专题05 函数的基本性质（期中真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期

专题05 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．ABD 2．A 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．AC 10．A 11．C 12．AB 13．ABD 14．ABD 15．ABD 16．ABD 17．A 18．AD 19．ACD 20．D 21．A 22．A 23．AB 24．ABD 25．A 26．C 27．A 28．C 29．C 30．A 31．BCD 32．A 33．A 34．A 35．ABC 36．B 37．A 38．B 39．C 40．【答案】（1）     （2）单调减函数，证明：设，， ∵，∴，， ∴，∴在为单调减函数．      【分析】 （1）设，则，根据是偶函数，可知，然后分两段写出函数解析式即可； （2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果． (1) 小问详解： 解：设，则，， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以 ． (2) 小问详解： 略 41．【答案】 【分析】 当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】 设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 42．【答案】（1）证明：令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数.     （2）      【分析】 （1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 43．【答案】0 【分析】 由函数奇偶性，利用，求出，再验证，即可求出结果. 【详解】 因为为上的奇函数， 所以，此时， 所以，即函数是奇函数， 所以满足题意. 故答案为：. 44．【答案】（1）证明：函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数.     （2）-6     （3）      【分析】 （1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. (3) 小问详解： 由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 45．【答案】(－3，＋∞) 【分析】 因为x∈[1，＋∞)，所以f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0，令g(x)＝-x2-2x，利用分离参数法求g(x)的最大值可得. 【详解】 对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立； 等价于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3. 【详解】【点晴】 （1） 恒成立等价于； （2） 恒成立等价于； （3） 能成立等价于； （4） 能成立等价于. 46．【答案】 【分析】 根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围 【详解】 根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象， 由， 当时，，结合图象可得； 当时，，可得， 所以的解为或. 故答案为：. 47．【答案】（1）；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，， 故在上单调递增．     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增， 所以 ，解得， 综上． 48．【答案】（1）         （2）     （3）      【分析】 （1）根据绝对值的定义，化简得到函数的解析式，结合一次函数的图象，画出函数的图象； （2）由函数的解析式，先求得，进而求得的值； （3）根据函数的解析式，求得各段上函数的值域，进而得到函数的值域. (1) 小问详解： 由函数 ，可得 ， 则函数的图象，如图所示， (2) 小问详解： 解：由函数 ，可得，则. (3) 小问详解： 解：由函数 ， 由（1）中的函数的图象，可得： 在区间上，为单调递减函数，且，所以当时，的取值范围是； 在区间上，函数为单调递增函数，且，所以当时，的取值范围是； 在区间上，函数为单调递减函数，且，所以当时，的取值范围是； 在区间上，函数为单调递增函数，且，所以当时，的取值范围是， 综上可得，当时，求取值的集合为． 49．【答案】（1） ； （2）图像： 单调递增区间是，单调减区间（-3，-1），（1,3）；值域 ；（3）. 【分析】 （1）利用函数的奇偶性即可求解. （2）作出函数图像，利用函数图像即可求出单调区间与值域. （3）由（1）中函数的解析式，讨论的取值范围即可求解. 【详解】 解：（1）函数f（x）是定义在上的奇函数，所以当f（0）=0， 设，则，由时，f（x）＝x2+2x-1， 则，又函数为奇函数， 所以f（x）＝﹣x2+2x+1， 所以 （2）如图： 单调递增区间是，单调减区间（-3，-1），（1,3），值域是 . （3） 由，得， 由对称性得 由得 或 由图得到不等式的解集是. 50．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. (1) 小问详解： 因为函数的图象经过点，所以，解得. (2) 小问详解： ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. (3) 小问详解： 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 51．【答案】（1）     （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增．      【分析】 （1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1） 任取，，且， 则. ∵，∴，，所以，即， 所以. 所以在区间上是减函数.     （2）2      【分析】 （1）根据函数单调性的定义证明； （2）利用函数的单调性求最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在区间上是减函数，所以在区间上是减函数， 所以：当时，取得最大值，最大值为:. 53．【答案】 【分析】 根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】 由函数的值域为，得函数值域包含， 则 ，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 54．【答案】（1） 函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数；     （2） ， 单调增区间为：，单调减区间为：      【分析】 （1）利用奇函数定义，直接判断的奇偶性即可； （2）讨论和去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故 ， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 55．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析     （3）      【分析】 （1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. (1) 小问详解： 令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； (2) 小问详解： 设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； (3) 小问详解： 对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则 ，即 ， 解得或，所以实数的取值范围是． 56．【答案】 【分析】 根据绝对值三角不等式可得，即可得求解， 【详解】 由于，故，即， 当且仅当等号成立，即. 故答案为： 57．【答案】（1）     （2） 证明：任取，，且， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由，求解即可； （2）由函数单调性的定义求证即可； （3）由函数的单调性、奇偶性去求解即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意， 所以，所以，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以， 所以 ， 解得，即m的取值范围是. 58．【答案】（1）图象：      （2）.      【分析】 （1）由题得 ，直接作出函数的图象； （2）解不等式组 或 即得解. (1) 小问详解： 解：由题得 如图所示： (2) 小问详解： 解：由题可得 或 解得或， 所以实数的取值范围为. 59．【答案】 【分析】 根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】 依题意，对任意当时，都有， 所以在上单调递增， 所以 ， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 60．【答案】（1），     （2） 在上递增，证明如下：任取， 其中，，所以， 故在上递增．     （3）或      【分析】 （1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得. （2）用定义法证明即可. （3）由题意可得，函数的最小值大于等于函数的最小值，结合二次函数的性质可解. (1) 小问详解： 依题意函数是定义在上的奇函数， 所以，所以， ， 所以，经检验，该函数为奇函数． 故，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于对任意的，总存在，使得成立， 所以的最小值大于的最大值． 而由（2）知：，即在上恒成立， 当时，在上递增，，所以 ，解得； 当时，在上递减，，所以 ，解得，． 综上所述，或． 故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或． 61．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用奇函数的定义可求得的值，再利用可得出的值； （2）分析函数在上的单调性，即可得出该函数在上的值域. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 则，即，可得，则， 又因为，可得，故. (2) 小问详解： 任取、且， 则 ， 因为，则，， 故，即， 所以函数在上为增函数， 故当时，，即， 故当，函数的值域为. 62．【答案】（1）函数在上单调递增；证明如下： 设， 则， 化简得：， 因为，所以，，， 则，即， 所以函数在上单调递增；     （2）或.      【分析】 （1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】 （1）略 （2）因为在上单调递增，且， 所以可得 ， 由，得，则； 由，得，则； 由，即，因式分解得， 则 或 ，即 或 ， 解得或； 综上可得或. 63．【答案】（1）当时，解集为；当时，无解；当时，解集为；     （2）      【分析】 （1）化简后分、及讨论即可得； （2）参变分离后借助基本不等式计算即可得. (1) 小问详解： 可化为， 即，令，可得、， 当时，，则解集为； 当时，恒成立，则该不等式无解； 当时，，则解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) 小问详解： 由题意可得在时恒成立， 即在时恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故， 则实数取值范围为. 64．【答案】 【分析】 利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】 因为存在，所以， 又当，单调递减，所以的最大值为. 所以. 故答案为： 65．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）当时，则，可得出的解析式，综合可得出函数在上的解析式； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，则，此时， 综上所述 . (2) 小问详解： 当时，， 则函数在区间上单调递增，在上单调递减， 因为，当时，即当时，， 此时函数在上单调递增，则； 当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则函数在上单调递减， 所以. 综上所述 . 66．【答案】 【分析】 令，由条件可得的奇偶性与单调性，分为三种情况讨论，结合，得到不等式的解集. 【详解】 因为为上的奇函数，所以，. 不妨设，由得， 则，可得， 令，则在上单调递增， 的定义域为， 且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以， 故，即，解得； 当时，， 因为，所以， 故，解得； 当时，，符合题意， 故不等式的解集为. 故答案为：. 67．【答案】（1）     （2） 在上单调递减. 证明如下： 设，则 因为，则， ，所以， 所以在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数性质，结合已知条件可解； （2）根据单调性的证明步骤逐步证明即可； （3）将问题转化为两个函数值域的包含关系，分类讨论可得. (1) 小问详解： 因为是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 又因为，所以， 解得，所以， ，则为奇函数 所以 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 记在上的值域为集合A，在上的值域为集合B， 则原问题等价于 由（2）可知在上单调递减，所以 记在区间内的值域为. 当时，易知在上单调递减， 则， 得在区间内的值域为，满足 当时，在上单调递减， 则，， 得在区间内的值域为，满足， 当时，在上单调递减， 则， ，得在区间内的值域为，满足， 当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ， 得在区间内的值域为 无实数解 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，的取值范围为 68．【答案】（1） 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得 ，解得：， 故不等式的解集为. 69．【答案】（1）     （2）最小值为，最大值为      【分析】 （1）法一：根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； 法二：根据配凑法得到，根据求出的值，即得到解析式. （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性，进而求得最值. (1) 小问详解： 方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 70．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)由对称性以及二次函数的对称轴可求； (2) 讨论对称轴的范围，分三种情况：当时，；当时，，当时，. (3)首先讨论的单调性，得到单调性后可转化为与的不等式. (1) 小问详解： 因为，所以关于对称， 又因为的对称轴为， 所以，即. (2) 小问详解： 函数，是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当，即时， 当，即时， 当，即时， 综上所述 ， . (3) 小问详解： 当时,且单调递减； 当时，的对称轴为,在单调递减； 当时，单调递减， 所以单调递减， 因此，总有成立可转化为，总有， 即 ， 因为，当且仅当时取等号，所以， 故实数的取值范围为. 71．【答案】 【分析】 当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】 当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 72．【答案】（1） 因为函数在定义域上为奇函数，则满足， 即，，所以，则.     （2） 当，则， 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 所以在上单调递减.     （3）最大值为，最小值为      【分析】 （1）由函数奇偶性的定义，代入计算，即可证明； （2）由函数单调性的定义法即可判断并证明； （3）结合条件可得，在上单调递减，即可得到结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在定义域上为奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在上单调递减， 当时，， 当时，. 73．【答案】(1);(2) ;(3) 设 ∵       ∴ ∴        ∴f(x)在为单调减函数. 【分析】 （1）直接代入解析式计算； （2）设，利用及函数为偶函数可求得； （3）用单调性的定义，设，判断的正负即可得. 【详解】 （1）. （2）设 因为函数f(x)为偶函数，所以有 既 所以 . （3）略 【点睛】 点睛：判断或证明函数的单调性，一般都是利用单调性定义，即在定义域内设，计算，化简变形为积的形式，然后判断其正负，得和的大小. 74．【答案】（1） 依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数.     （2） 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数．     （3）      【分析】 （1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 75．【答案】（答案不唯一，） 【分析】 由恒成立，转化为，又，先求的最小值，由，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意有：，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 又由恒成立，所以， 所以，即，解得， 故答案为：（答案不唯一，） 76．【答案】 【分析】 根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】 设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 77．【答案】（1） 证明：若在上单调递增，则时，对，有， 则，不存在“点”； 若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”. 综上所述，不存在“点”.     （2） 当时，在上单调递增，则不存在“点”； 当时，则使在时有解的的个数即为的“点”的个数， 整理得，由得， 故，即存在唯一“点”. 综上所述，当时，不存在“点”； 当时，存在唯一“点”，.     （3） 证明：由题得在时有解， 即，等式两边平方后有， 即，又， 故等式两边平方得，且此时， 即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”. 又在时，单调递增，故，解得， 由得，即，恒成立，故； 的正数解为且在此时成立， 得，解得， 则“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.      【分析】 （1）分在上单调递增和在上单调递减两种情况结合“点”的定义进行判断证明即可； （2）分和两种情况结合“点”的定义分析判断即可； （3）由题得在时有解，化简变形后将问题转化为“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”，再结合函数的性质和不等式的性质可求出的范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 是函数的单调递增区间 B. 是函数的单调递减区间 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】 利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】 对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可. 【详解】 因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 3．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】 由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 4．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数，则函数的图象的可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，排除C选项. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 首先判断函数的奇偶性，再由时函数的符号及排除法，即可得. 【详解】 由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C； 当时，恒成立，排除D. 故选：A 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）函数的图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 去掉绝对值符号，函数可化为 ，进而答案可得. 【详解】 函数，可化为 为分段函数，即D项正确. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）函数的部分图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】 函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 8．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）若函数 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合一次函数和二次函数的单调性即可求得. 【详解】 由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 9．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）（多选）下列四个函数中，在上为增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 判断出每个函数的单调性即可得到答案. 【详解】 在、上单调递增，故A满足； 在上单调递减，在上单调递增，故B不满足； 在上单调递减，在上单调递增，故C满足； 在上单调递减，故D不满足； 故选：AC 10．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数 是上的减函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用每段函数递减，可得不等式组，求解不等式组可得答案. 【详解】 因为是上的减函数，所以 ， 解得. 故选：A 11．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数 ，则下列关于函数的结论错误的是（     ） A.  B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】C 【分析】 根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 12．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（       ） A.  B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 【答案】AB 【分析】 利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断． 【详解】 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使 D不正确； 令，则，即 A正确； 若在上有最小值－1，即对，，使得 当时，，即在上有最大值1 B正确； 根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确； 故选：AB． 13．（2026·甘肃兰州·三模）（多选）已知函数满足，当时，，则（     ） A.  B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 当时， 【答案】ABD 【详解】 由，可得， 故函数是上的奇函数，则即A，B正确，C错误； 当时，，则，故D正确. 14．（2026·甘肃兰州·三模）（多选）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（     ） A.  B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABD 【分析】 根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】 定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由① 得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于 或 可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数 则你为的“P界函数”．若函数，则（     ） A.  B. 的最小值为 C. 在上单调递减 D. 为偶函数 【答案】ABD 【分析】 根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】 根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为 ，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 16．（2026·甘肃多校·联考）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（       ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 利用奇偶性定义可判断A选项；直接计算可判断B选项；由，根据可得函数的值域可判断C选项；判断出的单调性，根据单调性可得，两边平方解不等式可判断D选项. 【详解】 对于A，，由， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B，由， 可得，故B选项正确； 对于C，由，又由，有， 有，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D，当时，由，可得函数在上单调递增， 又由函数为偶函数，可得函数的减区间为，增区间为， 若，有，不等式两边平方后可解得或，故D选项正确. 故选：ABD. 17．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】 ∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 18．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 是函数的最大值 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】AD 【分析】 根据奇函数性质判断A；举例判断B；根据时函数的解析式，结合函数的奇偶性判断C；写出函数的完整解析式为一个分段函数，分两种情况解不等式就可求解. 【详解】 因为函数的定义域为，所以时，函数有意义，所以，A正确； 因为函数为奇函数，所以，所以， 而，所以不是函数的最大值，B错误； 设，则，所以， 又为奇函数，，所以， 所以时，，C错误； 根据以上结果，有 ，所以， 有 ，解得，或 ，解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：AD 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A.  B.  C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】 因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 20．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）若函数 是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由分段函数的单调性和二次函数的单调性以及一次函数的单调性判断即可. 【详解】 二次函数的对称轴是， 当时，二次函数在为递减函数，此时，一次函数也为递减函数， 即，且处的函数值， 所以， 当时，由二次函数的单调性和题意判断不符合题意， 综上实数的取值范围是. 故选：D. 21．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A. 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 22．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）下列四种说法： （1）若函数在上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数； （2）若函数与轴没有交点，则且； （3）函数的单调递增区间为； （4）和是相同的函数. 其中正确的个数为（          ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 根据函数的单调性的定义判断A，根据二次函数的性质判断B，根据图象判断函数的单调性，判断C，根据函数相等的定义判断D. 【详解】 对于（1），对于函数 ，函数在上是增函数，在上也是增函数，因为，，所以，，所以在上不是增函数，故（1）错误； 对于（2），当时，与轴没有交点，故（2）错误； 对于（3）， ，可知函数的单调增区间为和，故（3）错误； 对于（4），与不表示相同的函数，故（4）错误. 故选：A. 23．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）（多选）狄利克雷是德国著名数学家，函数 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（       ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. ，使得 D.  【答案】AB 【分析】 根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 24．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则满足（       ） A.  B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】 利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即，所以， 所以，函数为上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对. 故选：ABD. 25．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数 是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用分段函数的单调性列出不等式组求解即得. 【详解】 因为函数 是上的单调递增函数， 函数在上为增函数，则，解得； 函数在上为增函数， 由于，则函数的图象开口向上，对称轴为直线，且， 此时函数在上为增函数，合乎题意； 因为函数在上为增函数，故，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 26．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用基本不等式求解，进而根据韦达定理，代入即可求解. 【详解】 由题意可得 ，则， 令，则，故，当且仅当，即时取到等号，此时， 因此，即， 故，代入可得，解得， 故选：C 27．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知定义域为的奇函数，则的值为（       ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 由奇函数定义域关于原点对称求出，再由奇函数性质求出，即可得解. 【详解】 因为定义域为的奇函数， 所以，解得， 又由奇函数可知，解得， 所以， 所以， 故选：A 28．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知连续函数满足：①，则有；②当时，；③，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用赋值法、构造函数法证得是奇函数，根据函数单调性的定义证得在上单调递减，由此化简不等式并求得其解集. 【详解】 依题意，，有， 令，得， 令，得， 令，得， 构造函数，则为奇函数，则， 任取，则 ， 由于，所以，所以， 所以，所以在上单调递减，则在上单调递减. 由得， ， ， 由得 ， 则， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 29．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知函数 在定义域上为减函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】 因为函数 在定义域上为减函数， 所以 ，解得， 故选：C 30．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】 由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增， 又对任意的恒成立 ，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A． 31．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（       ） A.  B.  C. 是函数图象的一个对称中心 D. 为偶函数 【答案】BCD 【分析】 由给定等式可得，再利用奇偶函数的性质，结合对称性的意义逐项判断得解. 【详解】 由函数的定义域为，，得， 对于A，由函数是定义在上的奇函数，得，令，得，A错误； 对于B，由，且为奇函数，得，B正确； 对于C，由，得，， 因此，是函数图象的一个对称中心，C正确； 对于D，由，得，函数是偶函数， 因此函数为偶函数，D正确. 故选：BCD 32．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数 ，有以下四个命题，其中假命题是 （    ） A. 函数是奇函数 B. ，， C. 函数是偶函数 D. ，， 【答案】A 【分析】 取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D. 【详解】 对于选项，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，故错误； 对于选项B，当时，， ，此时，故B正确； 对于选项C，若是有理数，则；若是无理数，，， ，又，则，因此，函数是偶函数，故正确； 对于选项D，若是有理数，，则均是有理数，则； 若是无理数，，则均是无理数，则， 因此，故D正确. 故选：A. 33．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【详解】 由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 34．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（       ） A.  B.  C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】 设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 35．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）定义在上的偶函数满足，当时，，则（     ） A. 的图象关于点对称 B.  C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ABC 【分析】 利用函数的对称性判断A；求出函数的值域判断B；利用偶函数的性质，结合题中条件求得的解析式判断C；举反例判断D. 【详解】 对于A，由，得的图象关于点对称，A正确； 对于C，当时，，则， 即当时，， 当时，，则， 因此当时，，C正确； 对于B，由，且为偶函数，得， 即，则，即函数是周期函数，周期为4， 由选项C知，函数在上的最小值为，最大值为1， 因此时，，B正确； 对于D，由B的解析可知，函数在上不单调，D错误. 故选：ABC 36．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】 由条件得，，，在上递增. 由得， 则 或． 故选：B． 37．（2026·甘肃多校·联考）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】 因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则 ，解得， 即实数a的取值范围为． 38．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数 满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数单调性的定义结合分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】 不妨设，由任意实数，都有，可知， 即在上单调递减， 根据一次函数与二次函数的性质，要满足题意需 ， 所以. 故选：B 39．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到 ，解出此不等式组，从而得解. 【详解】 定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ， ， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 40．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知是定义在上的偶函数，且时，． （1）求函数的表达式； （2）判断并证明函数在区间上的单调性． 【答案】（1）     （2）单调减函数，证明：设，， ∵，∴，， ∴，∴在为单调减函数．      【分析】 （1）设，则，根据是偶函数，可知，然后分两段写出函数解析式即可； （2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果． (1) 小问详解： 解：设，则，， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以 ． (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数是奇函数，当时，，则当时，　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】 设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 42．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知，． （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）证明：令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数.     （2）      【分析】 （1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 43．（2026·甘肃多校·联考）若函数为上的奇函数，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】0 【分析】 由函数奇偶性，利用，求出，再验证，即可求出结果. 【详解】 因为为上的奇函数， 所以，此时， 所以，即函数是奇函数， 所以满足题意. 故答案为：. 44．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． （1）求证:为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）若不等式:恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1）证明：函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数.     （2）-6     （3）      【分析】 （1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. (3) 小问详解： 由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 45．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】(－3，＋∞) 【分析】 因为x∈[1，＋∞)，所以f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0，令g(x)＝-x2-2x，利用分离参数法求g(x)的最大值可得. 【详解】 对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立； 等价于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3. 【详解】【点晴】 （1） 恒成立等价于； （2） 恒成立等价于； （3） 能成立等价于； （4） 能成立等价于. 46．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围 【详解】 根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象， 由， 当时，，结合图象可得； 当时，，可得， 所以的解为或. 故答案为：. 47．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t的不等式． 【答案】（1）；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，， 故在上单调递增．     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增， 所以 ，解得， 综上． 48．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数 ． （1）画出函数的简图（不必列表）； （2）求的值； （3）当时，求取值的集合． 【答案】（1）         （2）     （3）      【分析】 （1）根据绝对值的定义，化简得到函数的解析式，结合一次函数的图象，画出函数的图象； （2）由函数的解析式，先求得，进而求得的值； （3）根据函数的解析式，求得各段上函数的值域，进而得到函数的值域. (1) 小问详解： 由函数 ，可得 ， 则函数的图象，如图所示， (2) 小问详解： 解：由函数 ，可得，则. (3) 小问详解： 解：由函数 ， 由（1）中的函数的图象，可得： 在区间上，为单调递减函数，且，所以当时，的取值范围是； 在区间上，函数为单调递增函数，且，所以当时，的取值范围是； 在区间上，函数为单调递减函数，且，所以当时，的取值范围是； 在区间上，函数为单调递增函数，且，所以当时，的取值范围是， 综上可得，当时，求取值的集合为． 49．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数f（x）在上的解析式； （2）画出函数f（x）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域； （3）解不等式xf（x）＞0． 【答案】（1） ； （2）图像： 单调递增区间是，单调减区间（-3，-1），（1,3）；值域 ；（3）. 【分析】 （1）利用函数的奇偶性即可求解. （2）作出函数图像，利用函数图像即可求出单调区间与值域. （3）由（1）中函数的解析式，讨论的取值范围即可求解. 【详解】 解：（1）函数f（x）是定义在上的奇函数，所以当f（0）=0， 设，则，由时，f（x）＝x2+2x-1， 则，又函数为奇函数， 所以f（x）＝﹣x2+2x+1， 所以 （2）如图： 单调递增区间是，单调减区间（-3，-1），（1,3），值域是 . （3） 由，得， 由对称性得 由得 或 由图得到不等式的解集是. 50．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. (1) 小问详解： 因为函数的图象经过点，所以，解得. (2) 小问详解： ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. (3) 小问详解： 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 51．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】（1）     （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增．      【分析】 （1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. (2) 小问详解： 略 52．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知函数 （1）用函数的单调性的定义证明：在区间上为减函数； （2）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） 任取，，且， 则. ∵，∴，，所以，即， 所以. 所以在区间上是减函数.     （2）2      【分析】 （1）根据函数单调性的定义证明； （2）利用函数的单调性求最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在区间上是减函数，所以在区间上是减函数， 所以：当时，取得最大值，最大值为:. 53．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知，若函数的值域为，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】 由函数的值域为，得函数值域包含， 则 ，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 54．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】（1） 函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数；     （2） ， 单调增区间为：，单调减区间为：      【分析】 （1）利用奇函数定义，直接判断的奇偶性即可； （2）讨论和去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故 ， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 55．（2026·甘肃多校·联考）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． （1）证明：函数是奇函数； （2）证明：在上是增函数； （3）若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析     （3）      【分析】 （1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. (1) 小问详解： 令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； (2) 小问详解： 设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； (3) 小问详解： 对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则 ，即 ， 解得或，所以实数的取值范围是． 56．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据绝对值三角不等式可得，即可得求解， 【详解】 由于，故，即， 当且仅当等号成立，即. 故答案为： 57．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）证明：在上单调递减； （3）若，求m的取值范围. 【答案】（1）     （2） 证明：任取，，且， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由，求解即可； （2）由函数单调性的定义求证即可； （3）由函数的单调性、奇偶性去求解即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意， 所以，所以，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以， 所以 ， 解得，即m的取值范围是. 58．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知函数 （1）画出函数的图象； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）图象：      （2）.      【分析】 （1）由题得 ，直接作出函数的图象； （2）解不等式组 或 即得解. (1) 小问详解： 解：由题得 如图所示： (2) 小问详解： 解：由题可得 或 解得或， 所以实数的取值范围为. 59．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知函数 ，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】 依题意，对任意当时，都有， 所以在上单调递增， 所以 ， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 60．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2） 在上递增，证明如下：任取， 其中，，所以， 故在上递增．     （3）或      【分析】 （1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得. （2）用定义法证明即可. （3）由题意可得，函数的最小值大于等于函数的最小值，结合二次函数的性质可解. (1) 小问详解： 依题意函数是定义在上的奇函数， 所以，所以， ， 所以，经检验，该函数为奇函数． 故，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于对任意的，总存在，使得成立， 所以的最小值大于的最大值． 而由（2）知：，即在上恒成立， 当时，在上递增，，所以 ，解得； 当时，在上递减，，所以 ，解得，． 综上所述，或． 故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或． 61．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求、的值； （2）当，求函数的值域. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用奇函数的定义可求得的值，再利用可得出的值； （2）分析函数在上的单调性，即可得出该函数在上的值域. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 则，即，可得，则， 又因为，可得，故. (2) 小问详解： 任取、且， 则 ， 因为，则，， 故，即， 所以函数在上为增函数， 故当时，，即， 故当，函数的值域为. 62．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数，定义域为． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递增；证明如下： 设， 则， 化简得：， 因为，所以，，， 则，即， 所以函数在上单调递增；     （2）或.      【分析】 （1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】 （1）略 （2）因为在上单调递增，且， 所以可得 ， 由，得，则； 由，得，则； 由，即，因式分解得， 则 或 ，即 或 ， 解得或； 综上可得或. 63．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1）当时，解集为；当时，无解；当时，解集为；     （2）      【分析】 （1）化简后分、及讨论即可得； （2）参变分离后借助基本不等式计算即可得. (1) 小问详解： 可化为， 即，令，可得、， 当时，，则解集为； 当时，恒成立，则该不等式无解； 当时，，则解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) 小问详解： 由题意可得在时恒成立， 即在时恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故， 则实数取值范围为. 64．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】 因为存在，所以， 又当，单调递减，所以的最大值为. 所以. 故答案为： 65．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）当时，则，可得出的解析式，综合可得出函数在上的解析式； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，则，此时， 综上所述 . (2) 小问详解： 当时，， 则函数在区间上单调递增，在上单调递减， 因为，当时，即当时，， 此时函数在上单调递增，则； 当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则函数在上单调递减， 所以. 综上所述 . 66．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，由条件可得的奇偶性与单调性，分为三种情况讨论，结合，得到不等式的解集. 【详解】 因为为上的奇函数，所以，. 不妨设，由得， 则，可得， 令，则在上单调递增， 的定义域为， 且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以， 故，即，解得； 当时，， 因为，所以， 故，解得； 当时，，符合题意， 故不等式的解集为. 故答案为：. 67．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，其中，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） 在上单调递减. 证明如下： 设，则 因为，则， ，所以， 所以在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数性质，结合已知条件可解； （2）根据单调性的证明步骤逐步证明即可； （3）将问题转化为两个函数值域的包含关系，分类讨论可得. (1) 小问详解： 因为是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 又因为，所以， 解得，所以， ，则为奇函数 所以 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 记在上的值域为集合A，在上的值域为集合B， 则原问题等价于 由（2）可知在上单调递减，所以 记在区间内的值域为. 当时，易知在上单调递减， 则， 得在区间内的值域为，满足 当时，在上单调递减， 则，， 得在区间内的值域为，满足， 当时，在上单调递减， 则， ，得在区间内的值域为，满足， 当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ， 得在区间内的值域为 无实数解 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，的取值范围为 68．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得 ，解得：， 故不等式的解集为. 69．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数，且 （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1）     （2）最小值为，最大值为      【分析】 （1）法一：根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； 法二：根据配凑法得到，根据求出的值，即得到解析式. （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性，进而求得最值. (1) 小问详解： 方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 70．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知定义在上的函数，．当时，的最小值为． （1）若，求的值； （2）求的解析式； （3）若对于，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)由对称性以及二次函数的对称轴可求； (2) 讨论对称轴的范围，分三种情况：当时，；当时，，当时，. (3)首先讨论的单调性，得到单调性后可转化为与的不等式. (1) 小问详解： 因为，所以关于对称， 又因为的对称轴为， 所以，即. (2) 小问详解： 函数，是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当，即时， 当，即时， 当，即时， 综上所述 ， . (3) 小问详解： 当时,且单调递减； 当时，的对称轴为,在单调递减； 当时，单调递减， 所以单调递减， 因此，总有成立可转化为，总有， 即 ， 因为，当且仅当时取等号，所以， 故实数的取值范围为. 71．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，　　　　　　. 【答案】 【分析】 当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】 当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 72．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数在定义域上为奇函数． （1）证明； （2）当时，判断在上的单调性，并证明； （3）在（2）的条件下，求在上的最值． 【答案】（1） 因为函数在定义域上为奇函数，则满足， 即，，所以，则.     （2） 当，则， 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 所以在上单调递减.     （3）最大值为，最小值为      【分析】 （1）由函数奇偶性的定义，代入计算，即可证明； （2）由函数单调性的定义法即可判断并证明； （3）结合条件可得，在上单调递减，即可得到结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在定义域上为奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在上单调递减， 当时，， 当时，. 73．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知是定义在 上的偶函数，且时，． （1）求，； （2）求函数的表达式； （3）判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1);(2) ;(3) 设 ∵       ∴ ∴        ∴f(x)在为单调减函数. 【分析】 （1）直接代入解析式计算； （2）设，利用及函数为偶函数可求得； （3）用单调性的定义，设，判断的正负即可得. 【详解】 （1）. （2）设 因为函数f(x)为偶函数，所以有 既 所以 . （3）略 【点睛】 点睛：判断或证明函数的单调性，一般都是利用单调性定义，即在定义域内设，计算，化简变形为积的形式，然后判断其正负，得和的大小. 74．（2026·甘肃兰州·三模）已知满足对任意，都有，且，当时，． （1）计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断并证明在上的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） 依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数.     （2） 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数．     （3）      【分析】 （1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 75．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】 由恒成立，转化为，又，先求的最小值，由，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意有：，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 又由恒成立，所以， 所以，即，解得， 故答案为：（答案不唯一，） 76．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】 设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 77．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”； （2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”； （3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 【答案】（1） 证明：若在上单调递增，则时，对，有， 则，不存在“点”； 若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”. 综上所述，不存在“点”.     （2） 当时，在上单调递增，则不存在“点”； 当时，则使在时有解的的个数即为的“点”的个数， 整理得，由得， 故，即存在唯一“点”. 综上所述，当时，不存在“点”； 当时，存在唯一“点”，.     （3） 证明：由题得在时有解， 即，等式两边平方后有， 即，又， 故等式两边平方得，且此时， 即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”. 又在时，单调递增，故，解得， 由得，即，恒成立，故； 的正数解为且在此时成立， 得，解得， 则“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.      【分析】 （1）分在上单调递增和在上单调递减两种情况结合“点”的定义进行判断证明即可； （2）分和两种情况结合“点”的定义分析判断即可； （3）由题得在时有解，化简变形后将问题转化为“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”，再结合函数的性质和不等式的性质可求出的范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 是函数的单调递增区间 B. 是函数的单调递减区间 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 2．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数，则函数的图象的可能是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（     ） A.      B.      C.      D.      6．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）函数的图象是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）函数的部分图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）若函数 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）（多选）下列四个函数中，在上为增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数 是上的减函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数 ，则下列关于函数的结论错误的是（     ） A.  B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 12．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（       ） A.  B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 13．（2026·甘肃兰州·三模）（多选）已知函数满足，当时，，则（     ） A.  B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 当时， 14．（2026·甘肃兰州·三模）（多选）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（     ） A.  B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数 则你为的“P界函数”．若函数，则（     ） A.  B. 的最小值为 C. 在上单调递减 D. 为偶函数 16．（2026·甘肃多校·联考）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（       ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 17．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      18．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 是函数的最大值 C. 当时， D. 不等式的解集是 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A.  B.  C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 20．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）若函数 是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（       ）． A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）下列四种说法： （1）若函数在上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数； （2）若函数与轴没有交点，则且； （3）函数的单调递增区间为； （4）和是相同的函数. 其中正确的个数为（          ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 23．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）（多选）狄利克雷是德国著名数学家，函数 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（       ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. ，使得 D.  24．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则满足（       ） A.  B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 25．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数 是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知定义域为的奇函数，则的值为（       ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 28．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知连续函数满足：①，则有；②当时，；③，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知函数 在定义域上为减函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（       ） A.  B.  C. 是函数图象的一个对称中心 D. 为偶函数 32．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数 ，有以下四个命题，其中假命题是 （    ） A. 函数是奇函数 B. ，， C. 函数是偶函数 D. ，， 33．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（       ） A.  B.  C. 3 D. 4 35．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）定义在上的偶函数满足，当时，，则（     ） A. 的图象关于点对称 B.  C. 当时， D. 在上单调递减 36．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（2026·甘肃多校·联考）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数 满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知是定义在上的偶函数，且时，． （1）求函数的表达式； （2）判断并证明函数在区间上的单调性． 41．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数是奇函数，当时，，则当时，　　　　　　　　. 42．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知，． （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的值域. 43．（2026·甘肃多校·联考）若函数为上的奇函数，则实数　　　　　　　　　　. 44．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． （1）求证:为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）若不等式:恒成立，求a的取值范围； 45．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　． 46．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t的不等式． 48．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数 ． （1）画出函数的简图（不必列表）； （2）求的值； （3）当时，求取值的集合． 49．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数f（x）在上的解析式； （2）画出函数f（x）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域； （3）解不等式xf（x）＞0． 50．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 51．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 52．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知函数 （1）用函数的单调性的定义证明：在区间上为减函数； （2）求函数在区间上的最大值． 53．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知，若函数的值域为，则的取值范围是　　　　　　． 54．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 55．（2026·甘肃多校·联考）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． （1）证明：函数是奇函数； （2）证明：在上是增函数； （3）若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 56．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为　　　　　. 57．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）证明：在上单调递减； （3）若，求m的取值范围. 58．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知函数 （1）画出函数的图象； （2）当时，求实数的取值范围. 59．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知函数 ，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为　　　　　　　 60．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 61．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求、的值； （2）当，求函数的值域. 62．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数，定义域为． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． （2）若，求实数的取值范围． 63．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围. 64．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为　　　　　　. 65．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值. 66．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为　　　　　　. 67．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，其中，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 68．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 69．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数，且 （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值． 70．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知定义在上的函数，．当时，的最小值为． （1）若，求的值； （2）求的解析式； （3）若对于，总有成立，求实数的取值范围. 71．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，　　　　　　. 72．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数在定义域上为奇函数． （1）证明； （2）当时，判断在上的单调性，并证明； （3）在（2）的条件下，求在上的最值． 73．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知是定义在 上的偶函数，且时，． （1）求，； （2）求函数的表达式； （3）判断并证明函数在区间上的单调性. 74．（2026·甘肃兰州·三模）已知满足对任意，都有，且，当时，． （1）计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断并证明在上的单调性； （3）求不等式的解集． 75．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是　　　　　　． 76．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　. 77．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”； （2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”； （3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $