专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）若，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 2．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）下列不等式中成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【分析】 对A举反例即可判断；对B、D利用不等式性质即可判断；对C利用作差法即可判断. 【详解】 对A，举例，则，故A错误； 对B，因为，所以，因为，则，故B错误； 对C，当，时，，因为以及的正负无法确定，故的正负无法确定，所以大小无法确定，C错误； 当，，则，所以，所以，D正确； 故选：D 3．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）若，则下列各式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据不等式性质即可判断AC，举特例即可判断BD. 【详解】 对A，根据不等式性质有，故A错误； 对B，举例，此时，故B错误； 对C，根据不等式性质有，故C正确； 对D，举例，此时，故D错误. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【详解】讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】 （1）若以① ② 为条件，③ 为结论. 则，因为，即， 故，即；则此时可以组成真命题； （2）若以① ③ 为条件，② 为结论. 则由，即，结合，故可得. 则此时可以组成真命题； （3）若以② ③ 为条件，① 为结论. 则由，即，结合，即可得. 则此时可以组成真命题. 故可以组成正确命题的个数是：. 故选：. 【点睛】 本题考查不等式的基本性质，属基础题. 5．（25-26学年高一上·河北保定·期中）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 根据不等式的性质，结合作差法比较大小，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】 选项A：若，满足，但，故A错误； 选项B：若，且，则，故B正确； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：，因为，当时，即，故D错误. 故选：B 6．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【分析】 对选项ABC，根据不等式的基本性质直接推导即可判断，对选项D，通过举反例即可判断. 【详解】 对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故，C正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，故D错误. 故选：ABC. 7．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知，那么下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】C 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】 对于A，若，当时，，故A选项错误； 对于B，若，当时，则，故B选项错误； 对于C，若且，可知，所以，即有，故C选项正确； 对于D，若且，则当时也能满足已知，此时，故D选项错误. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若，，为非零实数，且，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】 令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 9．（25-26学年高一上·河北定州·期中）若，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用待定系数法结合不等式性质计算求解. 【详解】 设， 则， 所以 解得 所以， 因为， 所以，， 由不等式的性质可得，即， 故选:B． 10．（25-26学年高一上·河北定州·期中）设，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】 由不等式的性质结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】 ， ，若，则，所以不成立； 当时，，当时，，所以不成立． 因此，“”是“”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 11．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（     ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】C 【分析】 由条件结合不等式性质逐项判断各选项即可. 【详解】 对于A，∵，∴，A不正确； 对于B，当时，由 ，可得，B不正确； 对于C，若，则， ∴，，， ∴，两边同除以，得，C正确； 对于D，若，则，所以，D不正确. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）（多选）已知均为实数，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【分析】 对AC，举反例说明；对BD，利用不等式性质判断. 【详解】 对于A，取，但，故A错误； 对于B，由，得，又，所以，故B正确； 对于C，取，，但，，则，故C错误； 对于D，由，则，得，故D正确. 故选：BD. 13．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）已知实数满足，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】 由实数满足，可得，所以， 又由，且，可得，所以， 所以的取值范围为的取值范围为，所以A正确，B错误； 由，因为， 所以，所以的取值范围为，所以C正确； 由，当时，可得， 当时，可得，所以的取值范围为，所以D正确． 故选：ACD. 14．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）已知，则下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 对A，根据 判断即可；对B，根据与判断即可；对C，根据 判断即可；对D，举反例判断即可. 【详解】 对于A选项，由 ，有，故A选项正确； 对于B选项，由，有，又由，有，故B选项错误； 对于C选项，由 ，有，故C选项正确； 对于D选项，若，，，有，故D选项错误. 故选：AC 15．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用不等式的性质计算求解. 【详解】 . 故答案为： 16．（25-26学年高一上·河北保定·期中）若实数x，y，m满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）对于任意的两个不等正数，判断是否比接近，并说明理由； （3）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）比接近，理由如下： 因为且，所以，且， 所以 ，则， ，即比接近．     （3）．      【分析】 （1）解不等式可得； （2）作差，确定其正负后可得； （3）求出的最小值，然后解不等式可得. (1) 小问详解： 由题意得：，则或， 求得或， 所以取值范围为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意：对于x∈R，恒成立， 当时，，当时等号成立， 当时，则，，当时等号成立， 所以，则. 综上，． 故，解得，所以取值范围为． 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知，且，则的最小值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 8 【答案】B 【分析】 根据基本不等式即可求解. 【详解】 因为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）（多选）下列选项正确的是（       ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 【答案】CD 【分析】 结合基本不等式一正，二定，三相等条件分别检验各选项，即可判断． 【详解】 解：当时，显然不成立； 令，则， ，结合对勾函数单调性可知，当时，取得最小值，错误； 若，则， 当且仅当即时取等号，此时取得最大值，正确； 正实数满足，则， 当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值为8，正确． 故选：． 3．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，计算全程平均速度，然后利用基本不等式得出的大小关系，并利用作差法比较与大小，从而得到正确选项. 【详解】 设甲，乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为 所以， 因为，由基本不等式可得， ， 另一方面， ， 所以，则 故选：AD 4．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】 设年平均利润为，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，这批机器的年平均利润值最大为万元. 故选：C． 5．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）下列函数最小值为4的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】 选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 6．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）若a＞1，则的最小值是（       ） A. 2 B. a C.  D. 3 【答案】D 【分析】 原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2 【详解】 由a＞1，有a－1＞0 ∴， 当且仅当， 即a＝2时取等号. 故选：D 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题 7．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知正数满足，则的最小值为（       ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【分析】 由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】 因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知，则的最小值是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【分析】 根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当时，即时等号成立. 此时的最小值为5. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）已知，，，下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【分析】 对于A，由基本不等式“1的妙用”求解即可；对于B，根据题意，再代入配方即可确定最值；对于C，根据即可判断；对于D，由基本不等式解得，再根据对数的运算即可求解． 【详解】 因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； 对于B，， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，故C正确； 对于D，因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即最大值，故D正确． 故选：ACD． 10．（2026·河北保定·联考）（多选）已知则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【分析】 将转化为，利用基本不等式的变形进行求解即可； 【详解】 ， 解得，当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故选：BD. 11．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）设，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为90 【答案】BD 【分析】 对于A，根据可得即可判断A；对于B，根据基本不等式可得，从而得到的最大值，判断B；利用B的结果可判断C；根据的妙用，得，再利用基本不等式得到的最小值，判断D. 【详解】 对于A，根据得，得，所以A错误； 对于B，由，得，则，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，所以B正确； 对于C，，由B选项得，即的最大值为，所以C错误. 对于D，由，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以D正确． 故选：BD. 12．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）（多选）以下命题正确的是（       ） A. 已知，则有最大值 B. 函数的最小值为5 C. 已知，且，则的最小值为3 D. 已知，为正实数，，则的最小值 【答案】ABD 【分析】 对A，构造基本不等式即可求解；对B，变形后利用对勾函数性质即可判断；对C，利用基本不等式构造一元二次不等式，解出即可；对D，利用乘“1”法判断即可. 【详解】 对A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对B， 设，则根据对勾型函数在上单调递增， 则，当，即时等号成立，故B正确； 对C，对于C，,，，故，解得，当且仅当时取等号，解得，C错误； 当， 当且仅当 ，结合，为正实数，即 时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 13．（25-26学年高一上·河北定州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，且，，则下列说法正确的是（　　） A.  B.  C. 的最小值为9 D. 的最大值为1 【答案】BC 【分析】 应用一元二次不等式的解析计算判断A，B，应用常值代换结合基本不等式计算判断C，换元应用基本不等式计算求解判断D. 【详解】 因为关于的不等式的解集为，所以，故A错误； 由题意可知，关于的方程的两根分别为， 由根与系数的关系得 可得 两式相加得，两式相减得，故B正确； 由，可得， 当且仅当 即时，等号成立，故C正确； ， 当且仅当 即时，等号成立，但，所以等号不成立，故D错误． 故选：BC． 14．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知且，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用基本不等式先求的范围，进而求解. 【详解】 因为（当且仅当，即时，取等号）， 所以，但，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 15．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 若a，b为正实数，则的最大值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 由基本不等式结合指数的运算可得A；由基本不等式可判断B，由基本不等式的乘“1”法可判断CD. 【详解】 对于A，易知，可得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，若a，b为正实数，则（当且仅当时，取等号），C不正确； 对于D，若，则，， 所以 （当且仅当，即时，取等号），D正确. 故选：ABD. 16．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D.  【答案】C 【分析】 利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法可求的最小值. 【详解】 因为为正实数，所以，所以， 所以0，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为 故选：C． 17．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）函数（）的最小值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】 由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B 18．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AD 【分析】 利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可. 【详解】 因为， 则，即， 则， 所以，A正确； 因为，所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，，所以， 又三点共线，则， 所以，即 ，解得 ，C错误； ，又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确. 故选：AD. 19．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】 因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 20．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）（多选）已知实数，且，则下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值是4 C. 的最小值是8 D. 的最大值为16 【答案】AC 【分析】 由已知可得，利用基本不等式可得，利用可判断A；可求得判断B；利用配方法结合二次函数的性质计算可判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】 由可得，所以，当且仅当时等号成立. 所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 取，满足，且，但，所以的最大值为16错误.故D错误. 故选：AC 21．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】 由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 22．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】AD 【分析】 对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，转化为一元二次函数配方后求最小值即可判断；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】 对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，由得，则， 当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 23．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）（多选）若，均为正数，且，则下列结论正确的是（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】BC 【分析】 根据基本不等式“1”的妙用与（，）逐项判读即可. 【详解】 对于A选项，因为，均为正数，且，所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B选项，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对于C选项，， 当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D选项，， 当且仅当，即，时，等号成立， 而，均为正数，故等号不成立，所以D错误. 故选：BC 24．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由为正实数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 25．（25-26学年高一上·河北承德·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【分析】 由一元二次不等式的解集确定，是方程的两根，由韦达定理得到，再由基本不等式逐项判断即可. 【详解】 由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两根， 则，，解得． 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，结合B，有，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 26．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得. 【详解】 由，有，有，得， 当时，， 当时，， 所以的最小值为，最大值为2， 所以的最小值与最大值之和为. 故选：D 27．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）已知正实数满足，其中，则下列结论正确的是（       ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则存在最大值 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 对于A，由已知可得，解不等式即可判断A；可判断B；，利用基本不等式结合可判断C；设，则，结合已知可得，令，计算可求最小值. 【详解】 对于选项A，由，可得， 当且仅当时，等号成立，则，解得， 则的最大值为，故A正确. 对于选项B，由，可得，因为，， 所以，则，B正确. 对于选项C，由， 可得. 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，则. 因为，，， 所以无最大值，从而无最大值，C不正确. 对于选项D，由，可得， 设，则，则， 整理得，令， 得，解得（负值已舍去），则. 由，可得， 解得， 则的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 28．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）若，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】.75 【分析】 由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 29．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）求下列各式的最小值： （1）已知正实数，满足，求的最小值. （2）设，求函数的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)由已知可得，，展开后利用基本不等式可求； (2)根据函数的形式，换元：设，将原函数变为对勾函数类型进行求解﹒ (1) 小问详解： 正实数，满足， ， 当且仅当且即，时取得最小值； (2) 小问详解： 令，则，当且仅当时取最小值﹒ 30．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，证明：． 【答案】（1），     （2） 因为，则，即， ，则， 所以， 设，， 因为，，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 当且仅当时取等号.      【分析】 （1）依题意、为方程的两根，利用韦达定理得到方程，解得即可； （2）依题意可得，则，再利用基本不等式证明即可. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以、为方程的两根， 所以 ，解得 . (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）若，则的最小值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案. 【详解】因为， 所以 所以 . 当且仅当时，即时，等号成立. 所以答案为 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 32．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. （1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 【答案】（1），；     （2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.      【分析】 （1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案. (1) 小问详解： 长方体蓄水池的底面面积为， 长方体底面的另一条边长为m， 故，； (2) 小问详解： ，故由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时m， 故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 33．（2026·河北保定·联考）已知证明： （1） （2） 【答案】（1） 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立．     （2） 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立．      【分析】 （1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. （1）该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】（1）3     （2）方案① 较合算，理由如下： 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算.      【分析】 （1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. (1) 小问详解： 由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 36．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）最小值为4. 【分析】 （1）分子分母同时除以，然后结合基本不等式即可求解最大值； （2）利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解最小值； （3）利用配凑法结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】 （1）因为，所以， 又由，当且仅当，即时取等号. 有，可得的最大值为. （2）由，有. 当且仅当 ，即，时取等号. 故的最小值为. （3）由， 当且仅当 ，即，时取等号. 故的最小值为4. 37．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知． （1）若，求的值域； （2）若，且，证明：； （3）若，当变化时，求的最小值的最大值． 【答案】（1）     （2）证明：法1：设， 则为，即的两个不相等的正实根， 所以 ， 故. 法2：由题则， 又，故， 由基本不等式，可得     （3）2.      【分析】 （1）根据函数解析式利用单调性即可求得的值域； （2）法1：利用方程根的个数由判别式可证明得出结论； 法2：由作差法利用基本不等式计算可得结果； （3）法1：对参数进行分类讨论，再由函数单调性可求得其值域； 法2：结合函数图象可知求出最大值即可得出结论. (1) 小问详解： 时，在上单调递减，在上单调递增， ，又， 故的值域为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，，且， 所以，故在上单调递增. 设，因为，则，此时． 法1：设． 当，即时，在上单调递减， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故 ，        结合图象可知，的最小值的最大值为2. 法2：当时，则，此时的最小值为2； 当，由最小值的定义，， 综上，的最小值的最大值为2. 38．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）如图，有一个小矩形公园，其中，，现过点做直线与和的延长线分别交于点，将小矩形公园扩建为矩形公园    （1）怎样扩建才能使的面积最小值？并求出的最小面积； （2）当扩建后的公园面积最小时，要对其进行规划，要求中间为长方形的绿地，四周为等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的取值范围. 【答案】（1）当时，矩形面积取得最小值；     （2）.      【分析】 （1）设，利用平行线分线段成比例定理求出矩形面积，再利用基本不等式求出最小值. （2）设健步道宽度为，由（1）的结论列出不等式组并求解即可. (1) 小问详解： 依题意，，设，由，得， 则，矩形的面积 ，当且仅当时取等号， 所以当矩形的边时，矩形面积取得最小值. (2) 小问详解： 由（1）知，矩形中，，设健步道宽度为， 依题意， ，整理得 ，解得， 所以健步道宽度的取值范围是. 39．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知. （1）证明：. （2）求的最小值. 【答案】（1） . 因为，所以，， 从而，则.     （2）4      【分析】 （1）作差后分解因式可得； （2）变形后由基本不等式可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： . 因为，所以，， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为4. 40．（25-26学年高一上·河北保定·期中）在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） 因为是边上靠近的三等分点，所以， 所以， 设内角的对边分别为，则， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 化简得， 即.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可； （2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）在中，由余弦定理得， 又， 所以， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立， 所以， 又是边上靠近的三等分点， 所以， 即的面积的最大值为. （ii）在中，， 由正弦定理，得， 又， 所以， 因为，所以， 由余弦定理，得， 将代入上式，化简得， 所以 ，其中， 当，即时，取得最小值， 的最小值为. 【点睛】 关键点点睛：（2）（i）由余弦定理可得后，再利用基本不等式得；（ii）因为，得到，利用余弦定理角化边，再将由正弦定理得到的代入，化简为，求得的最小值. 41．（25-26学年高一上·河北定州·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） （1）已知均为正实数，且，求证：； （2）已知均为正实数，且，求的最小值； （3）对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】（1） 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立.     （2）36     （3）       【分析】 （1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. (3) 小问详解： 对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 42．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知实数满足． （1）分别求出的取值范围和的最大值． （2）求的最大值，并求此时，的值． （3）当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】（1）的取值范围都是，的最大值为3．     （2）最大值为6，此时或．     （3）时取得最小值，最小值为      【分析】 （1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. (1) 小问详解： ，即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． (2) 小问详解： 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． (3) 小问详解： ，即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 43．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出最小值. 【详解】 依题意，， 则，即， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 同理当时，取得最小值；当时，取得最小值， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知集合且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解法解集合，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】 且， 或. . 故选：A 2．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）设“”，“”，则是成立的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简命题得到的取值范围，再利用集合的关系和充分不必要的定义判断得解. 【详解】，， 所以命题. ， 是成立的充分不必要条件. 故选： A 【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查集合的关系，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先解分式不等式和绝对值不等式求出集合A、B，再由交集定义即可得解. 【详解】 解不等式 ，解得或， 所以集合或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B 4．（25-26学年高一上·河北承德·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 分和两种情况，得到不等式的解集为时的取值范围，从而得到答案. 【详解】 当时，恒成立，此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则 ，解得， 综上，关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是． 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件． 故选：A． 5．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用全称量词为真命题求出的范围，再取其补集即可得解. 【详解】 由，，得当时，对任意实数不恒成立， 因此，则 ，解得， 当命题：“，”是假命题时，， 所以实数的取值范围是. 故选：A 6．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定不等式，列出不等式组求解即可. 【详解】 不等式化为： ，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：D 7．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 首先不等式转化为，再利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】 若不等式有解，则， 因为，，所以， 当，即时，等号成立，的最小值为4， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围是或. 故选：D 8．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解集性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以有 ， 由，或， 故选：A 9．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【分析】 根据一元二次不等式的解集，是关于的方程的两个根，应用根与系数的关系求参数值，即可得. 【详解】 由题意，是关于的方程的两个根，有 ， 所以. 故选：B 10．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先解一元二次不等式得出等价条件，再结合必要不充分条件定义判断求解. 【详解】 ，解得， 可以推出“”，“”不能推出， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）“”是 的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 需要先求解不等式，然后判断两个条件之间的关系. 【详解】 对于二次函数，令，则. 解得，.所以不等式的解集是. 因为当时，一定满足，所以由可以推出，即是的充分条件. 但是当，即时，不能必然推出，例如满足， 但不满足，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）“”的必要不充分条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 先解一元二次不等式得出等价条件为，再应用充分必要条件的定义判断各个选项即可. 【详解】 由，解得， 不能推出，可以推出，A选项正确； 能推出，B选项错误； 不能推出，可以推出，C选项正确； 不能推出，D选项错误； 所以“”的必要不充分条件可以是和. 故选：AC. 13．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（       ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】 由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，① 说法正确； 因为图象经过、两个点，所以 ，解得， 因为，，所以，② 说法正确； 由得，即，③ 说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④ 说法正确； 综上① ② ③ ④ 正确； 故选：D 14．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C. 的解集为 D.  【答案】ACD 【分析】 根据一元二次不等式的解集和二次函数图象之间关系可知A错误；根据解集与一元二次方程根之间关系，结合韦达定理可用表示，由此依次判断BCD选项即可. 【详解】 对于A，的解集为，即函数图象在轴下方的图象对应的的取值范围为， ，A错误； 对于B，的解集为且， 的两根分别为和， ，，B正确； 对于C，，， ，，解得：， 的解集为，C错误； 对于D，，D错误. 故选：ACD. 15．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则a 的取值范围是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据条件得到，对进行分类讨论，直接求出不等式的解集，再结合条件，即可求解. 【详解】 由，得到 若，即时，不等式的解集为， 由题有，解得， 若，不等式无解，不合题意， 若，即时，不等式的解集为， 由题有，解得， 综上所述，的取值范围是或， 故选：C. 16．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）（多选）定义在上的函数满足：①，②当时，，则（       ） A. 在上单调递增 B. 恒成立，则或 C.  D. 当时，的解集为 【答案】BCD 【分析】 当时，求出的解析式，根据二次函数的单调性可判断A；当时，求出的解析式及最小值，可得，解不等式即可判断B；求出及可判断C；当时，解不等式即可判断D. 【详解】 当时，， ， 则在上单调递减，故A错误； 当时，， ， 所以， 则由恒成立，得，解得或，故B正确； ，， 当时，，而， 则，故C正确； 当时，，即， 即，解得，故D正确. 故选：BCD. 17．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过因式分解简化不等式，再结合参数符号分析解集范围，最终根据正整数解的数量限制确定参数的取值范围. 【详解】 由，得． 当时，该不等式的解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去； 当时，该不等式的解集为，则，解得7． 故选：A 18．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）求下列不等式的解集： （1） （2） （3） 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）原不等式等价于且，再根据一元二次不等式的解法求解. (1) 小问详解： 不等式，其对应的一元二次方程为， 因为，所以方程无实数根， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴无交点， 所以的值恒大于， 即不等式的解集为. (2) 小问详解： 将不等式移项得，其对应的一元二次方程为， 因式分解得，解得或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 将不等式移项得，通分后化简可得，即， 等价于且， 一元二次方程的解为或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为， 又，解得， 所以不等式的解集为. 19．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度.经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量（单位：吨）与每月投入的研发费用（单位：万元）之间的函数关系式为. （1）若每月平均处理生活垃圾的增量不低于吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？ （2）当每月投入的研发费用为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值?最大值是多少? 【答案】（1）每月投入的研发费用的范围是万元     （2）每月投入的研发费用为万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是吨.      【分析】 （1）根据题意得到，然后解不等式即可求解； （2）利用基本不等式即可求解 (1) 小问详解： 根据题意可得， 又因为， 所以不等式转化为，化简可得，解得 所以每月投入的研发费用的范围是万元； (2) 小问详解： 因为，所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当且仅当时，取得最大值. 所以每月投入的研发费用为万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是吨. 20．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知二次函数. （1）当且时，解关于的不等式； （2）若的解集是，求，的值. 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. (1) 小问详解： 当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. (2) 小问详解： 因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则 ，解得 ，经检验满足题意. 21．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）关于的不等式为，若此不等式的解集为，则m的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分类讨论求解不等式，结合解集可得答案. 【详解】 由题意，当时，不等式的解为或，不符； 当时， 不等式等价于，即，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 22．（25-26学年高一上·河北定州·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法，化简计算，即可得答案. 【详解】 由， 得 ，解得，则解集为． 故答案为： 23．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若在区间上恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数图像性质，只需要端点成立，代入解不等式组即可. 【详解】 设， 由二次函数图像性质，在区间上恒成立， 只需 ， 解得， 故答案为：. 24．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围； （3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可. (1) 小问详解： 当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. (2) 小问详解： “对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. (3) 小问详解： 因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 25．（25-26学年高一上·河北定州·期中）若存在，，则实数的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】 原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 26．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知，. （1）若，求M； （2）若，且满足，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）或.     （3）.      【分析】 （1）先求集合，由，得为集合的子集，进而求解； （2）由题意得是关于的方程的两个不等实数根，即，由韦达定理得，，代入即可求解； （3）由得，分和两种情况讨论，进而求解. (1) 小问详解： 由，解得或，所以， ∵，∴为集合的子集， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴是关于的方程的两个不等实数根， 则，即， 且，， ∴. 解得或，均满足. ∴或； (3) 小问详解： ∵，∴. 当时，，此时. 当时，B中有一个元素或两个元素， 当B中有一个元素时，，解得，此时，满足条件； 当B中有两个元素时，，即1，3是关于x的方程的两个根， 由（2）得，且，，无解. 综上，实数的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知关于的不等式的解集为，且中共含有个整数，则当最小时实数的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】 已知关于的不等式， ①时，，其中， 故解集为， 由于，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，当且仅当时，中共含有最少个整数，此时实数的值为； ②时，，解集为，整数解有无穷个，故不符合条件； ③时，，其中， 故解集为，整数解有无穷多，故不符合条件； 综上所述，. 故答案为：. 28．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）；     （2） 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为；     （3）．      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. (1) 小问详解： 时， ， 则所求不等式的解集为：； (2) 小问详解： 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； (3) 小问详解： ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 29．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知二次函数满足，且 （1）求的解析式； （2）若函数在时有最大值2，求a的值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，利用恒等关系以及列方程求解即可； （2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解. (1) 小问详解： 设， 由，得对于恒成立， 故 ，解得 ， 又由，得， 所以 (2) 小问详解： 由， 当时，； 当时，； 当时，， 根据已知条件得 或 或 ， 解得或 所以a的值为或 30．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知集合，定义在集合A上的两个函数和的值域分别为集合B和集合C. （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据一次函数以及二次函数的性质求解值域，即可根据集合的交并补运算求解， （2）分类讨论求解二次函数的值域，即可根据集合包含关系求解. (1) 小问详解： 由题意知，故， 由于为单调递增函数，所以. （1）当时，，，， 所以，. (2) 小问详解： 当时，， 又，故，解得，与相矛盾； 当时，， 又，故，解得，所以； 当时，，又， 故，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围为. 31．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． （1）求函数的解析式； （2）若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 【答案】（1）     （2）① ； ② 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.      【分析】 （1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得； （2）① 根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值； ② 根据① 中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数. (1) 小问详解： （1）由得，对称轴为， 设， ∴ ，得 ， ∴． (2) 小问详解： （2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ② 画出函数的图象图下图所示：    利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：    方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 32．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）若关于的不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的联系分析得的关系，从而求得的值. 【详解】 当时，由，得，不合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以函数的图象开口向下，且方程的两根为. 所以 ，化简得 ，解得. 故答案为：. 33．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）若 则b的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，再结合一次函数性质分及进行讨论即可得. 【详解】 令， 当时，，不满足，舍去； 当时，是关于的一次函数， 则有 ，结合，解得. 故答案为：. 34．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 讨论不等式类型求解. 【详解】 ① 当时，，可得不等式的解集为，符合题意； ② 当时，若不等式的解集为，有 ，可得. 由① ② 可知，实数的取值范围为. 故答案为： 35．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或.      【分析】 （1）函数恒成立问题结合二次函数的性质与图象分类讨论得出参数范围； （2）先因式分解，再针对参数分情况讨论，得出解集． (1) 小问详解： 由题意恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时， ，得 ，得； 综上可得，的取值范围是. (2) 小问详解： 由题，即， ① 当时，，解得，所以不等式的解集为， 当时，或； ② 当时，，不等式的解集为； ③ 当时，，不等式的解集为或； ④ 当时，，不等式的解集为； ⑤ 当时，，不等式的解集为，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 36．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. (1) 小问详解： 由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需 ，解得， 综上，，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若是真命题，则 ，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 37．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为     （2）     （3）      【分析】 （1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. (1) 小问详解： 当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. (2) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以 ，解得. (3) 小问详解： 由，可得， ① 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ② 当，即时，，满足； ③ 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 38．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知对恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据指数函数的值域得出，再把恒成立问题转化为，最后应用一元二次不等式计算求解. 【详解】 因为，所以由指数函数的单调性得， 函数在上单调递增， 又因为，且，所以函数在上单调递增； 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，即，所以， 解得，即， 所以，解得或； 而，故. 故的取值范围为. 故答案为：. 39．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．      【分析】 （1）由不等式的解集为，得函数的两个零点是和，即 ，求得的值，即可得的值； （2）将代入，化简得.讨论方程的两根的大小关系，分别求不等式的解集即可. (1) 小问详解： 解：由题意知，-1和3是方程的两个根， 根据根与系数的关系，得 . 解得 ，则． (2) 小问详解： 将代入， 即为：，得. 因为，所以方程的两个实数根分别为. ① 当时，，所以不等式的解集为； ② 当时，得，其解集为，所以不等式的解集为； ③ 当时，，所以不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 40．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． （1）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； （2）求经营此商品的日销售利润的最大值； （3）若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 【答案】（1）     （2）1250元     （3）      【分析】 （1）根据已知应用利润等于销售额减去成本得出函数解析式； （2）应用二次函数性质得出最大值； （3）解一元二次不等式即可求出参数范围. (1) 小问详解： 由题可知． 因为， 所以关于的函数解析式为． (2) 小问详解： 由（1）可知， 当时，取得最大值1250， 故经营此商品的日销售利润的最大值为1250元． (3) 小问详解： 令， 整理得， 解得， 故要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，此商品销售单价的取值范围为． 41．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）     （2）     （3）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．      【分析】 （1）将不等式转化为二次函数恒成立形式，再根据是否为零分类讨论，并结合判别式即可得解． （2）对分式代数式变形，利用基本不等式求最小值即可． （3）将不等式因式分解后，对参数分多种情况讨论，逐一求解集即可． (1) 小问详解： 由已知得对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立． 当时，，不满足题意； 当时，则 ，解得． 综上所述，实数的取值范围为． (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． (3) 小问详解： 由已知， 当时，，解集为； 当时，方程的两个根为，解集为； 当时，对方程， ① 当，即时，解集为， ② 当，方程的两个根，即时，解集为， ③ 当，方程的两个根，即时，解集为． 综上所述，时，解集为；时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为． 42．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由已知可得： ，解得： . 所以二次函数的表达式为：. (2) 小问详解： 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值 . (3) 小问详解： 由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）若，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）下列不等式中成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）若，则下列各式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．（25-26学年高一上·河北保定·期中）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 7．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知，那么下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 8．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若，，为非零实数，且，，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北定州·期中）若，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河北定州·期中）设，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 11．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（     ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 12．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）（多选）已知均为实数，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）已知实数满足，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 14．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）已知，则下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·河北保定·期中）若实数x，y，m满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）对于任意的两个不等正数，判断是否比接近，并说明理由； （3）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围． 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知，且，则的最小值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 8 2．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）（多选）下列选项正确的是（       ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 3．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）下列函数最小值为4的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）若a＞1，则的最小值是（       ） A. 2 B. a C.  D. 3 7．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知正数满足，则的最小值为（       ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知，则的最小值是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）已知，，，下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10．（2026·河北保定·联考）（多选）已知则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）设，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为90 12．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）（多选）以下命题正确的是（       ） A. 已知，则有最大值 B. 函数的最小值为5 C. 已知，且，则的最小值为3 D. 已知，为正实数，，则的最小值 13．（25-26学年高一上·河北定州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，且，，则下列说法正确的是（　　） A.  B.  C. 的最小值为9 D. 的最大值为1 14．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知且，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 若a，b为正实数，则的最大值为 D. 若，则的最小值为 16．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D.  17．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）函数（）的最小值是（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 19．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）（多选）已知实数，且，则下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值是4 C. 的最小值是8 D. 的最大值为16 21．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 23．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）（多选）若，均为正数，且，则下列结论正确的是（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 24．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·河北承德·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 26．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）已知正实数满足，其中，则下列结论正确的是（       ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则存在最大值 D. 若，则的最小值为 28．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）若，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）求下列各式的最小值： （1）已知正实数，满足，求的最小值. （2）设，求函数的最小值. 30．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）设函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，证明：． 31．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）若，则的最小值为　　　　　　． 32．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. （1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 33．（2026·河北保定·联考）已知证明： （1） （2） 34．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. （1）该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 35．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 36．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 37．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知． （1）若，求的值域； （2）若，且，证明：； （3）若，当变化时，求的最小值的最大值． 38．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）如图，有一个小矩形公园，其中，，现过点做直线与和的延长线分别交于点，将小矩形公园扩建为矩形公园    （1）怎样扩建才能使的面积最小值？并求出的最小面积； （2）当扩建后的公园面积最小时，要对其进行规划，要求中间为长方形的绿地，四周为等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的取值范围. 39．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知. （1）证明：. （2）求的最小值. 40．（25-26学年高一上·河北保定·期中）在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 41．（25-26学年高一上·河北定州·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） （1）已知均为正实数，且，求证：； （2）已知均为正实数，且，求的最小值； （3）对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 42．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知实数满足． （1）分别求出的取值范围和的最大值． （2）求的最大值，并求此时，的值． （3）当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 43．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为　　　　　. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知集合且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）设“”，“”，则是成立的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北承德·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A.  B. 或 C.  D. 或 8．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B. 4 C. 6 D. 9 10．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）“”是 的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）“”的必要不充分条件可以是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（       ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 14．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C. 的解集为 D.  15．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则a 的取值范围是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 16．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）（多选）定义在上的函数满足：①，②当时，，则（       ） A. 在上单调递增 B. 恒成立，则或 C.  D. 当时，的解集为 17．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）求下列不等式的解集： （1） （2） （3） 19．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度.经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量（单位：吨）与每月投入的研发费用（单位：万元）之间的函数关系式为. （1）若每月平均处理生活垃圾的增量不低于吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？ （2）当每月投入的研发费用为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值?最大值是多少? 20．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知二次函数. （1）当且时，解关于的不等式； （2）若的解集是，求，的值. 21．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）关于的不等式为，若此不等式的解集为，则m的取值范围是　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·河北定州·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若在区间上恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 25．（25-26学年高一上·河北定州·期中）若存在，，则实数的最大值为　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知，. （1）若，求M； （2）若，且满足，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知关于的不等式的解集为，且中共含有个整数，则当最小时实数的值为　　　　　　　　　． 28．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 29．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知二次函数满足，且 （1）求的解析式； （2）若函数在时有最大值2，求a的值． 30．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知集合，定义在集合A上的两个函数和的值域分别为集合B和集合C. （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围. 31．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． （1）求函数的解析式； （2）若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 32．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）若关于的不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）若 则b的取值范围为　　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为　　　　　　. 35．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 36．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 37．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 38．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知对恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 40．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． （1）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； （2）求经营此商品的日销售利润的最大值； （3）若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 41．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式． 42．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．AC 2．D 3．C 4．D 5．B 6．ABC 7．C 8．C 9．B 10．D 11．C 12．BD 13．ACD 14．AC 15．【答案】 【分析】 应用不等式的性质计算求解. 【详解】 . 故答案为： 16．【答案】（1）     （2）比接近，理由如下： 因为且，所以，且， 所以 ，则， ，即比接近．     （3）．      【分析】 （1）解不等式可得； （2）作差，确定其正负后可得； （3）求出的最小值，然后解不等式可得. (1) 小问详解： 由题意得：，则或， 求得或， 所以取值范围为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意：对于x∈R，恒成立， 当时，，当时等号成立， 当时，则，，当时等号成立， 所以，则. 综上，． 故，解得，所以取值范围为． 考点02 基本不等式 1．B 2．CD 3．AD 4．C 5．B 6．D 7．A 8．A 9．ACD 10．BD 11．BD 12．ABD 13．BC 14．A 15．ABD 16．C 17．B 18．AD 19．D 20．AC 21．B 22．AD 23．BC 24．C 25．ABD 26．D 27．ABD 28．【答案】.75 【分析】 由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)由已知可得，，展开后利用基本不等式可求； (2)根据函数的形式，换元：设，将原函数变为对勾函数类型进行求解﹒ (1) 小问详解： 正实数，满足， ， 当且仅当且即，时取得最小值； (2) 小问详解： 令，则，当且仅当时取最小值﹒ 30．【答案】（1），     （2） 因为，则，即， ，则， 所以， 设，， 因为，，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 当且仅当时取等号.      【分析】 （1）依题意、为方程的两根，利用韦达定理得到方程，解得即可； （2）依题意可得，则，再利用基本不等式证明即可. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以、为方程的两根， 所以 ，解得 . (2) 小问详解： 略 31．【答案】2 【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案. 【详解】因为， 所以 所以 . 当且仅当时，即时，等号成立. 所以答案为 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 32．【答案】（1），；     （2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.      【分析】 （1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案. (1) 小问详解： 长方体蓄水池的底面面积为， 长方体底面的另一条边长为m， 故，； (2) 小问详解： ，故由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时m， 故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 33．【答案】（1） 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立．     （2） 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立．      【分析】 （1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1）3     （2）方案① 较合算，理由如下： 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算.      【分析】 （1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. (1) 小问详解： 由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； (2) 小问详解： 略 35．【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 36．【答案】（1）；（2）；（3）最小值为4. 【分析】 （1）分子分母同时除以，然后结合基本不等式即可求解最大值； （2）利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解最小值； （3）利用配凑法结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】 （1）因为，所以， 又由，当且仅当，即时取等号. 有，可得的最大值为. （2）由，有. 当且仅当 ，即，时取等号. 故的最小值为. （3）由， 当且仅当 ，即，时取等号. 故的最小值为4. 37．【答案】（1）     （2）证明：法1：设， 则为，即的两个不相等的正实根， 所以 ， 故. 法2：由题则， 又，故， 由基本不等式，可得     （3）2.      【分析】 （1）根据函数解析式利用单调性即可求得的值域； （2）法1：利用方程根的个数由判别式可证明得出结论； 法2：由作差法利用基本不等式计算可得结果； （3）法1：对参数进行分类讨论，再由函数单调性可求得其值域； 法2：结合函数图象可知求出最大值即可得出结论. (1) 小问详解： 时，在上单调递减，在上单调递增， ，又， 故的值域为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，，且， 所以，故在上单调递增. 设，因为，则，此时． 法1：设． 当，即时，在上单调递减， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故 ，        结合图象可知，的最小值的最大值为2. 法2：当时，则，此时的最小值为2； 当，由最小值的定义，， 综上，的最小值的最大值为2. 38．【答案】（1）当时，矩形面积取得最小值；     （2）.      【分析】 （1）设，利用平行线分线段成比例定理求出矩形面积，再利用基本不等式求出最小值. （2）设健步道宽度为，由（1）的结论列出不等式组并求解即可. (1) 小问详解： 依题意，，设，由，得， 则，矩形的面积 ，当且仅当时取等号， 所以当矩形的边时，矩形面积取得最小值. (2) 小问详解： 由（1）知，矩形中，，设健步道宽度为， 依题意， ，整理得 ，解得， 所以健步道宽度的取值范围是. 39．【答案】（1） . 因为，所以，， 从而，则.     （2）4      【分析】 （1）作差后分解因式可得； （2）变形后由基本不等式可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： . 因为，所以，， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为4. 40．【答案】（1） 因为是边上靠近的三等分点，所以， 所以， 设内角的对边分别为，则， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 化简得， 即.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可； （2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）在中，由余弦定理得， 又， 所以， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立， 所以， 又是边上靠近的三等分点， 所以， 即的面积的最大值为. （ii）在中，， 由正弦定理，得， 又， 所以， 因为，所以， 由余弦定理，得， 将代入上式，化简得， 所以 ，其中， 当，即时，取得最小值， 的最小值为. 【点睛】 关键点点睛：（2）（i）由余弦定理可得后，再利用基本不等式得；（ii）因为，得到，利用余弦定理角化边，再将由正弦定理得到的代入，化简为，求得的最小值. 41．【答案】（1） 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立.     （2）36     （3）       【分析】 （1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. (3) 小问详解： 对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 42．【答案】（1）的取值范围都是，的最大值为3．     （2）最大值为6，此时或．     （3）时取得最小值，最小值为      【分析】 （1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. (1) 小问详解： ，即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． (2) 小问详解： 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． (3) 小问详解： ，即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 43．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出最小值. 【详解】 依题意，， 则，即， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 同理当时，取得最小值；当时，取得最小值， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．A 2．A 3．B 4．A 5．A 6．D 7．D 8．A 9．B 10．B 11．A 12．AC 13．D 14．ACD 15．C 16．BCD 17．A 18．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）原不等式等价于且，再根据一元二次不等式的解法求解. (1) 小问详解： 不等式，其对应的一元二次方程为， 因为，所以方程无实数根， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴无交点， 所以的值恒大于， 即不等式的解集为. (2) 小问详解： 将不等式移项得，其对应的一元二次方程为， 因式分解得，解得或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 将不等式移项得，通分后化简可得，即， 等价于且， 一元二次方程的解为或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为， 又，解得， 所以不等式的解集为. 19．【答案】（1）每月投入的研发费用的范围是万元     （2）每月投入的研发费用为万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是吨.      【分析】 （1）根据题意得到，然后解不等式即可求解； （2）利用基本不等式即可求解 (1) 小问详解： 根据题意可得， 又因为， 所以不等式转化为，化简可得，解得 所以每月投入的研发费用的范围是万元； (2) 小问详解： 因为，所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当且仅当时，取得最大值. 所以每月投入的研发费用为万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是吨. 20．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. (1) 小问详解： 当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. (2) 小问详解： 因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则 ，解得 ，经检验满足题意. 21．【答案】 【分析】 分类讨论求解不等式，结合解集可得答案. 【详解】 由题意，当时，不等式的解为或，不符； 当时， 不等式等价于，即，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 22．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法，化简计算，即可得答案. 【详解】 由， 得 ，解得，则解集为． 故答案为： 23．【答案】 【分析】 根据二次函数图像性质，只需要端点成立，代入解不等式组即可. 【详解】 设， 由二次函数图像性质，在区间上恒成立， 只需 ， 解得， 故答案为：. 24．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围； （3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可. (1) 小问详解： 当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. (2) 小问详解： “对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. (3) 小问详解： 因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 25．【答案】 【分析】 分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】 原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 26．【答案】（1）     （2）或.     （3）.      【分析】 （1）先求集合，由，得为集合的子集，进而求解； （2）由题意得是关于的方程的两个不等实数根，即，由韦达定理得，，代入即可求解； （3）由得，分和两种情况讨论，进而求解. (1) 小问详解： 由，解得或，所以， ∵，∴为集合的子集， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴是关于的方程的两个不等实数根， 则，即， 且，， ∴. 解得或，均满足. ∴或； (3) 小问详解： ∵，∴. 当时，，此时. 当时，B中有一个元素或两个元素， 当B中有一个元素时，，解得，此时，满足条件； 当B中有两个元素时，，即1，3是关于x的方程的两个根， 由（2）得，且，，无解. 综上，实数的取值范围是. 27．【答案】 【分析】 讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】 已知关于的不等式， ①时，，其中， 故解集为， 由于，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，当且仅当时，中共含有最少个整数，此时实数的值为； ②时，，解集为，整数解有无穷个，故不符合条件； ③时，，其中， 故解集为，整数解有无穷多，故不符合条件； 综上所述，. 故答案为：. 28．【答案】（1）；     （2） 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为；     （3）．      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. (1) 小问详解： 时， ， 则所求不等式的解集为：； (2) 小问详解： 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； (3) 小问详解： ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 29．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，利用恒等关系以及列方程求解即可； （2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解. (1) 小问详解： 设， 由，得对于恒成立， 故 ，解得 ， 又由，得， 所以 (2) 小问详解： 由， 当时，； 当时，； 当时，， 根据已知条件得 或 或 ， 解得或 所以a的值为或 30．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据一次函数以及二次函数的性质求解值域，即可根据集合的交并补运算求解， （2）分类讨论求解二次函数的值域，即可根据集合包含关系求解. (1) 小问详解： 由题意知，故， 由于为单调递增函数，所以. （1）当时，，，， 所以，. (2) 小问详解： 当时，， 又，故，解得，与相矛盾； 当时，， 又，故，解得，所以； 当时，，又， 故，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围为. 31．【答案】（1）     （2）① ； ② 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.      【分析】 （1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得； （2）① 根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值； ② 根据① 中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数. (1) 小问详解： （1）由得，对称轴为， 设， ∴ ，得 ， ∴． (2) 小问详解： （2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ② 画出函数的图象图下图所示：    利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：    方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 32．【答案】 【分析】 由一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的联系分析得的关系，从而求得的值. 【详解】 当时，由，得，不合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以函数的图象开口向下，且方程的两根为. 所以 ，化简得 ，解得. 故答案为：. 33．【答案】 【分析】 令，再结合一次函数性质分及进行讨论即可得. 【详解】 令， 当时，，不满足，舍去； 当时，是关于的一次函数， 则有 ，结合，解得. 故答案为：. 34．【答案】 【分析】 讨论不等式类型求解. 【详解】 ① 当时，，可得不等式的解集为，符合题意； ② 当时，若不等式的解集为，有 ，可得. 由① ② 可知，实数的取值范围为. 故答案为： 35．【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或.      【分析】 （1）函数恒成立问题结合二次函数的性质与图象分类讨论得出参数范围； （2）先因式分解，再针对参数分情况讨论，得出解集． (1) 小问详解： 由题意恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时， ，得 ，得； 综上可得，的取值范围是. (2) 小问详解： 由题，即， ① 当时，，解得，所以不等式的解集为， 当时，或； ② 当时，，不等式的解集为； ③ 当时，，不等式的解集为或； ④ 当时，，不等式的解集为； ⑤ 当时，，不等式的解集为，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 36．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. (1) 小问详解： 由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需 ，解得， 综上，，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若是真命题，则 ，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 37．【答案】（1）最小值为     （2）     （3）      【分析】 （1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. (1) 小问详解： 当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. (2) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以 ，解得. (3) 小问详解： 由，可得， ① 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ② 当，即时，，满足； ③ 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 38．【答案】 【分析】 先根据指数函数的值域得出，再把恒成立问题转化为，最后应用一元二次不等式计算求解. 【详解】 因为，所以由指数函数的单调性得， 函数在上单调递增， 又因为，且，所以函数在上单调递增； 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，即，所以， 解得，即， 所以，解得或； 而，故. 故的取值范围为. 故答案为：. 39．【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．      【分析】 （1）由不等式的解集为，得函数的两个零点是和，即 ，求得的值，即可得的值； （2）将代入，化简得.讨论方程的两根的大小关系，分别求不等式的解集即可. (1) 小问详解： 解：由题意知，-1和3是方程的两个根， 根据根与系数的关系，得 . 解得 ，则． (2) 小问详解： 将代入， 即为：，得. 因为，所以方程的两个实数根分别为. ① 当时，，所以不等式的解集为； ② 当时，得，其解集为，所以不等式的解集为； ③ 当时，，所以不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 40．【答案】（1）     （2）1250元     （3）      【分析】 （1）根据已知应用利润等于销售额减去成本得出函数解析式； （2）应用二次函数性质得出最大值； （3）解一元二次不等式即可求出参数范围. (1) 小问详解： 由题可知． 因为， 所以关于的函数解析式为． (2) 小问详解： 由（1）可知， 当时，取得最大值1250， 故经营此商品的日销售利润的最大值为1250元． (3) 小问详解： 令， 整理得， 解得， 故要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，此商品销售单价的取值范围为． 41．【答案】（1）     （2）     （3）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．      【分析】 （1）将不等式转化为二次函数恒成立形式，再根据是否为零分类讨论，并结合判别式即可得解． （2）对分式代数式变形，利用基本不等式求最小值即可． （3）将不等式因式分解后，对参数分多种情况讨论，逐一求解集即可． (1) 小问详解： 由已知得对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立． 当时，，不满足题意； 当时，则 ，解得． 综上所述，实数的取值范围为． (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． (3) 小问详解： 由已知， 当时，，解集为； 当时，方程的两个根为，解集为； 当时，对方程， ① 当，即时，解集为， ② 当，方程的两个根，即时，解集为， ③ 当，方程的两个根，即时，解集为． 综上所述，时，解集为；时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由已知可得： ，解得： . 所以二次函数的表达式为：. (2) 小问详解： 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值 . (3) 小问详解： 由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $