数的定义域为　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知函数 （1）求函数的定义域 （2）分别求 36．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）设函数 ，则　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明． 38．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　. 39．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　. 40．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）函数的值域为　　　　　　． 41．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数，则　　　　　. 42．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知函数 ．则=　　　　　　　　　　　. 43．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（1），求函数的解析式； （2）已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式. 44．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　 45．（2026·甘肃兰州·三模）已知，求函数的解析式　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　． 47．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知函数 ，若，则的值为　　　　　． 48．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知函数 （1）求的值及函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 49．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）函数的最大值为　　　　　　. 50．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知，． （1）求出与的函数解析式； （2），用表示，中的最大者，记为：例如，当时，．请用解析法表示函数． 51．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知 则 ；当时，             . 52．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　　. 53．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知函数满足，求函数的解析式. 考点02 幂函数 1．（2026·甘肃多校·联考）（多选）已知函数的图象经过点，则（     ） A. 的图象经过点 B. 在内的值域为 C. 在定义域上单调递减 D. 的图象关于轴对称 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（       ） A.  B. 3 C. 或3 D. 2或 3．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）幂函数在上递减，则实数（     ） A.  B.  C. 2 D. 2或 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（       ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（       ） A. 函数存在保值区间 B. 函数存在保值区间 C. 若一次函数存在保值区间，则或 D. 若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 8．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知，，． （1）若，试比较与的大小关系； （2）当时，求的最小值． 9．（2026·甘肃兰州·三模）已知幂函数在区间上单调递增，则　　　　　　　　　　　． 10．（2026·甘肃多校·联考）已知幂函数，且． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知幂函数在区间上单调递增. （1）求k的值； （2）（i）若，求的值； （ii）求的值域. 12．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且 .由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 2．（2026·甘肃兰州·三模）某厂生产的某商品的固定成本为8万元，每生产一件此商品需要增加投入200元，根据初步测算，总收益满足函数 ，（单位：元），其中（单位：件）是此商品的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润） 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）某市一污水处理厂的月处理成本(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系可近似的表示为；当月处理量为万吨时，月处理成本为万元，且该厂处理万吨污水所收费用为万元． （1）求实数的值； （2）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低? （3）请写出该厂每月获利(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值． 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知： ． （1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？ 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且 初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的收益. （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 6．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 7．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．ACD 7．C 8．D 9．B 10．C 11．D 12．C 13．B 14．D 15．C 16．A 17．BD 18．B 19．D 20．B 21．C 22．A 23．B 24．D 25．D 26．BCD 27．C 28．C 29．AC 30．C 31．C 32．【答案】 【详解】由，可得，两式联立，消去，可求出的解析式 【详解】 解：因为① ，所以用替换， 得 ② 由得 故答案为：， 【点睛】 此题考查利用构造法求函数解析式，属于基础题. 33．【答案】 【分析】 观察函数解析式的组成，列出使函数有意义的条件不等式，求解即得函数定义域. 【详解】 由函数有意义，可得 ，解得且. 故函数的定义域为：， 故答案为：. 34．【答案】 【分析】 令，代入题干等式化简即可得解. 【详解】 在等式中，令，可得，故. 故答案为：. 35．【答案】（1）；     （2） .      【分析】 （1）根据二次根式和分式的性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. (1) 小问详解： 由二次根式和分式的性质可得： ，且， 所以函数的定义域为； (2) 小问详解： 因为， 所以 . 36．【答案】 【详解】直接根据分段函数解析式代入求值即可； 【详解】 因为 ，所以，所以 故答案为： 37．【答案】（1）； （2），证明： 由 都是正实数，且， 即． 【分析】 （1）利用一次函数的定义设出函数表达式，代入已知等式求解系数； （2）通过作差法比较两个代数式的大小，因式分解后根据条件判断符号. 【详解】 （1）已知是一次函数，可设， 由题可知：， 即， 因为，所以 ， 解得 ． 所以函数的解析式为． （2）略 38．【答案】5 【分析】 根据分段函数解析式，先求出的值，再代入求出即可. 【详解】 根据题意知， 则. 故答案为：5. 39．【答案】5 【详解】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值. 【详解】 令，则，. 因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】 求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式. 40．【答案】 【分析】 采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】 ， ，，，即， 的值域为. 故答案为：. 41．【答案】6 【分析】 令代入求解即可. 【详解】 令得：， 故答案为：6 42．【答案】0 【分析】 直接计算得到答案. 【详解】 ，则. 故答案为： 43．【答案】 【分析】 利用配凑法和待定系数法分别计算即可求解. 【详解】 （1）， 所以； （2）设一次函数的解析式为， 则 ，解得 ， 所以. 44．【答案】 【分析】 使式子有意义可列得不等式组，求解即可. 【详解】 由题可得 ，解得且， 所以定义域为， 故答案为：. 45．【答案】 【分析】 利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】 令，则， 可得， 所以. 46．【答案】 【分析】 由求解即可. 【详解】 由， 可得： ， 解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 47．【答案】或 【分析】 根据分段函数的解析式，分，和，三种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】 当 ，即时，， 则有，解得； 当 ，即时，， 则有，解得或－2， 又因为，所以； 当 ，即时，，则有，此时无解， 故的值为或． 故答案为：或． 48．【答案】（1），     （2） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为      【分析】 （1）代入求值，换元求解析式； （2）将不等式写出因式乘积的形式，讨论两个因式的根的大小求出不等式解集. (1) 小问详解： 令，可得， 由题意，函数， 令，所以， 则，所以. (2) 小问详解： 由（1）知， 即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 49．【答案】 【分析】 利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】 令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 50．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）换元法求，构造方程组求解； （2）做差比较与，得到. (1) 小问详解： 令，则， 所以， 所以. 因为① ， 所以② ， 得，所以. (2) 小问详解： 由， 解得或， 由， 解得， 所以或时，；时，， 所以 . 51．【答案】； ； 【详解】试题分析：；当时，，此时. 考点：分段函数的应用． 52．【答案】 【分析】 根据复合函数的定义域求法，先求出的范围，得出的范围，据此求的范围即可得解. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以，故， 所以， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 53．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用换元法求函数解析式即可； （2）构造方程，解方程组即可求出函数解析式. (1) 小问详解： ，设，则， 则， 故. (2) 小问详解： 因为，故可将变换为得， 解得. 考点02 幂函数 1．AB 2．A 3．C 4．AC 5．C 6．BC 7．ACD 8．【答案】（1），当且仅当，即时，等号成立     （2）      【分析】 （1）根据题意可得，结合幂函数单调性分析判断； （2）换元令，可得，利用基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为在内单调递减， 所以，当且仅当，即时，等号成立. (2) 小问详解： 由（1）可得， 因为，令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 9．【答案】2 【分析】 根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 则 ，解得. 10．【答案】（1）2     （2）．      【分析】 （1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果； （2）利用函数的奇偶性与单调性可得，求解即可. (1) 小问详解： 函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； (2) 小问详解： 由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 11．【答案】（1）     （2）（i）2；（ii）      【分析】 （1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. (1) 小问详解： 由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. (2) 小问详解： ， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可； （2）根据幂函数的单调性进行求解即可. (1) 小问详解： 由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； (2) 小问详解： 由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以 解得，所以实数的取值范围是. 考点03 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）百辆，最大利润为万      【分析】 （1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. (1) 小问详解： 由题意得当时，， 当时，， 所以 , (2) 小问详解： 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 2．【答案】（1）     （2）当时，该厂所获利润最大，最大利润为100000元      【分析】 （1）结合题意利用分段函数表示即可； （2）分段利用函数的单调性求出最值，再根据分段函数的最值即可求解. (1) 小问详解： 由题意，当时， ； 当时，； 故 ． (2) 小问详解： 当时，， 当时，（元）， 当时，单调递减， 所以（元）， ， 当时，该厂所获利润最大，最大利润为100000元． 3．【答案】（1）     （2）100万吨     （3），万元      【分析】 （1）已知函数关系式和一个点的坐标，将点代入函数即可求出参数； （2）先求出每万吨处理成本的表达式，再利用基本不等式求其最小值； （3）根据利润等于收入减去成本列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值． (1) 小问详解： 时，代入得， ， 解得； (2) 小问详解： 由（1）知， 每万吨的处理成本为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以该厂每月污水处理量为100万吨时，才能使每万吨的处理成本最低； (3) 小问详解： 该厂处理万吨污水所收费用为万元，则收入为万元， 获利， 当时，， 所以，获利最大值为万元． 4．【答案】（1）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中     （2）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟     （3）不能      【分析】 （1）分别求出比较即可； （2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间； （3）由的解，结合的单调性求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中． (2) 小问详解： 当时，是增函数，且． 当时，是减函数，且． 所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 (3) 小问详解： 当时，令，则． 当时，令，则． 则学生注意力在180以上所持续的时间为． 所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题． 5．【答案】（1）     （2）70个，640万元      【分析】 （1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. (1) 小问详解： 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 6．【答案】（1）     （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元      【分析】 （1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. (1) 小问详解： 由题意， ， 即 ； (2) 小问详解： 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 7．【答案】（1），     （2）7万元      【分析】 （1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． (2) 小问详解： 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A.  B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【分析】 令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】 令，则， ， 所以. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）若函数 ，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 5 【答案】B 【分析】 先求出，再求即可 【详解】 因为 ， 所以 所以． 故选：B 3．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果 【详解】 要使函数有意义，必须 ，解得且， 则函数的定义域为， 故选：D． 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设函数 ，则等于（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】 因为，所以. 故选：C. 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）设函数 ，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】 因为 ，则， 故. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）下列图象中，是函数图象的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据函数的概念逐一验证即可求解. 【详解】 根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，故B的图象不是函数图象．其余的都是函数图像. 故选：ACD. 7．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）下列函数中与函数相等的是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】对于选项A,D对应的函数与函数的对应法则不同， 对于选项B对应的函数与函数的定义域不同， 对于选项C对应的函数与函数的定义域、对应法则相同，得解. 【详解】解：对于选项A，等价于，即A不符合题意， 对于选项B，等价于，即B不符合题意， 对于选项C，等价于，即C符合题意， 对于选项D，，显然不符合题意，即D不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了同一函数的判断、函数的对应法则及定义域，属基础题. 8．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【分析】 函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】 对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 9．（2026·甘肃多校·联考）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数解析式有意义，列出不等式组求解即可. 【详解】 由 ，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 10．（2026·甘肃多校·联考）下列各组函数表示相等函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【分析】 分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】 由题知：对于A：与对应法则不同，不是相等函数，故A选项错误； 对于B：的定义域为，的定义域为或， 两者的定义域不同，不是相等函数，故B选项错误； 对于C：，其定义域为，的定义域为，两者定义域相同且对应法则相同，所以是相等函数，故C选项正确； 对于D：与的对应法则不同，不是相等函数，故D选项错误； 故选：C. 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知函数 则等于（        ） A. 4 B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 根据分段函数的定义域，先求得，再求即可. 【详解】 因为函数 所以， 所以， 故选：D 12．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）下列图形能表示函数图像的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的概念进行判断. 【详解】 解：根据函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点， 只有C正确． 故选：C． 13．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】 由函数有意义，得 ，解得或， 所以所求定义域为. 故选：B 14．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【分析】 利用同一函数的定义逐项判断即得. 【详解】 对于A，的定义域为，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域为，的定义域为，B不是； 对于C，的定义域为，的定义域为，C不是； 对于D，与的定义域都为，且，D是. 故选：D 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】 定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 16．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据定义域的定义，即可由不等式求解. 【详解】 由于的定义域为，故，则， 因此，解得， 所以的定义域为 故选：A 17．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）已知函数 ，关于函数的结论正确的是（       ） A.  B.  C. 若，则 D. 的解集为 【答案】BD 【分析】 根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案. 【详解】 ，故A选项错误；，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得， 即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得， 综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 18．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据分式、偶次根式、零次幂有意义的基本要求构造不等式组即可求得结果. 【详解】 由题意知： ，解得：，定义域为. 故选：B. 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）下列各组函数表示相同函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】 对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意有 ，解不等式组即可． 【详解】 依题意函数的定义域为， 对于函数应满足 ，解得， 故的定义域为． 故选：B． 21．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】 由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 22．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 逐一判断四个选项中每两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确答案. 【详解】 对于选项A：，所以两个函数是同一个函数，故选项A正确； 对于选项B：定义域为，解得：或， 定义域为 ，解得：， 定义域不同不是同一函数，故选项B不正确； 对于选项C：定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一函数，故选项C不正确； 对于选项D：定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一函数，故选项D不正确； 故选：A. 23．（2026·甘肃兰州·三模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C. [1，3] D. (1，3] 【答案】B 【详解】 因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 24．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【分析】 函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】 对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 25．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】 因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时， 即 解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 26．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）下列各项中，与表示同一函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据函数的定义域及对应法则分别判断各个选项. 【详解】 对于A，因为的定义域为的定义域为，两者定义域不同，故两函数不相等，故A错误； 对于B，函数的定义域为； 由 得，故的定义域为，又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 对于C，因为的定义域均为，且对应关系相同，故两函数相等，故C正确； 对于D ，所以两函数相等，故D正确， 故选:BCD． 27．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数则函数定义域为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式、分式的性质列不等式求函数的定义域. 【详解】 由解析式知 ，则 或， 所以函数的定义域为. 故选：C 28．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数 ，若，且，设，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作出函数的图象，由题意可得，且，，结合图象求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】 解：如图，作出函数的图象， 且，则，且， ，即， 由图可得 ，解得， ， 所以当时，， 即的最大值为. 故选：C． 29．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）设，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据函数的性质，逐一分析各选项，并通过代入计算判断各等式是否成立． 【详解】 选项A：用替代，则，故A正确； 选项B：用替代，则，故B错误； 选项C：由选项B知，，故C正确； 选项D：用替代，则， ，，故D错误． 故选：． 30．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据解析式有意义列不等式组求解即可. 【详解】 解不等式组 ，得且， 即， 所以函数的定义域为. 故选：C 31．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）函数在上取得最小值，则实数的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 现将整理为分段函数的形式，即 ，画出函数图象，根据图象判定的位置 【详解】 由题，将 ，即 ，则可得到函数图象如下，根据图象可得当时，，则；当时，，则，故，故选C 【点睛】 本题考查零点分段法得分段函数，以及图象法解决函数最值问题 32．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数满足，则　　　　　　　　 【答案】 【详解】由，可得，两式联立，消去，可求出的解析式 【详解】 解：因为① ，所以用替换， 得 ② 由得 故答案为：， 【点睛】 此题考查利用构造法求函数解析式，属于基础题. 33．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）函数的定义域为　　　　　　. 【答案】 【分析】 观察函数解析式的组成，列出使函数有意义的条件不等式，求解即得函数定义域. 【详解】 由函数有意义，可得 ，解得且. 故函数的定义域为：， 故答案为：. 34．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，代入题干等式化简即可得解. 【详解】 在等式中，令，可得，故. 故答案为：. 35．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知函数 （1）求函数的定义域 （2）分别求 【答案】（1）；     （2） .      【分析】 （1）根据二次根式和分式的性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. (1) 小问详解： 由二次根式和分式的性质可得： ，且， 所以函数的定义域为； (2) 小问详解： 因为， 所以 . 36．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）设函数 ，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】直接根据分段函数解析式代入求值即可； 【详解】 因为 ，所以，所以 故答案为： 37．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明． 【答案】（1）； （2），证明： 由 都是正实数，且， 即． 【分析】 （1）利用一次函数的定义设出函数表达式，代入已知等式求解系数； （2）通过作差法比较两个代数式的大小，因式分解后根据条件判断符号. 【详解】 （1）已知是一次函数，可设， 由题可知：， 即， 因为，所以 ， 解得 ． 所以函数的解析式为． （2）略 38．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　. 【答案】5 【分析】 根据分段函数解析式，先求出的值，再代入求出即可. 【详解】 根据题意知， 则. 故答案为：5. 39．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　. 【答案】5 【详解】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值. 【详解】 令，则，. 因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】 求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式. 40．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）函数的值域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】 ， ，，，即， 的值域为. 故答案为：. 41．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数，则　　　　　. 【答案】6 【分析】 令代入求解即可. 【详解】 令得：， 故答案为：6 42．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知函数 ．则=　　　　　　　　　　　. 【答案】0 【分析】 直接计算得到答案. 【详解】 ，则. 故答案为： 43．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（1），求函数的解析式； （2）已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式. 【答案】 【分析】 利用配凑法和待定系数法分别计算即可求解. 【详解】 （1）， 所以； （2）设一次函数的解析式为， 则 ，解得 ， 所以. 44．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 使式子有意义可列得不等式组，求解即可. 【详解】 由题可得 ，解得且， 所以定义域为， 故答案为：. 45．（2026·甘肃兰州·三模）已知，求函数的解析式　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】 令，则， 可得， 所以. 46．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由求解即可. 【详解】 由， 可得： ， 解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 47．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知函数 ，若，则的值为　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据分段函数的解析式，分，和，三种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】 当 ，即时，， 则有，解得； 当 ，即时，， 则有，解得或－2， 又因为，所以； 当 ，即时，，则有，此时无解， 故的值为或． 故答案为：或． 48．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知函数 （1）求的值及函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1），     （2） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为      【分析】 （1）代入求值，换元求解析式； （2）将不等式写出因式乘积的形式，讨论两个因式的根的大小求出不等式解集. (1) 小问详解： 令，可得， 由题意，函数， 令，所以， 则，所以. (2) 小问详解： 由（1）知， 即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 49．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）函数的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】 令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 50．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知，． （1）求出与的函数解析式； （2），用表示，中的最大者，记为：例如，当时，．请用解析法表示函数． 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）换元法求，构造方程组求解； （2）做差比较与，得到. (1) 小问详解： 令，则， 所以， 所以. 因为① ， 所以② ， 得，所以. (2) 小问详解： 由， 解得或， 由， 解得， 所以或时，；时，， 所以 . 51．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知 则 ；当时，             . 【答案】； ； 【详解】试题分析：；当时，，此时. 考点：分段函数的应用． 52．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复合函数的定义域求法，先求出的范围，得出的范围，据此求的范围即可得解. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以，故， 所以， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 53．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用换元法求函数解析式即可； （2）构造方程，解方程组即可求出函数解析式. (1) 小问详解： ，设，则， 则， 故. (2) 小问详解： 因为，故可将变换为得， 解得. 考点02 幂函数 1．（2026·甘肃多校·联考）（多选）已知函数的图象经过点，则（     ） A. 的图象经过点 B. 在内的值域为 C. 在定义域上单调递减 D. 的图象关于轴对称 【答案】AB 【分析】 代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】 将点的坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（       ） A.  B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【分析】 根据幂函数定义和性质可解. 【详解】 函数为幂函数，且在区间上单调递增， 则 ，即 ，解得. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）幂函数在上递减，则实数（     ） A.  B.  C. 2 D. 2或 【答案】C 【分析】 根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】 因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】 解：A：是偶函数，且在上递减，∴该选项正确； B：是奇函数，∴该选项错误； C：是偶函数，且在上递减，∴该选项正确； D：是非奇非偶函数，∴该选项错误. 故选：AC 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】 由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 6．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（       ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【答案】BC 【分析】 首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】 因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（       ） A. 函数存在保值区间 B. 函数存在保值区间 C. 若一次函数存在保值区间，则或 D. 若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 利用二次函数、反比例函数、一次函数等幂函数的图象与性质结合新定义一一判定选项即可. 【详解】 对于A，函数在区间上的值域为，故函数存在保值区间，A正确； 对于B，当时，；当时，， 故函数不存在保值区间，B错误； 对于C，当时，若函数存在保值区间，则有 ，解得 ； 当时，若函数存在保值区间，则有 解得 ，所以或，C正确； 对于D，函数在上单调递增， 若函数存在保值区间，则有 即关于的方程有两个不相等的实数根， 令，则，所以， 结合二次函数的图象可知，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：所谓“保值区间”可通过判定该函数的单调性，分类讨论代入定义域端点建立方程组计算求解即可. 8．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知，，． （1）若，试比较与的大小关系； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1），当且仅当，即时，等号成立     （2）      【分析】 （1）根据题意可得，结合幂函数单调性分析判断； （2）换元令，可得，利用基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为在内单调递减， 所以，当且仅当，即时，等号成立. (2) 小问详解： 由（1）可得， 因为，令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 9．（2026·甘肃兰州·三模）已知幂函数在区间上单调递增，则　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 则 ，解得. 10．（2026·甘肃多校·联考）已知幂函数，且． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）2     （2）．      【分析】 （1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果； （2）利用函数的奇偶性与单调性可得，求解即可. (1) 小问详解： 函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； (2) 小问详解： 由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知幂函数在区间上单调递增. （1）求k的值； （2）（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】（1）     （2）（i）2；（ii）      【分析】 （1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. (1) 小问详解： 由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. (2) 小问详解： ， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 12．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可； （2）根据幂函数的单调性进行求解即可. (1) 小问详解： 由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； (2) 小问详解： 由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以 解得，所以实数的取值范围是. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且 .由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）     （2）百辆，最大利润为万      【分析】 （1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. (1) 小问详解： 由题意得当时，， 当时，， 所以 , (2) 小问详解： 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 2．（2026·甘肃兰州·三模）某厂生产的某商品的固定成本为8万元，每生产一件此商品需要增加投入200元，根据初步测算，总收益满足函数 ，（单位：元），其中（单位：件）是此商品的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润） 【答案】（1）     （2）当时，该厂所获利润最大，最大利润为100000元      【分析】 （1）结合题意利用分段函数表示即可； （2）分段利用函数的单调性求出最值，再根据分段函数的最值即可求解. (1) 小问详解： 由题意，当时， ； 当时，； 故 ． (2) 小问详解： 当时，， 当时，（元）， 当时，单调递减， 所以（元）， ， 当时，该厂所获利润最大，最大利润为100000元． 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）某市一污水处理厂的月处理成本(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系可近似的表示为；当月处理量为万吨时，月处理成本为万元，且该厂处理万吨污水所收费用为万元． （1）求实数的值； （2）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低? （3）请写出该厂每月获利(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值． 【答案】（1）     （2）100万吨     （3），万元      【分析】 （1）已知函数关系式和一个点的坐标，将点代入函数即可求出参数； （2）先求出每万吨处理成本的表达式，再利用基本不等式求其最小值； （3）根据利润等于收入减去成本列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值． (1) 小问详解： 时，代入得， ， 解得； (2) 小问详解： 由（1）知， 每万吨的处理成本为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以该厂每月污水处理量为100万吨时，才能使每万吨的处理成本最低； (3) 小问详解： 该厂处理万吨污水所收费用为万元，则收入为万元， 获利， 当时，， 所以，获利最大值为万元． 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知： ． （1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？ 【答案】（1）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中     （2）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟     （3）不能      【分析】 （1）分别求出比较即可； （2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间； （3）由的解，结合的单调性求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中． (2) 小问详解： 当时，是增函数，且． 当时，是减函数，且． 所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 (3) 小问详解： 当时，令，则． 当时，令，则． 则学生注意力在180以上所持续的时间为． 所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题． 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且 初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的收益. （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【答案】（1）     （2）70个，640万元      【分析】 （1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. (1) 小问详解： 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 6．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元      【分析】 （1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. (1) 小问详解： 由题意， ， 即 ； (2) 小问详解： 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 7．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1），     （2）7万元      【分析】 （1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． (2) 小问详解： 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $