专题05 函数的基本性质（期中真题汇编，广西专用）高一数学上学期

专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数，若，则（       ） A. 7 B.  C. 1 D.  2．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数为奇函数，且当时，，则（     ） A. -9 B. -7 C. -10 D. 10 4．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）若 在上是减函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）函数的图象为（     ） A.      B.          C.          D.      6．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则时，（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）函数 的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广西玉林·调研）已知为偶函数，为奇函数，且，则（     ） A.  B. 1 C.  D. 3 9．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知函数 满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·广西贺州）（多选）已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（     ） A. 当时， B.  C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的最小值为 16．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·广西壮族自治·联考）（多选）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 是偶函数 C. 为上的减函数 D. 在上的最大值为6 18．（2026·广西自治区桂林·质量检测）（多选）已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A.  B. 是偶函数 C. 是奇函数 D.  19．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，则（       ） A.  B.  C. 是奇函数 D. 是单调函数 21．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）（多选）已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（        ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C.  D. 不等式的解集为 23．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（2026·广西玉林·调研）函数 满足对且，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数 ，若，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）（多选）已知函数，（e是无理数，约等于2.72）则（　　） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为3 D. 的最小值为2 27．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）则（　　） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，：则下列说法正确的有（     ） A.  B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 29．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）函数的单调递减区间是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 方程有且仅有一个实数解 C. 是偶函数 D. 对任意的， 32．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）给定函数.，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（       ） A. -3 B. 2 C. 3 D.  34．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）若函数 在上是单调函数，则t的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 ，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（       ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 36．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的解集为 C. 若，则 D.  37．（25-26学年高一上·广西多校·期中）函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知定义在上的函数满足，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 39．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为　　 A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数 ，对任意，当时，，则a的取值范围是（       ） A. ； B. ； C. ； D.  41．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）（多选）表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 函数的值域为 42．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  44．（2026·广西壮族自治·联考）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（       ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 45．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）（多选）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（     ） A.  B.  C. 的最小值为0 D. 是R上的增函数 46．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）（多选）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（     ） A.  B. 任意给定， C.  D. 若，则 47．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）函数是定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　． 48．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）若函数 的最小值为，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 49．（2026·广西壮族自治·联考）已知是定义在上的奇函数，则　　　　　　　　　　　　. 50．（2026·广西自治区桂林·质量检测）若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）若函数是定义在上的偶函数，则　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为　　　　　　　　　． 53．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）函数在上的最大值与最小值的和为2024，则　　　　　. 54．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数（且）经过点． （1）求的值； （2）①求值；②若，求的值． （3）画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 55．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 56．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值； （2）已知函数在上单调递增； ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）； ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围； （3）设函数，求在上的最小值. 57．（2026·广西壮族自治·联考）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求的最大值. 58．（2026·广西壮族自治·联考）有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”据此，对于函数，的对称中心是　　　　　　　　　　　　. 59．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为. （1）求的解析式； （2）设，证明：是奇函数. 60．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）已知函数 （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 61．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是　　　　　　　　　　　　. 62．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）在数学探究中：若函数满足解析式（，且），则称为“分数指数式函数”，这类函数的单调性与对称性在密码学、数据加密等领域有着重要应用，已知某“分数指数式函数”：， （1）若，请用定义法证明单调性； （2）若，， ①求证：为定值，并求该定值； ②求的值. 63．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是　　　　　　. 64．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 65．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 66．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）证明：，并求函数、的解析式； （2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； （3）设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 67．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是　　　　　　　　. 68．（2026·广西玉林·调研）已知函数（为常数），其图象过点和． （1）求和的值，确定的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求函数的最大值和最小值． 69．（2026·广西玉林·调研）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]．若，满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　　 70．（2026·广西玉林·调研）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 71．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）函数的值域为　　　　　　　　　　　． 72．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数为奇函数 （1）求的值. （2）探究的单调性，并证明你的结论； （3）若存在实数，使得不等式成立，求的范围. 73．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知函数是定义域为的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）用定义证明在定义域上是增函数； （3）求不等式的解集. 74．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数 则使不等式成立的的取值范围是　　　　　　　　. 75．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 76．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 77．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 78．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（1）证明：函数为奇函数的充要条件是． （2）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． ①求函数的图象的对称中心． ②类比上述推论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论． 79．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知函数（）. （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）求关于x的不等式的解集. 80．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知是定义在上的奇函数，且. （1）求m，n的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求关于的不等式的解集. 81．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知函数在上是偶函数，且当时，.    （1）求在上的解析式； （2）求在上的值域； （3）作出在上的图象. 82．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知函数 ，若存在，使得成立，则的取值范围是　　　　　　　　　. 83．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数的定义域为， 满足，且. （1）求函数的解析式； （2）证明在上是增函数； （3）解不等式. 84．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为　　　　　　　　　. 85．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）已知函数， . （1）求和的值； （2）求的值域； （3）求不等式的解集. 86．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为　　　　　　　. 87．（2026·广西壮族自治·联考）已知定义在上的函数. （1）证明函数是奇函数； （2）若，求实数的取值范围. 88．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数是定义在上的偶函数． （1）判断函数在上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论； （2）求函数零点的个数； （3）设函数，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 89．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 90．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）已知． （1）求证为奇函数； （2）求的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对于区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 91．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）人教A版高中数学必修一教材中指出：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．类比上述推广结论可知，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，同理可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． （1）已知函数，求证：为轴对称图形并求出其对称轴； （2）若函数的图象关于直线对称，且当时，． （i）求的解析式，并写出的单调区间（单调区间无需证明）； （ii）求不等式的解集． 92．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．D 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．D 13．A 14．A 15．BCD 16．D 17．ACD 18．ABD 19．A 20．ABC 21．A 22．BCD 23．D 24．D 25．B 26．ABD 27．C 28．ACD 29．C 30．D 31．ACD 32．D 33．B 34．B 35．AC 36．BD 37．D 38．B 39．B 40．C 41．BD 42．C 43．A 44．C 45．BC 46．ABD 47．【答案】 【分析】 根据奇函数的定义求解. 【详解】 函数是定义在上的奇函数，所以 故答案为:. 48．【答案】 【分析】 根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】 当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 49．【答案】0 【分析】 根据求出，再利用奇函数的定义检验. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时，，则，故是奇函数， 故. 故答案为： 50．【答案】 【分析】 函数可化简变形为，并理解题意，根据“基移奇函数”的定义可知为奇函数，从而得出其“基点”坐标. 【详解】 已知函数是“基移奇函数”， ， 移项得. 令，则 因为函数是奇函数，所以是奇函数， 与定义对比可得. 则的“基点”坐标为． 故答案为： 51．【答案】4 【分析】 利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】 因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称， 根据二次函数图象特点知，解得， 所以. 故答案为：4. 52．【答案】 【分析】 根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解. 【详解】 解：由题意，定义在上的奇函数， 可得，解得， 又由当时，， 所以, 故答案为：. 53．【答案】1011 【分析】 构造函数，即，可证为奇函数，结合奇函数的性质，可求得结果. 【详解】 ，设，， 且，则为奇函数， ， 则，所以，， 所以， 所以. 故答案为： 54．【答案】（1）2     （2）①；②6     （3）函数图象为： 值域为，单调递增区间为，单调递减区间为      【分析】 （1）直接将点代入函数解析式即可求解； （2）① 先得到，再代值计算即可； ② 由题设建立方程即可求解； （3）先得到 ，根据指数函数的图象画图即可，再根据图象求解值域及单调区间. (1) 小问详解： 由题意，得， 而且，则. (2) 小问详解： ① 由（1）知，， 则，即. ② 由，解得. (3) 小问详解： 由（1）知， ， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 55．【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增.     （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数.     （3）      (1) 小问详解： 略. (2) 小问详解： 略. (3) 小问详解： 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以 解得. 故实数的取值范围是. 56．【答案】（1）     （2）① 单调递增；②     （3）      【分析】 （1）根据题意得到，得到方程，求出； （2）① 根据函数的奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增； ② 根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式得到不等式，求出； （3）令，换元得到，，根据单调性求出最值. (1) 小问详解： 函数是定义在R上的奇函数， ，即，解得.（经检验满足题意）. (2) 小问详解： ① 函数在上单调递增，理由如下： 因为在单调递增，又为奇函数， 故函数在上单调递增； ②函数在R上单调递增，且为奇函数， 等价于 对任意，不等式恒成立， 即，对任意恒成立，即， ，解得， 的取值范围是. (3) 小问详解： 令，则， 当，时，. ，， ，， 二次函数开口向上，对称轴为， 在区间上单调递增， ， 即在上的最小值为. 57．【答案】（1） 对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”.     （2）     （3）      【分析】 （1）通过特例说明函数不是“依赖函数”. （2）根据“依赖函数”的概念探索，的关系，再结合二次函数求的取值范围. （3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设函数的定义域内的值域为， 若该函数为“依赖函数”，则对任意的，且，可得， 因为在上单调递增，则在上的值域为， 故， 则，所以， 由，则，解得， 则， 设，可知函数在内单调递增， 且，，即， 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 若，可知在上单调递增，则在上的值域为， 可得，即，解得或（舍去）. 若存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 则，可得， 因为，可得， 且在单调递增， 故当时，， 则，解得， 综上所述：故实数的最大值为. 58．【答案】 【分析】 令，可证为奇函数，结合题意即可得对称中心. 【详解】 因为，则， 令，可知的定义域为， 且，可知为奇函数， 由题中命题可得：函数的对称中心是. 故答案为：. 59．【答案】（1）     （2）证明：因为，由（1）知 ， 所以 ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，， 所以 ，故， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数.      【分析】 （1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式； （2）由（1）中结果，结合条件得 ，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果. (1) 小问详解： 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以， 当时，，当时，，当时，， 所以 . (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1） 任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数.     （2）或      【分析】 （1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组 ，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到 ，解得或， 所以实数的取值范围为或. 61．【答案】 【分析】 就、、分类讨论可得，再分类求范围后可得其最小值. 【详解】 由题设可令， 当时，，故此时， 当时，，此时， 当时，即， 当时，即， 故 ， 当时，，当且仅当，有； 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0， 故答案为：0. 62．【答案】（1） 当时，，函数的定义域为， 任取，且，则 ， 因，则，，故， 即，故函数为增函数.     （2）① 当，时，，则 ， 故为定值1. ②1013      【分析】 （1）根据函数单调性的定义即可推导证明函数单调性； （2）① 利用指数幂的运算律代入计算可得；② 利用① 证明的定值，将与首尾等距离的两项分别相加即得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 已得， 则 . 63．【答案】 【分析】 由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可. 【详解】 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增， 由可得： ，解得. 所以满足的的取值范围是 故答案为： 64．【答案】（1）；     （2） 函数在上是增函数，证明如下： 任取、且，则 ， 因为，则，，故，即. 因此，函数在上是增函数.     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式； （2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，可得，则， 所以，，则，因此，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得 ，解得. 因此，不等式的解集为. 65．【答案】（1）     （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 66．【答案】（1）证明：因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即② ，故得证. 联立① ② 可得，.     （2）增函数，解集为     （3）      【分析】 （1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. (3) 小问详解： 因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 67．【答案】 【分析】 由，画出函数的图象，结合图象可得m的取值范围． 【详解】 由题意，，则，即， 当时，， 则当 时，，， 即， 同理可得，当 时，， 当 时，， 以此类推，当  时，都有 ， 函数  和函数  在 上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得  ， 即对任意，都有， 即 m 的取值范围是 . 故答案为：. 68．【答案】（1），     （2） 是奇函数. 证明：定义域是R，关于原点对称. 是奇函数.     （3）最大值为，最小值为.      【分析】 （1）利用点在函数图象上，由待定系数法计算参数即可； （2）利用函数奇偶性的定义证明即可； （3）利用指数函数的性质及解析式观察函数的单调性，再计算最值即可. (1) 小问详解： 图象过点和 . . . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 易知在上单调递增，在上也单调递增. . 在上最大值为，最小值为. 69．【答案】 【分析】 由基本不等式求解最值，可得，解二次不等式可得 ，即可根据取整函数的定义求解． 【详解】 ，当且仅当时取等号. 由,，可得， 则，然后由“高斯函数”定义可得． 故答案为：. 70．【答案】（1）     （2） 在上单调递增. 证明如下：任取且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，求得的值，即可求解； （2）由（1）得，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据题意，把不等式转化为，结合在上单调递增，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 可得，解得，所以， 又由，可得，解得，所以 经检验时，函数是奇函数，所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数是定义在上的奇函数，且， 可得， 因为函数在上单调递增， 则满足 ，可得 ，解得， 所以实数的取值范围是. 71．【答案】 【分析】 先将函数化为顶点式，确定其对称轴，再根据函数单调性求出函数在给定区间的值域. 【详解】 ，二次项系数，对称轴， 所以函数图象开口向上，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，对称轴在该区间内，所以在处取得最小值为： ， 又， ， 比较与的大小，，所以在处取得最大值， 综上，函数在的值域为. 故答案为：. 72．【答案】（1）1； （2）增函数 ，证明： 证明：定义域为，任取设 即 所以为增函数; （3）. 【分析】 （1）根据函数是奇函数，得到，化简得出答案; （2）根据函数单调性的定义，先在区间上任取两个自变量且，然后作差比较其函数值的大小关系，从而得到函数的单调性; （3）由为奇函数，则不等式可化为，即，结合（1）得到的单调性和定义域可解. 【详解】 （1）因为函数为奇函数 ∴，即 化简得 ∴; （2）略 （3）由已知存在实数，使得不等式成立 由（1）可知只需存在实数,使得，即成立即可 令，易知在时单调递增 所以，所以. 【点睛】 通过函数的奇偶性求函数中的参数时，一般来说要利用函数奇偶性的定义来求，当函数是奇函数，且定义域包含0时，可以利用求参数；第三问中的求不等式，不能直接代入函数，要充分的利用函数的单调性和定义域来求解. 73．【答案】（1）；     （2） 设任意的且，， 又，所以，所以，， 所以在定义域上是增函数；     （3）．      【分析】 （1）由奇偶性的函数的定义域关于0对称求得，由奇函数的性质求得得解析式； （2）根据单调性的定义证明； （3）由单调性的性质及定义域列不等式组求解． (1) 小问详解： 由题意，，，又， 满足题意． 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得 ，解得．解集为． 74．【答案】 【分析】 分和，求出，代入化简，解一元二次不等式即可得出答案. 【详解】 若，， 因为当时，在上单调递增， 所以，解得：， 若，，则， 由可得：，即， 解得：，又因为，所以. 故使不等式成立的的取值范围是：. 故答案为：. 75．【答案】（1） 最大值为4     （2）或     （3）或      【分析】 （1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出与有2个交点，求取值范围. (1) 小问详解： 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4. (2) 小问详解： 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； (3) 小问详解： 如图，与有2个交点，则或. 76．【答案】（1）     （2）由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减.     （3）1或      【分析】 （1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. (1) 小问详解： 因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 77．【答案】（1）     （2）在上为增函数，证明如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数．     （3）．      【分析】 （1）由求的值，由求的值，检验即可. （2）设，证明，即可说明在上是增函数． （3）利用函数为奇函数把不等式变形，利用函数的单调性求不等式的解集. (1) 小问详解： ∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，经检验，是奇函数． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可得，在上为单调递增的奇函数， 由可得， ∴ ， 解得， ∴不等式的解集为． 78．【答案】1. 证明如下： 当是奇函数时，易知的定义域为， 所以，即，则，充分性成立； 当时，，易知的定义域为， 又，所以是奇函数，必要性成立； 综上，函数为奇函数的充要条件是     2. ①； ②函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的性质与判定，结合充要条件的证明方法即可得证； （2）①利用推广结论，结合奇函数的性质求得，从而得解； ②类比推论即可得解. (1) 题详解： 略 (2) 题详解： ①不妨设的图象的对称中心为， 则为奇函数，易知的定义域为， 而 ， 所以 ，解得 ， 则，易知其为奇函数，满足题意， 所以，即的图象的对称中心为. ②略 79．【答案】（1） 函数在上单调递增，证明如下： 设任意的，且， 则， 即， 所以函数在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）先判断函数单调性，再由单调性的定义证明； （2）由函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知函数单调递增， 所以 ， 故不等式的解集为. 80．【答案】（1），     （2） 在上单调递增.证明如下： 由（1）得，设任意满足， 则 ， 由，得， 所以，即， 所以在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数，可得m值，将条件代入，可求得t值. （2）利用单调性的定义，证明即可. （3）根据为奇函数且在上单调递增，可得， ，化简计算，即可得答案. (1) 小问详解： 由题意得，解得， 由，得，解得. 此时，满足函数为奇函数， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，得， 由（2）得在上单调递增，所以， 即，所以， 因为，所以，解得， 所以不等式的解集为， 又由 ，解得， 综上，该不等式的解集为. 81．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）当时，，代入条件，可得，根据偶函数定义，可得解析式，综合即可得答案. （2）时，，根据一次函数性质，可得其值域，根据偶函数的对称性，分析可得在上的值域. （3）当时，，单调递减，当时，，单调递增，根据偶函数图象关于y轴对称，作出图象即可. (1) 小问详解： 因为在上是偶函数， 所以当时，，所以， 即时的解析式为， 综上， . (2) 小问详解： 当时，，单调递增， 所以，即， 因为为偶函数， 所以在上的值域为. (3) 小问详解： 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 根据为偶函数，图象关于y轴对称， 作出在上的图象如下， 82．【答案】 【分析】 根据条件将问题转化为“在上有解”，然后构造函数，采用分类讨论法分析出的最大值，则的范围可求. 【详解】 当时，的取值范围是，则即在上有解， 设， 令，且的对称轴， 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即； 当时，，在上单调递增， 所以，即，即， 所以的值域为，所以1， 所以，即， 故答案为：. 83．【答案】(1) ； (2)设,则： 又； ∴,,；故 ∴； 即； ∴在上是增函数； (3) 【分析】 (1)根据代入可知再联立求解即可. (2)设,再证明即可. (3)利用(1) (2)问中的奇偶性与单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】 (1) 由题意知,为奇函数； ∴,则； 又； ∴； (2) 略 (3) 由得； 由(2) 知在上是增函数,则 解得 【点睛】 本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及单调性的定义证明方法.同时也考查了利用奇偶性单调性求解函数表达式的问题,属于中档题. 84．【答案】 【分析】 根据给定定义求出函数，再分段求解不等式即得. 【详解】 由，即，解得或；由，得， 因此 ， 不等式，化为 或 ，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 85．【答案】（1），；     （2）；     （3）或.      【分析】 （1）根据给定的分段函数，分段判断代入求出和的值. （2）分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域. （3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式． (1) 小问详解： 由函数， ，得，， 所以，. (2) 小问详解： 当时，；当时，，则， 所以的值域为. (3) 小问详解： 当时，，则； 当时，，， 因此 ， 不等式化为 或 ，解得或， 所以原不等式的解集为或. 86．【答案】 【分析】 根据所给的结论和奇函数的性质，可求函数的对称中心. 【详解】 设， 因为函数为奇函数， 所以恒成立， 所以 即恒成立. 所以 . 所以函数图象的对称中心为. 故答案为： 87．【答案】（1） 由，得 ， 所以是奇函数.     （2）.      【分析】 （1）根据奇函数的定义证明是上的奇函数； （2）通过单调性的定义或由判断为上的减函数，结合函数单调性与奇偶性的应用即可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 任取，且， 则， 因为，故，从而有， 即，所以函数为上的减函数. 又为奇函数， 所以，即， 即有，解得，即实数的取值范围是. 88．【答案】（1） 因为是上的偶函数，所以，即， 所以对恒成立，则， 在上单调递增，证明如下： 对任意的，， 因为，所以，所以， 即，故在上单调递增；     （2）2个；     （3）.      【分析】 （1）利用偶函数的性质列方程求参数值，再由单调性的定义证明区间单调性； （2）问题化为与图象的交点个数，结合指对数函数的性质研究函数的图象性质，数形结合判断零点个数； （3）问题化为在上的最大值，利用二次函数的性质列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，而， 由（2）且是偶函数，得在上单调递减， 因为在上单调递增，且， 的大致图象如下， 由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2； (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为， 因为对任意的，存在，使得成立， 所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称． 当，即时，，则 ，解得， 当，即时，，则 ，解得， 综上，的取值范围是. 89．【答案】（1） 函数的定义域是， ， 所以函数是奇函数；     （2） 函数，，， 令，得，其中，方程无解， 所以定义域内不存在实数，使， 所以不是“局部反比例对称函数”；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，即可判断； （2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解； （3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数，， 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以，得， 即，其中， 令， 得，， 设，可知函数的对称轴为，开口向上， 当时，由，解得， 当时，由得，得， 综上可知，当时，方程在上有解， 即在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以的取值范围是. 90．【答案】（1） ，函数的定义域为关于原点对称， 且， 则是奇函数，     （2） ；     （3） 存在，      【分析】 （1）计算，再结合其定义域即可证明； （2）先求出，再取倒数乘，最后加1即可得到值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，因为， 则，则， 则， 即的值域为. (3) 小问详解： 存在. 由在区间上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，根据复合函数单调性知在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，根据复合函数单调性知在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 91．【答案】（1） 因为， 所以， 令，函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 所以为轴对称图形，对称轴为；     （2）（i） ，在上单调递增，在上单调递减； （ii）      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义可推得为偶函数，从而可得结论； （2）（i）当时，可得出，从而可求得的解析式，利用函数的性质可求得单调区间；（ii）由（i）的单调性可得，求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为函数的图象关于直线对称，且当时，． 当时，，则， 所以 ； 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减； （ii）因为，由（i）可得， 不等式两边平方得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 92．【答案】 【分析】 通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】 构造函数， 依题意，的定义域是，是奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减. ， 由得，即， 所以或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】 本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数，若，则（       ） A. 7 B.  C. 1 D.  【答案】A 【详解】 由，， 则，故函数为偶函数， 则. 2．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】 函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数为奇函数，且当时，，则（     ） A. -9 B. -7 C. -10 D. 10 【答案】C 【分析】 根据奇函数的定义和性质求解计算即可. 【详解】 因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）若 在上是减函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分段函数的定义及单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】 分段函数在是减函数需满足 ， 解得， 故选：D. 5．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）函数的图象为（     ） A.      B.          C.          D.      【答案】D 【分析】 由函数的奇偶性和特值法即可得出答案. 【详解】 因为的定义域为， 又因为， 所以为偶函数，故AB不正确， 又，故C不正确，D正确. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则时，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据奇函数的性质求出解析式即可. 【详解】 当时，， 则， 因为是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 故选：D 7．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）函数 的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】 当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 8．（2026·广西玉林·调研）已知为偶函数，为奇函数，且，则（     ） A.  B. 1 C.  D. 3 【答案】D 【分析】 利用奇偶性的定义结合条件计算即可. 【详解】 因为为偶函数，为奇函数，则， 所以，两式相加得，即. 故选：D． 9．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知函数 满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】 因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则 ，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 10．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】 因为是偶函数，所以，所以， 又在上单调递增，且， 所以，即，即. 故选：D 11．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确. 【详解】 A选项，定义域为R，且， 故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为，而在上单调递减， 故不在定义域上单调，B错误； C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，且当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确. 故选：D 12．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论． 【详解】 的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 【点睛】 本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法． 确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项． 13．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据奇函数性质即可解决此类问题. 【详解】 ∵函数是奇函数，∴， ∵时，， 设时，则，∴，∴， 即时，. 故选：A. 14．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】 由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 15．（25-26学年高一上·广西贺州）（多选）已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（     ） A. 当时， B.  C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的最小值为 【答案】BCD 【分析】 利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D. 【详解】 对于A，由题意知，是奇函数， 当时，则，所以， 故此时，A错； 对于B，因为是上的奇函数，所以，B正确； 对于C，由上述可知时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 16．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】 因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 17．（2026·广西壮族自治·联考）（多选）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 是偶函数 C. 为上的减函数 D. 在上的最大值为6 【答案】ACD 【详解】 令可判断A选项；令，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；任取、且，结合函数单调性的定义可判断C选项；利用函数单调性和奇偶性可判断D选项. 【分析】 取，则，所以，故A正确. 取，则， 所以对任意恒成立，所以为奇函数，故B不正确； 任取、且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以. 故为上的减函数，故C正确； 因为函数为上的减函数，则在上的最大值为， 因为， 所以，故在上的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 18．（2026·广西自治区桂林·质量检测）（多选）已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A.  B. 是偶函数 C. 是奇函数 D.  【答案】ABD 【分析】 根据题目条件采用赋值法逐一判断选项. 【详解】 令，得，因为，所以A正确． 令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误． 令，得，所以， 所以，即D正确． 故选：ABD 19．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分析已知函数的奇偶性及单调性，再利用性质求解题设不等式即可. 【详解】 函数的定义域为R， 由，可知函数是奇函数， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 故不等式， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 20．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，则（       ） A.  B.  C. 是奇函数 D. 是单调函数 【答案】ABC 【分析】 利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】 对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 故选：ABC 21．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件可得，的解，再分类讨论解不等式即可. 【详解】 由题意知，得；得或； 由，得 或 ，得或， 则不等式的解集是. 故选：A 22．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）（多选）已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（        ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C.  D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集. 【详解】 选项A，令，则，则；令，则， 所以，所以不是奇函数，A选项错误； 选项B，，，且，因为，所以； 又因为当时，，所以，所以， 故在上的单调递增，B选项正确； 选项C，令，则有，所以，，，…，， 将以上式子相加可得：，C选项正确； 选项D，因为，所以原不等式可化为； 由选项C可知，所以原不等式可化为； 因为在上单调递增，所以，解得，D选项正确. 故选：BCD. 23．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】 因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或 或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 24．（2026·广西玉林·调研）函数 满足对且，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由条件得到是增函数，分析出要使函数在上单调递增，须满足 ，解不等式组即可得解. 【详解】 由函数对且，都有， 可知函数在定义域上是增函数. 已知函数的对称轴为， 在上单调递增，且； 要使反比例函数在时单调递增，须满足. 所以，要使函数 在上单调递增， 须满足 ，即 ， 解得，所以实数的取值范围是． 故选：D 25．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数 ，若，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用奇函数的性质求得时，，从而得到的解析式，再判断其单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】 函数是上的奇函数，当时， 当时，，则， 函数 ， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增， 在区间上单调递增， 由，即，可得. 故选：B 26．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）（多选）已知函数，（e是无理数，约等于2.72）则（　　） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为3 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【分析】 根据函数的奇偶性、单调性、不等式求解以及均值不等式等知识，对每个选项逐一分析即可. 【详解】 因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确； 设，则， 因为，所以． 因为，所以，因此 所以，故在上单调递增，故B正确； 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 解得或，即或，故，故无最小值，故C错误； 根据基本不等式，对任意实数，故， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为2．故D正确． 故选：. 27．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据奇函数的性质求出的值，进而得到时函数的表达式，再利用奇函数的性质求出的值 【详解】 由为上的奇函数知，得， 则当时，， 又，所以. 故选：C. 28．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，：则下列说法正确的有（     ） A.  B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 【答案】ACD 【分析】 A选项，赋值得到；B选项，赋值得到，令得，B错误；C选项，令，其中，结合题目条件得到，C正确；D选项，变形得到，当时，，结合函数单调性得到D正确. 【详解】 A选项，中，令得， 又，故，故A正解； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 又的定义域为，故为奇函数，显然不为特殊的这样的常数函数，故B错误； C选项，令，其中， 则，即， 又时，，故， 故在上单调递增，故C正确； D选项，因为， 所以， 在上单调递增，当时，，故， 所以，即， 故当时，，故D正确. 故选：ACD 29．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）函数的单调递减区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】 由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 30．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先根据函数的性质，确定和的解集，再转化不等式求解集. 【详解】 为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得 ，或 ， 即或，即， 故选：D. 31．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 方程有且仅有一个实数解 C. 是偶函数 D. 对任意的， 【答案】ACD 【分析】 根据函数定义域的定义、偶函数的定义，零点存在定理以及作差法进行求解判断即可. 【详解】 对于A： 要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为，所以A正确； 对于C： ， 所以，所以函数是偶函数，所以C正确； 对于B： 当时，；当时，； 根据零点存在定理可知，在内至少存在一个零点， 因为函数为偶函数，关于轴对称，所以在内至少存在一个零点， 所以方程有至少两个实数解，所以B错误； 对于D： . 当时，，则，而，所以； 当时，，则，而，所以； 所以对于任意的，，所以D正确. 故选：ACD. 32．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用偶函数的定义，结合偶函数定义域关于原点对称的性质判断各选项中函数是否是偶函数，再判断偶函数在的单调性． 【详解】 选项A：函数的定义域是，，不是偶函数，故A错误； 选项B：函数，定义域关于原点对称，但，是奇函数，故B错误； 选项C：函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，故C错误； 选项D：函数的定义域是，是偶函数，函数图像开口向上，对称轴为轴， 函数在上单调递减，故D正确． 故选：D． 33．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）给定函数.，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（       ） A. -3 B. 2 C. 3 D.  【答案】B 【分析】 先求得的解析式，结合图象求得的最大值. 【详解】 令，解得，    所以 ，        由图象可得：在上单调递增，在单调递减， 所以的最大值为. 故选：B. 34．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）若函数 在上是单调函数，则t的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分段函数 在上是单调函数需满足每段上都是增函数且当时，即可. 【详解】 当时，为增函数，所以当时，也为增函数，所以 ，解得.故的最大值为， 故选：B. 35．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 ，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（       ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【分析】 利用 ，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】 由于 ， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 36．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的解集为 C. 若，则 D.  【答案】BD 【分析】 对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合题意分析求解即可；对于C：分析可知，分析和两种情况运算求解；对于D：，整理可得，分和两种情况运算求解即可. 【详解】 对于A：取，故A错误； 对于B：因为，可得， 又因为，即，可得，即，故B正确； 对于C：若，则， 又因为，则， 当时，； 当时，； 综上所述：，故C错误； 对于D：设，则， 所以， 当时，， 可得， 故当时，成立； 当时，则， 可得， 故当时，成立；故D正确； 故选：BD. 37．（25-26学年高一上·广西多校·期中）函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项，时化简解析式即可得到答案. 【详解】 因为，所以为偶函数，排除， 当时，，排除C， 故选：D. 38．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知定义在上的函数满足，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 由条件推导出是以4为周期的周期函数，再求出，即可得解. 【详解】 由，以替换，得， 又因为① ，所以， 所以是以4为周期的周期函数. 在① 中，令，得，所以， 所以. 故选：B 39．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为　　 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据为偶函数，可得；根据在上递减得；然后解一元二次不等式可得． 【详解】 解：为偶函数，所以，即，， 由在上单调递减，所以， ，可化为，即， 解得或 故选：． 【点睛】 本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 40．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数 ，对任意，当时，，则a的取值范围是（       ） A. ； B. ； C. ； D.  【答案】C 【分析】 根据单调性列不等式求解. 【详解】 因为当时，，所以在上是增函数. 所以在上单调递增；在上单调递增， 且当时，， 所以 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 41．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）（多选）表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 函数的值域为 【答案】BD 【分析】 结合“取整函数”定义，判断AD，取特例判断BC. 【详解】 对于A，因为，所以恒成立，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 选项C，如，则，故C错误； 对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确． 故选：BD 42．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】 正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 43．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】 因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则 ，解得， 即实数a的取值范围为． 44．（2026·广西壮族自治·联考）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（       ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 【答案】C 【分析】 根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D. 【详解】 由条件① 得是偶函数，条件② 得在上单调递减， 所以在单调递增，又，所以， 所以当时，；当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，即， 解得或，故B正确； 对于C，若，则 或 ， 即 或 ， 解得或，故C错误； 对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的， 且在上单调递减，在单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是根据已知条件得到函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解题. 45．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）（多选）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（     ） A.  B.  C. 的最小值为0 D. 是R上的增函数 【答案】BC 【分析】 根据题意，利用高斯函数的定义算出的值，即可判断A项的正误；由高斯函数的定义，证出，即可判断出B项的正误；由B项的分析可知是周期为1的周期函数，然后分析在上的解析式，即可判断C项的正误；通过举反例加以说明，即可判断D项的正误． 【详解】 对于A，由题意得，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，由，可知是周期为1的周期函数， 在上的值域就是在上的值域， 当时，；当时，， 可知在上的值域为，即的最小值为0，所以C正确； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误． 故选：BC． 46．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）（多选）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（     ） A.  B. 任意给定， C.  D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 先由单调性的定义和对称性得到函数在上单调递减，在上单调递增，进而可得BC，再由抽象函数的单调性可判断AD. 【详解】 任意给定，函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 47．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）函数是定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据奇函数的定义求解. 【详解】 函数是定义在上的奇函数，所以 故答案为:. 48．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）若函数 的最小值为，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】 当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 49．（2026·广西壮族自治·联考）已知是定义在上的奇函数，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】0 【分析】 根据求出，再利用奇函数的定义检验. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时，，则，故是奇函数， 故. 故答案为： 50．（2026·广西自治区桂林·质量检测）若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 函数可化简变形为，并理解题意，根据“基移奇函数”的定义可知为奇函数，从而得出其“基点”坐标. 【详解】 已知函数是“基移奇函数”， ， 移项得. 令，则 因为函数是奇函数，所以是奇函数， 与定义对比可得. 则的“基点”坐标为． 故答案为： 51．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）若函数是定义在上的偶函数，则　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】 因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称， 根据二次函数图象特点知，解得， 所以. 故答案为：4. 52．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解. 【详解】 解：由题意，定义在上的奇函数， 可得，解得， 又由当时，， 所以, 故答案为：. 53．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）函数在上的最大值与最小值的和为2024，则　　　　　. 【答案】1011 【分析】 构造函数，即，可证为奇函数，结合奇函数的性质，可求得结果. 【详解】 ，设，， 且，则为奇函数， ， 则，所以，， 所以， 所以. 故答案为： 54．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数（且）经过点． （1）求的值； （2）①求值；②若，求的值． （3）画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 【答案】（1）2     （2）①；②6     （3）函数图象为： 值域为，单调递增区间为，单调递减区间为      【分析】 （1）直接将点代入函数解析式即可求解； （2）① 先得到，再代值计算即可； ② 由题设建立方程即可求解； （3）先得到 ，根据指数函数的图象画图即可，再根据图象求解值域及单调区间. (1) 小问详解： 由题意，得， 而且，则. (2) 小问详解： ① 由（1）知，， 则，即. ② 由，解得. (3) 小问详解： 由（1）知， ， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 55．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增.     （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数.     （3）      (1) 小问详解： 略. (2) 小问详解： 略. (3) 小问详解： 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以 解得. 故实数的取值范围是. 56．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值； （2）已知函数在上单调递增； ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）； ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围； （3）设函数，求在上的最小值. 【答案】（1）     （2）① 单调递增；②     （3）      【分析】 （1）根据题意得到，得到方程，求出； （2）① 根据函数的奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增； ② 根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式得到不等式，求出； （3）令，换元得到，，根据单调性求出最值. (1) 小问详解： 函数是定义在R上的奇函数， ，即，解得.（经检验满足题意）. (2) 小问详解： ① 函数在上单调递增，理由如下： 因为在单调递增，又为奇函数， 故函数在上单调递增； ②函数在R上单调递增，且为奇函数， 等价于 对任意，不等式恒成立， 即，对任意恒成立，即， ，解得， 的取值范围是. (3) 小问详解： 令，则， 当，时，. ，， ，， 二次函数开口向上，对称轴为， 在区间上单调递增， ， 即在上的最小值为. 57．（2026·广西壮族自治·联考）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求的最大值. 【答案】（1） 对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”.     （2）     （3）      【分析】 （1）通过特例说明函数不是“依赖函数”. （2）根据“依赖函数”的概念探索，的关系，再结合二次函数求的取值范围. （3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设函数的定义域内的值域为， 若该函数为“依赖函数”，则对任意的，且，可得， 因为在上单调递增，则在上的值域为， 故， 则，所以， 由，则，解得， 则， 设，可知函数在内单调递增， 且，，即， 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 若，可知在上单调递增，则在上的值域为， 可得，即，解得或（舍去）. 若存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 则，可得， 因为，可得， 且在单调递增， 故当时，， 则，解得， 综上所述：故实数的最大值为. 58．（2026·广西壮族自治·联考）有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”据此，对于函数，的对称中心是　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，可证为奇函数，结合题意即可得对称中心. 【详解】 因为，则， 令，可知的定义域为， 且，可知为奇函数， 由题中命题可得：函数的对称中心是. 故答案为：. 59．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为. （1）求的解析式； （2）设，证明：是奇函数. 【答案】（1）     （2）证明：因为，由（1）知 ， 所以 ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，， 所以 ，故， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数.      【分析】 （1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式； （2）由（1）中结果，结合条件得 ，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果. (1) 小问详解： 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以， 当时，，当时，，当时，， 所以 . (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）已知函数 （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数.     （2）或      【分析】 （1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组 ，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到 ，解得或， 所以实数的取值范围为或. 61．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 就、、分类讨论可得，再分类求范围后可得其最小值. 【详解】 由题设可令， 当时，，故此时， 当时，，此时， 当时，即， 当时，即， 故 ， 当时，，当且仅当，有； 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0， 故答案为：0. 62．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）在数学探究中：若函数满足解析式（，且），则称为“分数指数式函数”，这类函数的单调性与对称性在密码学、数据加密等领域有着重要应用，已知某“分数指数式函数”：， （1）若，请用定义法证明单调性； （2）若，， ①求证：为定值，并求该定值； ②求的值. 【答案】（1） 当时，，函数的定义域为， 任取，且，则 ， 因，则，，故， 即，故函数为增函数.     （2）① 当，时，，则 ， 故为定值1. ②1013      【分析】 （1）根据函数单调性的定义即可推导证明函数单调性； （2）① 利用指数幂的运算律代入计算可得；② 利用① 证明的定值，将与首尾等距离的两项分别相加即得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 已得， 则 . 63．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可. 【详解】 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增， 由可得： ，解得. 所以满足的的取值范围是 故答案为： 64．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 【答案】（1）；     （2） 函数在上是增函数，证明如下： 任取、且，则 ， 因为，则，，故，即. 因此，函数在上是增函数.     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式； （2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，可得，则， 所以，，则，因此，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得 ，解得. 因此，不等式的解集为. 65．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 66．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）证明：，并求函数、的解析式； （2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； （3）设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即② ，故得证. 联立① ② 可得，.     （2）增函数，解集为     （3）      【分析】 （1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. (3) 小问详解： 因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 67．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由，画出函数的图象，结合图象可得m的取值范围． 【详解】 由题意，，则，即， 当时，， 则当 时，，， 即， 同理可得，当 时，， 当 时，， 以此类推，当  时，都有 ， 函数  和函数  在 上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得  ， 即对任意，都有， 即 m 的取值范围是 . 故答案为：. 68．（2026·广西玉林·调研）已知函数（为常数），其图象过点和． （1）求和的值，确定的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1），     （2） 是奇函数. 证明：定义域是R，关于原点对称. 是奇函数.     （3）最大值为，最小值为.      【分析】 （1）利用点在函数图象上，由待定系数法计算参数即可； （2）利用函数奇偶性的定义证明即可； （3）利用指数函数的性质及解析式观察函数的单调性，再计算最值即可. (1) 小问详解： 图象过点和 . . . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 易知在上单调递增，在上也单调递增. . 在上最大值为，最小值为. 69．（2026·广西玉林·调研）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]．若，满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由基本不等式求解最值，可得，解二次不等式可得 ，即可根据取整函数的定义求解． 【详解】 ，当且仅当时取等号. 由,，可得， 则，然后由“高斯函数”定义可得． 故答案为：. 70．（2026·广西玉林·调研）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2） 在上单调递增. 证明如下：任取且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，求得的值，即可求解； （2）由（1）得，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据题意，把不等式转化为，结合在上单调递增，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 可得，解得，所以， 又由，可得，解得，所以 经检验时，函数是奇函数，所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数是定义在上的奇函数，且， 可得， 因为函数在上单调递增， 则满足 ，可得 ，解得， 所以实数的取值范围是. 71．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）函数的值域为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先将函数化为顶点式，确定其对称轴，再根据函数单调性求出函数在给定区间的值域. 【详解】 ，二次项系数，对称轴， 所以函数图象开口向上，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，对称轴在该区间内，所以在处取得最小值为： ， 又， ， 比较与的大小，，所以在处取得最大值， 综上，函数在的值域为. 故答案为：. 72．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数为奇函数 （1）求的值. （2）探究的单调性，并证明你的结论； （3）若存在实数，使得不等式成立，求的范围. 【答案】（1）1； （2）增函数 ，证明： 证明：定义域为，任取设 即 所以为增函数; （3）. 【分析】 （1）根据函数是奇函数，得到，化简得出答案; （2）根据函数单调性的定义，先在区间上任取两个自变量且，然后作差比较其函数值的大小关系，从而得到函数的单调性; （3）由为奇函数，则不等式可化为，即，结合（1）得到的单调性和定义域可解. 【详解】 （1）因为函数为奇函数 ∴，即 化简得 ∴; （2）略 （3）由已知存在实数，使得不等式成立 由（1）可知只需存在实数,使得，即成立即可 令，易知在时单调递增 所以，所以. 【点睛】 通过函数的奇偶性求函数中的参数时，一般来说要利用函数奇偶性的定义来求，当函数是奇函数，且定义域包含0时，可以利用求参数；第三问中的求不等式，不能直接代入函数，要充分的利用函数的单调性和定义域来求解. 73．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知函数是定义域为的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）用定义证明在定义域上是增函数； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）；     （2） 设任意的且，， 又，所以，所以，， 所以在定义域上是增函数；     （3）．      【分析】 （1）由奇偶性的函数的定义域关于0对称求得，由奇函数的性质求得得解析式； （2）根据单调性的定义证明； （3）由单调性的性质及定义域列不等式组求解． (1) 小问详解： 由题意，，，又， 满足题意． 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得 ，解得．解集为． 74．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数 则使不等式成立的的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分和，求出，代入化简，解一元二次不等式即可得出答案. 【详解】 若，， 因为当时，在上单调递增， 所以，解得：， 若，，则， 由可得：，即， 解得：，又因为，所以. 故使不等式成立的的取值范围是：. 故答案为：. 75．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】（1） 最大值为4     （2）或     （3）或      【分析】 （1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出与有2个交点，求取值范围. (1) 小问详解： 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4. (2) 小问详解： 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； (3) 小问详解： 如图，与有2个交点，则或. 76．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【答案】（1）     （2）由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减.     （3）1或      【分析】 （1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. (1) 小问详解： 因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 77．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）     （2）在上为增函数，证明如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数．     （3）．      【分析】 （1）由求的值，由求的值，检验即可. （2）设，证明，即可说明在上是增函数． （3）利用函数为奇函数把不等式变形，利用函数的单调性求不等式的解集. (1) 小问详解： ∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，经检验，是奇函数． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可得，在上为单调递增的奇函数， 由可得， ∴ ， 解得， ∴不等式的解集为． 78．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（1）证明：函数为奇函数的充要条件是． （2）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． ①求函数的图象的对称中心． ②类比上述推论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论． 【答案】1. 证明如下： 当是奇函数时，易知的定义域为， 所以，即，则，充分性成立； 当时，，易知的定义域为， 又，所以是奇函数，必要性成立； 综上，函数为奇函数的充要条件是     2. ①； ②函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的性质与判定，结合充要条件的证明方法即可得证； （2）①利用推广结论，结合奇函数的性质求得，从而得解； ②类比推论即可得解. (1) 题详解： 略 (2) 题详解： ①不妨设的图象的对称中心为， 则为奇函数，易知的定义域为， 而 ， 所以 ，解得 ， 则，易知其为奇函数，满足题意， 所以，即的图象的对称中心为. ②略 79．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知函数（）. （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） 函数在上单调递增，证明如下： 设任意的，且， 则， 即， 所以函数在上单调递增.     （2）      【分析】 （1）先判断函数单调性，再由单调性的定义证明； （2）由函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知函数单调递增， 所以 ， 故不等式的解集为. 80．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知是定义在上的奇函数，且. （1）求m，n的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1），     （2） 在上单调递增.证明如下： 由（1）得，设任意满足， 则 ， 由，得， 所以，即， 所以在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数，可得m值，将条件代入，可求得t值. （2）利用单调性的定义，证明即可. （3）根据为奇函数且在上单调递增，可得， ，化简计算，即可得答案. (1) 小问详解： 由题意得，解得， 由，得，解得. 此时，满足函数为奇函数， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，得， 由（2）得在上单调递增，所以， 即，所以， 因为，所以，解得， 所以不等式的解集为， 又由 ，解得， 综上，该不等式的解集为. 81．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知函数在上是偶函数，且当时，.    （1）求在上的解析式； （2）求在上的值域； （3）作出在上的图象. 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）当时，，代入条件，可得，根据偶函数定义，可得解析式，综合即可得答案. （2）时，，根据一次函数性质，可得其值域，根据偶函数的对称性，分析可得在上的值域. （3）当时，，单调递减，当时，，单调递增，根据偶函数图象关于y轴对称，作出图象即可. (1) 小问详解： 因为在上是偶函数， 所以当时，，所以， 即时的解析式为， 综上， . (2) 小问详解： 当时，，单调递增， 所以，即， 因为为偶函数， 所以在上的值域为. (3) 小问详解： 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 根据为偶函数，图象关于y轴对称， 作出在上的图象如下， 82．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知函数 ，若存在，使得成立，则的取值范围是　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件将问题转化为“在上有解”，然后构造函数，采用分类讨论法分析出的最大值，则的范围可求. 【详解】 当时，的取值范围是，则即在上有解， 设， 令，且的对称轴， 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即； 当时，，在上单调递增， 所以，即，即， 所以的值域为，所以1， 所以，即， 故答案为：. 83．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数的定义域为， 满足，且. （1）求函数的解析式； （2）证明在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】(1) ； (2)设,则： 又； ∴,,；故 ∴； 即； ∴在上是增函数； (3) 【分析】 (1)根据代入可知再联立求解即可. (2)设,再证明即可. (3)利用(1) (2)问中的奇偶性与单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】 (1) 由题意知,为奇函数； ∴,则； 又； ∴； (2) 略 (3) 由得； 由(2) 知在上是增函数,则 解得 【点睛】 本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及单调性的定义证明方法.同时也考查了利用奇偶性单调性求解函数表达式的问题,属于中档题. 84．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定定义求出函数，再分段求解不等式即得. 【详解】 由，即，解得或；由，得， 因此 ， 不等式，化为 或 ，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 85．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）已知函数， . （1）求和的值； （2）求的值域； （3）求不等式的解集. 【答案】（1），；     （2）；     （3）或.      【分析】 （1）根据给定的分段函数，分段判断代入求出和的值. （2）分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域. （3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式． (1) 小问详解： 由函数， ，得，， 所以，. (2) 小问详解： 当时，；当时，，则， 所以的值域为. (3) 小问详解： 当时，，则； 当时，，， 因此 ， 不等式化为 或 ，解得或， 所以原不等式的解集为或. 86．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据所给的结论和奇函数的性质，可求函数的对称中心. 【详解】 设， 因为函数为奇函数， 所以恒成立， 所以 即恒成立. 所以 . 所以函数图象的对称中心为. 故答案为： 87．（2026·广西壮族自治·联考）已知定义在上的函数. （1）证明函数是奇函数； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由，得 ， 所以是奇函数.     （2）.      【分析】 （1）根据奇函数的定义证明是上的奇函数； （2）通过单调性的定义或由判断为上的减函数，结合函数单调性与奇偶性的应用即可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 任取，且， 则， 因为，故，从而有， 即，所以函数为上的减函数. 又为奇函数， 所以，即， 即有，解得，即实数的取值范围是. 88．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数是定义在上的偶函数． （1）判断函数在上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论； （2）求函数零点的个数； （3）设函数，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） 因为是上的偶函数，所以，即， 所以对恒成立，则， 在上单调递增，证明如下： 对任意的，， 因为，所以，所以， 即，故在上单调递增；     （2）2个；     （3）.      【分析】 （1）利用偶函数的性质列方程求参数值，再由单调性的定义证明区间单调性； （2）问题化为与图象的交点个数，结合指对数函数的性质研究函数的图象性质，数形结合判断零点个数； （3）问题化为在上的最大值，利用二次函数的性质列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，而， 由（2）且是偶函数，得在上单调递减， 因为在上单调递增，且， 的大致图象如下， 由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2； (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为， 因为对任意的，存在，使得成立， 所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称． 当，即时，，则 ，解得， 当，即时，，则 ，解得， 综上，的取值范围是. 89．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域是， ， 所以函数是奇函数；     （2） 函数，，， 令，得，其中，方程无解， 所以定义域内不存在实数，使， 所以不是“局部反比例对称函数”；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，即可判断； （2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解； （3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数，， 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以，得， 即，其中， 令， 得，， 设，可知函数的对称轴为，开口向上， 当时，由，解得， 当时，由得，得， 综上可知，当时，方程在上有解， 即在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以的取值范围是. 90．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）已知． （1）求证为奇函数； （2）求的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对于区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，函数的定义域为关于原点对称， 且， 则是奇函数，     （2） ；     （3） 存在，      【分析】 （1）计算，再结合其定义域即可证明； （2）先求出，再取倒数乘，最后加1即可得到值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，因为， 则，则， 则， 即的值域为. (3) 小问详解： 存在. 由在区间上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，根据复合函数单调性知在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，根据复合函数单调性知在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 91．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）人教A版高中数学必修一教材中指出：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．类比上述推广结论可知，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，同理可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． （1）已知函数，求证：为轴对称图形并求出其对称轴； （2）若函数的图象关于直线对称，且当时，． （i）求的解析式，并写出的单调区间（单调区间无需证明）； （ii）求不等式的解集． 【答案】（1） 因为， 所以， 令，函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 所以为轴对称图形，对称轴为；     （2）（i） ，在上单调递增，在上单调递减； （ii）      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义可推得为偶函数，从而可得结论； （2）（i）当时，可得出，从而可求得的解析式，利用函数的性质可求得单调区间；（ii）由（i）的单调性可得，求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为函数的图象关于直线对称，且当时，． 当时，，则， 所以 ； 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减； （ii）因为，由（i）可得， 不等式两边平方得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 92．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】 构造函数， 依题意，的定义域是，是奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减. ， 由得，即， 所以或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】 本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $