广西壮族自治区桂林市十二县中学等2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

2025年秋季学期高二年级12月教学质量检测 数学试题参考答案 1.C令x=1,得(1一2)1=一1，即展开式的各项系数之和为一1. 3因为a=36,所以Q=6.因为椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2a,所以椭圆 多1上的一点到两个焦点的距离之和为12 3.D从5个景点中选3个，有C=10种不同的选法. 4.D因为a-b=-(b+c)+(c+a),a-c=(2b-c)+(a-2b),b-2c=(a+b-c)-(a+ c),所以A,B,C中的向量均不能作为基；因为不存在x,y,使得a=x(b十a)+y(c+b),所 以a,b十a,c十b不共面，可以作为基. 5.A因为|PF,|=6<a+c=8,所以PF2|-|PF1|=2a=4,故PF2|=10. 6.B将3名女生看成一个整体，再和5名男生排列有A种排法，因为3名女生内部顺序可以 调整，所以共有AA=4320种不同的排法 7.D将x十ay-1-2a=0整理为x-1+a0-2)=0.由y-2=0.得=2， |x-1=0,,x=1, 得 所以直线1过定点P(1,2).因为P(1,2)在圆C内，所以要使cos∠ACB最大，则∠ACB最 小，即川AB最小 当AB⊥CP时，|AB|最小，因为|PC|=2√2，所以|AB|min=2,所以(cos∠ACB)mx= 9+9-47 2X3X39 &,B因为△AC的顶点为A9,D,B8,2.C5,-1D.所以△ABC的重心坐标为（号，号》。 因为kAB=一1，k=1,所以kAB·kc=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC的外心为AC的中 点(7,0)，所以△ABC的欧拉线方程为)一0-)2，即2z一y一11=0. -02-7 2 3 3 9.ACD因为A一3A=4A-3A=A=6,所以A正确：因为A}+A+A=3+3×2+3× 2X1=15,所以B不正确：因为C=C3-200X199 19900,所以C正确；因为CW十Cw =Cw1,所以C8十C=C,C十C=C,故D正确. 1,AC在直线，的方程中，令y=0,得x= 3,故A正确：一般式方程Ax+By+C=0 中，当B≠0时，其斜率为一合，所以直线1，的斜率为号，故B不正确：若1L12,则3(a十D 3 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 ·B2· -2a-2》=-0,得a=-7,放C正确：若a=青，则1，的方程为-月y十6=0，整理得3x -2y十10=0,11，l2重合，故D不正确， 1.ACD对于A选项，因为P元=号+P元，所以G=元-P=-所+号+ P元.故A正确， 对于B选项，取AC的中点O,连接PO(图略)，则AC⊥PO,若a=150°，则(P0,AB)= 30°.因为∠POA=∠BAO=90°，PB-Pò+OA+AB,Pò1=5,1OA1=1,1AB1=2,所 以1PB12=(Pò+Oi+AB)2-P2+OA2+AB2+2Pò.OA+2Pò.AB+2OA.AB 81+4+0+2×3X2×号+0=14，所以P3=14,故B不正确 对于C选项，若α=90°，则AB⊥平面PAC,所以BP在平面PAC内的投影向量为AP,故 C正确. 对于D选项，若月=60，则△PAB为等边三角形，PB⊥PC.因为AG=-Pi+Pi+ P心，所以d御=p+号+号P心-号.i-i.P心+号Pi.P心 -4+号+号×2x2x号号×2x2号+0-所以AG-29故D正晚 122 因为6-0，所以c-6-4c2-。,得。-2怎.即双周线C的离心率为25 3 13.12记1与x轴的交点为M,过Q向1作垂线，垂足为N(图略)，则1QF=|QNL.因为PF =à.所以--号因为wr=1o,所以Q=QN=12 14.26:325因为2625=26×2624=26×67612=26(1+675)12=26(C92+C2675+C26752 +…+C67512)=26+26(C2675+C26752+…+C67512),所以2625被675除所得的余 数为26，所以am.25=C%=C%,=325.14题备注：第一空2分；第二空3分 15.解：(1)当直线l经过原点时，直线1的方程为y=一4x;…2分 当直线1不经过原点时，设直线1的方程为十岩-1，…3分 a+b=0, fa=-5 b=5. 所以直线1的方程为千5十学-1.…5分 综上所述，直线l的方程为4x十y=0或x一y十5=0.…6分 (2)圆C的标准方程为(x一2)2+y2=9,其圆心为C(2,0),半径r=3.…7分 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=一1，符合题意；…8分 当直线l的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x+1)+4,即kx一y+k十4=0， 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 ·B2· 的3k十41=3，得k一二24 11分 √2+1 所以直线1的方程为y=一 7x+1)+4,即7x+24y-89=0.. 12分 综上所述，直线1的方程为x=一1或7x十24y一89=0.…13分 16.解：过A作AE⊥CD,垂足为E,则DE=3.…1分 以A为坐标原点，AE,AB,AP所在直线分别为x,y,之轴建立如 之1 图所示的空间直角坐标系，则B(0,3,0),C(3,3,0),D(3,一3,0)， P P(0,0,6),M(1,-1,4).…3分 M BM=(1,-4,4),CM=(-2,-4,4),AD=(3,-3,0),BD=(3, —6,0）.…5分 (1)因为CM=(-2,-4,4),所以CM1=√(-2)2+(-4)2+4平=6. …7分D (2)记异面直线BD与CM的夹角为0. 因为BD=(3,-6,0),CM=(-2,-4,4), BD CM 所以cos0= -6+245 ……10分 BDCM 35×6 故异面直线BD与CM夹角的余弦值为5， 11分 (3)设平面BCM的法向量为n=-(x,y,z), n·BM=x-4y+4x=0, 则 令y=1,则n=(0,1,1).…13分 n.CM=-2x-4y+4x=0, 因为cos(n,AD)= n·AD -3 In AD13√2X2 一·所以直线AD与平面BCM所皮的角为 15分 17.解：(1)因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n=10, 3分 所以展开式的所有二项式系数之和为210=1024.…5分 (2)令x=0,得a0=(0-2)0=1024…7分 令=号得a+号+学+…叶器-(3x号一2)”=1. 9分 所以号+学十…叶-1023… 30 10分 (3)由(2)可知(3.x十2)10展开式的通项T,+1=Co310-r×2x0-r.…12分 C0310-×2≥C139-rX2r+1, 1722 由 …14分 C6310-r×2≥Co131-rX2-1, 得5≤r≤5 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 ·B2· 因为r为整数，所以r=4,所以(3.x一2)10的展开式中第5项系数的绝对值最大.·15分 18.解：(1)因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小， 所以椭圆C在（士a,0)处的曲率半径最小，则R一。_ a3 …2分 陌圆C在(0，土b)处的曲率半径最大，则R二%92，………………4 所以a=3反6-巨，放鞘网C的标准方程为品+ =1…5分 xi yi 182 =1 (2)设A(x1y1),B(x2y2),则 …6分 =1, 182 两式相减得8至+-0熬理可得头-名·十 2 x1-x218y1+y2 …7分 因为线段AB的中点坐标为（一2，一1），所以x1十x2=一4，y1十y2=一2，…8分 所以直线的斜率-”号·十-日×号号 x1一x2 9y1+y2 =一9…10分 2 故直线1的方程为y十1=-9(x十2)，即2x+9y十13=0.…11分 (3)设椭圆C的右焦点为F,则|PF|十|PF|=2a=6√2，…13分 所以|PF|+|PM=|PM一|PF|十6√2.…14分 因为PM一PF'I≤IMF'|=√I0(当P,F',M三点共线且P在x轴下方时，等号成立)， …16分 所以|PF|十|PM的最大值为√I0十62. ……17分 19.解：(1)当直线1垂直于x轴时，DE1最小，所以a=√OB2+BE平=2.…2分 当直线1平行于双曲线C的渐近线时，直线l的方程为bx士2y一b=0.·4分 因为点A(一2,0)到直线1的距离为 6+4=写，所以6=1. 36=35 …6分 所以双曲线C的方程为-2=1. …7分 (2)设直线AD:y=k1(x十2) x2+y2=4, 由 得x2+k号(x+2)2=4, y=k1(x+2), -2k2+2 所以(k3+1Dx2+4x+4k3-4=0,解得x=一2或x=+1: …8分 -2k+2 -2k3+24k,) 面园得=2所以心十1 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 ·B2· 同理，设直线AE:y=k2(x十2)，可得E( -2k号+24k2 k+1'k号+1 10分 4k1 4k2 k号+1 Ak 4k2 所以kD一-一2k十2 k号+1 -2k+2 -3k号+1 -1 -3k+1,E= -1 k号+1 k号+1 因为B,D,E三点共线，所以km=kE,可得k,k,=一号 0000…000004000000 12分 x2-4y2=4, 由 得(1-4k).x2-16k号x-16k?-4=0, y=k1(x+2), 8k1+2 解得x=一2或x= 1-4k2 14分 由x 8k+2 8k1+2 ,得y=(快+2) uP(》 8k号+24k2、 同理可得Q-4k'1一4” 15分 1 因为kk2=一3，所以Q( 18k+8-12k1 k 9-4'9k-4 ,所以km=一 12k号-4' 4k 所以直线PQ的方程为y一1一4 8k+2 12—x—）即y= k 12k-4x+14), 故直线PQ过定点(-14,0). …17分 ▣ ▣ ▣ 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】 ·B2·2025年秋季学期高二年级12月教学质量检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.(x一2)1展开式的各项系数之和为 A.0 B.1 C.-1 D.2 2椭圆后十。一1上的一点到两个焦点的距离之和为 A.8 B.12 C.32 D.72 3.某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石 围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为 A.60 B.20 C.12 D.10 4.若{a,b,c}构成空间的一个基，则下列选项中的向量也可以作为基的是 A.a-b,b+c;c+a B.a-c,2b-c,a-2b C.b-2c,a+b-c,a+c D.a,b十a,c+b 已知双曲线C:-21的两个焦点为F,F,双曲线C上有一点P,若PP三 PF2= A.10 B.2 C.2或10 D.4或14 6.若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为 A.4680 B.4320 C.3640 D.3860 7.已知直线l:x十ay-1-2a=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9交于A,B两点，则cos∠ACB 的最大值为 A号 8.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心 和重心都在同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为 A(9,1),B(8,2),C(5,-1),则△ABC的欧拉线方程为 A.x-2y-6=0 B.2x-y-14=0 C.x+2y-26=0 D.6x+3y-46=0 【高二数学第1页（共4页）】 ·B2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列选项正确的是 A.A-3A3=6 B.A}+A号+A8=12 C.C88=19900 D.C+C+C=Cio 10.已知直线l1:(a十1)x十(a-2)y十6=0，直线l2:3x-2y+10=0,则下列选项正确的是 人直线：在x轴上的裁距为9 B直线，的斜率为号 C.若l1⊥l2,则a=-7 D若a=号，则m 11.在三棱锥P-ABC中，△PAC为边长为2的正三角形，AB=2,∠BAC=90°，设二面角 P-AC-B的大小为a,∠PAB=B,G为△PBC的重心，则下列选项正确的是 AAG=-Pi+号P+3P心 B.若a=150°，则PB=2√3 C.若a=90°，则BP在平面PAC内的投影向量为AP D.若8=60，则4G-25 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12双曲线C兰一着 x2 =1(a>0,b>0)的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线C的离心率 为▲ 13.已知抛物线C:y2=20x的焦点为F,准线为l,P是1上一点，Q是直线PF与C的一个交 点，若PF=5FQ,则|QF|=△ 14.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种儿何排列，第n行是(a十b)”的展开式的二项式系 数，直观解释了二项式系数规律.记第n行从左至右的第i个数为am,若265被675除所 得的余数为m,则m= A ,am,25=▲ 杨辉三角 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 【高二数学第2页（共4页）】 ·B2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知圆C:x2+y2-4x-5=0,直线1过点P(-1,4). (1)若直线1在两坐标轴上的截距之和为0，求直线1的方程； (2)若直线1与圆C相切，求直线1的方程. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB,/CD,∠ABC=受，AB=BC=2CD =3,PA=6,PD=3PM. (1)求|CM: (2)求异面直线BD与CM夹角的余弦值； (3)求直线AD与平面BCM所成角的大小N, 17.(15分) 已知(3x一2)"=a0十a1x十a2x2+…十amx”,且展开式中有且仅有第6项的二项式系数 最大 (1)求(3x-2)”展开式的所有二项式系数之和； 2)求号+++的值， (3)判断(3x一2)”的展开式中第几项系数的绝对值最大 【高二数学第3页（共4页）】 ·B2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 18.(17分) 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲 程度越小已知椭圆C:号+若-1(a>6>0)上点P(,,)处的曲率半径公式为R= 。6(怎+).已知椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为9、2，最小值为号 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB的中点坐标为（一2，-1），求直线1的 方程； (3)记椭圆C的左焦点为F,P为椭圆C上一动点，定点M(1,1),求|PF|+|PM|的最 大值 19.(17分) z2 y2 已知双曲线C:。=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过点B(1,0)的直线l与圆0：x十 y2=a2交于D,E两点，且|DE|的最小值为2√3，当直线l平行于双曲线C的渐近线时，点 A到直线1的距高为35 (1)求双曲线C的方程. (2)若直线AD,AE与双曲线C分别交于P,Q两点（均不与A重合），试判断直线PQ是否 过定点.若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【高二数学第4页（共4页）】 ·B2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap