专题03 直线和圆、圆和圆（期中真题汇编，广西专用）高二数学上学期

专题03 直线和圆、圆和圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（       ） A. 3 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可. 【详解】 由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 2．（25-26学年高二上·广西联盟学校·期中）已知，，则（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 根据和差角公式以及弦切互化即可求解. 【详解】 由可得， 又，故， 进而， ， 故选：A 3．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）圆与圆的公切线有且仅有（　　） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【分析】 根据给定条件，确定两圆位置关系即可得解. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因此圆外离， 所以圆有4条公切线. 故选：A 4．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. 直线过定点 B. 圆的半径是1 C. 存在一个实数，使得直线经过圆的圆心 D. 无论取何值，直线与圆相交 【答案】ACD 【分析】 A选项，将变形得到 ，求出直线所过定点； B选项，将圆化为标准方程，得到圆心与半径，B正确； C选项，求出当时，直线经过圆心； D选项，得到点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交. 【详解】 变形为， 令 ，解得： ， 可得直线过定点，正确； 变形为， 圆的圆心为，半径为3，则B错误； 将代入直线中， ，解得：， 当时，直线经过圆心，则正确； 将代入中，， 故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确. 故选：ACD 5．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（       ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 【答案】C 【分析】 先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离， 再利用点到直线的距离公式求得t的值即可. 【详解】 由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 6．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】 设， 由题意可得：， 设的中点坐标为，则 ， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：D 7．（2026·广西南宁·质量检测）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【分析】 计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】 由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 8．（24-25学年高二上·广西名校联盟·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 若直线平分圆的周长，则 D. 圆与圆外切 【答案】ABD 【分析】 根据圆的半径、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 圆的半径为2，所以，A选项正确. 所以圆的方程为，圆心为，半径为， ，所以点在圆的外部，B选项正确. 直线平分圆的周长，则直线过圆心， 即，所以C选项错误. 圆的圆心为，半径为， 与的距离为， 所以圆与圆外切，D选项正确. 故选：ABD 9．（24-25学年高二上·广西壮族自治区来宾忻城县高级中学·期中）（多选）点P在圆上，点Q在圆上，则（       ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】 求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D. 【详解】 圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 10．（24-25学年高二上·广西壮族自治区来宾忻城县高级中学·期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（       ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【分析】 根据方程确定出圆心和半径，然后根据圆心距和半径的关系进行判断. 【详解】 因为的圆心为，半径，的圆心为，半径， 所以， 所以， 所以与两圆相交， 故选：D. 11．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）（多选）已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（     ） A. 点到原点的距离的最小值为2 B. 过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C. 的最大值为1 D. 过点作圆的切线有2条 【答案】AD 【分析】 由题意可知圆心和半径.结合圆的性质判断AB；分析可知表示直线的斜率，结合切线分析求解；对于D：分析可知点在圆外，即可得结果. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为，可知点在圆内， 所以最短弦长为，故B错误； 对于选项C：因为表示直线的斜率，    当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在圆外， 所以过点作圆的切线有2条，故D正确； 故选：AD. 12．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 两个圆相交弦所在直线的方程为 D. 两圆的公共弦长为 【答案】BCD 【分析】 根据圆的方程可确定圆心和半径，根据圆心距和两圆半径关系可确定两圆相交；根据圆的几何性质可知AB正误；根据相交弦所在直线求法和垂径定理可得CD正误. 【详解】 由圆的方程知：圆心，半径； 由圆的方程知：圆心，半径； 则两圆圆心距， ，两圆相交； 对于A，两圆相交，当为两圆同一个公共点时，，即，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为：，C正确； 对于D，圆心到相交弦所在直线的距离， 两圆公共弦长为，D正确. 故选：BCD. 13．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（       ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离 【答案】AC 【分析】 根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确. 【详解】 对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确； 对于B中，由直线，可化为， 令 ，解得，所以直线恒过点，所以B不正确； 对于C中，由圆心坐标为和定点，可得， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短， 则最短弦长为，所以C正确； 对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确. 故选：AC. 14．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（       ） A. 6 B.  C.  D. 3 【答案】B 【分析】 根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】 ，圆的半径为， 所以， 故选：B. 15．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）（多选）已知圆与圆外离，则m的取值可能是（       ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】BC 【分析】 分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，解出m的取值范围，即可得到结果. 【详解】 圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 半径（其中，即）， 圆与圆的圆心距为， 若圆与圆外离，则，即，解得：， 故满足题目要求的为BC选项， 故选：BC. 16．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】 由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点，如图 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 17．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】B 【分析】 利用直接法求得点的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解. 【详解】 设，因为，所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆. 则点到直线的距离， 故点到直线的距离的最小值为. 故答案为：B 18．（25-26学年高二上·广西联盟学校·期中）（多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则圆和圆相离 B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C. 若圆和圆外切，则或 D. 若圆和圆内切，则 【答案】BCD 【分析】 根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】 圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径. 对于A，当时，，因为，故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，故C正确； 对于D，由，故D正确. 故选：BCD. 19．（25-26学年高二上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知圆被直线平分，则m的值是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 根据圆被直线平分，即直线一定过圆心即可求出. 【详解】 圆的圆心坐标为， 又圆被直线平分， 该直线一定过圆心，即，解得. 故选：. 20．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）（多选）已知圆C：，直线l：，则（     ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 直线l被圆C截得的最小弦长为 D. 圆C与圆外切 【答案】ACD 【分析】 将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】 对于A，直线l的方程为，变形可得：，令 ，解得 ，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆C：，其圆心为，半径为，当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离为，由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点P在圆C内，则经过，两点的直线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时圆心C到直线l的距离为，所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即，其圆心为，半径为3，，则两圆外切，故D正确． 故选：ACD． 21．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 判断两圆相交，求出两圆公共弦方程，由点在两圆的公共弦上，得，根据均值不等式求出的最小值. 【详解】 由题知：圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 易证得，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即，则在，即有， 则， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为． 故选：C． 22．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 由，又，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 23．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知集合，则中的元素个数为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 根据题意判断直线与圆的位置关系，进而可得中的元素个数. 【详解】 集合的元素是直线上的点，集合的元素是圆上的点， 因为的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 可知直线与圆相交，有2个公共点， 所以中的元素个数为2. 故选：C. 24．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（       ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 【答案】B 【分析】 利用平面向量的坐标运算及两圆的位置关系计算即可. 【详解】 设，则， 因为，所以，即M在半径为2的圆上， 又点M在半径为1的圆上，， 所以两圆有公共点，则， 解不等式得. 故选：B 25．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 易得直线为过点的动直线，曲线为以为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可. 【详解】 直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，    当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 26．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，作出圆与直线的图象，数形结合可得圆心到的距离小于1时符合题意，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 将圆： 化为标准方程为， ,半径为，过作直线的垂线，垂足为交圆于， 当即为1时，圆上有三个点到直线的距离为2， 当即时，圆上有四个点到直线的距离为2， 圆心到的距离小于1， 即，解得， 即的取值范围是,故选C. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质、点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 27．（24-25学年高二上·广西柳州高级中学·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线过定点以及圆上点到直线距离的最值计算可得结果. 【详解】 易知的圆心为，半径为； 且直线过定点， 当圆心与定点的连线与直线垂直时，圆心到直线距离最大为， 因此可知圆上的点到直线距离的最大值为. 故选：B 28．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】 直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 29．（2025·广西玉林第一中学·联考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】 曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 30．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳州铁一中学·期中）（多选）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 存在点使 D. 过点作圆的切线，则切线长为 【答案】AD 【分析】 设，利用圆心到直线的距离不大于半径求得的范围可判断A；转化为圆心到直线的距离不大于半径求得的范围可判断B，求出满足的点有轨迹圆，由两圆位置关系可判断C；求出切线长可判断D． 【详解】 对于A，设，则点到直线的距离， 解得，得的最大值为，故A正确； 对于B，令， 则点到直线的距离， 解得，得的最小值为，故B错误； 对于C，假设存在点使，设，则 ，化简得， 因此满足的点在圆上，此圆圆心为， 半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线， 则切线长为，故D正确. 故选：AD. 31．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 借助阿氏圆定义计算可得点坐标，进而可得，结合两点之间距离最短计算即可得. 【详解】 方法一：因为圆的圆心为，点， 由阿氏圆定义知，点在轴上，设， 圆与轴的交点，， 则由阿氏圆定义知，即， 解得或（舍），故， 且，即， 故， 当且仅当，，，四点共线时，取最小值4，故选：C． 方法二：设，则，故， 故 ，即，则， 故， 当且仅当，，，四点共线时，取最小值4. 故选：C． 32．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（       ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 【答案】C 【分析】 以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】 如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系,    则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 33．（24-25学年高二上·广西部分名校）（多选）已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（       ） A. 过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为 B. 直线的方程为 C.  D. 以线段为直径的圆的方程为 【答案】BCD 【分析】 根据当弦与垂直时所截得的弦最短判断A；利用两圆方程相减判断B；利用弦长公式判断C；求出圆心与半径判断D. 【详解】 圆，圆， 所以圆心为，半径为，圆心为，半径为， 点在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦最短，此时的直线方程为，A错误； 圆和圆的方程相减可得，所以直线的方程为，B正确； 点到直线：的距离为，故，C正确； 直线的斜率直线的方程为，即， 与直线的方程为联立可得的中点为，即圆心为原点半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为，D正确. 故选：BCD. 34．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）（多选）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（     ） A. 所在的圆截直线所得弦的长为 B. 与的公切线的方程为 C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D. 动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为 【答案】BCD 【分析】 由题知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可． 【详解】 ，，所在圆的方程分别为，，， 对于A，所在圆的方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为， 则所求弦长为，故A不正确； 对于B，设与的公切线直线斜率存在，则设公切线方程为， 则，所以，， 所以与的公切线的方程为，即，故B正确； 对于C，由 及， 两式相减得，即公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，关于直线的对称点为， 则由图象可知， 当，，三点共线时，取得最小值， 的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， 即为，故D正确． 故选：BCD. 35．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【分析】 根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D． 【详解】 圆的方程为，该圆的圆心为，半径． 选项A：， 点在圆内，则圆心到过点的直线的距离， ，故A正确；    选项B：圆心到直线的距离， 又圆的半径为3， 圆上有4个点到直线的距离为，故B正确； 选项C：圆的圆心为，半径为， ，圆与圆没有公切线，两圆内含， ，即 ，解得16， 的取值范围为，故C错误； 选项D：设，则以为直径的圆为， 整理得， 直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程 ，得， 整理得， 令 ，解得 ， 直线必过定点，故D错误．    故选：． 36．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）（多选）已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用圆的公共弦所在直线方程可判定A，D，利用圆半径相同，再根据圆的性质判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定B，C. 【详解】 圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项D正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，B错误. 故选：ACD 37．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是 A.  B. (1,5) C. (2,5) D.  【答案】B 【分析】先求出，根据题意可得两点到直线的距离为2，得的方程为 ，当圆上只有一个点到直线的距离为2时，求得半径的值，当圆上只有3个点到直线的距离为2时，求出半径，从而求出满足条件的半径的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意可得， 根据和的面积为5，可得两点到直线的距离为2， 由于的方程为， 若圆上只有一个点到圆的距离为2， 则有圆心到直线的距离， 若圆上只有三个点到圆的距离为2， 则有圆心到直线的距离， 所以实数的取值范围是，故选B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中合理应用直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 38．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）若圆和圆恰有三条公切线，则实数　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用两圆之间的位置关系可知两圆恰有三条公切线时两圆外切，由圆心距等于两半径之和即可求得. 【详解】 根据圆与圆的位置关系可知， 两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径； 即可得，得． 故答案为： 39．（24-25学年高二上·广西壮族自治区来宾忻城县高级中学·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若与圆相切，求m的值； （3）若直线被圆截得的弦长，求的值. 【答案】（1）；     （2）或；     （3）或.      【分析】 （1）根据两点间距离公式求出半径，然后可得标准方程； （2）根据圆心到直线距离等于半径即可求解； （3）利用弦长公式求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式求解可得. (1) 小问详解： 由题意知，， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 若与圆相切， 则圆心到直线的距离， 解得或 (3) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则有 因为，所以， 由点到直线的距离公式得，解得或． 40．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）圆与圆的位置关系为外切，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据外切时圆心距等于半径之和求解出的值. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径为， 两圆心之间的距离，且两圆外切， ，， 故答案为：. 41．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 利用待定系数法以及直线方程求解(注意讨论直线斜率是否存在). 【详解】 因为，所以点P在圆外． 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即． 由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2． 因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得， 故直线l的方程为． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件． 故直线l的方程为或． 故答案为：或. 42．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1） 直线的方程可化为 联立 ，解得 故直线恒过定点     （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为      【分析】 （1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得 ，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 43．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）已知圆和点，则过点的的切线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由圆的方程可确定圆心和半径，假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】 由圆方程可得圆心，半径； 当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切； 当过点的的切线斜率存在时，可设为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为，即； 综上所述：所求切线方程为或. 故答案为：或. 44．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. （1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； （2）试求经过三点的圆的标准方程； （3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】（1），，     （2）     （3）轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时      【分析】 （1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. (1) 小问详解： 由题意知：，，， ，，. (2) 小问详解： 设经过三点的圆的方程为：， ，解得： ， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. (3) 小问详解： 由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 45．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】 由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 46．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【详解】 由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 47．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. (1) 小问详解： 设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由 ，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 48．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知圆C的方程为；，直线的方程为 （1）过点作圆C切线，求切线的一般式方程； （2）若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1）或；     （2）      【分析】 （1）直线斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线点斜式，利用点到直线距离公式求解； （2）由题意得，设，由列式化简即得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设直线方程为， 化为一般式为， 由圆心到直线的距离， 解得 故切线的一般式方程为， 综上所述，所求切线的一般式方程为或； (2) 小问详解： 设， 因为Q为直线：上一点，且Q的横坐标为2，所以， 由得：， 化简得： 点的轨迹方程为：. 49．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设圆心坐标，根据圆的标准方程及直线与圆的位置关系计算即可； （2）设直线方程，利用弦长公式计算参数即可. (1) 小问详解： 设圆心，则，由题意可知C到的距离， 解之得，即圆的方程为； (2) 小问详解： 易知时不与圆相交， 不妨设，则C到的距离， 所以，解之得或， 所以或. 50．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为　　　　　　小时. 【答案】 【分析】 设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】 如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 51．（25-26学年高二上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 确定方程表示的曲线，再利用直线与圆的位置关系列式求出最大值. 【详解】 方程化为，表示以点为圆心，3为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点， 因此，解得， 所以的最大值为. 故答案为： 52．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）已知圆的圆心为，且过点． （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）求出半径及圆的方程，点在圆外，分不存在及存在时讨论，利用点斜式方程，结合圆心到直线的距离为半径求出斜率，继而即可求解； （2）利用弦心距与半径、弦长的关系，结合勾股定理求出弦心距，利用点斜式方程、点到直线的距离公式求出斜率，继而即可求解. (1) 小问详解： ， 所以圆的方程为：， ， 所以点在圆外， 当不存在时，直线方程为与圆相切， 当存在时，设切线方程为：，即， 则圆心到直线的距离， 可得，解得， 所以切线方程为，即， 综上：过点的圆的切线方程为或. (2) 小问详解： 显然，直线斜率存在， 所以设直线的方程为：，即， 设圆心到直线的距离为， 又， 化简得，即， 所以或7， 所以直线的方程为：或. 53．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）     （2）①；②或.      【分析】 （1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）① 根据弦长公式，建立方程，求出参数；② 根据切线方程的求法，可得答案. (1) 小问详解： （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ② 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 54．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在满足条件的定点.      【分析】 （1）由题意得圆心在线段的中垂线上，联立线段的中垂线方程和直线求出圆心坐标，接着求出即可由圆的标准方程求解； （2）先由圆与圆的圆心距为5，等于两圆的半径之和得到两圆外切，数形结合即可求解公切线有，两圆方程相减可得公切线方程 ，由连心线与第一条公切线的交点结合点到直线距离、点斜式即可求出公切线 ； （3）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况结合韦达定理和题设条件进行分析即可求解. (1) 小问详解： 线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组 得 即. 因为圆的半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，等于两圆的半径之和， 所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线； 两圆的连心线所在直线方程为，即， 所以直线与交点为， 则另外一条公切线过点，设， 因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； (3) 小问详解： 显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点. 由 得， 所以，且 ， 由，得，即， 所以，整理得 将 代入上式可得 直线即，该直线恒过点， 所以存在满足条件的定点. 55．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点、，根据中点坐标公式化简得出 ，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. (1) 小问详解： 设点、， 因为点是线段的中点，则 ，所以 ， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 56．（24-25学年高二上·广西名校联盟·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等． （1）求直线的倾斜角； （2）若直线过点，求直线的方程； （3）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意设出直线的截距式，即可求出斜率以及倾斜角； （2）将点的坐标代入到直线方程中即可； （3）根据弦长得到圆心到直线的距离，即可求出结果. (1) 小问详解： 设直线，即， 则直线的斜率为，根据， 可求得倾斜角为； (2) 小问详解： 将点的坐标代入，可得， 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为直线与直线垂直，所以可设， 因为点到直线的距离， 所以， 解得， 则直线在轴上的截距为. 57．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或；     （2）或．      【分析】 （1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． (1) 小问详解： 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 58．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. (1) 小问详解： 可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. (2) 小问详解： 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 59．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】 由，可化为，则圆心， 设圆的半径为且，则， 当时，的最大值为， 不妨取直线的方程为，因为， 所以点到直线的距离为，所以，解得， 又由，可得，解得. 故答案为：. 60．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）① 设直线. 由 整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ② 点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由 得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上.      【分析】 （1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）① 设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ② 分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 61．（25-26学年高二上·广西联盟学校·期中）已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）证明:由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动. AI         【分析】 （1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； (2) 小问详解： 当时，设，，则，， 由 ，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； (3) 小问详解： 点在定直线上运动,证明略. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 62．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为. ①证明：； ②求外接圆圆心的轨迹方程. 【答案】（1）     （2） ① 证明：（1）当直线斜率为0时，此时， 又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角； （2）当直线斜率不为0时，设 联立 得，则. . ， 所以，故. ②      【分析】 （1）利用圆的几何性质定位圆心位置，再借助两点间距离来求参数，即可得圆的方程； （2）① 利用直线与圆联立方程组，借助斜率来证明两个角相等，② 利用解析法来计算两中垂线的直线方程，然后通过消参法来得到圆心轨迹方程. (1) 小问详解： 由变形得：，可知该圆心为，半径为， 所以圆心在过与的直线上，即在直线上， 有因为圆过和，所以设圆心， 则有，解得， 所以圆心，半径易知为2. 故圆 (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线斜率为0时，不能构成三角形， 故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为： 由① 知中点所以中垂线：， 化简得又因为是圆与的交点， 所以， 所以中垂线：. 同理中垂线. 联立 得： ， 故外接圆圆心得轨迹方程为. 63．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. （1）求曲线E方程，并说明是什么曲线； （2）已知直线过点. ①若直线与曲线E相切，求直线的方程； ②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 【答案】（1）；是一个圆，圆心为，半径     （2）①或；② 是，      【分析】 （1）设，由列出关于的等式，整理得解； （2）① 讨论的斜率不存在和存在，分别求解，在斜率存在时，设直线的解析式为点斜式，利用圆心到直线的距离，求解即可；② 设直线的解析式为点斜式，设直线与圆E的交点为，，，，直线和圆E联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用斜率公式求出，代入和，整理求解即可. (1) 小问详解： 设，则，化简得． 是一个圆，圆心为，半径 ． (2) 小问详解： ① 解：当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意； 当的斜率存在时，设，即 由题设知：圆心到直线的距离，此时， 直线的方程为或； ②，联立 ，可得． 设，，，，则，， . 64．（24-25学年高二上·广西部分名校）已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． （2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）     （2）存在，      【分析】 （1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积； （ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值． （2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案. (1) 小问详解： （ⅰ）若，折叠前直线的方程为， 联立 ，解得 或 ，可得，， 圆：，与轴交于两点，则， 折叠后三棱锥的体积为． （ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，， ，． 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令，则，，所以． 易知为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由题可知为锐角， 所以 故二面角的余弦值为． (2) 小问详解： 设折叠前，，圆心到直线的距离， 则， 直线与圆方程联立 得， 即，． 设，在新图形中的对应点分别为， ，， ． 若折叠后的长度与折叠前的长度之比为， 则，解得， 故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为． 【点睛】 关键点点睛：（2）由几何法求出折叠前的长度，直曲联立，消元后得韦达定理，利用弦长公式求得折叠后的长度，令它们之比为时，求得，可得答案. 65．（24-25学年高二上·广西名校联盟·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线过定点      【分析】 （1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： （i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程 ，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆、圆和圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（       ） A. 3 B.  C.  D. 2 2．（25-26学年高二上·广西联盟学校·期中）已知，，则（     ） A.  B.  C.  D. 1 3．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）圆与圆的公切线有且仅有（　　） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 4．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. 直线过定点 B. 圆的半径是1 C. 存在一个实数，使得直线经过圆的圆心 D. 无论取何值，直线与圆相交 5．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（       ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 6．（25-26学年高二上·广西南宁第三中学）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 3 7．（2026·广西南宁·质量检测）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 8．（24-25学年高二上·广西名校联盟·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 若直线平分圆的周长，则 D. 圆与圆外切 9．（24-25学年高二上·广西壮族自治区来宾忻城县高级中学·期中）（多选）点P在圆上，点Q在圆上，则（       ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 10．（24-25学年高二上·广西壮族自治区来宾忻城县高级中学·期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（       ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交 11．（24-25学年高二上·广西示范性高中·期中）（多选）已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（     ） A. 点到原点的距离的最小值为2 B. 过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C. 的最大值为1 D. 过点作圆的切线有2条 12．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 两个圆相交弦所在直线的方程为 D. 两圆的公共弦长为 13．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（       ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离 14．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（       ） A. 6 B.  C.  D. 3 15．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）（多选）已知圆与圆外离，则m的取值可能是（       ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 16．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 18．（25-26学年高二上·广西联盟学校·期中）（多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则圆和圆相离 B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C. 若圆和圆外切，则或 D. 若圆和圆内切，则 19．（25-26学年高二上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知圆被直线平分，则m的值是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 20．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）（多选）已知圆C：，直线l：，则（     ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 直线l被圆C截得的最小弦长为 D. 圆C与圆外切 21．（25-26学年高二上·广西壮族自治区南宁第二中学·期中）已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知集合，则中的元素个数为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 24．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（       ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 25．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是 A.  B.  C.  D.  27．（24-25学年高二上·广西柳州高级中学·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（2025·广西玉林第一中学·联考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B.  C.  D.  30．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳州铁一中学·期中）（多选）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 存在点使 D. 过点作圆的切线，则切线长为 31．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 32．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（       ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 33．（24-25学年高二上·广西部分名校）（多选）已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（       ） A. 过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为 B. 直线的方程为 C.  D. 以线段为直径的圆的方程为 34．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）（多选）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（     ） A. 所在的圆截直线所得弦的长为 B. 与的公切线的方程为 C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D. 动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为 35．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 36．（24-25学年高二上·广西玉林·期中）（多选）已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是 A.  B. (1,5) C. (2,5) D.  38．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）若圆和圆恰有三条公切线，则实数　　　　　　　　　　　　． 39．（24-25学年高二上·广西壮族自治区来宾忻城县高级中学·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若与圆相切，求m的值； （3）若直线被圆截得的弦长，求的值. 40．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）圆与圆的位置关系为外切，则的值为　　　　　　. 41．（24-25学年高二上·广西壮族自治区南宁第三十六中学·期中）已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为　　　　　　． 42．（24-25学年高二上·广西壮族自治区柳州柳城县中学·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 43．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）已知圆和点，则过点的的切线方程为　　　　　　　　　　. 44．（24-25学年高二上·广西南宁普通高·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. （1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； （2）试求经过三点的圆的标准方程； （3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 45．（24-25学年高二上·广西南宁第二中学）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为　　　　　　. 46．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为　　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长. 48．（25-26学年高二上·广西玉林·期中）已知圆C的方程为；，直线的方程为 （1）过点作圆C切线，求切线的一般式方程； （2）若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 49．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程. 50．（25-26学年高二上·广西示范性高中·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为　　　　　　小时. 51．（25-26学年高二上·广西壮族自治区来宾高级中学·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为　　　　　　　　　　. 52．（25-26学年高二上·广西壮族自治区钦州第一中学·期中）已知圆的圆心为，且过点． （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 53．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 54．（25-26学年高二上·广西自治区来宾·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 55．（25-26学年高二上·广西壮族自治区柳州地区民族高级中学·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 56．（24-25学年高二上·广西名校联盟·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等． （1）求直线的倾斜角； （2）若直线过点，求直线的方程； （3）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距． 57．（2025·广西玉林第一中学·联考）已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 58．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 59．（24-25学年高二上·广西壮族自治区百色凌云县中学·期中）已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则　　　　　　. 60．（2026·广西自治区桂林·质量检测）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 61．（25-26学年高二上·广西联盟学校·期中）已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 62．（25-26学年高二上·广西自治区贵港·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为. ①证明：； ②求外接圆圆心的轨迹方程. 63．（24-25学年高二上·广西梧州·期中）已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. （1）求曲线E方程，并说明是什么曲线； （2）已知直线过点. ①若直线与曲线E相切，求直线的方程； ②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 64．（24-25学年高二上·广西部分名校）已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． （2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 65．（24-25学年高二上·广西名校联盟·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆、圆和圆 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．A 3．A 4．ACD 5．C 6．D 7．C 8．ABD 9．BC 10．D 11．AD 12．BCD 13．AC 14．B 15．BC 16．A 17．B 18．BCD 19．B 20．ACD 21．C 22．D 23．C 24．B 25．B 26．C 27．B 28．D 29．A 30．AD 31．C 32．C 33．BCD 34．BCD 35．AB 36．ACD 37．B 38．【答案】 【分析】 利用两圆之间的位置关系可知两圆恰有三条公切线时两圆外切，由圆心距等于两半径之和即可求得. 【详解】 根据圆与圆的位置关系可知， 两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径； 即可得，得． 故答案为： 39．【答案】（1）；     （2）或；     （3）或.      【分析】 （1）根据两点间距离公式求出半径，然后可得标准方程； （2）根据圆心到直线距离等于半径即可求解； （3）利用弦长公式求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式求解可得. (1) 小问详解： 由题意知，， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 若与圆相切， 则圆心到直线的距离， 解得或 (3) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则有 因为，所以， 由点到直线的距离公式得，解得或． 40．【答案】 【分析】 根据外切时圆心距等于半径之和求解出的值. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径为， 两圆心之间的距离，且两圆外切， ，， 故答案为：. 41．【答案】或 【分析】 利用待定系数法以及直线方程求解(注意讨论直线斜率是否存在). 【详解】 因为，所以点P在圆外． 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即． 由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2． 因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得， 故直线l的方程为． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件． 故直线l的方程为或． 故答案为：或. 42．【答案】（1） 直线的方程可化为 联立 ，解得 故直线恒过定点     （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为      【分析】 （1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得 ，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 43．【答案】或 【分析】 由圆的方程可确定圆心和半径，假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】 由圆方程可得圆心，半径； 当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切； 当过点的的切线斜率存在时，可设为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为，即； 综上所述：所求切线方程为或. 故答案为：或. 44．【答案】（1），，     （2）     （3）轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时      【分析】 （1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. (1) 小问详解： 由题意知：，，， ，，. (2) 小问详解： 设经过三点的圆的方程为：， ，解得： ， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. (3) 小问详解： 由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 45．【答案】 【分析】 根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】 由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 46．【答案】 【分析】 由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【详解】 由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 47．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. (1) 小问详解： 设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由 ，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 48．【答案】（1）或；     （2）      【分析】 （1）直线斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线点斜式，利用点到直线距离公式求解； （2）由题意得，设，由列式化简即得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设直线方程为， 化为一般式为， 由圆心到直线的距离， 解得 故切线的一般式方程为， 综上所述，所求切线的一般式方程为或； (2) 小问详解： 设， 因为Q为直线：上一点，且Q的横坐标为2，所以， 由得：， 化简得： 点的轨迹方程为：. 49．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设圆心坐标，根据圆的标准方程及直线与圆的位置关系计算即可； （2）设直线方程，利用弦长公式计算参数即可. (1) 小问详解： 设圆心，则，由题意可知C到的距离， 解之得，即圆的方程为； (2) 小问详解： 易知时不与圆相交， 不妨设，则C到的距离， 所以，解之得或， 所以或. 50．【答案】 【分析】 设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】 如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 51．【答案】 【分析】 确定方程表示的曲线，再利用直线与圆的位置关系列式求出最大值. 【详解】 方程化为，表示以点为圆心，3为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点， 因此，解得， 所以的最大值为. 故答案为： 52．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）求出半径及圆的方程，点在圆外，分不存在及存在时讨论，利用点斜式方程，结合圆心到直线的距离为半径求出斜率，继而即可求解； （2）利用弦心距与半径、弦长的关系，结合勾股定理求出弦心距，利用点斜式方程、点到直线的距离公式求出斜率，继而即可求解. (1) 小问详解： ， 所以圆的方程为：， ， 所以点在圆外， 当不存在时，直线方程为与圆相切， 当存在时，设切线方程为：，即， 则圆心到直线的距离， 可得，解得， 所以切线方程为，即， 综上：过点的圆的切线方程为或. (2) 小问详解： 显然，直线斜率存在， 所以设直线的方程为：，即， 设圆心到直线的距离为， 又， 化简得，即， 所以或7， 所以直线的方程为：或. 53．【答案】（1）     （2）①；②或.      【分析】 （1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）① 根据弦长公式，建立方程，求出参数；② 根据切线方程的求法，可得答案. (1) 小问详解： （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ② 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 54．【答案】（1）     （2）     （3）存在满足条件的定点.      【分析】 （1）由题意得圆心在线段的中垂线上，联立线段的中垂线方程和直线求出圆心坐标，接着求出即可由圆的标准方程求解； （2）先由圆与圆的圆心距为5，等于两圆的半径之和得到两圆外切，数形结合即可求解公切线有，两圆方程相减可得公切线方程 ，由连心线与第一条公切线的交点结合点到直线距离、点斜式即可求出公切线 ； （3）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况结合韦达定理和题设条件进行分析即可求解. (1) 小问详解： 线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组 得 即. 因为圆的半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，等于两圆的半径之和， 所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线； 两圆的连心线所在直线方程为，即， 所以直线与交点为， 则另外一条公切线过点，设， 因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； (3) 小问详解： 显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点. 由 得， 所以，且 ， 由，得，即， 所以，整理得 将 代入上式可得 直线即，该直线恒过点， 所以存在满足条件的定点. 55．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点、，根据中点坐标公式化简得出 ，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. (1) 小问详解： 设点、， 因为点是线段的中点，则 ，所以 ， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 56．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意设出直线的截距式，即可求出斜率以及倾斜角； （2）将点的坐标代入到直线方程中即可； （3）根据弦长得到圆心到直线的距离，即可求出结果. (1) 小问详解： 设直线，即， 则直线的斜率为，根据， 可求得倾斜角为； (2) 小问详解： 将点的坐标代入，可得， 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为直线与直线垂直，所以可设， 因为点到直线的距离， 所以， 解得， 则直线在轴上的截距为. 57．【答案】（1）或；     （2）或．      【分析】 （1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． (1) 小问详解： 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 58．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. (1) 小问详解： 可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. (2) 小问详解： 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 59．【答案】 【分析】 设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】 由，可化为，则圆心， 设圆的半径为且，则， 当时，的最大值为， 不妨取直线的方程为，因为， 所以点到直线的距离为，所以，解得， 又由，可得，解得. 故答案为：. 60．【答案】（1）     （2）① 设直线. 由 整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ② 点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由 得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上.      【分析】 （1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）① 设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ② 分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 61．【答案】（1）     （2）     （3）证明:由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动. AI         【分析】 （1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； (2) 小问详解： 当时，设，，则，， 由 ，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； (3) 小问详解： 点在定直线上运动,证明略. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 62．【答案】（1）     （2） ① 证明：（1）当直线斜率为0时，此时， 又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角； （2）当直线斜率不为0时，设 联立 得，则. . ， 所以，故. ②      【分析】 （1）利用圆的几何性质定位圆心位置，再借助两点间距离来求参数，即可得圆的方程； （2）① 利用直线与圆联立方程组，借助斜率来证明两个角相等，② 利用解析法来计算两中垂线的直线方程，然后通过消参法来得到圆心轨迹方程. (1) 小问详解： 由变形得：，可知该圆心为，半径为， 所以圆心在过与的直线上，即在直线上， 有因为圆过和，所以设圆心， 则有，解得， 所以圆心，半径易知为2. 故圆 (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线斜率为0时，不能构成三角形， 故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为： 由① 知中点所以中垂线：， 化简得又因为是圆与的交点， 所以， 所以中垂线：. 同理中垂线. 联立 得： ， 故外接圆圆心得轨迹方程为. 63．【答案】（1）；是一个圆，圆心为，半径     （2）①或；② 是，      【分析】 （1）设，由列出关于的等式，整理得解； （2）① 讨论的斜率不存在和存在，分别求解，在斜率存在时，设直线的解析式为点斜式，利用圆心到直线的距离，求解即可；② 设直线的解析式为点斜式，设直线与圆E的交点为，，，，直线和圆E联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用斜率公式求出，代入和，整理求解即可. (1) 小问详解： 设，则，化简得． 是一个圆，圆心为，半径 ． (2) 小问详解： ① 解：当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意； 当的斜率存在时，设，即 由题设知：圆心到直线的距离，此时， 直线的方程为或； ②，联立 ，可得． 设，，，，则，， . 64．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）     （2）存在，      【分析】 （1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积； （ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值． （2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案. (1) 小问详解： （ⅰ）若，折叠前直线的方程为， 联立 ，解得 或 ，可得，， 圆：，与轴交于两点，则， 折叠后三棱锥的体积为． （ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，， ，． 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令，则，，所以． 易知为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由题可知为锐角， 所以 故二面角的余弦值为． (2) 小问详解： 设折叠前，，圆心到直线的距离， 则， 直线与圆方程联立 得， 即，． 设，在新图形中的对应点分别为， ，， ． 若折叠后的长度与折叠前的长度之比为， 则，解得， 故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为． 【点睛】 关键点点睛：（2）由几何法求出折叠前的长度，直曲联立，消元后得韦达定理，利用弦长公式求得折叠后的长度，令它们之比为时，求得，可得答案. 65．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线过定点      【分析】 （1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： （i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程 ，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $