精品解析：河北唐山市丰润区2025-2026学年度高一第一学期期中考试数学试题

丰润区2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 2. 函数，则（ ） A. 14 B. 1 C. 0 D. 13 【答案】A 【解析】 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 3. 当（ ）时，函数取得最小值． A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 4. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】或， ， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5. 已知幂函数的图象过点，则的值是（ ） A. 64 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，则，则. 6. 下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域是, 值域是, A. 函数的定义域是，所以A错误； B. 函数的定义域是，所以B错误； C. 函数与的对应法则不同，所以C错误； D. 函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 7. 下列函数中是奇函数且是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 8. 若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，令，，则，A不是； 对于B，令，， 则 ，B不是； 对于C，令 ，， 则，C不是； 对于D，令，， 则 ，D是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ） A. B. ac<bc C. a(b－c)>b(a－c) D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，作差比较可知A正确；对于B，在a>b的两边同时乘以－c可知B正确；对于C，作差比较可知C正确；对于D，在a>b的两边同时乘以可知D错误． 【详解】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确； 对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确； 对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确； 对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质比较大小，属于基础题. 10. 若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A错误，B正确； 且为，解得或， 所以的解集为，C正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C： ， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】4 【解析】 【详解】由. 13. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 14. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】依题意，“，”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，，显然成立， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设是小于9的正整数，．求： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 由题设，，则； 【小问2详解】 由，则； 【小问3详解】 由， 所以； 【小问4详解】 由， 所以 ； 【小问5详解】 由题设， 所以. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）画出函数的图象，并求出的解析式； （2）当时，求的值； （3），讨论的根的个数情况． 【答案】（1）的图象见解析； （2） （3）当时，的根的个数为0； 当时， 的根的个数为2； 当时， 的根的个数为4； 当时， 的根的个数为3； 当时， 的根的个数为2． 【解析】 【分析】（1）先画出函数在时的图象，再根据偶函数关于轴对称即可画出函数在时的图象；再利用偶函数的定义，可以求出当时，的解析式，进而写出在上的解析式； （2）分和两种情况讨论，再解一元二次方程即可得到答案； （3）根据的根的个数，等价求函数的图象与直线的交点个数，再结合（1）分类讨论即可． 【小问1详解】 当时， ，即是二次函数，其顶点为，过点，，， 又函数是定义在上的偶函数，即函数关于轴对称， 所以图象如下： 又函数是定义在上的偶函数，则， 当时， ， 则当时，，即， 所以的解析式为． 【小问2详解】 当时， ，即 ，解得（舍去），或； 当时， ，即 ，解得（舍去），或， 所以． 【小问3详解】 由的根的个数，等价求函数的图象与直线的交点个数． 结合（1）可知， 当时，直线在函数图象的下方，故无交点，即的根的个数为0； 当时，直线与函数图象有2个切点，即的根的个数为2； 当时，直线在函数图象有4个交点，即的根的个数为4； 当时，直线在函数图象有3个交点，即的根的个数为3； 当时，直线在函数图象有2个交点，即的根的个数为2． 17. 已知函数在区间上是单调函数． （1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【小问1详解】 由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． 【小问2详解】 结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以 ； 当时，则函数在上单调递减， 所以 ． 综上所述，． 18. 解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求解并验证即可； （2）通过单调性的定义即可求解； （3）通过单调性、奇偶性去求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. 【小问2详解】 设，则， ∵，∴，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. 【小问3详解】 ∵，∴， ∵是定义在上的增函数，∴，得， 所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰润区2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 2. 函数，则（ ） A. 14 B. 1 C. 0 D. 13 3. 当（ ）时，函数取得最小值． A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 4. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知幂函数的图象过点，则的值是（ ） A. 64 B. C. D. 2 6. 下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中是奇函数且是增函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ） A. B. ac<bc C. a(b－c)>b(a－c) D. 10. 若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的最小值为1 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 函数的定义域为___________． 14. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设是小于9的正整数，．求： （1） （2） （3） （4） （5） 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）画出函数的图象，并求出的解析式； （2）当时，求的值； （3），讨论的根的个数情况． 17. 已知函数在区间上是单调函数． （1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值． 18. 解关于的不等式． 19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $