专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，广西专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知，，设，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）（多选）如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 3．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）设，，则两数最精确的关系是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（       ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 7．（25-26学年高一上·广西多校·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）下列不等式成立的为（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10．（2026·广西玉林·调研）（多选）已知，下列不等式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）（多选）已知均为实数，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12．（25-26学年高一上·广西贺州）若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 考点02 基本不等式 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知实数满足，则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数，满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D.  3．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）（多选）已知正数满足，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为6 4．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（多选）已知正数，满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）（多选）若，，且，则下列说法正确的是（       ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 7．（2026·广西玉林·调研）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 8．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）（多选）若都为正实数，且，则（     ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为9 D.  9．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）（多选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（       ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 10．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 已知正数，满足，则的取值范围为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若正数，，满足，则有 11．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）（多选）已知正实数满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 12．（25-26学年高一上·广西多校·期中）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C. 的最小值为3 D.  13．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）已知，，且，则xy的最大值为　　　　　　. 14．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）若，则函数的最小值　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知且，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 16．（2026·广西自治区桂林·质量检测）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）若命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 3．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（       ） A.  B. 3 C.  D. 6 4．（25-26学年高一上·广西多校·期中）（多选）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的值可能是（       ） A.  B.  C.  D. 2 5．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知集合，集合，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数的值域为，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集是 C.  D. 不等式的解集为或 8．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中），，若，则以下结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·广西贺州）不等式的解集为，则函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·广西玉林·调研）已知命题为真命题，则的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的解集为或 13．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·广西多校·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知二次函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若在区间上单调递增，求的最小值； （3）求关于的不等式的解集. 16．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知函数在区间上是单调函数 （1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值； （3）根据（2）的结论，设，令 ，若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 17．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上的最小值为－4，求. 18．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是　　　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·广西贺州）已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 20．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知函数，其中. （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值. 21．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的不等式（其中）的解集. 22．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，在上恒成立，求实数的取值范围. 23．（2026·广西玉林·调研）关于的不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　 24．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数，且， （1）求解析式； （2）求不等式的解集． 26．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知函数，满足 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知关于的方程为常数且. （1）证明：必有实数根. （2）设是的两个根，证明：为定值. （3）求关于的不等式的解集. 28．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）设函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式：． 29．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数（）． （1）对都有成立，求实数取值范围； （2）求在上的最小值； （3）求（2）中函数的最大值． 30．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．D 2．ABC 3．ACD 4．A 5．C 6．ABD 7．C 8．BCD 9．D 10．ACD 11．BD 12．【答案】 【分析】 根据不等式性质，化简不等式，可得答案. 【详解】 由，则，所以，解得. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．D 2．C 3．ABD 4．ACD 5．C 6．AC 7．ABD 8．ACD 9．ABC 10．ACD 11．BC 12．ABD 13．【答案】1 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】 由，，且，得， 当且仅当取等号，所以xy的最大值为1. 故答案为：1 14．【答案】5 【分析】 由基本不等式即可求解. 【详解】 由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 15．【答案】 【分析】 依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 16．【答案】① 10    ② 8 【分析】 根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】 设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．A 2．C 3．A 4．ACD 5．A 6．B 7．BD 8．C 9．B 10．A 11．A 12．ABC 13．B 14．B 15．【答案】（1）     （2）2     （3）答案见解析      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值. （3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. (1) 小问详解： 因为，不等式为. 对于方程，解得. 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为，所以开口向上. 因为在区间上单调递增， 所以.解得.所以的最小值为2. (3) 小问详解： 因为， 所以，即. 当，即时，解得，或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）考虑对称轴，由二次函数的单调性可得的不等式，解不等式即可； （2）分类讨论结合单调性可得最大值； （3）由题意求得的解析式，由题意可得，再分类讨论，结合函数的单调性求得最值，解不等式，即可求解. (1) 小问详解： 对称轴为，函数图象开口向上， 则或，即或， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，或， 当时，函数在上递减，所以； 当时，函数在上递增，所以， 所以 ； (3) 小问详解： 由得， 所以 问题转化为当时，. ① 当时，， 此时，解得， ② 当时， 所以，解得， 综上可知：. 17．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. (1) 小问详解： 当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. (2) 小问详解： 开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 18．【答案】 【分析】 由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可. 【详解】 由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 19．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）解不等式，明确集合、，再根据集合的运算法则进行集合的运算. （2）明确集合、的包含关系，再分，，三种情况讨论求的取值范围. (1) 小问详解： 由，所以. 当时，由，所以. 所以， 因为或，所以. (2) 小问详解： 由. 当时，，由，结合可得； 当时，，所以时符合题意； 当时，，由，结合可得. 综上可知，当时，. 20．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. (1) 小问详解： 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． (2) 小问详解： 二次函数的图象开口向下，对称轴为， ① 当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③ 当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 21．【答案】（1），     （2）当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：.      【分析】 （1）由题意得：  和  是方程  的根，利用二次方程的根与系数关系可得答案； （2）利用含参一元二次不等式的解法可得答案. (1) 小问详解： 由题意得：  和  是方程  的根，且 ， 由二次方程的根与系数关系： ，解得： ， 故 ，. (2) 小问详解： 由，得： ， 化简得：， 因式分解得：， 分情况讨论： 当时，不等式的解为：； 当时，不等式的解为：； 当时，不等式化为：， 解为. 综上，不等式 （) 的解集为： 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：. 22．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由题意可知和1为方程的两根，方法一：代入联立方程组求解即可；方法二：由韦达定理列方程求解即可； （2）根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式计算求解即可. (1) 小问详解： 解法一（代入法）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则有及， 解得，； 解法二（韦达定理）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则 ，解得 ； (2) 小问详解： 若，在上恒成立， 即在上恒成立， 故 ，   解得：.      故的取值范围为. 23．【答案】 【分析】 根据三个二次关系，结合韦达定理计算参数即可. 【详解】 由题意和5为方程的根， 则 ，解得， 所以． 故答案为：. 24．【答案】 【详解】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合，再求出集合，利用必要条件建立不等关系讨论即可. 【详解】由题意，，使等式成立的实数的取值集合为， ， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， ，即， 若是的必要条件，则， 当，即时，，则 ，即， 当，即时，，则 ，即， 当，即时，此时，不满足题中条件， 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题. 25．【答案】（1）；     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据已知及求参数值，即可得解析式； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. (1) 小问详解： 由，则， 令，则，即，得，经检验符合题意， ； (2) 小问详解： 原不等式可化为，即， 若，即，则原不等式无解， 若，即，则原不等式解为， 若，即，则原不等式解为， 综上， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 26．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）将已知条件代入求出即可求解； （2）由（1）可知，则解不等式即可求解； （3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解. (1) 小问详解： 由函数，满足， ，解得 ， 故函数的解析式为：. (2) 小问详解： 由（1）知，即不等式转化为， 则， 所以不等式的解集或. (3) 小问详解： 不等式转化为恒成立， 因为开口向上， 可得，解之可得， 所以实数的取值范围是. 27．【答案】（1） 根据题意可得（）， 所以必有实数根；     （2） 由题意可得， 则，即为定值；     （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据根的判别式求证即可； （2）根据韦达定理计算即可得证； （3）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 不等式（），即（）. 令，解得或（）， 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 28．【答案】（1），     （2）当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.      【分析】 （1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）由条件原不等式可化为，再分，，讨论，结合一元二次不等式解法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知，0和是方程的根，且， 所以 ，解得，. (2) 小问详解： 不等式，可化为， 故， 因为，所以原不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 29．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. (1) 小问详解： 由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； (2) 小问详解： 对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则 ； (3) 小问详解： 由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 30．【答案】 【分析】 根据已知条件，结合不等式和抛物线的性质，分和两种情况讨论求解． 【详解】 不等式对任意实数均成立， 当时，不等式为，对任意实数恒成立； 当时，要使恒成立，则需满足二次项系数为负，判别式小于0， 即 ，解得， 不等式对任意实数均成立， 则实数的取值范围是． 故答案为：． 31．【答案】（1）2     （2）：     （3） 依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为或； ③ 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. (1) 小问详解： 由题意知，是方程的两个根， 则 ，则. (2) 小问详解： ， 则对于实数时恒成立， 则 ，即 ， 解得 ，∴ 则的取值范围为. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知，，设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由不等式的性质即可求解. 【详解】 已知，，则，， 所以. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）（多选）如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABC 【分析】 利用不等式的性质或特殊值法逐项分析即可. 【详解】 选项A：取，，则，故A错； 选项B：取，则，故B错； 选项C：取，，，，则，，故C错； 选项D：由题意可知. 由于，所以，所以， 则，故D正确． 故选：ABC． 3．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】 对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 4．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）设，，则两数最精确的关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作差法比较大小即可. 【详解】 因为 ， 所以， 故选：A. 5．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【分析】 结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】 对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（       ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 【答案】ABD 【分析】 利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题. 【详解】 对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 7．（25-26学年高一上·广西多校·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 取特殊值可判断ABD，利用作差法可判断C. 【详解】 若，当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 8．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 对A，举反例即可，对B和C利用作差法即可判断；对D，根据不等式性质即可判断. 【详解】 对A，举例，，则，故A错误； 对B，，因为，则，则，即，故B正确； 对C，若，则， 则，故C正确； 对D，根据，由不等式的基本性质知，故D正确． 故选：BCD． 9．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）下列不等式成立的为（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【分析】 举反例可判断ABC，作差后可得D. 【详解】 对于A，取，则，故A错误； 对于B，若，令，则，故B错误， 对于C，令，则，故C错误； 对于D，若，，则， 所以， 即，故D正确. 故选：D. 10．（2026·广西玉林·调研）（多选）已知，下列不等式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用作差法判断ACD，取特殊值判断B. 【详解】 A选项：由，因为，所以，所以，即，故A正确； B选项：当时，，故B错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项正确. 故选：ACD 11．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）（多选）已知均为实数，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【分析】 对AC，举反例说明；对BD，利用不等式性质判断. 【详解】 对于A，取，但，故A错误； 对于B，由，得，又，所以，故B正确； 对于C，取，，但，，则，故C错误； 对于D，由，则，得，故D正确. 故选：BD. 12．（25-26学年高一上·广西贺州）若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据不等式性质，化简不等式，可得答案. 【详解】 由，则，所以，解得. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知实数满足，则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】 因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 2．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数，满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 由，利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意有：， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 3．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）（多选）已知正数满足，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为6 【答案】ABD 【分析】 运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】 对于A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值为，因此A正确； 对于B：因为是正数，， 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，B正确； 对于C：因为 当且仅当时取等号，即当时，，因此C不正确； 对于D，由， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：ABD. 4．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（多选）已知正数，满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由，可判断AB；利用，结合基本不等式可判断C；由，计算可判断D. 【详解】 因为正数，满足，所以，所以， 当且仅当时，取等号，故A正确，B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ，当且仅当时，取等号，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知等式，利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】 ∵， ∴， 当且仅当 ，即，时，取等号， ∴的最小值为. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）（多选）若，，且，则下列说法正确的是（       ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 【答案】AC 【分析】 根据题意利用基本不等式逐项分析判断. 【详解】 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当时，等号成立，可得， 所以有最大值，故B错误； 对于选项C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值，故D错误. 故选：AC. 7．（2026·广西玉林·调研）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 由基本不等式相关知识可判断各选项正误. 【详解】 对于：因为，则，当且仅当，即时取等号，故正确； 对于，当且仅当，即时取等号，故正确； 对于，则， 当且仅当时取等号，，当时等式不成立，则等号取不到，则的最小值不是4，故不正确； 对于D：，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 8．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）（多选）若都为正实数，且，则（     ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为9 D.  【答案】ACD 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】 对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 9．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）（多选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（       ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 【答案】ABC 【分析】 根据基本不等式求最值后判断． 【详解】 ，当且仅当时等号成立，A对； ，当且仅当即时等号成立，B对； ，则，当且仅当即时等号成立，C对； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，D错. 故选：ABC 10．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 已知正数，满足，则的取值范围为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若正数，，满足，则有 【答案】ACD 【分析】 选项A，根据不等式的性质进行判断，选项C根据基本不等式进行判断，选项D利用柯西不等式判断即可. 【详解】 对于A，因为，所以，， 两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得， 所以，故B错误， 对于C，由，得， 由，可得，又，所以 ， 当且仅当 ，时等号成立，故C正确， 对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得， 当时等号成立，故D正确. 11．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）（多选）已知正实数满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【分析】 根据已知条件，运用均值不等式，结合不等式的性质、函数单调性等知识对选项逐一进行分析即可. 【详解】 由， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，选项错误； 由，可得， 则 ， 当且仅当且，即时，等号成立，B选项正确； 由，可得， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，，C选项正确； 由，即，可得 ， 当且仅当且，等号成立，但此时，不满足题意，选项D错误； 故选：BC 12．（25-26学年高一上·广西多校·期中）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C. 的最小值为3 D.  【答案】ABD 【分析】 根据不等式的基本性质可判断A；根据平方平均数大于等于算术平均可判断B；根据基本不等式中“1”的妙用可判断C；把所求式子平方以后再利用基本不等式可判断D. 【详解】 因为，且，所以，即， 所以，所以，A正确； 因为，所以， 则，B正确； ， 当且仅当 ，即时，等号成立，又，所以取不到，C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以，D正确. 故选：ABD 13．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）已知，，且，则xy的最大值为　　　　　　. 【答案】1 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】 由，，且，得， 当且仅当取等号，所以xy的最大值为1. 故答案为：1 14．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）若，则函数的最小值　　　　　　. 【答案】5 【分析】 由基本不等式即可求解. 【详解】 由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 15．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知且，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 16．（2026·广西自治区桂林·质量检测）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 【答案】① 10    ② 8 【分析】 根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】 设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】A 【分析】 通过求解来确定实数的取值范围. 【详解】 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 2．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）若命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】C 【分析】 由题意得“，成立”是真命题，根据实数是否等于零分类讨论即可. 【详解】 由题意，得“，成立”是真命题. 当时，原不等式化为“”， 显然成立； 当时，由 ，解得. 综上所述，. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（       ） A.  B. 3 C.  D. 6 【答案】A 【分析】 根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】 因为是不等式的解集， 所以是方程的两个实数根且， 所以，， 所以，且，； 所以， 当且仅当时“”成立； 所以的最小值为． 故选：A． 4．（25-26学年高一上·广西多校·期中）（多选）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的值可能是（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】ACD 【分析】 直接根据开口方向与判别式解不等式即可. 【详解】 依题意可得且，解得， 所以ACD符合题意. 故选：ACD 5．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知集合，集合，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意以及一元二次不等式化简集合，进而可求交集. 【详解】 因为集合， 且集合， 所以. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）已知函数的值域为，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用二次函数的单调性和对称性求解. 【详解】 二次函数的对称轴为，且， 当时，解得，由二次函数的图象与性质得的取值范围是. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集是 C.  D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】 利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】 关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得 ， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 8．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中），，若，则以下结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】 因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则 ，即 ，故B、D选项错误； 消元解得 ，故A错误，C选项正确. 9．（25-26学年高一上·广西贺州）不等式的解集为，则函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】 由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 10．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分离参数m后，利用基本不等式求解． 【详解】 对于任意的，不等式恒成立，即恒成立， 时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为．        故选：A． 11．（2026·广西玉林·调研）已知命题为真命题，则的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分离参数结合基本不等式、充分条件、必要条件的定义计算参数范围即可. 【详解】 因为真命题，所以在上恒成立， 即，因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以． 所以为集合是集合的真子集， 所以是成立的充分不必要条件， 是的充要条件， 是的一个必要不充分条件， 是的既不充分也不必要条件． 故选：A 12．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的解集为或 【答案】ABC 【分析】 先根据题意可得的两根为.根据根与系数的关系得到的关系及，再分别一一求解即可. 【详解】 根据题意，可以知道，的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下，则，故A正确. ，故B正确. 且，对称轴为，故C正确. ，两边同时除以， 得到，解得，故D错误. 故选：ABC. 13．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，转化为在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】 由命题：为假命题， 可得命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为在上恒成立，符合题意； 当时，则满足，即，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：B 14．（25-26学年高一上·广西多校·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由二次函数单调区间可得，再由必要不充分条件结合选项依次判断即可. 【详解】 图象的对称轴为直线，若在上单调，则， 对于A，“”是“函数在上单调”的一个充要条件，故A错误； 对于B，“”是“函数在上单调”的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C，“”是“函数在上单调”的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，“”是“函数在上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：B 15．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知二次函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若在区间上单调递增，求的最小值； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）     （2）2     （3）答案见解析      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值. （3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. (1) 小问详解： 因为，不等式为. 对于方程，解得. 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为，所以开口向上. 因为在区间上单调递增， 所以.解得.所以的最小值为2. (3) 小问详解： 因为， 所以，即. 当，即时，解得，或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 16．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知函数在区间上是单调函数 （1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值； （3）根据（2）的结论，设，令 ，若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）考虑对称轴，由二次函数的单调性可得的不等式，解不等式即可； （2）分类讨论结合单调性可得最大值； （3）由题意求得的解析式，由题意可得，再分类讨论，结合函数的单调性求得最值，解不等式，即可求解. (1) 小问详解： 对称轴为，函数图象开口向上， 则或，即或， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，或， 当时，函数在上递减，所以； 当时，函数在上递增，所以， 所以 ； (3) 小问详解： 由得， 所以 问题转化为当时，. ① 当时，， 此时，解得， ② 当时， 所以，解得， 综上可知：. 17．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. (1) 小问详解： 当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. (2) 小问详解： 开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 18．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可. 【详解】 由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26学年高一上·广西贺州）已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）解不等式，明确集合、，再根据集合的运算法则进行集合的运算. （2）明确集合、的包含关系，再分，，三种情况讨论求的取值范围. (1) 小问详解： 由，所以. 当时，由，所以. 所以， 因为或，所以. (2) 小问详解： 由. 当时，，由，结合可得； 当时，，所以时符合题意； 当时，，由，结合可得. 综上可知，当时，. 20．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知函数，其中. （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. (1) 小问详解： 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． (2) 小问详解： 二次函数的图象开口向下，对称轴为， ① 当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③ 当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 21．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】（1），     （2）当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：.      【分析】 （1）由题意得：  和  是方程  的根，利用二次方程的根与系数关系可得答案； （2）利用含参一元二次不等式的解法可得答案. (1) 小问详解： 由题意得：  和  是方程  的根，且 ， 由二次方程的根与系数关系： ，解得： ， 故 ，. (2) 小问详解： 由，得： ， 化简得：， 因式分解得：， 分情况讨论： 当时，不等式的解为：； 当时，不等式的解为：； 当时，不等式化为：， 解为. 综上，不等式 （) 的解集为： 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：. 22．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由题意可知和1为方程的两根，方法一：代入联立方程组求解即可；方法二：由韦达定理列方程求解即可； （2）根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式计算求解即可. (1) 小问详解： 解法一（代入法）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则有及， 解得，； 解法二（韦达定理）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则 ，解得 ； (2) 小问详解： 若，在上恒成立， 即在上恒成立， 故 ，   解得：.      故的取值范围为. 23．（2026·广西玉林·调研）关于的不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据三个二次关系，结合韦达定理计算参数即可. 【详解】 由题意和5为方程的根， 则 ，解得， 所以． 故答案为：. 24．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合，再求出集合，利用必要条件建立不等关系讨论即可. 【详解】由题意，，使等式成立的实数的取值集合为， ， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， ，即， 若是的必要条件，则， 当，即时，，则 ，即， 当，即时，，则 ，即， 当，即时，此时，不满足题中条件， 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题. 25．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数，且， （1）求解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）；     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据已知及求参数值，即可得解析式； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. (1) 小问详解： 由，则， 令，则，即，得，经检验符合题意， ； (2) 小问详解： 原不等式可化为，即， 若，即，则原不等式无解， 若，即，则原不等式解为， 若，即，则原不等式解为， 综上， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 26．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）已知函数，满足 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）将已知条件代入求出即可求解； （2）由（1）可知，则解不等式即可求解； （3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解. (1) 小问详解： 由函数，满足， ，解得 ， 故函数的解析式为：. (2) 小问详解： 由（1）知，即不等式转化为， 则， 所以不等式的解集或. (3) 小问详解： 不等式转化为恒成立， 因为开口向上， 可得，解之可得， 所以实数的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·广西多校·期中）已知关于的方程为常数且. （1）证明：必有实数根. （2）设是的两个根，证明：为定值. （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） 根据题意可得（）， 所以必有实数根；     （2） 由题意可得， 则，即为定值；     （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据根的判别式求证即可； （2）根据韦达定理计算即可得证； （3）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 不等式（），即（）. 令，解得或（）， 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 28．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）设函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式：． 【答案】（1），     （2）当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.      【分析】 （1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）由条件原不等式可化为，再分，，讨论，结合一元二次不等式解法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知，0和是方程的根，且， 所以 ，解得，. (2) 小问详解： 不等式，可化为， 故， 因为，所以原不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 29．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）已知函数（）． （1）对都有成立，求实数取值范围； （2）求在上的最小值； （3）求（2）中函数的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. (1) 小问详解： 由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； (2) 小问详解： 对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则 ； (3) 小问详解： 由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 30．（25-26学年高一上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知条件，结合不等式和抛物线的性质，分和两种情况讨论求解． 【详解】 不等式对任意实数均成立， 当时，不等式为，对任意实数恒成立； 当时，要使恒成立，则需满足二次项系数为负，判别式小于0， 即 ，解得， 不等式对任意实数均成立， 则实数的取值范围是． 故答案为：． 31．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）2     （2）：     （3） 依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为或； ③ 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. (1) 小问详解： 由题意知，是方程的两个根， 则 ，则. (2) 小问详解： ， 则对于实数时恒成立， 则 ，即 ， 解得 ，∴ 则的取值范围为. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $