专题05 双曲线、抛物线（期中真题汇编，广西专用）高二数学上学期

专题05 双曲线、抛物线 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．B 12．B 13．C 14．A 15．B 16．AC 17．B 18．B 19．B 20．A 21．D 22．C 23．D 24．ACD 25．D 26．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. (1) 小问详解： 设双曲线标准方程为：， ， ，双曲线标准方程为. (2) 小问详解： 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得： ，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得： ，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. (1) 小问详解： 设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 28．【答案】1 【详解】求出右焦点坐标， 渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 由知：， ，所以 ，即， 右焦点 ，其中一条渐近线， 所以右焦点到渐近线距离为， 故答案为：1 【点睛】 本题组要考查了双曲线的基本性质，焦点到渐近线的距离等于，属于基础题. 29．【答案】（1）方程为，左、右焦点坐标分别为     （2）      【分析】 （1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. (1) 小问详解： 因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． (2) 小问详解： 由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立 ，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 30．【答案】（1）     （2） 解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，顶点坐标为， 离心率为，渐近线方程为.      【分析】 （1）根据题意，利用双曲线定义，得到，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）由（1）中双曲线的方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为双曲线的两个焦点分别是，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为点是双曲线上的一点，且， 根据双曲线的定义，可得，所以， 又由，所以， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 31．【答案】 【分析】 设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，进而计算可得答案. 【详解】 由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设，又， 所以 ，所以， 因为为的中点，所以，即， 所以两边平方得 ， 所以，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 32．【答案】 【分析】根据条件得到，再根据解得离心率取值范围. 【详解】双曲线的离心率 根据，知 故答案为 【点睛】本题考查了离心率的取值范围，确定关系式是解题的关键. 33．【答案】 【分析】 由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】 设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆和双曲线的离心率公式即可求解， （2）联立直线与双曲线方程，可得韦达定理，即可根据弦长公式可得，即可根据向量的数量积求解. (1) 小问详解： 的伴随双曲线为， 设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为， 依题意可得， 即，即，解得， 所以椭圆， 则椭圆伴随双曲线的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，设直线的斜率为，， 则直线的方程， 与双曲线联立并消去，得， 则，所以，，则， 又， 又，解得， 又， 所以 因为，所以. 【点睛】 关键点点睛：，利用韦达定理，代入求解. 35．【答案】 【分析】 首先设与圆的切点分别为，根据圆外一点引圆的切线长相等，结合双曲线的定义，列出等量关系式，求得，利用正切倍角公式，得到答案. 【详解】 设与圆的切点分别为. 则， 所以 又，解得 连接 则， 故答案为：. 【点睛】 该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点三角形的内切圆的问题，双曲线的定义，倍角正切公式，属于简单题目. 36．【答案】 【分析】 由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案. 【详解】 不妨设点在第一象限，连接，则， 故，， 设，因为，所以为的中点， ，故.， 将代入中，故，则. 故答案为：.     37．【答案】（1）     （2）不存在直线符合题意，理由如下： 易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在， 设l：，将直线l与曲线C联立，得 ， 消去y，整理得， 因为且， 所以且， 设，， 则，， 所以MN的中点， 且， 将，代入上式， 整理得， 当时，线段MN的中垂线方程为：， 令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为， 当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标， 因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为， 所以， 所以， 整理得，即， 因为且， 所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.      【分析】 （1）设，则由，可得，，再结合，消去，即可得曲线C的标准方程， （2）判断直线l的斜率存在，设l：，设，，将直线方程代入曲线C的方程，化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式表示出MN的中点的坐标，利用弦长公式表示出，表示出线段MN的中垂线方程，求出其与x轴的交点坐标为，而AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，从而由列方程求解即可. (1) 小问详解： 设，则，，， 因为，所以， 所以，，所以，， 又，整理得， 即曲线C的标准方程为； (2) 小问详解： 略 38．【答案】（1）     （2） ，设直线方程为， ， 由 ，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 【分析】 （1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. (1) 小问详解： 由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． (2) 小问详解： 略 39．【答案】 【分析】 求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意， ， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 40．【答案】（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由如下： 如图,连接. AI 因为为的垂直平分线,所以, 所以为定值, 又因为点在圆外,所以, 根据双曲线定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线. （2）当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆. 【分析】 （1）由垂直平分线,得,进而为定值,根据双曲线的定义即可判断； （2）根据题意,分类讨论求解即可得答案. 【详解】 （1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由略； （2）对于方程, 当时,方程为,即,表示轴; 当时,方程为,即,表示轴; 当且时,方程为, 若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆; 若,即或时,方程表示双曲线; 若且时,即且时,方程表示椭圆; 综上,当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆; 41．【答案】 【分析】 先根据正弦定理结合双曲线定义求得，然后根据相切对应的垂直关系结合勾股定理得到关于的方程，则离心率可求. 【详解】 由正弦定理可知且， 又因为，可解得， 又因为，所以为的中点，所以， 又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，解得， 故答案为：. 42．【答案】 【分析】 联立直线与圆的方程得点坐标，代入双曲线方程，结合离心率定义求解. 【详解】 联立 ，消去得 解得（因在右支，取正根），代入得，即. 将代入得， 设，即，代入化简得：， 解得（舍去小于1的根），故. 故答案为： 43．【答案】 【分析】 由直线，其中，分别联立方程组 和 ，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】 如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组 ，解得， 联立方程组 ，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同, 44．【答案】（1）；     （2）当时，；     （3）的最大值为.      【分析】 （1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. (1) 小问详解： 由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. (2) 小问详解： 当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得 ，所以. (3) 小问详解： 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 45．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出等式得出即可求解; （2）对直线 斜率进行讨论，通过弦长公式法算出和点到直线的距离公式算出坐标原点到直线的距离即可求解； （3）设直线的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，求出直线的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值. (1) 小问详解： 设双曲线的标准方程为 ，焦点， 则以右焦点F为圆心，半径为 的圆的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据圆与渐近线相切得， 焦点到渐近线的距离，得， 所以双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）知    当直线 斜率不存在时，令，代入中得，即， 所以, 当直线 斜率存在时，设直线的方程为，， ，消去并整理得，， 根据根与系数的关系得， 因为直线交曲线E于同支两点记为A，B， 所以 ，解得或， 因为到直线的距离， 所以 , 其中. 综上所述，当直线 斜率不存在时，面积最小，面积为. (3) 小问详解： 由过点F作直线交曲线E于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0，    设直线的方程为，其中或， 因为恒成立，即,得为的角平分线， 设,假设存在, 联立 ，整理可得：， ， 因为，所以， 整理可得， ， 即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 【点睛】 方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：① 当条件和结论不唯一时要分类讨论； ② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③ 当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 考点02 抛物线 1．D 2．BD 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．AC 9．ACD 10．BCD 11．B 12．B 13．A 14．BD 15．【答案】4 【分析】 由抛物线的定义分析可得，再解三角形可得. 【详解】 由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. (1) 小问详解： 根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立 ，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 17．【答案】5 【分析】 由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】 抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 18．【答案】4 【分析】 求出抛物线的准线方程并作出，过M作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【详解】 抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：    则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 19．【答案】（1）且；     （2）.      【分析】 （1）利用及向量数量积的坐标表示求轨迹方程； （2）根据题设有轴，即，且求出坐标，进而求. (1) 小问详解： 由题意，设，则， 由，即且. (2) 小问详解： 由题意，易知，即轴， 又，则，故， 又位于第一象限，则， 所以，故， 则. 20．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. (1) 小问详解： 设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得 ，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，        设直线：，，， 则 ，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程 ，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 21．【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）求出双曲线的渐近线方程得，进而求出双曲线方程及右焦点坐标，求得抛物线方程. （2）求出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. (1) 小问详解： 双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的方程为， 双曲线的右焦点坐标为，而抛物线的焦点为， 于是，解得，所以抛物线的标准方程为. (2) 小问详解： 直线的方程为，由 消去得， ，设， 则，， 令直线与轴的交点为，，由（1）知， 所以的面积. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据点在抛物线上，根据抛物线定义，确定值，即可求解. （2）由已知, 设出圆C方程，代入原点和，可得的值,即可求得圆C的方程. (1) 小问详解： 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为， 故，则， 故抛物线标准方程为. (2) 小问详解： 因为圆C的圆心在轴上， 则设圆C方程为， 由已知，圆C过原点和， 由已知 ，解得 ， 所以圆C方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线、抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年高二上·广西柳州高级中学·期中）设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A.  B.  C.  D.  5．（2025·广西玉林第一中学·联考）双曲线的离心率为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  6．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知双曲线，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·广西自治区桂林·质量检测）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知分别是双曲线E：的左､右焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且为等边三角形，则双曲线E的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（          ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（       ） A.  B.  C. 10 D. 11 11．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A. 10 B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A. 1 B. 13 C. 1或9 D. 1或13 13．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）“”是方程“”表示双曲线的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 15．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（       ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 16．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）（多选）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  17．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）若实数m满足，则曲线与曲线的（       ） A. 离心率相等 B. 焦距相等 C. 实轴长相等 D. 虚轴长相等 19．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  20．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A. 4 B.  C. 2 D. 3 21．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（       ） A.  B.  C. 10 D.  23．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（       ） A.  B. 4 C. 6 D.  24．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）（多选）记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（       ） A. 离心率 B. 的面积为 C.  D.  25．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（2026·广西自治区桂林·质量检测）求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距为，实轴长为； （2）过点，离心率为． 27．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. （1）求双曲线E的标准方程； （2）若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 28．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是　　　　　　． 29．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 30．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，． （1）求双曲线的标准方程 （2）写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 31．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）若，则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. （1）求椭圆伴随双曲线的方程； （2）点为的上焦点，过的直线与上支交于两点，设的面积为，（其中为坐标原点）.若，求. 35．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于　　　　　. 36．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为　　　　　　　　　　. 37．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳州铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 38．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知双曲线的焦距为4，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 39．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. 40．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 41．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为　　　　　　. 42．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知是双曲线的两个焦点，直线与双曲线的右支交于点．若（为坐标原点），则双曲线的离心率是　　　　　　． 43．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为　　　　　　　　　　　　． 44．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求. （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. （3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 45．（24-25学年高二上·广西柳州高级中学·期中）双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. （1）求双曲线E的方程. （2）过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. （3）过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（       ） A. 的坐标为 B.  C.  D.  3．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为(       ) A.  B. 1 C. 2 D. 4 4．（2025·广西玉林第一中学·联考）顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（       ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）（多选）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D.  9．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（       ） A.  B.  C. 与面积之比为3 D. 面积为 10．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 11．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 13．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（     ） A. 4 B. 3 C.  D. 5 14．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）（多选）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（     ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 15．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则　　　　　　． 16．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 17．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则　　　　　　　　　　. 18．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，　　　　　　. 19．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. （1）求点的轨迹方程； （2）设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 20．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . （1）求的方程； （2）设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 21．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. （1）求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; （2）若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 22．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）分别求出适合下列条件的方程： （1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线、抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义及题设条件建立两个方程，易得. 【详解】 由双曲线定义知. 故选：D 2．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由双曲线中a，b，c的关系先求出b，进而可求焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程. 【详解】 解：由题意，，又，解得. 所以双曲线的一条渐近线方程为，即. 故选：B. 3．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】 设椭圆方程为， 双曲线的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：， 则，故椭圆方程为. 故选：C 4．（24-25学年高二上·广西柳州高级中学·期中）设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】利用双曲线的离心率，求出的关系式，然后求渐近线方程. 【详解】解：双曲线的离心率是3， 可得，则. 则双曲线的渐近线的方程为：. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力. 5．（2025·广西玉林第一中学·联考）双曲线的离心率为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线的基本量关系求解即可. 【详解】 由题意，，即，解得. 故选：B 6．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知双曲线，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的方程直接求出离心率即可. 【详解】 由双曲线,可知该双曲线的离心率. 故选:C. 7．（2026·广西自治区桂林·质量检测）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】 由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 8．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知分别是双曲线E：的左､右焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且为等边三角形，则双曲线E的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义与性质结合直角三角形的性质构造齐次式计算即可. 【详解】 连接为等边三角形， ，从而， ， 由双曲线定义得 双曲线E的离心率为, 故选：D 9．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，， 则，，. 因为A，B两点在双曲线C上， 所以 ， 所以， 则， 即， 故双曲线C的渐近线方程是. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线中的中点弦问题，其方法是点差法，需要熟练掌握. 10．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（       ） A.  B.  C. 10 D. 11 【答案】A 【分析】 由题可知双曲线的一条渐近线方程为，再利用过点即可求解. 【详解】 由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得， 设双曲线的方程为， 将代入计算可得，解得， 所以该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为． 故选：A. 11．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A. 10 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线方程确定渐近线，结合已知得，再由离心率的求法求双曲线的离心率. 【详解】 由双曲线的方程知，渐近线为，又一条渐近线方程为， 所以，则双曲线的离心率. 故选：B 12．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A. 1 B. 13 C. 1或9 D. 1或13 【答案】B 【分析】 首先确定、、，再根据双曲线定义，可求得，需注意的最小值. 【详解】 双曲线，则，，， 所以， 又，解得或， 但是，所以. 故选：B 13．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据双曲线的渐近线夹角有或求参数，再由充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】 由渐近线的夹角为，则或，可得或， 所以“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的必要不充分条件. 故选：C 14．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）“”是方程“”表示双曲线的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 15．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（       ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】B 【分析】 求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】 设动圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径 由题意可得 ，消去可得， 所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 16．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）（多选）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 易得，，再由，判断. 【详解】 解：因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，即， ，即， 故选：AC 17．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】 设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 18．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）若实数m满足，则曲线与曲线的（       ） A. 离心率相等 B. 焦距相等 C. 实轴长相等 D. 虚轴长相等 【答案】B 【分析】 根据双曲线的性质逐一分析判断即可. 【详解】 因为，所以， 所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线， ， 所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确； 因为，所以离心率不相等，故A错误； 因为，所以实轴长不相等，故C错误； 因为，所以虚轴长不相等，故D错误. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立 ， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 20．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A. 4 B.  C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值. 【详解】 如图所示: 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ，， ∴，， 设，，则 在中由余弦定理得，， ∴化简得，该式可变成． 故选A． 【点睛】 本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解. 21．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，用分别表示，再由得到之间的关系，结合余弦定理即可得的关系，可得离心率. 【详解】 设，如下图所示：    由题意可得，； 又，由可得， 即，解得； 所以； 因为，所以； 即，可得， 即，解得. 故选：D 22．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（       ） A.  B.  C. 10 D.  【答案】C 【分析】 根据渐近线方程得出,再根据焦点得出,结合,可求出双曲线的标准方程,然后根据点斜式得出直线方程,联立方程组求出，,最后由弦长公式即可求出截得的弦长. 【详解】 ∵双曲线：的一条渐近线方程是， ∴，即，∵左焦点，∴ ∴，∴，， ∴双曲线方程为，直线的方程为， 设，由 ， 消可得，∴，， ∴． 故选:C 【点睛】 本题考查了双曲线方程的求解过程,考查了直线截得曲线的弦长的求解,属于中档题. 23．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（       ） A.  B. 4 C. 6 D.  【答案】D 【分析】 首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】 由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由 可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 24．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）（多选）记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（       ） A. 离心率 B. 的面积为 C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据条件，先求出的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】 由题意得，，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，故，所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，而，故，即，整理得到， 所以的面积，故B错误； 对于C，易知圆的方程为，联立 ， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； 对于D，因为，在中，由余弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 25．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【详解】 设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：D. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：① 配方法；② 基本不等式法；③ 单调性法；④ 三角换元法；⑤ 导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 26．（2026·广西自治区桂林·质量检测）求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距为，实轴长为； （2）过点，离心率为． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. (1) 小问详解： 设双曲线标准方程为：， ， ，双曲线标准方程为. (2) 小问详解： 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得： ，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得： ，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 27．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. （1）求双曲线E的标准方程； （2）若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. (1) 小问详解： 设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 28．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是　　　　　　． 【答案】1 【详解】求出右焦点坐标， 渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 由知：， ，所以 ，即， 右焦点 ，其中一条渐近线， 所以右焦点到渐近线距离为， 故答案为：1 【点睛】 本题组要考查了双曲线的基本性质，焦点到渐近线的距离等于，属于基础题. 29．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】（1）方程为，左、右焦点坐标分别为     （2）      【分析】 （1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. (1) 小问详解： 因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． (2) 小问详解： 由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立 ，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 30．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，． （1）求双曲线的标准方程 （2）写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 【答案】（1）     （2） 解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，顶点坐标为， 离心率为，渐近线方程为.      【分析】 （1）根据题意，利用双曲线定义，得到，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）由（1）中双曲线的方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为双曲线的两个焦点分别是，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为点是双曲线上的一点，且， 根据双曲线的定义，可得，所以， 又由，所以， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 31．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，进而计算可得答案. 【详解】 由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设，又， 所以 ，所以， 因为为的中点，所以，即， 所以两边平方得 ， 所以，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）若，则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据条件得到，再根据解得离心率取值范围. 【详解】双曲线的离心率 根据，知 故答案为 【点睛】本题考查了离心率的取值范围，确定关系式是解题的关键. 33．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】 设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 34．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. （1）求椭圆伴随双曲线的方程； （2）点为的上焦点，过的直线与上支交于两点，设的面积为，（其中为坐标原点）.若，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆和双曲线的离心率公式即可求解， （2）联立直线与双曲线方程，可得韦达定理，即可根据弦长公式可得，即可根据向量的数量积求解. (1) 小问详解： 的伴随双曲线为， 设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为， 依题意可得， 即，即，解得， 所以椭圆， 则椭圆伴随双曲线的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，设直线的斜率为，， 则直线的方程， 与双曲线联立并消去，得， 则，所以，，则， 又， 又，解得， 又， 所以 因为，所以. 【点睛】 关键点点睛：，利用韦达定理，代入求解. 35．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于　　　　　. 【答案】 【分析】 首先设与圆的切点分别为，根据圆外一点引圆的切线长相等，结合双曲线的定义，列出等量关系式，求得，利用正切倍角公式，得到答案. 【详解】 设与圆的切点分别为. 则， 所以 又，解得 连接 则， 故答案为：. 【点睛】 该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点三角形的内切圆的问题，双曲线的定义，倍角正切公式，属于简单题目. 36．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案. 【详解】 不妨设点在第一象限，连接，则， 故，， 设，因为，所以为的中点， ，故.， 将代入中，故，则. 故答案为：.     37．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳州铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）不存在直线符合题意，理由如下： 易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在， 设l：，将直线l与曲线C联立，得 ， 消去y，整理得， 因为且， 所以且， 设，， 则，， 所以MN的中点， 且， 将，代入上式， 整理得， 当时，线段MN的中垂线方程为：， 令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为， 当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标， 因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为， 所以， 所以， 整理得，即， 因为且， 所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.      【分析】 （1）设，则由，可得，，再结合，消去，即可得曲线C的标准方程， （2）判断直线l的斜率存在，设l：，设，，将直线方程代入曲线C的方程，化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式表示出MN的中点的坐标，利用弦长公式表示出，表示出线段MN的中垂线方程，求出其与x轴的交点坐标为，而AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，从而由列方程求解即可. (1) 小问详解： 设，则，，， 因为，所以， 所以，，所以，， 又，整理得， 即曲线C的标准方程为； (2) 小问详解： 略 38．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知双曲线的焦距为4，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【答案】（1）     （2） ，设直线方程为， ， 由 ，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 【分析】 （1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. (1) 小问详解： 由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． (2) 小问详解： 略 39．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意， ， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 40．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 【答案】（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由如下： 如图,连接. AI 因为为的垂直平分线,所以, 所以为定值, 又因为点在圆外,所以, 根据双曲线定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线. （2）当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆. 【分析】 （1）由垂直平分线,得,进而为定值,根据双曲线的定义即可判断； （2）根据题意,分类讨论求解即可得答案. 【详解】 （1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由略； （2）对于方程, 当时,方程为,即,表示轴; 当时,方程为,即,表示轴; 当且时,方程为, 若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆; 若,即或时,方程表示双曲线; 若且时,即且时,方程表示椭圆; 综上,当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆; 41．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据正弦定理结合双曲线定义求得，然后根据相切对应的垂直关系结合勾股定理得到关于的方程，则离心率可求. 【详解】 由正弦定理可知且， 又因为，可解得， 又因为，所以为的中点，所以， 又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，解得， 故答案为：. 42．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知是双曲线的两个焦点，直线与双曲线的右支交于点．若（为坐标原点），则双曲线的离心率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 联立直线与圆的方程得点坐标，代入双曲线方程，结合离心率定义求解. 【详解】 联立 ，消去得 解得（因在右支，取正根），代入得，即. 将代入得， 设，即，代入化简得：， 解得（舍去小于1的根），故. 故答案为： 43．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由直线，其中，分别联立方程组 和 ，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】 如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组 ，解得， 联立方程组 ，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同, 44．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求. （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. （3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】（1）；     （2）当时，；     （3）的最大值为.      【分析】 （1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. (1) 小问详解： 由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. (2) 小问详解： 当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得 ，所以. (3) 小问详解： 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 45．（24-25学年高二上·广西柳州高级中学·期中）双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. （1）求双曲线E的方程. （2）过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. （3）过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出等式得出即可求解; （2）对直线 斜率进行讨论，通过弦长公式法算出和点到直线的距离公式算出坐标原点到直线的距离即可求解； （3）设直线的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，求出直线的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值. (1) 小问详解： 设双曲线的标准方程为 ，焦点， 则以右焦点F为圆心，半径为 的圆的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据圆与渐近线相切得， 焦点到渐近线的距离，得， 所以双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）知    当直线 斜率不存在时，令，代入中得，即， 所以, 当直线 斜率存在时，设直线的方程为，， ，消去并整理得，， 根据根与系数的关系得， 因为直线交曲线E于同支两点记为A，B， 所以 ，解得或， 因为到直线的距离， 所以 , 其中. 综上所述，当直线 斜率不存在时，面积最小，面积为. (3) 小问详解： 由过点F作直线交曲线E于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0，    设直线的方程为，其中或， 因为恒成立，即,得为的角平分线， 设,假设存在, 联立 ，整理可得：， ， 因为，所以， 整理可得， ， 即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 【点睛】 方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：① 当条件和结论不唯一时要分类讨论； ② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③ 当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】 因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 2．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（       ） A. 的坐标为 B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【详解】 对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 3．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为(       ) A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 由抛物线标准方程即可求得焦准距. 【详解】 由抛物线可得， 而抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：C. 4．（2025·广西玉林第一中学·联考）顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出的值，可得出抛物线的标准方程. 【详解】 由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为， 则，所以，所以抛物线的标准方程为． 故选：D． 5．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得抛物线的焦点坐标，再根据点关于直线对称的知识求得的焦点坐标. 【详解】 由题意得的焦点为， 设关于直线的对称点为， 则 得 故的焦点坐标为. 故选：D 6．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（       ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 利用抛物线的定义求解． 【详解】 因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 7．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用点差法即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程. 【详解】 设,则， 故， 由于的中点为，故，因此, 故直线方程为，即， 经检验，直线与抛物线相交，满足条件. 故选：C 8．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）（多选）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D.  【答案】AC 【分析】 将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】 将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则 ，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 9．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（       ） A.  B.  C. 与面积之比为3 D. 面积为 【答案】ACD 【分析】 根据抛物线方程由求出的值判断选项A；由求出点坐标，得直线MN的斜率和的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出点坐标，可求与面积之比判断选项C；结合的坐标求出面积判断选项D. 【详解】 抛物线的焦点为， ，即，解得，A选项正确； 抛物线，由，可得，. 直线MN的斜率为，则，B选项错误； 直线MN方程为，代入抛物线中有， 则有，得， ， 与面积之比为，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD. 10．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【分析】 对于A，由已知结合抛物线性质可得，解方程可得，判断A；对于B，由确定抛物线方程，设过点的动直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理有，，结合弦长公式判断即可；对于C，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判断是否成立即可. 【详解】 对于A，因为抛物线的焦点为， 所以，所以， A错误；   对于B，因为，所以抛物线的方程为， 若直线的斜率为，直线的方程为， 直线与抛物线只有一个交点，交点坐标为，与已知矛盾， 故可设过点的动直线的方程为， 代入得，， 方程的判别式， 设，，则，， 则， 由得，，解得， 所以，B正确； 对于C，， 所以为定值，C正确； 对于D，因为， 所以， 所以为钝角，D正确. 故选：BCD 11．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 （方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. （方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可. 【详解】 （方法一）    因为抛物线的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程 ，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 12．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】 根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立 ， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 13．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（     ） A. 4 B. 3 C.  D. 5 【答案】A 【分析】 由题意设抛物线的方程，将点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为在抛物线的内部，由抛物线的性质可得，可得结果． 【详解】 由题意设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图： 如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4． 故选：A 14．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）（多选）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（     ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【分析】 根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】 由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 15．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 由抛物线的定义分析可得，再解三角形可得. 【详解】 由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4. 16．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. (1) 小问详解： 根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立 ，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 17．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】 抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 18．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，　　　　　　. 【答案】4 【分析】 求出抛物线的准线方程并作出，过M作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【详解】 抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：    则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 19．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. （1）求点的轨迹方程； （2）设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 【答案】（1）且；     （2）.      【分析】 （1）利用及向量数量积的坐标表示求轨迹方程； （2）根据题设有轴，即，且求出坐标，进而求. (1) 小问详解： 由题意，设，则， 由，即且. (2) 小问详解： 由题意，易知，即轴， 又，则，故， 又位于第一象限，则， 所以，故， 则. 20．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . （1）求的方程； （2）设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. (1) 小问详解： 设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得 ，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，        设直线：，，， 则 ，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程 ，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 21．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. （1）求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; （2）若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）求出双曲线的渐近线方程得，进而求出双曲线方程及右焦点坐标，求得抛物线方程. （2）求出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. (1) 小问详解： 双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的方程为， 双曲线的右焦点坐标为，而抛物线的焦点为， 于是，解得，所以抛物线的标准方程为. (2) 小问详解： 直线的方程为，由 消去得， ，设， 则，， 令直线与轴的交点为，，由（1）知， 所以的面积. 22．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三中学·期中）分别求出适合下列条件的方程： （1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据点在抛物线上，根据抛物线定义，确定值，即可求解. （2）由已知, 设出圆C方程，代入原点和，可得的值,即可求得圆C的方程. (1) 小问详解： 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为， 故，则， 故抛物线标准方程为. (2) 小问详解： 因为圆C的圆心在轴上， 则设圆C方程为， 由已知，圆C过原点和， 由已知 ，解得 ， 所以圆C方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $