专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，广西专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用根式的运算性质即可求解. 【详解】 . 故选：B. 2．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）求　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 由题意得． 3．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）108；（2）2 【分析】 根据指数的运算性质分别计算即可. 【详解】 （1）原式 ； （2）因为，所以， 所以. 4．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用根式及指数运算计算可得结论. 【详解】 . 故答案为： 5．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）求值： 【答案】38 【分析】 利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】 原式          6．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】 （1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 7．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 应用指数幂的运算性质得，即得. 【详解】 因为，则， 所以. 故答案为： 8．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）化简求值： （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）1；     （2）；     （3）23.      【分析】 （1）利用指数运算性质计算得解. （2）逆用指数运算法则，再代入计算即得. （3）利用指数运算法则，借助配方法求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，得. (3) 小问详解： 由，得. 9．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）求值：　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数幕的运算性质直接求解即可． 【详解】 . 故答案为：. 10．（2026·广西玉林·调研）（1）化简求值： （2）已知，求的值 【答案】（1）；（2）4 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质化简求值即可； （2）利用平方关系，整体代换求解. 【详解】 （1） （2） . . . . . 11．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（1）化简式子：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据指数运算公式计算即可； （2）把两边平方，整理后再两边平方即可求解. 【详解】 （1） ； （2）因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案 【详解】 由为偶函数可排除A，C； 当时，图象高于图象，即，排除B； 故选：D． 【点睛】 识图常用的方法： （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 2．（25-26学年高一上·广西贺州）（多选）已知函数，则（     ） A. 不等式的解集是 B. ，都有 C. 是R上的递减函数 D. 的值域为 【答案】AD 【分析】 由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的值域的求法计算即可判断D. 【详解】 A：，由，得，即， 得，解得，即原不等式的解集为，故A正确； B：，故B错误； C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误； D：由知，即函数的值域为，故D正确. 故选：AD 3．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解. 【详解】 因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 4．（2026·广西自治区桂林·质量检测）“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 根据充分必要性的定义及指数函数的性质判断条件间的关系. 【详解】 当时，，此时， 当时，，此时， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．（2026·广西自治区桂林·质量检测）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】 因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 6．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围． 【详解】 设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得，解得． 故选：A． 7．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）（多选）函数与的大致图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.          【答案】AC 【分析】 利用指数函数的性质与一次函数的性质逐项判断可得结论. 【详解】 对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴， 在上单调递增，故选项A符合题意． 对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意． 对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴， 在上单调递减，C选项符合题意． 对于D选项，由一次函数图象可知 ，解得，则D选项不符合题意． 故选：AC. 8．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数函数、幂函数单调性分析判断即可. 【详解】 因为在内单调递增，则，即； 又因为在内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据指数函数在上的单调性比较，的大小；再根据幂函数在上的单调性比较，的大小即可求解. 【详解】 ∵函数在上单调递减，且，，即. ∵函数在上单调递增，且，，即. . 故选：C. 10．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】 在上单调递增，在上单调递减，． 故选：A． 11．（25-26学年高一上·广西贺州）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于x的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】ACD 【分析】 根据抽象函数的定义域求解判断A；根据指数型函数过定点问题求解判断B；利用基本不等式求解判断C；求出方程有一正根和一负根时，的范围，即可判断D． 【详解】 对于A，由的定义域为，令，得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，函数且图象过定点，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 则函数的最小值为6，故C正确； 对于D，关于的方程有一正根和一负根， 等价于 ，解得， 所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确． 故选：ACD． 12．（2026·广西壮族自治·联考）已知，若，，且，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 9 【答案】B 【分析】 由题设条件得到，利用“1”的妙用转化为基本不等式即可求出最值. 【详解】 依题意，，故， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 可采用特值法进行判断，或者采用同构法，将不等式里面参数分到不等号两边，构造函数，根据函数单调性即可判断求解． 【详解】 方法一：特值法． 取，得，满足题意，排除A，B； 取，得，满足题意，排除C， 故选：D． 方法二：同构法． 因为不等式，所以， 令，显然函数在上分别单调递增、单调递减， 因此函数在上单调递增， 又原不等式可化为，则，即． 故选：D． 14．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）设，，，，则，，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用指数函数和幂函数的单调性逐一比较各幂的值即可. 【详解】 因函数是单调增函数，故，即， 又函数是减函数，则， 函数在上是增函数，则，即， 综上，可得. 故选：C. 15．（2026·广西玉林·调研）在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分类讨论，两种情况下指数函数图象及二次函数对称轴及与轴交点的纵坐标，据此可判断选项正误. 【详解】 当时，函数在上单调递减， 函数的对称轴为， 且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合． 当时，函数在上单调递增， 函数的对称轴为，B不符合， 且函数与轴交点的纵坐标为，不符合． 故选： C． 16．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）若，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据相关指数函数、幂函数的性质判断大小关系即可. 【详解】 因为在上为增函数，故， 又，且在上为增函数，故， 所以，即． 故选：B 17．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知，，，则 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先把各个数化成指数相同的形式，然后再根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】 因为，，， 且幂函数在 上单调递增， 又，所以. 【点睛】 本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个： 一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，， ）； 二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 18．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 令，将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，结合二次函数性质求解可得. 【详解】 令，因为，所以， 所以当时，恒成立，即， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 19．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）函数且的图象必过定点　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 20．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数函数的特征，令，进而求出定点坐标. 【详解】 当，即时，，故过定点，则A的坐标为 故答案为： 21．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】 根据指数的性质有，即函数的图象过定点. 故答案为： 22．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数函数的特征得到，求出定点坐标. 【详解】 因为（且）的图象恒过点， 令得，则， 则的图象恒过点. 故答案为： 23．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）已知函数 ，若为上的减函数，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分段函数的单调性可得 ，解之即可. 【详解】 由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数单调递减，且当时，， 得 ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）当时，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）把代入后结合换元法求值域； （2）把代入后，令，转化为，利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 当时，， 令,则， 则在上单调递增， 所以. 故的值域为. (2) 小问详解： 当时，， 令， 则有实数解可化为 有实数解， 由，分离参数得， 有实数解， 则， 因为， 当且仅当时等号成立. 所以， 即. 25．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数且，其图象过点，函数与函数的图象关于轴对称. （1）求的值及的值域； （2）若，求方程的实根个数； （3）若在上的最大值与最小值之和为7，求的值． 【答案】（1），值域为；     （2）1个；     （3）.      【分析】 （1）根据函数图象所过的点，应用待定系数法求参数值，再由指数的性质求函数的值域； （2）由题设得，进而有，再求解并结合指数的性质确定实根的个数； （3）讨论、，结合指数函数的单调性及已知函数区间最值，列方程求参数，即可得. (1) 小问详解： 由题设，解得， 因，故，即值域为； (2) 小问详解： 由与函数的图象关于轴对称，故， 当时，，即，整理为， 设，则方程化为，整理得， 判别式，解得， 而，则，所以， 因为函数在定义域内是单调递增，故方程有1个实根， 即所求方程的实根个数为1个． (3) 小问详解： 当时，在上单调递增，则 ， 所以，解得（负值舍），符合， 当时，在上单调递减，则 ， 所以，解得（负值舍），不符合前提，舍去， 综上，. 26．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”．已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分和两种情况，时，单调性相反，不合要求，时，画出与的图像，分在区间上同增和同减两种情况，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，则，， 故在上单调递减，在上单调递增，不合要求， 当时， ， ， 画出与的图像，如下：    ① 若两函数在区间上单调递增，则 ，解得； ② 若两函数在区间上单调递减，则 ，不等式组无解； 综上所述；实数的取值范围为． 故答案为：. 27．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知指数函数的图像过点，且函数的图像与的图像关于轴对称． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）最大值，最小值      【分析】 （1）根据指数函数的性质结合已知点坐标得出的解析式，再利用函数的图像与的图像关于轴对称，求出的解析式； （2）利用的单调性，把已知函数转化为一元二次不等式，解不等式求出的取值范围； （3）先分析在区间上的单调性，再根据单调性求出函数在区间上的最大值和最小值． (1) 小问详解： 设指数函数且，的图像过点， ，解得，， 函数的图像与的图像关于轴对称，满足“把替换为”，则， ． (2) 小问详解： ，为单调递减函数， ， ，整理得，解得， 的取值范围为． (3) 小问详解： ， 是单调递减函数，是单调递增函数， 是单调递减函数，是单调递减函数，在上单调递减函数， 的最大值为， 的最小值为． 28．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知定义在上的奇函数. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6. 【分析】（Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值 求解，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将等价转化为有解，即，求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据，，解出，代入得到解析式，令，（），则，利用基本不等式求最值求出. 【详解】（Ⅰ）是上的奇函数， , , 当时，, 此时是奇函数成立. ； （Ⅱ）任取且， ， , 上为减函数.    若存在，使不等式有解，则有解 ，当时，，   , （Ⅲ）, , , ，且也适合,    , 任意，不等式恒成立, , 令， 令, 任取且， ， 当时，，上为增函数. 当时，，上为减函数. 时即, , , , ，且, ，同理在上是增函数，在上是减函数. 时,的最大值为6.      【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题. 考点03 对数 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数 ，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 由已知条件利用分段函数的性质求解. 【详解】 因为 ， 所以， 所以. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）以下对数式中，与指数式等价的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】根据指数式和对数式的关系即可得出. 【详解】 根据指数式和对数式的关系，等价于. 故选：A. 3．（2026·广西壮族自治·联考）（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 运用指数和对数的运算法则化简计算即可. 【详解】 因为，，， 所以. 故选：D 4．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数 ，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数的性质先利用对数性质和运算法则求出，再由指数性质和运算法则求出． 【详解】 已知分段函数 ， 则， . 故答案为： 5．（25-26学年高一上·广西贺州）（1）计算； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）2 【分析】 （1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值； （2）对等式平方可得出，再对等式两边平方可得出的值. 【详解】 （1） ； （2）由题意得，得， 所以，故. 6．（2026·广西自治区桂林·质量检测）（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1. 【分析】 （1）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）由指对数关系得，再由对数的运算性质求值. 【详解】 （1） . （2）因为，所以，所以， 所以. 考点04 对数函数 1．（2026·广西壮族自治·联考）设，，，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】 依题意，，，， 所以的大小关系为. 故选：C 2．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数的单调性可得， 根据对数函数的单调性可得 ， 从而可判断. 【详解】 因为， 即，. 所以． 故选：A. 3．（2026·广西壮族自治·联考）已知函数的定义域为，集合. （1）求定义域； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）或.      【分析】 （1）根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解； （2）先求得集合，根据题意转化为，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数有意义，则满足 ， 解得或，所以函数的定义域或. (2) 小问详解： 解：由题意得，集合， 因为“”是“”的充分条件，可得， 所以或 ，解得或， 所以实数的取值范围为或. 4．（2026·广西壮族自治·联考）若函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由对数函数图象恒过定点，令真数等于１，求得、的值可得定点的坐标. 【详解】 由，得， ， ， 定点坐标为. 故答案为： 5．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数． （1）求的定义域； （2）当时，求的零点； （3）若在上的最大值与最小值之差为2，求的值． 【答案】（1）（-3，6）     （2）-2和5.     （3）或.      【分析】 （1）根据对数函数的定义域真数部分大于求的定义域； （2）根据对数函数的运算法则求出的零点； （3）通过对数函数的单调性，讨论的取值范围使得在上的最大值与最小值之差为. (1) 小问详解： 由题意可得 ， 解得，则的定义域为， (2) 小问详解： 令，得， 所以，所以，即， 解得或，即的零点是和. (3) 小问详解： 由题意可得 设，因为，所以. ① 当时，是上的减函数， 因为在上的最大值与最小值之差为， 所以，，即，解得 ② 当时，是上的增函数， 因为在上的最大值与最小值之差为2，所以， ，即，解得， 综上，或. 考点05 函数的应用（二） 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的零点存在性定理即可求解. 【详解】 令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，因此函数在上为增函数， 因此，函数在上存在零点的充要条件是且， 所以，即，解得 故选：B 2．（2026·广西玉林·调研）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天9：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（     ） 参考数据：． A. 8：30 B. 8：00 C. 7：30 D. 7：00 【答案】A 【分析】 利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始． 【详解】 令，则． 由参考数据，． 则的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A． 3．（25-26学年高一上·广西多校·期中）设表示不大于的最大整数.已知某店开张的第天进店消费的人数与成正比，且开张首日进店消费的人数为8，则该店开张的第6天进店消费的人数为（       ） A. 16 B. 24 C. 18 D. 20 【答案】D 【分析】 建立起消费的人数与的函数关系式，代入即得答案. 【详解】 设该店开张的第天进店消费的人数， 依题意得，解得， 则. 故选：D 4．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）（多选）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（a为常数），则下列说法中正确的是（       ） A. 时，浮萍面积不会超过 B. 浮萍每周的面积与上周面积之比为定值 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】ABD 【分析】 先根据已知条件结合图像求出函数解析式，再利用函数的性质分析判断各选项． 【详解】 时，， ，即，， 时，，浮萍面积不会超过，故A正确； 当时，浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值2，故B正确； 浮萍每周增加面积，每周增加面积随着的变化而变化，不是定值，故C错误； ，，，故D正确． 故选：ABD． 5．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 【答案】（1），；（2）万元． 【分析】（1）利用曲线过可求参数的大小，从而得到所求的解析式. （2）设销售甲商品投入资金万元，则可得利润关于的函数，利用换元法可求利润的最大值. 【详解】（1）由题意 ，解得，故. 又由题意，得，. （2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元. 由（1）得. 令，则且， 故，， 当即时，取最大值， 答：该商场所获利润的最大值为万元． 【点睛】本题考查函数的应用，注意模型的正确构建，对于无理函数的值域问题，可通过换元法、配方法把无理函数转化为二次函数的最值，此类问题属于中档题． 6．（2026·广西壮族自治·联考）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是． （1）若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量． （2）物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？ 附：结果四舍五入精确到整数，． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可. (1) 小问详解： 由题意可得， 则，所以，所以， 所以该火箭中燃料的质量； (2) 小问详解： 由题意， 则，所以， 所以燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少. 7．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）0和4     （2）     （3）或      【分析】 （1）由函数不动点定义求解即可； （2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可； （3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可； (1) 小问详解： 函数的不动点即为的实数根， 当时，问题转化为方程的实数根，解得或， 所以函数的不动点为0和4； (2) 小问详解： 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，且， 设， 令 ，解得， 所以实数b的取值范围为； (3) 小问详解： 由题意可知，2为方程即的两根， 则 ，解得， 从而， 因为对任意，总存在，使得成立，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则 ，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则 ，解得， 故m的取值范围是或. 8．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用． （1）若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元 （2）如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？ 【答案】（1）     （2）底面长宽分别为，；最低价格为元      【分析】 （1）根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，即可列出方程； （2）由得，利用基本不等式即可得出． (1) 小问详解： 如图所示，根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，    该游乐场母婴室的总造价； (2) 小问详解： 由得， 当且仅当即时，等号成立， 所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元. 9．（2026·广西自治区桂林·质量检测）某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知 .已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． （1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； （2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； （3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 【答案】（1）     （2）     （3）18万元      【分析】 （1）根据题设列式求解即可； （2）根据题意可得 或 ，进而求解即可； （3）结合二次函数和基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 当时，； 当时， 故 . (2) 小问详解： 由题意可得 或 ， 解得或，即所求的取值范围为. (3) 小问详解： 当时，函数， 则在上单调递增， 故时， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 即时，. 因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元. 10．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知函数. （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，有2个不同实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质求出二次函数的值域，进而可求得的范围. （2）先化简等式，然后求出分段函数的解析式和画出分段函数的图象，进而可求出的范围. (1) 小问详解： 若，则， 因为不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，则，令， 则， 所以在上单调递减，则. 故要使得不等式恒成立，则. (2) 小问详解： 若，则，即有两个不同实根， 令，当时，即时，； 当时，即时，，作出的图象，如图所示， 要使得有两个不同实根，则. 11．（2026·广西玉林·调研）玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系： ，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元．      【分析】 （1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. (1) 小问详解： 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . (2) 小问详解： 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 12．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且 假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完. （1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； （2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.      【分析】 （1）根据利润等于销售量减去成本即可求解， （2）根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解最值. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元. 13．（25-26学年高一上·广西贺州）北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射取得圆满成功.某文创企业借此契机推出一款“火箭模型纪念U盘”，前期研发与模具等固定成本为100（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算 若该款U盘年产量为x万个，每个售价45元且全部售完. （1）求出利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式； （2）当产量至少为多少个时，该公司在该款U盘生产销售中才能收回成本； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1）     （2）22472     （3）30万个；410万元      【分析】 （1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，分段求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分段求出的最大值，再比较即可得解. (1) 小问详解： 由题意可知，总销售额为万元，总成本为万元. 故当时，； 当时，； 当时，. 综上，利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为 (2) 小问详解： 由题意可知，要收回成本，须满足. 所以当时，令，解得. 又因为，所以； 当时，令，解得. 又因为，所以； 当时，令， 化简整理可得①. 因为方程的两根分别为 和， 所以不等式① 的解约为或. 又因为，所以. 综上，可得当产量至少为万个，即个时，才能收回成本. (3) 小问详解： 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增， 所以； 当时， . 当且仅当，即时取等号，所以. 综上，可得当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为410万元. 14．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ．每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1）     （2）当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据题意，结合已知函数模型得出分段函数关系式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式，分析分段函数在每段的最大值，再比较函数在每段的最大值的大小关系得出函数最大值，从而求解． (1) 小问详解： 固定成本万元，每百台高级设备售价为万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元， ， 当时，， 当时，， ． (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，即时取等号， ，， 当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）求　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）（1）计算：； （2）已知，求的值. 4．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）　　　. 5．（25-26学年高一上·广西钦州浦北县·期中）求值： 6．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 7．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）化简求值： （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 9．（25-26学年高一上·广西南宁第三十六中学）求值：　　　　　　　　　　. 10．（2026·广西玉林·调研）（1）化简求值： （2）已知，求的值 11．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）（1）化简式子：； （2）已知，求的值. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·广西贺州）（多选）已知函数，则（     ） A. 不等式的解集是 B. ，都有 C. 是R上的递减函数 D. 的值域为 3．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·广西自治区桂林·质量检测）“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（2026·广西自治区桂林·质量检测）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）（多选）函数与的大致图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.          8．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·广西玉林高级中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·广西贺州）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于x的方程有一正根和一负根”的充要条件 12．（2026·广西壮族自治·联考）已知，若，，且，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 9 13．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）设，，，，则，，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（2026·广西玉林·调研）在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）若，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知，，，则 A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·广西桂林广西师范大学附属中学·期中）函数且的图象必过定点　　　　　． 20．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为　　　　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是　　　　　. 22．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）已知函数 ，若为上的减函数，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）当时，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 25．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）已知函数且，其图象过点，函数与函数的图象关于轴对称. （1）求的值及的值域； （2）若，求方程的实根个数； （3）若在上的最大值与最小值之和为7，求的值． 26．（25-26学年高一上·广西南宁第二中学·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”．已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）已知指数函数的图像过点，且函数的图像与的图像关于轴对称． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 28．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）已知定义在上的奇函数. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 考点03 对数 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数 ，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2．（25-26学年高一上·广西南宁第三中学）以下对数式中，与指数式等价的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·广西壮族自治·联考）（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·广西贺州）已知函数 ，则　　　　　　　. 5．（25-26学年高一上·广西贺州）（1）计算； （2）若，求的值. 6．（2026·广西自治区桂林·质量检测）（1）计算：． （2）已知，求的值． 考点04 对数函数 1．（2026·广西壮族自治·联考）设，，，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  3．（2026·广西壮族自治·联考）已知函数的定义域为，集合. （1）求定义域； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 4．（2026·广西壮族自治·联考）若函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为　　　　　　　　　　　　. 5．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知函数． （1）求的定义域； （2）当时，求的零点； （3）若在上的最大值与最小值之差为2，求的值． 考点05 函数的应用（二） 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广西玉林·调研）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天9：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（     ） 参考数据：． A. 8：30 B. 8：00 C. 7：30 D. 7：00 3．（25-26学年高一上·广西多校·期中）设表示不大于的最大整数.已知某店开张的第天进店消费的人数与成正比，且开张首日进店消费的人数为8，则该店开张的第6天进店消费的人数为（       ） A. 16 B. 24 C. 18 D. 20 4．（25-26学年高一上·广西南宁第十四中学）（多选）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（a为常数），则下列说法中正确的是（       ） A. 时，浮萍面积不会超过 B. 浮萍每周的面积与上周面积之比为定值 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 5．（25-26学年高一上·广西自治区来宾·期中）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 6．（2026·广西壮族自治·联考）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是． （1）若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量． （2）物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？ 附：结果四舍五入精确到整数，． 7．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 8．（25-26学年高一上·广西联盟学校·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用． （1）若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元 （2）如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？ 9．（2026·广西自治区桂林·质量检测）某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知 .已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． （1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； （2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； （3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 10．（25-26学年高一上·广西壮族自治区博白县中学·期中）已知函数. （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，有2个不同实根，求实数的取值范围. 11．（2026·广西玉林·调研）玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系： ，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 12．（25-26学年高一上·广西壮族自治区柳州柳州地区民族高级中学·期中）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且 假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完. （1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； （2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 13．（25-26学年高一上·广西贺州）北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射取得圆满成功.某文创企业借此契机推出一款“火箭模型纪念U盘”，前期研发与模具等固定成本为100（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算 若该款U盘年产量为x万个，每个售价45元且全部售完. （1）求出利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式； （2）当产量至少为多少个时，该公司在该款U盘生产销售中才能收回成本； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大?并求出最大利润. 14．（25-26学年高一上·广西示范性高中·期中）以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ．每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．B 2．【答案】 【详解】 由题意得． 3．【答案】（1）108；（2）2 【分析】 根据指数的运算性质分别计算即可. 【详解】 （1）原式 ； （2）因为，所以， 所以. 4．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用根式及指数运算计算可得结论. 【详解】 . 故答案为： 5．【答案】38 【分析】 利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】 原式          6．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】 （1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 7．【答案】 【分析】 应用指数幂的运算性质得，即得. 【详解】 因为，则， 所以. 故答案为： 8．【答案】（1）1；     （2）；     （3）23.      【分析】 （1）利用指数运算性质计算得解. （2）逆用指数运算法则，再代入计算即得. （3）利用指数运算法则，借助配方法求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，得. (3) 小问详解： 由，得. 9．【答案】 【分析】 利用指数幕的运算性质直接求解即可． 【详解】 . 故答案为：. 10．【答案】（1）；（2）4 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质化简求值即可； （2）利用平方关系，整体代换求解. 【详解】 （1） （2） . . . . . 11．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据指数运算公式计算即可； （2）把两边平方，整理后再两边平方即可求解. 【详解】 （1） ； （2）因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以. 考点02 指数函数 1．D 2．AD 3．A 4．D 5．C 6．A 7．AC 8．B 9．C 10．A 11．ACD 12．B 13．D 14．C 15．C 16．B 17．A 18．A 19．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 20．【答案】 【分析】 根据指数函数的特征，令，进而求出定点坐标. 【详解】 当，即时，，故过定点，则A的坐标为 故答案为： 21．【答案】 【分析】 根据指数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】 根据指数的性质有，即函数的图象过定点. 故答案为： 22．【答案】 【分析】 根据指数函数的特征得到，求出定点坐标. 【详解】 因为（且）的图象恒过点， 令得，则， 则的图象恒过点. 故答案为： 23．【答案】 【分析】 根据分段函数的单调性可得 ，解之即可. 【详解】 由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数单调递减，且当时，， 得 ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）把代入后结合换元法求值域； （2）把代入后，令，转化为，利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 当时，， 令,则， 则在上单调递增， 所以. 故的值域为. (2) 小问详解： 当时，， 令， 则有实数解可化为 有实数解， 由，分离参数得， 有实数解， 则， 因为， 当且仅当时等号成立. 所以， 即. 25．【答案】（1），值域为；     （2）1个；     （3）.      【分析】 （1）根据函数图象所过的点，应用待定系数法求参数值，再由指数的性质求函数的值域； （2）由题设得，进而有，再求解并结合指数的性质确定实根的个数； （3）讨论、，结合指数函数的单调性及已知函数区间最值，列方程求参数，即可得. (1) 小问详解： 由题设，解得， 因，故，即值域为； (2) 小问详解： 由与函数的图象关于轴对称，故， 当时，，即，整理为， 设，则方程化为，整理得， 判别式，解得， 而，则，所以， 因为函数在定义域内是单调递增，故方程有1个实根， 即所求方程的实根个数为1个． (3) 小问详解： 当时，在上单调递增，则 ， 所以，解得（负值舍），符合， 当时，在上单调递减，则 ， 所以，解得（负值舍），不符合前提，舍去， 综上，. 26．【答案】 【分析】 分和两种情况，时，单调性相反，不合要求，时，画出与的图像，分在区间上同增和同减两种情况，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，则，， 故在上单调递减，在上单调递增，不合要求， 当时， ， ， 画出与的图像，如下：    ① 若两函数在区间上单调递增，则 ，解得； ② 若两函数在区间上单调递减，则 ，不等式组无解； 综上所述；实数的取值范围为． 故答案为：. 27．【答案】（1）     （2）     （3）最大值，最小值      【分析】 （1）根据指数函数的性质结合已知点坐标得出的解析式，再利用函数的图像与的图像关于轴对称，求出的解析式； （2）利用的单调性，把已知函数转化为一元二次不等式，解不等式求出的取值范围； （3）先分析在区间上的单调性，再根据单调性求出函数在区间上的最大值和最小值． (1) 小问详解： 设指数函数且，的图像过点， ，解得，， 函数的图像与的图像关于轴对称，满足“把替换为”，则， ． (2) 小问详解： ，为单调递减函数， ， ，整理得，解得， 的取值范围为． (3) 小问详解： ， 是单调递减函数，是单调递增函数， 是单调递减函数，是单调递减函数，在上单调递减函数， 的最大值为， 的最小值为． 28．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6. 【分析】（Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值 求解，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将等价转化为有解，即，求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据，，解出，代入得到解析式，令，（），则，利用基本不等式求最值求出. 【详解】（Ⅰ）是上的奇函数， , , 当时，, 此时是奇函数成立. ； （Ⅱ）任取且， ， , 上为减函数.    若存在，使不等式有解，则有解 ，当时，，   , （Ⅲ）, , , ，且也适合,    , 任意，不等式恒成立, , 令， 令, 任取且， ， 当时，，上为增函数. 当时，，上为减函数. 时即, , , , ，且, ，同理在上是增函数，在上是减函数. 时,的最大值为6.      【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题. 考点03 对数 1．D 2．A 3．D 4．【答案】 【分析】 利用分段函数的性质先利用对数性质和运算法则求出，再由指数性质和运算法则求出． 【详解】 已知分段函数 ， 则， . 故答案为： 5．【答案】（1）；（2）2 【分析】 （1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值； （2）对等式平方可得出，再对等式两边平方可得出的值. 【详解】 （1） ； （2）由题意得，得， 所以，故. 6．【答案】（1）；（2）1. 【分析】 （1）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）由指对数关系得，再由对数的运算性质求值. 【详解】 （1） . （2）因为，所以，所以， 所以. 考点04 对数函数 1．C 2．A 3．【答案】（1）或     （2）或.      【分析】 （1）根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解； （2）先求得集合，根据题意转化为，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数有意义，则满足 ， 解得或，所以函数的定义域或. (2) 小问详解： 解：由题意得，集合， 因为“”是“”的充分条件，可得， 所以或 ，解得或， 所以实数的取值范围为或. 4．【答案】 【分析】 由对数函数图象恒过定点，令真数等于１，求得、的值可得定点的坐标. 【详解】 由，得， ， ， 定点坐标为. 故答案为： 5．【答案】（1）（-3，6）     （2）-2和5.     （3）或.      【分析】 （1）根据对数函数的定义域真数部分大于求的定义域； （2）根据对数函数的运算法则求出的零点； （3）通过对数函数的单调性，讨论的取值范围使得在上的最大值与最小值之差为. (1) 小问详解： 由题意可得 ， 解得，则的定义域为， (2) 小问详解： 令，得， 所以，所以，即， 解得或，即的零点是和. (3) 小问详解： 由题意可得 设，因为，所以. ① 当时，是上的减函数， 因为在上的最大值与最小值之差为， 所以，，即，解得 ② 当时，是上的增函数， 因为在上的最大值与最小值之差为2，所以， ，即，解得， 综上，或. 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．A 3．D 4．ABD 5．【答案】（1），；（2）万元． 【分析】（1）利用曲线过可求参数的大小，从而得到所求的解析式. （2）设销售甲商品投入资金万元，则可得利润关于的函数，利用换元法可求利润的最大值. 【详解】（1）由题意 ，解得，故. 又由题意，得，. （2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元. 由（1）得. 令，则且， 故，， 当即时，取最大值， 答：该商场所获利润的最大值为万元． 【点睛】本题考查函数的应用，注意模型的正确构建，对于无理函数的值域问题，可通过换元法、配方法把无理函数转化为二次函数的最值，此类问题属于中档题． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可. (1) 小问详解： 由题意可得， 则，所以，所以， 所以该火箭中燃料的质量； (2) 小问详解： 由题意， 则，所以， 所以燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少. 7．【答案】（1）0和4     （2）     （3）或      【分析】 （1）由函数不动点定义求解即可； （2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可； （3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可； (1) 小问详解： 函数的不动点即为的实数根， 当时，问题转化为方程的实数根，解得或， 所以函数的不动点为0和4； (2) 小问详解： 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，且， 设， 令 ，解得， 所以实数b的取值范围为； (3) 小问详解： 由题意可知，2为方程即的两根， 则 ，解得， 从而， 因为对任意，总存在，使得成立，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则 ，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则 ，解得， 故m的取值范围是或. 8．【答案】（1）     （2）底面长宽分别为，；最低价格为元      【分析】 （1）根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，即可列出方程； （2）由得，利用基本不等式即可得出． (1) 小问详解： 如图所示，根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，    该游乐场母婴室的总造价； (2) 小问详解： 由得， 当且仅当即时，等号成立， 所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元. 9．【答案】（1）     （2）     （3）18万元      【分析】 （1）根据题设列式求解即可； （2）根据题意可得 或 ，进而求解即可； （3）结合二次函数和基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 当时，； 当时， 故 . (2) 小问详解： 由题意可得 或 ， 解得或，即所求的取值范围为. (3) 小问详解： 当时，函数， 则在上单调递增， 故时， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 即时，. 因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元. 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质求出二次函数的值域，进而可求得的范围. （2）先化简等式，然后求出分段函数的解析式和画出分段函数的图象，进而可求出的范围. (1) 小问详解： 若，则， 因为不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，则，令， 则， 所以在上单调递减，则. 故要使得不等式恒成立，则. (2) 小问详解： 若，则，即有两个不同实根， 令，当时，即时，； 当时，即时，，作出的图象，如图所示， 要使得有两个不同实根，则. 11．【答案】（1）     （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元．      【分析】 （1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. (1) 小问详解： 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . (2) 小问详解： 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 12．【答案】（1）     （2）当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.      【分析】 （1）根据利润等于销售量减去成本即可求解， （2）根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解最值. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元. 13．【答案】（1）     （2）22472     （3）30万个；410万元      【分析】 （1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，分段求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分段求出的最大值，再比较即可得解. (1) 小问详解： 由题意可知，总销售额为万元，总成本为万元. 故当时，； 当时，； 当时，. 综上，利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为 (2) 小问详解： 由题意可知，要收回成本，须满足. 所以当时，令，解得. 又因为，所以； 当时，令，解得. 又因为，所以； 当时，令， 化简整理可得①. 因为方程的两根分别为 和， 所以不等式① 的解约为或. 又因为，所以. 综上，可得当产量至少为万个，即个时，才能收回成本. (3) 小问详解： 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增， 所以； 当时， . 当且仅当，即时取等号，所以. 综上，可得当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为410万元. 14．【答案】（1）     （2）当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据题意，结合已知函数模型得出分段函数关系式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式，分析分段函数在每段的最大值，再比较函数在每段的最大值的大小关系得出函数最大值，从而求解． (1) 小问详解： 固定成本万元，每百台高级设备售价为万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元， ， 当时，， 当时，， ． (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，即时取等号， ，， 当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $