精品解析：甘肃省兰州市西北中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知： 所以，， 所以答案选A 【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，或取特值排除，可判断结论. 【详解】选项A: 时，， 所以选项A不正确； 选项B:, 所以选项B正确； 选项C:若，不等式不成立，所以不正确； 选项D:,不等式不成立，所以不正确. 故选:B 【点睛】本题考查不等式成立的判定，考查不等式的性质，属于基础题. 4. “”是“关于x的方程（）有实数解”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出方程（）有实数解的条件，然后再判断求解. 【详解】方程（）有实数解 则，解得：或， 所以当时，方程（）有实数解， 当方程（）有实数解时，不一定成立. 故“”是“关于x的方程（）有实数解”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5. 已知a，b均为正数，且，则的最小值为（ ） A 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及均值不等式求解即可. 【详解】因为a，b均为正数，且， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案. 【详解】因为，所以，定义域为； 因为，所以，故，所以为奇函数，排除B， 当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快， 所以趋向于，排除D， 由，，则，排除C. 故选：A. 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数在各段上的单调性结合分段点的高低得关于参数的不等式，从而可求其范围. 【详解】根据题意，因为在上满足， 则在上单调递减， 而， 则有，解得， 即实数的取值范围为． 故选：B． 8. 已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（ ） A 20 B. 25 C. 27 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 二、多选题（每小题6分，全部选对的6分，选对但不全得部分分，有错选得0分） 9. 设集合，则（ ） A. B. 的元素个数为16 C. D. 的子集个数为64 【答案】BCD 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于ABC，因为， 所以，即， 所以有个元素，故A错误，BC正确； 对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可； 对于B，根据假命题相关知识求解即可； 对于C，根据充要条件相关知识判断即可； 对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故B正确； 对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确. 故选：ABD 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 在上单调递减 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 13. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14 已知函数满足，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 由，可得，两式联立，消去，可求出的解析式 【详解】解：因为①，所以用替换， 得 ② 由得 故答案为：， 【点睛】此题考查利用构造法求函数解析式，属于基础题. 四、解答题 15. （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的定义设出函数表达式，代入已知等式求解系数； （2）通过作差法比较两个代数式的大小，因式分解后根据条件判断符号. 【详解】（1）已知是一次函数，可设， 由题可知：， 即， 因为，所以， 解得． 所以函数的解析式为． （2）由 都是正实数，且， 即． 16. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】（1）是偶函数，证明见解析 （2），函数图象见解析；单调增区间为：，单调减区间为： 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义，直接判断的奇偶性即可； （2）讨论和去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可． 【小问1详解】 函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数； 【小问2详解】 依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 17. 已知，． （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. 【小问1详解】 令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. 【小问2详解】 由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 18. 已知全集，不等式的解集是，集合，. （1）求实数的值； （2）求； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合集合并集与补集的运算，即可求解； （3）根据集合交集的概念与运算，分别求得的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 由不等式解集是， 可得，解得. 【小问2详解】 由不等式，可得，解得，即， 因为，可得或， 可得或. 【小问3详解】 由集合，，， 因为，可得，又因为，可得， 所以实数的取值范围为. 19. 某市一污水处理厂的月处理成本(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系可近似的表示为；当月处理量为万吨时，月处理成本为万元，且该厂处理万吨污水所收费用为万元． （1）求实数的值； （2）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低? （3）请写出该厂每月获利(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值． 【答案】（1） （2）100万吨 （3），万元 【解析】 【分析】（1）已知函数关系式和一个点的坐标，将点代入函数即可求出参数； （2）先求出每万吨处理成本的表达式，再利用基本不等式求其最小值； （3）根据利润等于收入减去成本列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 时，代入得， ， 解得； 【小问2详解】 由（1）知， 每万吨的处理成本为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以该厂每月污水处理量为100万吨时，才能使每万吨的处理成本最低； 【小问3详解】 该厂处理万吨污水所收费用为万元，则收入为万元， 获利， 当时，， 所以，获利最大值为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“关于x的方程（）有实数解”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 5. 已知a，b均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（ ） A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 二、多选题（每小题6分，全部选对的6分，选对但不全得部分分，有错选得0分） 9. 设集合，则（ ） A. B. 元素个数为16 C. D. 的子集个数为64 10. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 在上单调递减 D. 为偶函数 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 13. 函数的定义域为________． 14. 已知函数满足，则________ 四、解答题 15. （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明． 16. 已知函数． （1）判断并证明函数奇偶性； （2）将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 17. 已知，． （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的值域. 18. 已知全集，不等式的解集是，集合，. （1）求实数的值； （2）求； （3）若，求的取值范围. 19. 某市一污水处理厂的月处理成本(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系可近似的表示为；当月处理量为万吨时，月处理成本为万元，且该厂处理万吨污水所收费用为万元． （1）求实数的值； （2）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低? （3）请写出该厂每月获利(万元)与月处理量(万吨)之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $