专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．B 2．C 3．ABD 4．D 5．ABC 6．A 7．D 8．D 9．C 10．ACD 11．AD 12．BCD 13．【答案】 【分析】 由不等式的性质求解. 【详解】 ，， 设， 所以 ，解得： ， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 考点02 基本不等式 1．ABD 2．A 3．BD 4．B 5．CD 6．B 7．B 8．B 9．A 10．B 11．B 12．ACD 13．BD 14．D 15．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】 （1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 16．【答案】（1） 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以.     （2）2      【分析】 （1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 17．【答案】4 【分析】 灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】 易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 18．【答案】 【分析】 由换元法与基本不等式求解， 【详解】 令 ， （当且仅当，即时，取等号）． 故答案为： 19．【答案】（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小     （2）      【分析】 （1）利用基本不等式求解和的最小值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意得，所用篱笆总长为， 因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. (2) 小问详解： 由题意得，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是. 20．【答案】（1）；     （2）2；     （3）或.      【分析】 （1）直接利用基本不等式即可求得最值. （2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果. （3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得. (1) 小问详解： 由都是正数，得，解得， 当且仅当，即 时取等号， 所以的最大值为. (2) 小问详解： 由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即 时等号成立， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．C 9．BCD 10．D 11．C 12．BCD 13．C 14．D 15．D 16．AC 17．D 18．C 19．BCD 20．AB 21．D 22．BCD 23．B 24．B 25．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为, 故答案为： 26．【答案】 【分析】 不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 27．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据分式不等式的解法求得正确答案. (1) 小问详解： ，解得或， 所以不等式的解集为或. (2) 小问详解： ， 即，解得或， 所以不等式的解集为或. 28．【答案】 【分析】 结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】 由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）原不等式可化为，再根据一元二次不等式解集公式得出结果； （2）先移项再通分转化为，由分子恒为正数，得出分母大于零求得结果. (1) 小问详解： 原不等式可化为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. (2) 小问详解： 原不等式可化为，， 因为， 所以，即. 所以原不等式的解集为. 30．【答案】 【分析】 先根据交集和补集运算求解，然后利用有解求解的范围即可. 【详解】 因为，，所以， 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意，或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 31．【答案】（1）－1．     （2）3．     （3）．      【分析】 （1）利用韦达定理进行求解； （2）先求出，再由基本不等式求解； （3）由 进行求解． (1) 小问详解： 由，可得， 因为， 所以， 解得或－7（舍去），故的值为－1． (2) 小问详解： 当时，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． (3) 小问详解： 因为是两个不相等的正数，所以 解得 ，所以或， 所以实数的取值范围是． 32．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）解不等式化简命题，由充分不必要条件列出不等式求解； （2）根据命题的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解. (1) 小问详解： 由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有 ，解可得； (2) 小问详解： 若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 33．【答案】（1）2     （2）      【分析】 （1）根据基本不等式，即可求解； （2）根据，代入，转化为二次函数求最小值. (1) 小问详解： ，，得， 当时，等号成立， 所以的最大值为2； (2) 小问详解： ， ， 当时，时，取得最小值. 34．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法解出答案即可. （2）根据一元二次不等式的解法解出答案即可. （3）移项通分，结合一元二次不等式的解法解出答案即可. (1) 小问详解： 由可得， 所以或，即解集为； (2) 小问详解： 由可得， 所以，即解集为； (3) 小问详解： 由 得：， 即， 即 ， 解得：， 即解集为 35．【答案】 【分析】 利用全称命题将已知转化为，求最值即可. 【详解】 由已知命题“，”是真命题，得， 又，， 所以的最大值为. 故答案为：. 36．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由一元二次不等式的解法可得； （2）结合二次函数的性质分的取值讨论可得. (1) 小问详解： 若，则， 所以，解得， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，对称轴处取最大值，所以； 当时，函数在区间上单调递增，所以， 综上， . 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由分式不等式的解法结合集合的运算可得； （2）由已知得到，再分和两种情况由集合的包含关系可得. (1) 小问详解： 当时，， ， 所以， 所以. (2) 小问详解： 若，则， 当时，； 当时， ，解得； 综上，实数的取值范围为. 38．【答案】（1） ； （2）或； （3）函数在区间上的最大值为 . 【分析】 （1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解； （3）由（1）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解. 【详解】 （1）设，则，可得， 又由为偶函数，所以， 所以当时，， 所以 . （2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，， 又函数在区间上具有单调性，且， 所以或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围是或． （3）由（1）可知，函数 ，由于， 当时，， 作出在上的草图，如图所示， 由图象可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示： 由图像可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示， 由图像可知，； 综上所述： 函数在区间上的最大值为 . 39．【答案】（1） 由函数为奇函数，有，解得， 当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意． 设，有 ， 由，有，有，故函数在上单调递增；     （2）     （3）      【分析】 （1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可； （2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可； （3）将题意转化为方程有两个不相等的正根， (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由 ． （1）当时，不等式为恒成立，符合题意； （2）当时，有，解得， 由上知实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由，方程可化为， 若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根， 故有 ，即 解得． 故实数的取值范围为． 40．【答案】（1）（2）或 【分析】 （1）根据必要不充分条件得到集合包含关系，得到不等式，求出答案； （2）求出、为真命题时的取值范围，分真假和假真两种情况，得到答案. 【详解】 （1）设，， 是的必要不充分条件，故是的真子集， 所以 或 ，解得， 故实数的取值范围是； （2）有两个异号的实数根， 故 ，即 ，解得； 无实根，，解得， 命题、一真一假，若真假，则与或取交集得； 若假真，则与取交集得； 由与取并集得或， 综上，实数的取值范围是或. 41．【答案】（1）或     （2）（i） （ii）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为.      【分析】 （1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. (2) 小问详解： （ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上： ； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 42．【答案】（1）；     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或.     （3）.      【分析】 （1）当时验证解集；当时，由不等式解集分析相应二次函数图象和二次方程根的情况求解； （2）将不等式因式分解，分情况讨论取值求解； （3）通过分离参数，将问题转化为最值问题求解. (1) 小问详解： 当，即时，不等式即，解集不是，不符合题意； 当，即时，若不等式的解集为， 则二次函数开口向上，且与轴至多一个交点， 也即方程至多一个实根， 所以 ，即 ，解得， 即的取值范围为. (2) 小问详解： ，即，亦即， 当时，， 若，即，则，所以，所以， 此时不等式的解集为； 若，即，则不等式即，解集为； 若，即，则，不等式解集为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. (3) 小问详解： 不等式，即， 故， 即，可化为. 设，对称轴为，且对称轴在区间内，离对称轴较远的端点为左端点， 所以当时，；当时，，所以， 所以， 因为对任意，不等式恒成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 43．【答案】（1）     （2）在上单调递减，在上单调递增     （3） 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为.      【分析】 （1）设，利用待定系数法即可求出解析式； （2）由，二次函数图象开口向上，且对称轴为，可得单调区间； （3）通过讨论，，时，即可求得二次函数在区间上的最值. (1) 小问详解： 因为是二次函数， 设， ∴， 所以， ∵，即， ∴ ，即 ， 又∵，∴， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，， 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. (3) 小问详解： 由（2）知，当时，在区间上单调递减， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 综上，当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为. 44．【答案】 【分析】 根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】 不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 45．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）首先根据已知条件确定函数表达式，然后根据不等式的解集得到方程的两个根，进而根据韦达定理求解参数值； （2）首先将已知条件代入函数表达式中，根据系数对应相等求解系数与的值，然后根据为偶函数，得，代入求解系数的值，进而求解函数解析式； （3）首先根据已知条件即韦达定理得到系数关系：，然后根据二次函数的表达式，结合二次函数的性质确定的最小值，求解出，最后再根据对勾函数求解的最大值即可. (1) 小问详解： 已知，，则，所以. 因为的解集为，所以，且，是方程的两个根. 根据韦达定理可得：，解得：；，解得：. 由此可得：. (2) 小问详解： 已知， 将，，代入可得： ， 整理得： ， 即：，得： ，解得：，. 所以. 又为偶函数，所以， 将代入可得： ， 整理得： ， 即：，得：. 综上可得：. (3) 小问详解： 因为为方程的两个实数根， 所以，，又，， 由， 得：，即. 因为，故此时二次函数的对称轴直线到直线与到直线的距离均为. 则二次函数的对称轴直线为. 由于，，故. 因此当时，的最小值为. 即 ， 令，根据对勾函数易知函数在上单调递增， 因此当时函数取得最小值，最小值为. 故当时取得最大值，最大值为 故的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知，则下列不等式中成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）下列命题中，正确的是（       ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）对于实数，，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）若，，，且，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）若、、为实数，则下列命题正确的是（       ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）下面命题正确的有（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10．（2026·甘肃多校·联考）（多选）已知，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 13．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，，则的取值范围是　　　　　　　　. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）若，则的最小值是（       ） A. 4 B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知正数a，b满足，则（       ） A.  B. a与b可能相等 C.  D. 的最小值为 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（       ） A. 12 B.  C.  D. 15 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 集合与集合是同一个集合 B. 若，，则 C. 若，则函数的最小值为3 D. 集合，，若，则a的值为0或4 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知a，b均为正数，且，则的最小值为（       ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知，且，则的最小值为（       ） A.  B. 4 C. 3 D. 2 9．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知，，，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D.  10．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（       ） A. 10 B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（     ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 13．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 14．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 16．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 17．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设，则的最小值为　　　　　　　　　． 18．（2026·甘肃多校·联考）已知实数，则的最小值为　　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 20．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（       ） A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 2．（2026·甘肃多校·联考）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  3．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集为,则函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（       ）． A. 6 B.  C.  D. 4 8．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）若要使有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 12．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（2026·甘肃兰州·三模）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·甘肃多校·联考）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D.  17．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 不等式的解集为 B. 命题“若，则、中至少有个大于”为真命题 C. 若正实数、满足，则 D. 集合中的元素个数为 20．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 的最小值为 21．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（       ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 23．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知集合，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 25．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）不等式的解集为　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　　． 27．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）解不等式： （1） （2） 28．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）解下列不等式： （1）； （2）． 30．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是　　　　　　. 31．（2026·甘肃多校·联考）已知是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 32．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知：，：. （1）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 33．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 34．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）解下列不等式： （1） （2） （3）； 35．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知命题“，”为真命题，则的最大值为　　　　　　． 36．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知二次函数. （1）若，解不等式； （2）求函数在区间上的最大值. 37．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 38．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数是偶函数．当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值，其中． 39．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数且）为定义在R上的奇函数 （1）利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 40．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（1）已知p：，q：，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （2）已知命题p：有两个异号的实数根，q：无实根，若命题p、q一真一假，求实数m的取值范围． 41．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 42．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 43．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知是二次函数，且满足，. （1）求的解析式； （2）直接写出的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 44．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 45．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知一元二次函数．设方程的两个实数根，． （1）当，时，若的解集为，求的值； （2）若对于任意x，，，且为偶函数，求； （3）当时，，且当时，的最小值为，求的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【详解】根据不等式的性质，或取特值排除，可判断结论. 【详解】选项A: 时，， 所以选项A不正确； 选项B:, 所以选项B正确； 选项C:若，不等式不成立，所以不正确； 选项D:,不等式不成立，所以不正确. 故选:B 【点睛】本题考查不等式成立的判定，考查不等式的性质，属于基础题. 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据不等式的基本性质判断各选项即可. 【详解】 由，得，，，. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知，则下列不等式中成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式可判断A；由不等式的性质可得B；利用特值可得C的正误，利用作差比较法可得D的正误. 【详解】 对于A，因为，所以，由基本不等式可得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，B正确； 对于C，当，，C错误； 对于D，， 因为，所以，，所以，即，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）下列命题中，正确的是（       ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【详解】 对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）对于实数，，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【分析】 利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答. 【详解】 对于A，，两边同时除以，则，A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，因为，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ABC 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【分析】 利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）若，，，且，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、D，利用作差法判断C. 【详解】 对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，则，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以，，所以，故D正确； 故选：D 8．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）若、、为实数，则下列命题正确的是（       ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】 对于A：当时结论不成立，所以A错误； 对于B：因为，所以，所以， 两边同除可得，B错误； 对于C：因为，两边同除可得，C错误； 对于D：因为，两边同乘可得，两边同乘可得， 所以，D正确， 故选：D 9．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）下面命题正确的有（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【分析】 通过反例可排除ABD；利用作差法，结合立方差公式可整理得到C正确. 【详解】 对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则， 又，，即，C正确； 对于D，若，，，，则，，此时，D错误. 故选：C. 10．（2026·甘肃多校·联考）（多选）已知，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 对于B，举反例即可判断；对于ACD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确； 故选：ACD. 11．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 利用作差法比较各式大小，即可确定选项A、D正确，选项B、C错误. 【详解】 由可得，. 对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，，当时，，故C选项不正确； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：AD. 12．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 利用不等式的性质可判断CBD选项；举反例可判断A选项. 【详解】 A选项，取，满足，但，为假命题. B选项，，则，利用同向可加性，可知，为真命题. C选项，不等式两边同乘，得，为真命题. D选项，，，故， 又，利用同向可乘性，可知，为真命题. 故选：BCD 13．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，，则的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由不等式的性质求解. 【详解】 ，， 设， 所以 ，解得： ， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 【答案】ABD 【分析】 对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可； 对于B，根据假命题相关知识求解即可； 对于C，根据充要条件相关知识判断即可； 对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可. 【详解】 对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故B正确； 对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确. 故选：ABD 2．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）若，则的最小值是（       ） A. 4 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据基本不等式计算直接得出结果. 【详解】 因为，所以， 则， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为4. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知正数a，b满足，则（       ） A.  B. a与b可能相等 C.  D. 的最小值为 【答案】BD 【分析】 根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得. 【详解】 由正数a，b满足，得，A错误； 若，则，而a为正数，则，B正确； 显然，则，当且仅当时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（       ） A. 12 B.  C.  D. 15 【答案】B 【分析】 因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】 因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 集合与集合是同一个集合 B. 若，，则 C. 若，则函数的最小值为3 D. 集合，，若，则a的值为0或4 【答案】CD 【分析】 对于A项，求出两个集合进行判断；对于B项，作差进行判断；对于C项，由基本不等式求解；对于D项，由得 进行求解． 【详解】 对于A，，，它们不是同一个集合，A错误； 对于B，，因为，，所以，得，B错误； 对于C，，且， 当且仅当，即时取等号，故函数最小值为3，C正确； 对于D，若，则，得 ，解得a为0或4，D正确． 故选：CD 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知a，b均为正数，且，则的最小值为（       ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【分析】 根据“1”的变形技巧及均值不等式求解即可. 【详解】 因为a，b均为正数，且， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 故选：B 7．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知，且，则的最小值为（       ） A.  B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 利用1的代换，结合基本不等式可求最小值. 【详解】 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知，，，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 把用表示代入，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 由可得， 所以. 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A 10．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（       ） A. 10 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 推导出，，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为正数、满足，可得，则， 所以，，，可得，，所以，，， 所以，， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】 因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 12．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（     ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ACD 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】 正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 13．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 【答案】BD 【分析】 A由韦达定理可判断选项正误；BD由基本不等式可判断选项正误；C由A选项分析利用二次函数知识可判断选项正误. 【详解】 对于A，因的解集为， 则的解为与1，由韦达定理， 则 ，两式相除，得 ， 故，则A错误； 对于B，由基本不等式，，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由A，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD 14．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解. 【详解】 因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 15．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】 （1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 16．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 【答案】（1） 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以.     （2）2      【分析】 （1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 17．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】 易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 18．（2026·甘肃多校·联考）已知实数，则的最小值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由换元法与基本不等式求解， 【详解】 令 ， （当且仅当，即时，取等号）． 故答案为： 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 【答案】（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小     （2）      【分析】 （1）利用基本不等式求解和的最小值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意得，所用篱笆总长为， 因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. (2) 小问详解： 由题意得，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是. 20．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）2；     （3）或.      【分析】 （1）直接利用基本不等式即可求得最值. （2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果. （3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得. (1) 小问详解： 由都是正数，得，解得， 当且仅当，即 时取等号， 所以的最大值为. (2) 小问详解： 由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即 时等号成立， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北中学·期中）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（       ） A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 【答案】B 【分析】 依题意可得 ，解得即可. 【详解】 由题意可得 ，整理得 ， 即 ，解得，则的最大值是25. 故选：B 2．（2026·甘肃多校·联考）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 由一元一次不等式的解集可知的关系，再求解一元二次不等式. 【详解】 由不等式的解集是，可知，且， ，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 3．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集为,则函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】 根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有 ，变形可得 ， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 4．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据单调性得到，解得答案. 【详解】 函数在区间上是增函数，则，解得. 故选：D 5．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】 当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 6．（25-26学年高一上·甘肃兰州第二中学·期中）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过移项、通分将分式不等式转化为整式不等式组求解. 【详解】 将不等式变形为，通分后得， 即，. 该不等式等价于 ，解得. 故选：C 7．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（       ）． A. 6 B.  C.  D. 4 【答案】A 【分析】 将分式不等式化为整式不等式，利用二次函数与一元二次不等式、方程的关系计算参数即可. 【详解】 由且x不等于1， 由题意得，，解得． 故选：A． 8．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意可得，令，解一元二次不等式即可得结果. 【详解】 由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）（多选）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 【分析】 由题知，进而根据题意得，再根据集合关系求解即可. 【详解】 解：解不等式得， 所以， 因为，“”是“”的充分不必要条件， 所以，即的取值范围为， 所以，可以是. 故选：BCD 10．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过解分式不等式求得正确答案. 【详解】 依题意，， 所以， 所以 ，解得或， 所以不等式的解集是. 故选：D 11．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）若要使有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 由题可得且，解不等式即可求解. 【详解】 要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或． 故选C． 12．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解. 【详解】 因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 13．（2026·甘肃兰州·三模）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集. 14．（2026·甘肃多校·联考）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】 不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值， 故选：D． 15．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分类讨论，由不等式恒成立进行求解． 【详解】 因为不等式对一切实数都成立， 则当时，满足题意； 当时， ，解得， 综上所述的取值范围为． 故选：D． 16．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D.  【答案】AC 【分析】 根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得 ，代入不等式，根据即可判断选项B；根据 ，代入不等式求解，即可判断选项C；根据 ，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】 关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得 ，解得 . 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为 ，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 17．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由特称命题的否定转化得全称命题，再利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可. 【详解】 因为“，”为假命题， 所以，为真命题， 所以，解得， 故的取值范围为， 故选：D． 18．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】 因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得 ，解得 ， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 19．（25-26学年高一上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 不等式的解集为 B. 命题“若，则、中至少有个大于”为真命题 C. 若正实数、满足，则 D. 集合中的元素个数为 【答案】BCD 【分析】 利用一元二次不等式的解法可判断A选项；利用反证法可判断B选项；求出的取值范围额，结合作差法可判断C选项；利用列举法可判断D选项. 【详解】 对于A选项，原不等式即为，解得或， 故不等式的解集为，A错； 对于B选项，若，不妨假设且，由不等式的性质可得， 这与题设条件矛盾，假设不成立，故、中至少有个大于，即原命题为真命题，B对； 对于C选项，因为正实数、满足，由 得， 则， 且有，故，C对； 对于D选项，当且，则， 故，即有个元素，D对. 故选：BCD. 20．（25-26学年高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 的最小值为 【答案】AB 【分析】 已知关于x的不等式的解集为，则 ，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】 因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以 ，解得 ， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 21．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】 ，，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 22．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（       ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】 A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 23．（25-26学年高一上·甘肃部分学校·期中）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可. 【详解】 易知对称轴为，故，易知，， 可得，而，故在上单调递增， 且， ，故， 故是的子集， 可得 ，解得，故B正确. 故选：B 24．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知集合，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据得到的取值范围，再进行判断. 【详解】 ， 若，则 ，解得， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 25．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为, 故答案为： 26．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 27．（25-26学年高一上·甘肃武威凉州区·期中）解不等式： （1） （2） 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据分式不等式的解法求得正确答案. (1) 小问详解： ，解得或， 所以不等式的解集为或. (2) 小问详解： ， 即，解得或， 所以不等式的解集为或. 28．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】 由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 29．（25-26学年高一上·甘肃兰州·期中）解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）原不等式可化为，再根据一元二次不等式解集公式得出结果； （2）先移项再通分转化为，由分子恒为正数，得出分母大于零求得结果. (1) 小问详解： 原不等式可化为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. (2) 小问详解： 原不等式可化为，， 因为， 所以，即. 所以原不等式的解集为. 30．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据交集和补集运算求解，然后利用有解求解的范围即可. 【详解】 因为，，所以， 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意，或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 31．（2026·甘肃多校·联考）已知是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】（1）－1．     （2）3．     （3）．      【分析】 （1）利用韦达定理进行求解； （2）先求出，再由基本不等式求解； （3）由 进行求解． (1) 小问详解： 由，可得， 因为， 所以， 解得或－7（舍去），故的值为－1． (2) 小问详解： 当时，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． (3) 小问详解： 因为是两个不相等的正数，所以 解得 ，所以或， 所以实数的取值范围是． 32．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知：，：. （1）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）解不等式化简命题，由充分不必要条件列出不等式求解； （2）根据命题的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解. (1) 小问详解： 由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有 ，解可得； (2) 小问详解： 若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 33．（25-26学年高一上·甘肃张掖民乐县第一中学·期中）已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）2     （2）      【分析】 （1）根据基本不等式，即可求解； （2）根据，代入，转化为二次函数求最小值. (1) 小问详解： ，，得， 当时，等号成立， 所以的最大值为2； (2) 小问详解： ， ， 当时，时，取得最小值. 34．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）解下列不等式： （1） （2） （3）； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法解出答案即可. （2）根据一元二次不等式的解法解出答案即可. （3）移项通分，结合一元二次不等式的解法解出答案即可. (1) 小问详解： 由可得， 所以或，即解集为； (2) 小问详解： 由可得， 所以，即解集为； (3) 小问详解： 由 得：， 即， 即 ， 解得：， 即解集为 35．（25-26学年高一上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知命题“，”为真命题，则的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用全称命题将已知转化为，求最值即可. 【详解】 由已知命题“，”是真命题，得， 又，， 所以的最大值为. 故答案为：. 36．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知二次函数. （1）若，解不等式； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由一元二次不等式的解法可得； （2）结合二次函数的性质分的取值讨论可得. (1) 小问详解： 若，则， 所以，解得， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，对称轴处取最大值，所以； 当时，函数在区间上单调递增，所以， 综上， . 37．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由分式不等式的解法结合集合的运算可得； （2）由已知得到，再分和两种情况由集合的包含关系可得. (1) 小问详解： 当时，， ， 所以， 所以. (2) 小问详解： 若，则， 当时，； 当时， ，解得； 综上，实数的取值范围为. 38．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数是偶函数．当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值，其中． 【答案】（1） ； （2）或； （3）函数在区间上的最大值为 . 【分析】 （1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解； （3）由（1）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解. 【详解】 （1）设，则，可得， 又由为偶函数，所以， 所以当时，， 所以 . （2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，， 又函数在区间上具有单调性，且， 所以或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围是或． （3）由（1）可知，函数 ，由于， 当时，， 作出在上的草图，如图所示， 由图象可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示： 由图像可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示， 由图像可知，； 综上所述： 函数在区间上的最大值为 . 39．（25-26学年高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知函数且）为定义在R上的奇函数 （1）利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 【答案】（1） 由函数为奇函数，有，解得， 当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意． 设，有 ， 由，有，有，故函数在上单调递增；     （2）     （3）      【分析】 （1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可； （2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可； （3）将题意转化为方程有两个不相等的正根， (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由 ． （1）当时，不等式为恒成立，符合题意； （2）当时，有，解得， 由上知实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由，方程可化为， 若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根， 故有 ，即 解得． 故实数的取值范围为． 40．（25-26学年高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（1）已知p：，q：，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （2）已知命题p：有两个异号的实数根，q：无实根，若命题p、q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（2）或 【分析】 （1）根据必要不充分条件得到集合包含关系，得到不等式，求出答案； （2）求出、为真命题时的取值范围，分真假和假真两种情况，得到答案. 【详解】 （1）设，， 是的必要不充分条件，故是的真子集， 所以 或 ，解得， 故实数的取值范围是； （2）有两个异号的实数根， 故 ，即 ，解得； 无实根，，解得， 命题、一真一假，若真假，则与或取交集得； 若假真，则与取交集得； 由与取并集得或， 综上，实数的取值范围是或. 41．（25-26学年高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中）已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】（1）或     （2）（i） （ii）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为.      【分析】 （1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. (2) 小问详解： （ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上： ； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 42．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或.     （3）.      【分析】 （1）当时验证解集；当时，由不等式解集分析相应二次函数图象和二次方程根的情况求解； （2）将不等式因式分解，分情况讨论取值求解； （3）通过分离参数，将问题转化为最值问题求解. (1) 小问详解： 当，即时，不等式即，解集不是，不符合题意； 当，即时，若不等式的解集为， 则二次函数开口向上，且与轴至多一个交点， 也即方程至多一个实根， 所以 ，即 ，解得， 即的取值范围为. (2) 小问详解： ，即，亦即， 当时，， 若，即，则，所以，所以， 此时不等式的解集为； 若，即，则不等式即，解集为； 若，即，则，不等式解集为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. (3) 小问详解： 不等式，即， 故， 即，可化为. 设，对称轴为，且对称轴在区间内，离对称轴较远的端点为左端点， 所以当时，；当时，，所以， 所以， 因为对任意，不等式恒成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 43．（25-26学年高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中）已知是二次函数，且满足，. （1）求的解析式； （2）直接写出的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）     （2）在上单调递减，在上单调递增     （3） 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为.      【分析】 （1）设，利用待定系数法即可求出解析式； （2）由，二次函数图象开口向上，且对称轴为，可得单调区间； （3）通过讨论，，时，即可求得二次函数在区间上的最值. (1) 小问详解： 因为是二次函数， 设， ∴， 所以， ∵，即， ∴ ，即 ， 又∵，∴， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，， 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. (3) 小问详解： 由（2）知，当时，在区间上单调递减， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 综上，当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为. 44．（25-26学年高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】 不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 45．（25-26学年高一上·甘肃兰州第一中学·期中）已知一元二次函数．设方程的两个实数根，． （1）当，时，若的解集为，求的值； （2）若对于任意x，，，且为偶函数，求； （3）当时，，且当时，的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）首先根据已知条件确定函数表达式，然后根据不等式的解集得到方程的两个根，进而根据韦达定理求解参数值； （2）首先将已知条件代入函数表达式中，根据系数对应相等求解系数与的值，然后根据为偶函数，得，代入求解系数的值，进而求解函数解析式； （3）首先根据已知条件即韦达定理得到系数关系：，然后根据二次函数的表达式，结合二次函数的性质确定的最小值，求解出，最后再根据对勾函数求解的最大值即可. (1) 小问详解： 已知，，则，所以. 因为的解集为，所以，且，是方程的两个根. 根据韦达定理可得：，解得：；，解得：. 由此可得：. (2) 小问详解： 已知， 将，，代入可得： ， 整理得： ， 即：，得： ，解得：，. 所以. 又为偶函数，所以， 将代入可得： ， 整理得： ， 即：，得：. 综上可得：. (3) 小问详解： 因为为方程的两个实数根， 所以，，又，， 由， 得：，即. 因为，故此时二次函数的对称轴直线到直线与到直线的距离均为. 则二次函数的对称轴直线为. 由于，，故. 因此当时，的最小值为. 即 ， 令，根据对勾函数易知函数在上单调递增， 因此当时函数取得最小值，最小值为. 故当时取得最大值，最大值为 故的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $