专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为（       ） A. 3 B. 4 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 根据题意可得，即可求解. 【详解】 由焦点在y轴上的椭圆的离心率为， 则，且，解得. 故选：C 2．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用椭圆的定义求解即可. 【详解】 由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件，利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】 如图，的周长为 又椭圆，得到，所以的周长为， 故选：B. 4．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程列式求解即可. 【详解】 因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆， 所以 ，解得，所以实数m的取值范围是. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用几何关系，得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】 由条件可知，，即. 故选：B 6．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）椭圆与椭圆的（       ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【分析】 利用椭圆的性质计算即可. 【详解】 A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 7．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，，，联立与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得，结合椭圆参数关系求离心率. 【详解】 设，，，则直线，    联立方程 ，消去y得， 则可得，，， 则，整理得， 又，则，则. 故选：B 8．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】 解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·甘肃多校）（多选）点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（       ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为1 【答案】BCD 【分析】 利用椭圆的定义判断A；利用椭圆中点的纵坐标的取值范围判断B；利用椭圆的定义和基本不等式判断C；利用椭圆的定义和二次函数的最值判断D. 【详解】 由，可得，则， 即， 因为点在椭圆上，所以. 对于A，的周长为，故A错误； 对于B，设，因为， 所以时，即点在短轴端点时，的面积取得最大值，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为4，故C正确； 对于D，由上分析，可得，故， 因为，即， 所以当或时，取得最小值1，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】 由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】 设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆方程为. 故答案为： 12．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则　　　　　　　　 【答案】 【分析】根据椭圆定义，得到，再由题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意，在椭圆中，， 又，所以，因此. 故答案为： 【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型. 13．（25-26学年高二上·甘肃多校）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，. （2）以点，为焦点，经过点. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，代入所过的点后求出可得所求的椭圆方程． （2）根据椭圆的定义可求，再求出后可求椭圆的标准方程． 【详解】 解：（1）设椭圆的标准方程为， 由题意有 ，可得 ， 故椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，焦距为. 由题意有，，， 有，， 故椭圆的标准方程为. 【点睛】 方法点睛：椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，注意根据问题的特征选择合适的方法来处理． 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）离心率是，长轴长是12； （2）过点和； （3）焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】（1）或；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由 可解. (1) 小问详解： 由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. (2) 小问详解： 设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得 ，解得， 所以椭圆的方程为：. (3) 小问详解： 设椭圆方程为， 则， ，解得， 所以椭圆方程为. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知椭圆的一个焦点是，那么　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由椭圆焦点，结合椭圆方程可得，根据建立等式计算可解. 【详解】 椭圆可化为， 因为一个焦点是，所以， 而，即，解得. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）若方程所表示的曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆标准方程的特点列出不等式组求解即可. 【详解】 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则 ，解得． 所以的取值范围为. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点． （1）若弦被点平分，且直线的斜率为，求； （2）若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，利用中点坐标公式，求得将，代入椭圆方程，相减可得到直线的斜率，再根据直线的斜率为，即可求值； （2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，即可求得弦长. (1) 小问详解： 设，因为弦被点平分， 所以 又 ， 两式相减得， ， ， ，由已知得， 所以， 所以，解得． (2) 小问详解： 设，将代入，得， 则， 且， 所以 ，， ， ， ． 18．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）过定点，      【分析】 （1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. (1) 小问详解： 由题，，． 所以离心率． (2) 小问详解： 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． (3) 小问详解： 如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以 ，故，则 ， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 19．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且，当直线轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程； （3）设直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到椭圆方程； （2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，分别联立直线，直线与椭圆的方程，分别得到点的横坐标，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 设椭圆右焦点，，则① ， 由，得② ， 直线轴时，，两点横坐标为， 将代入椭圆方程中，解得，所以③ ， 联立① ② ③ 解得，，， 椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，显然， 所以由一元二次方程的根与系数的关系可得 ， 所以， 即，化简可得，即， 所以直线方程为． (3) 小问详解： 依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：， 则直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程可得：， 由，可得， 联立直线与椭圆的方程可得：，即， 即， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 20．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 　　　　　　 【答案】6 【分析】 将求最大值的问题，转化为求点P到圆心距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求给定区间的最大值即可． 【详解】 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又 当时，取得最大值， 的最大值为： ， 故答案为：． 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段为垂足，当点P在圆上运动时，记线段的中点M的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）直线与C交于两点（点不重合）. ①求m的取值范围； ②若，求. 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，运用判别式大于0，即可求解m的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. (1) 小问详解： 设，则， 将代入，可得，即 即点M的轨迹C的方程为; (2) 小问详解： ① 由 ，消去整理得：， 由，即，化简得， 故， ② 当时，得，由韦达定理得 根据弦长公式得： 22．（25-26学年高二上·甘肃多校）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 【答案】（1）     （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程 ，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程 ，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.      【分析】 （1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. (1) 小问详解： 设椭圆C的焦距为2c，由题意有： ，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意，得，进而得到即可求解离心率. 【详解】 由题意，得，则， 所以，则，即， 所以的离心率为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大值为9 B. 若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 C. 若，则有或13 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 【答案】BD 【分析】 求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D. 【详解】 双曲线中、，焦距，实轴长 不妨设， 选项A： 则， 又，则 由，可知，即，则的最大值为16.判断错误； 选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有 则， 解之得，则，则 则.判断正确； 选项C：若，由， 可得或（因为，舍去）.判断错误； 选项D：由 ，可得 即，则 故，（当且仅当时等号成立） 即的最小值为.判断正确. 故选：BD 3．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 假设点在第二象限，设，则,结合双曲线定义、勾股定理得，再由勾股定理得，结合离心率公式解方程即可得解. 【详解】 假设点在第二象限，如图，设，则． 由双曲线的定义得，． 因为，所以在中，， 即，整理得， 所以，， 故在中，，即， 整理得，所以．又，所以．    故答案为：. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值. 【详解】 如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，， 设， 则（*）， 因点为的重心，则，即， 代入（*），可得， 因点在抛物线上，故，故， 依题，，解得. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点. （1）求的焦点坐标及准线方程； （2）求的面积. 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为     （2）      【分析】 （1）利用抛物线的方程可直接求出该抛物线的焦点坐标与准线方程； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求出的值，并求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. (1) 小问详解： 解：对于抛物线，，则，， 所以，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. (2) 小问详解： 解：设点、，易知直线过抛物线的焦点， 联立 可得，由韦达定理可得， 由抛物线的焦点弦长公式可得， 原点到直线的距离为， 因此，的面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为（       ） A. 3 B. 4 C.  D. 6 2．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）椭圆与椭圆的（       ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 7．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·甘肃多校）（多选）点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（       ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为1 10．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则　　　　　　　　 13．（25-26学年高二上·甘肃多校）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，. （2）以点，为焦点，经过点. 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）离心率是，长轴长是12； （2）过点和； （3）焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知椭圆的一个焦点是，那么　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）若方程所表示的曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t的取值范围是　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点． （1）若弦被点平分，且直线的斜率为，求； （2）若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）． 18．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 19．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且，当直线轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程； （3）设直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 20．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 　　　　　　 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段为垂足，当点P在圆上运动时，记线段的中点M的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）直线与C交于两点（点不重合）. ①求m的取值范围； ②若，求. 22．（25-26学年高二上·甘肃多校）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（       ） A. 2 B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大值为9 B. 若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 C. 若，则有或13 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 3．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为　　　　　　． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点. （1）求的焦点坐标及准线方程； （2）求的面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．BCD 10．C 11．【答案】 【分析】 根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】 设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆方程为. 故答案为： 12．【答案】 【分析】根据椭圆定义，得到，再由题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意，在椭圆中，， 又，所以，因此. 故答案为： 【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型. 13．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，代入所过的点后求出可得所求的椭圆方程． （2）根据椭圆的定义可求，再求出后可求椭圆的标准方程． 【详解】 解：（1）设椭圆的标准方程为， 由题意有 ，可得 ， 故椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，焦距为. 由题意有，，， 有，， 故椭圆的标准方程为. 【点睛】 方法点睛：椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，注意根据问题的特征选择合适的方法来处理． 14．【答案】（1）或；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由 可解. (1) 小问详解： 由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. (2) 小问详解： 设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得 ，解得， 所以椭圆的方程为：. (3) 小问详解： 设椭圆方程为， 则， ，解得， 所以椭圆方程为. 15．【答案】 【分析】 由椭圆焦点，结合椭圆方程可得，根据建立等式计算可解. 【详解】 椭圆可化为， 因为一个焦点是，所以， 而，即，解得. 故答案为： 16．【答案】 【分析】 根据椭圆标准方程的特点列出不等式组求解即可. 【详解】 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则 ，解得． 所以的取值范围为. 故答案为： 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，利用中点坐标公式，求得将，代入椭圆方程，相减可得到直线的斜率，再根据直线的斜率为，即可求值； （2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，即可求得弦长. (1) 小问详解： 设，因为弦被点平分， 所以 又 ， 两式相减得， ， ， ，由已知得， 所以， 所以，解得． (2) 小问详解： 设，将代入，得， 则， 且， 所以 ，， ， ， ． 18．【答案】（1）     （2）     （3）过定点，      【分析】 （1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. (1) 小问详解： 由题，，． 所以离心率． (2) 小问详解： 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． (3) 小问详解： 如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以 ，故，则 ， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到椭圆方程； （2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，分别联立直线，直线与椭圆的方程，分别得到点的横坐标，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 设椭圆右焦点，，则① ， 由，得② ， 直线轴时，，两点横坐标为， 将代入椭圆方程中，解得，所以③ ， 联立① ② ③ 解得，，， 椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，显然， 所以由一元二次方程的根与系数的关系可得 ， 所以， 即，化简可得，即， 所以直线方程为． (3) 小问详解： 依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：， 则直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程可得：， 由，可得， 联立直线与椭圆的方程可得：，即， 即， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 20．【答案】6 【分析】 将求最大值的问题，转化为求点P到圆心距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求给定区间的最大值即可． 【详解】 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又 当时，取得最大值， 的最大值为： ， 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，运用判别式大于0，即可求解m的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. (1) 小问详解： 设，则， 将代入，可得，即 即点M的轨迹C的方程为; (2) 小问详解： ① 由 ，消去整理得：， 由，即，化简得， 故， ② 当时，得，由韦达定理得 根据弦长公式得： 22．【答案】（1）     （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程 ，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程 ，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.      【分析】 （1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. (1) 小问详解： 设椭圆C的焦距为2c，由题意有： ，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 考点02 双曲线 1．A 2．BD 3．【答案】 【分析】 假设点在第二象限，设，则,结合双曲线定义、勾股定理得，再由勾股定理得，结合离心率公式解方程即可得解. 【详解】 假设点在第二象限，如图，设，则． 由双曲线的定义得，． 因为，所以在中，， 即，整理得， 所以，， 故在中，，即， 整理得，所以．又，所以．    故答案为：. 考点03 抛物线 1．D 2．【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为     （2）      【分析】 （1）利用抛物线的方程可直接求出该抛物线的焦点坐标与准线方程； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求出的值，并求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. (1) 小问详解： 解：对于抛物线，，则，， 所以，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. (2) 小问详解： 解：设点、，易知直线过抛物线的焦点， 联立 可得，由韦达定理可得， 由抛物线的焦点弦长公式可得， 原点到直线的距离为， 因此，的面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $