专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．D 10．AC 11．A 12．D 13．B 14．D 15．C 16．B 17．BC 18．D 19．A 20．BCD 21．B 22．B 23．B 24．ACD 25．ACD 26．D 27．ABD 28．B 29．BD 30．ABD 31．A 32．B 33．BCD 34．BD 35．D 36．C 37．C 38．D 39．【答案】 【分析】 根据函数解析式直接求值可得. 【详解】 因，令，则. 所以 故答案为：. 40．【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式求函数值即可. 【详解】 . 故答案为：. 41．【答案】 【分析】 根据分母不为，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】 对于函数，令 ，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 42．【答案】 【分析】 根据函数具体解析式求定义域即可. 【详解】 要使函数有意义，则 解得． 所以函数的定义域为. 故答案为：. 43．【答案】1 【分析】 代入解析式中求值即可. 【详解】 根据题意可得， 则 故答案为： 44．【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】 （1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】 （1）设， 则. ，解得 ，或 ， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得 ，解得. 45．【答案】 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于以及分式分母不为求解出定义域. 【详解】 因为 ，解得，所以定义域为， 故答案为：. 46．【答案】 【分析】 先得到，从而得到. 【详解】 因为， 所以. 故答案为：. 47．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】 （1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以 ，解得 ， 所以. 48．【答案】 【分析】 根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得． 【详解】 若函数的定义域是，则函数需要满足： 则 ，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 49．【答案】（1），证明如下： 因为， 所以，则为定值，得证.     （2）      【分析】 （1）由题中给出的定义域结合函数的结构可得，再根据可求出，即可确定，再代入证明即可； （2）利用的单调性得到自变量与函数值的对应关系，列出方程，再作差，即可得解. (1) 小问详解： 因为的定义域为， 所以，则. 由，得， 则. 因为， 所以，则为定值，得证. (2) 小问详解： 当时，易知函数与在上均单调递减， 所以在上单调递减. 因为在上的值域为， 所以 ，即 ， 两式相减得，整理得， 即，又，所以. 50．【答案】（1）.     （2）.      【分析】 （1）根据抽象函数的定义域解答即可； （2）利用分离常量法可得，利用换元法可得（），结合定义法讨论函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为函数的定义域为， 即，所以， 由，得， 所以集合. (2) 小问详解： 由（1）知， 令，则， 令， 对于任意，不妨令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 同理得在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，所以， 所以的值域为. 51．【答案】. 【分析】 根据题意，化简得到，分和，两种情况讨论，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由函数， 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，可得， 当且仅当，即时取等号，， 综上可得，函数的值域为. 故答案为：. 52．【答案】（1）     （2）（i）当时，，即； 当时，无解，即； 当时，，即． （ii）      【分析】 （1）利用根据根式有意义的条件，被开方数需非负得到或，进而求解集合即可. （2）（i）对参数分类讨论，进而求解集合即可，（ii）将条件转化为，进而得到参数范围即可. (1) 小问详解： 由，解得或， 得到． (2) 小问详解： （i）不等式，即， 当时，，即； 当时，无解，即； 当时，，即． （ii）由，得， 由（i）知当时，，则不成立； 当时，成立； 当时，，对任意，都有，即，满足，恒成立． 综上，实数的取值范围是． 考点02 幂函数 1．ABD 2．D 3．C 4．ABD 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．C 11．D 12．【答案】 【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解. 【详解】由题得 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. (1) 小问详解： 由题意， ，所以， 所以. (2) 小问详解： ， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 14．【答案】 【分析】 设幂函数，代入已知点求出，确定函数解析式；然后分析该幂函数的单调性和奇偶性；最后将不等式利用奇偶性转化，再结合单调性得到关于的不等式，即可求解. 【详解】 由题意可设，由于函数的图象过点，故，所以， 即，所以函数在上单调递增，且为奇函数. 由可得，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．【答案】5 【分析】 设，根据函数过点，即可求出的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】 解：设，因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，所以 故答案为： 16．【答案】 【分析】 探讨三个幂函数的图象性质，结合集合B的意义及条件确定幂函数，进而求得的值. 【详解】 幂函数定义域为，在上单调递减，且图象在第一、二象限，关于轴对称； 幂函数定义域为，且在上单调递增，图象过原点和第一象限； 幂函数定义域为，在上单调递增，且图象过原点和第一、三象限，关于原点对称， 又集合中有且仅有两个元素， 因此幂函数与的图象有两个交点， 而与或的图象均只有一个交点为，不符合题意， 与的图象有两个交点和，符合题意， 则当，的组合为和3时，满足有且仅有两个元素，所以. 故答案为： 17．【答案】（1）1     （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②      【分析】 （1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. (1) 小问详解： 由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. (2) 小问详解： ① 略 ②由①知，在区间单调递增， 又由可得： ，解得解得，所以实数t的取值范围是. 18．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义直接可得； （2）先将不等式进行参数分离，再由基本不等式可得. (1) 小问详解： 因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意． 综上所述，的值为的解析式为. (2) 小问详解： 因存在，则， 令，则， 当且仅当时，等号成立，即取得最小值. 故，即的取值范围为. 19．【答案】（1）     （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；;当时，不等式解集为.      【分析】 （1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题； （2）根据一元二次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解为. 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数是偶函数可求出； （2）由题意可知当的对称轴在时，在区间上不单调. (1) 小问详解： 由函数是幂函数，有，解得或， ① 当时，，为偶函数，符合题意； ② 当时，，由函数的定义域为，可知函数不是偶函数，不合题意. 由上知. (2) 小问详解： 由的减区间为，增区间为， 且函数在区间上不单调，有，可得， 故实数的取值范围为. 21．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）利用幂函数的定义求得的值，再检验对应的值时的奇偶性，从而得解； （2）根据题意，利用参变分离法，结合配方法解决恒成立问题，从而得解. (1) 小问详解： 由题意，为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，舍去； 当时，，是偶函数，满足题意； 所以； (2) 小问详解： 依题意，知，在上恒成立， 则当时，，所以恒成立， 又， 所以当，即时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 22．【答案】（1）     （2）①0；②      【分析】 （1）由幂函数的概念和单调性即可求解； （2）① 由内向外代入解析式求解即可；② 将问题转换成在上恒成立，分参求最值即可. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． (2) 小问详解： ①，则， 所以． ② 由① 可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 考点03 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， (2) 小问详解： 由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 2．【答案】（1）     （2）两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱.      【分析】 （1）由题意分，，和求解即可； （2）由（1）的函数解析式，代入数据即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知，当时，； 当时，； 当时，. 故 (2) 小问详解： 由（1）可知， 当两人各自购买时，消费总额为（元）， 当两人合伙购买时，消费总额为（元）， （元）， 所以两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱. 3．【答案】（1）     （2）最大利润是800万元，此时月产量为50000片.      【分析】 （1）根据，分、分别求出函数解析式，即可得解； （2）当时根据二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式求出最大值，即可得解. (1) 小问详解： 当月产量为千片时，销售额为（万元）， ∴ ， 又 当时 ， 当时 ， 所以 (2) 小问详解： 当时， ， 当且仅当时取等号. 当时，， 当且仅当，即时，取等号， ∵， ∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片. 4．【答案】（1）    ；，     （2），，当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润      【分析】 （1）根据题中表格描点，可知y与x 之间的函数关系为一次函数，利用待定系数法运算求解； （2）根据题意结合（1）中的函数解析式求P 关于x 的函数解析式，并利用基本不等式求最值. (1) 小问详解： 描出实数对的对应点，如图所示：    根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得 ，解得 ， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. (2) 小问详解： 由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 5．【答案】（1）22万元；20万元；     （2）甲商品投入4万元，乙商品投入16万元，总收益最大值为26万元.      【分析】 （1）由题意代入求解即可； （2）设乙商品投入万元，则甲商品投入万元，分，两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入20万元，即， 若只促销甲商品，则所获得的收益为万元； 若只促销乙商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设乙商品投入万元，则甲商品投入万元，， 可知总收益， 若，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为25万元，此时甲商品投入16万元，乙商品投入4万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值为26万元，此时甲商品投入4万元，乙商品投入16万元， 因为，所以甲商品投入4万元，乙商品投入16万元，总收益最大值为26万元. 6．【答案】（1）3；     （2）两种方案盈利额相同，但方案① 使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案① 更合理.      【分析】 （1）先求出前年的盈利额y，分析和求解得解； （2）由（1）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求出两种方案对应的年份和总盈利额即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知前年的盈利额为， 令，有即， 解方程得， 所以不等式的解为， 因为，所以， 又，所以当时，， 所以从第3年开始，该设备开始盈利； (2) 小问详解： 方案① ：由（1）知年平均盈利额为， 当且仅当即时等号成立， 所以第7年平均盈利额达到最大值，再以30万元价格处理该设备，则共盈利万元； 方案② ：由（1）知第10年盈利额达到最大值为， 再以12万元价格处理该设备，则共盈利万元； 两种方案盈利相同，但方案① 使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案① 更合理. 7．【答案】（1），定义域为     （2）平方米     （3）      【分析】 （1）作，垂足为，线段与交于点，求出，，利用，列式子得到，； （2）由（1）得到面积，利用二次函数性质求出在区间上的最大值即可； （3）由（1）可得周长．，利用函数单调性求出周长的取值范围为. (1) 小问详解： 作，垂足为，线段与交于点． 米，米． 因为，所以，即． 所以，定义域为． (2) 小问详解： 设矩形的面积为平方米，由（1）可得． 由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米． (3) 小问详解： 设矩形的周长为米，由（1）可得． 函数是减函数． 因为，所以，即， 所以矩形周长的取值范围为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知函数 ，则（       ） A.  B.  C. 0 D. 1 2．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）函数的定义域是 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数 ，则（     ） A. 8 B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，则（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若函数 ，则（　　） A.  B. 2 C.  D. 4 8．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知，则的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（       ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）下列函数中，与是同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数 ，则（       ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 6 15．（25-26学年高一上·河北定州·期中）函数的定义域为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）下列函数中，与函数为同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·河北保定·期中）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 19．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数 则 （     ） A. 0 B. 1 C.  D. 2 20．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 21．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）设 ，则的值为（       ） A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 22．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）下列函数中，值域为的是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若函数 则（       ） A. 512 B. 256 C. 128 D. 64 24．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）下列各组中，函数与是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D.  25．（25-26学年高一上·河北承德·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若的反函数是，则 C. 若二次函数，实数，则 D. 若函数，则函数， 26．（25-26学年高一上·河北承德·期中）下列各组函数中表示同一函数的是（     ） A. ， B.  C. ， D. ， 27．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知，则的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·河北定州·期中）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）（多选）设函数的定义域为，给定一个集合，当时，都有，则称函数是“封闭”函数．以下说法正确的是（　　） A. 对任意定义域为的函数，都有是“封闭”函数 B. 函数是“封闭”函数 C. 函数是“封闭”函数 D. 若函数是“封闭”函数，则必是“封闭”函数（其中） 31．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 33．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A.  B. 若，，且，则的最小值为9 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若，则的解析式为 34．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 和有交点 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 关于的不等式的解集为 35．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  38．（2026·河北保定·联考）已知函数的定义域为，若，且当时，，则当时，的解析式可以是（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知 ，则　　　　　　　　　　. 41．（25-26学年高一上·河北保定·期中）函数的定义域为　　　　　. 42．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　 44．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 45．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）函数 的定义域为　　　　　　　. 46．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数 则　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 48．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是　　　　　　　　　. 49．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，且． （1）求的解析式并证明为定值； （2）若，且在上的值域为，求的值． 50．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知函数的定义域为． （1）若集合为函数的定义域，求集合； （2）若，求函数的值域． 51．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）函数的值域为　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为． （1）求． （2）（i）求； （ii）若，求实数的取值范围． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 幂函数是奇函数 B. 幂函数是偶函数 C. 幂函数既是奇函数又是偶函数 D. 幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 2．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知幂函数的图象经过点，则（       ） A.  B.  C. 64 D.  3．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）（多选）已知函数是幂函数，则下列结论正确的是（　　） A. 若是负偶数，则的图象只在第一象限和第二象限内 B. 若的图象只在第一象限，则的值可以是 C. 存在，使得的图象经过第四象限 D. 当时，是奇函数且是增函数 5．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知点在幂函数的图象上，则（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 或1 8．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知幂函数在上单调递减，则（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（       ） A. 是偶函数 B. 的图象过点 C. 是单调函数 D. 无最值 12．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=　　　　　　　 13．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 14．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知幂函数的图象过点，则　　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·河北承德·期中）设，是实数，集合，．若有且仅有两个元素，则　　　　　． 17．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）若函数为幂函数，且在上单调递减. （1）求实数m的值； （2）若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 18．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的值，并求的解析式； （2）若存在，使得，求的取值范围． 19．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集. 20．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数是偶函数. （1）求的值； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围. 21．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 22．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． （1）写出与的函数关系式； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 2．（25-26学年高一上·河北定州·期中）眼下正是栗子成熟热销的季节，尤其是“糖炒栗子”，更是受到广大消费者的喜爱，一家名叫“甘甜美栗”的店为促销糖炒栗子，提供了多购优惠的阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的糖炒栗子质量/kg 糖炒栗子单价/（元/kg） 不超过的部分 36 超过但不超过的部分 30 超过的部分 24 记顾客购买的糖炒栗子的质量为，消费额为元． （1）求函数的解析式； （2）一位顾客第一天购买了糖炒栗子，品尝后觉得味道很好，第二天便带着一个朋友来购买糖炒栗子，他想买，朋友想买，两人商量着一起购买，请帮他们计算一下，两人合伙购买比他们各自购买节省了多少钱． 3．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足： （1）求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量. 4．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中. x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 （1）根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 5．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）某网店老板计划对甲、乙两种商品开展促销活动．据市场调查统计，当投入成本为万元时，促销甲、乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中 ，该网店计划投入20万元全部用于促销这两种商品． （1）假设该网店只对一种商品促销，求该网店能获得的收益； （2）如果该网店促销这两种商品，为使该网店能获得最大收益，应该如何分配这20万元？请求出最大收益． 6．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛．现某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元；该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额因设备额外产生的收益－设备的成本），其中． （1）从第几年开始，该设备开始盈利； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理?并说明理由． 7．（2026·河北保定·联考）如图，在一块直角梯形场地中， ，其中米米．现在直角梯形区域内规划一个矩形区域，使点F，E，G分别在线段上． （1）设米，米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； （2）求矩形面积的最大值； （3）求矩形周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知函数 ，则（       ） A.  B.  C. 0 D. 1 【答案】B 【分析】 根据分段函数定义计算即可. 【详解】 . 故选：B. 2．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）函数的定义域是 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】由题意得 ， 所以 故选A. 3．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数 ，则（     ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求，再求得解. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，则（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 将自变量代入解析式求函数值. 【详解】 ，则. 故选：D 5．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】 解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 6．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】 由题可得 ，解得且，所以函数的定义域为； 故选：B 7．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若函数 ，则（　　） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 根据给定的函数，分段判断代入计算作答. 【详解】 函数 ，则， 所以. 故选：A 8．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知，则的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用换元法即可求出函数的解析式． 【详解】 ∵ ∴令，则 ∴ ∴ 故选：D． 9．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（       ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 利用表格计算即可求解. 【详解】 因为，所以. 故选：D. 10．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【分析】 根据同一函数的定义，比较两个函数的定义域和对应法则是否相同逐一判断即可. 【详解】 对于A：函数与的定义域均为，且，两个函数是同一个函数，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C：函数与的定义域均为，且，两个函数是同一个函数，故C正确； 对于D：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数不是同一个函数，故D错误． 故选：AC. 11．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 令，利用换元法求解即可. 【详解】 令，则，所以， 则． 故选：A 12．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意令，运算求解即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为． 故选：D. 13．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）下列函数中，与是同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 判断函数的定义域与解析式是否一致，即可得解. 【详解】 函数的定义域为， 对于A ： ，两函数解析式不一致，故不是同一函数，故A错误； 对于B：的定义域为，且， 两函数的定义域相同，解析式一致，故是同一函数，故B正确； 对于C：函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D：的定义域为，两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故D错误； 故选：B 14．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数 ，则（       ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 6 【答案】D 【分析】 由分段函数解析代入计算即可. 【详解】 由条件可得：， 所以， 故选：D 15．（25-26学年高一上·河北定州·期中）函数的定义域为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于以及分式分母不为，列出不等式组解之即可. 【详解】 由题意得 ，解得或， 故函数的定义域为， 故选：C． 16．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据具体函数定义域限制列不等式组，解不等式即可得函数的定义域. 【详解】 函数的定义域满振 ， 所以 ，所以或， 则函数的定义域为. 故选：B. 17．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）下列函数中，与函数为同一个函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 逐项比较定义域与解析式进行判断. 【详解】 对于A：，定义域为，与已知函数定义域不同，A错误； 对于B：，定义域为，与已知函数定义域相同，解析式相同，B正确； 对于C：，定义域为，与已知函数定义域相同，解析式相同，C正确； 对于D：定义域为，与已知函数定义域不同，D错误． 故选：BC. 18．（25-26学年高一上·河北保定·期中）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【分析】 根据函数的定义域即可判断选项A和选项B；化简函数的解析式，再结合其定义域即可判断选项C和选项D． 【详解】 对于选项A，由 ，解得，所以的定义域为， 又，解得或，所以的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误； 对于选项B，由的定义域为，而的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，由 ， 所以与的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，由，且定义域为， 又定义域为，所以与的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正确． 故选：D． 19．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数 则 （     ） A. 0 B. 1 C.  D. 2 【答案】A 【分析】 根据函数解析式求值即可. 【详解】 因为函数 ， 所以， 故选：A 20．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【分析】 根据函数的定义域和解析式依次判断每个选项即可. 【详解】 对选项A：定义域为，的定义域为，不是同一函数； 对选项B：定义域为，的定义域为， ，是同一函数； 对选项C：定义域为，，定义域为，是同一函数； 对选项D：，定义域为，，定义域为， 是同一函数； 故选：BCD. 21．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）设 ，则的值为（       ） A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 【答案】B 【分析】 由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【详解】 因为 ，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B 22．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）下列函数中，值域为的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数解析式直接求解即可. 【详解】 函数的值域为，的值域为， 的值域为，的值域为． 故选：B 23．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若函数 则（       ） A. 512 B. 256 C. 128 D. 64 【答案】B 【分析】 根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】 由题可知， ． 故选：B. 24．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）下列各组中，函数与是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D.  【答案】ACD 【分析】 由相同函数的定义（定义域和对应法则相同）逐项判断可得. 【详解】 根据函数的定义可知，选项A，C，D中的与均是同一个函数，选项B中的定义域为，的定义域为，不是同一个函数. 故选：ACD. 25．（25-26学年高一上·河北承德·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若的反函数是，则 C. 若二次函数，实数，则 D. 若函数，则函数， 【答案】ACD 【分析】 A选项，根据抽象函数求定义域法则和根号下被开方数非负，求出定义域；B选项，根据反函数定义得到，求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，换元法求解函数解析式. 【详解】 对于A，因为函数的定义域为， 则 解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，由是函数的反函数可知，， 所以，故B错误； 对于C， ， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，设，则，所以， 所以，，故D正确． 故选：ACD． 26．（25-26学年高一上·河北承德·期中）下列各组函数中表示同一函数的是（     ） A. ， B.  C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 由同一函数的概念逐项判断即可. 【详解】 对于A，函数的定义域为，而函数的定义域为，故两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数和的定义域均为，但，，所以两函数的定义域相同，对应关系不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由得函数的定义域为，由 得函数的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为，，则，的定义域和对应关系均相同，是同一函数，故D正确． 故选：D． 27．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 令和可判断AB；令和可判断CD. 【详解】 令，得，即． 令，得，解得 ，或 . 因为，所以 ，A，B均正确； 令，得① ， 令，得② ． 联立① ② ，解得，C错误，D正确． 故选：ABD 28．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知，则的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用配凑法，由求解. 【详解】 因为，且， 所以． 故选：B． 29．（25-26学年高一上·河北定州·期中）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 由相同函数的定义逐项判断即可. 【详解】 由于函数，而函数，两个函数的对应关系不同，故它们不是同一个函数，故A不符合题意； 由于函数定义域为R和函数，定义域为R，具有相同的定义域、对应关系、值域，故它们是同一个函数，故B符合题意； 由于函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，故它们不是同一个函数，故C不符合题意； 由于函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域、对应关系、值域都相同，故它们是同一个函数，故D符合题意． 故选：BD． 30．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）（多选）设函数的定义域为，给定一个集合，当时，都有，则称函数是“封闭”函数．以下说法正确的是（　　） A. 对任意定义域为的函数，都有是“封闭”函数 B. 函数是“封闭”函数 C. 函数是“封闭”函数 D. 若函数是“封闭”函数，则必是“封闭”函数（其中） 【答案】ABD 【分析】 根据定义及函数的性质计算即可判断ABD；利用赋值法可判断C. 【详解】 对于集合，若，则，所以，故A正确； 对于区间，只要， 都有，故B正确； 对于区间，取，则，但，故C不正确； 是“封闭”函数，则当，即时，都有， 即．若，即， 则， 即是“封闭”函数，故D正确． 故选：ABD． 31．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据的定义得的定义域，进而可得所求结果. 【详解】 因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足 得， 故函数的定义域为． 故选：A. 32．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据“狄利克雷函数”的定义，判断“”和“”的互相推出情况，由此可知结果. 【详解】 若，则，所以，故， 但当时，可能都是无理数，不妨设，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 33．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A.  B. 若，，且，则的最小值为9 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若，则的解析式为 【答案】BCD 【分析】 由集合与集合的关系可判断A，由乘1法可判断B，由抽象函数定义域的求解可判断C，由配凑法可判断D. 【详解】 对于A，集合的元素中没有，故A错； 对于B，， 当且仅当时取等号，故B正确， 对于C，由的定义域为，得， 所以的定义域为，C正确， 对于D，， 又， 所以，D正确， 故选：BCD 34．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 和有交点 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 关于的不等式的解集为 【答案】BD 【分析】 由方程无解可判断A；利用，结合已知可求得，可判断B；利用赋值法可判断C；利用不等式性质可判断D. 【详解】 对于A，因为关于的方程即无实数根，则与无交点，故A错误； 对于B，对函数，令，则，得到， 即的定义域为，故B正确； 对于C，当时，显然，故C错误； 对于D，因为，由不等式运算性质可得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BD. 35．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 依题意可得关于的方程的两根为、且，利用韦达定理求出参数的值，再根据偶次方根的被开方数非负及分母不为得到不等式，解得即可. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为、且， 所以 ，解得； 故， 令，即，解得， 所以的定义域为. 故选：D. 36．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据抽象函数定义域的求法求得：，再根据分母不能为零得：，最后联立即可求解函数定义域. 【详解】 由的定义域为，可得：，解得：. 所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C. 37．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抽象函数定义域法则和分式函数中分母不为0列不等式求解即可. 【详解】 的定义域为，对于，因为，所以， 所以对于，有， 则对于，有 ，解得或． 所以函数的定义域为. 故选：C 38．（2026·河北保定·联考）已知函数的定义域为，若，且当时，，则当时，的解析式可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对选项按照题意一一排除，即可求解. 【详解】 选项A，当时,，则 ， ，， ，， ， ， 不满足，故选项A错误； 选项B，当时,，则 ， ，， ，， ， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，当时,，则 ， ，， ，， ， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，当时,，则 ， 当时，，， ，， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 当时，则，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 综上可知，当时,满足题意，故选项D正确. 故选：D. 39．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数解析式直接求值可得. 【详解】 因，令，则. 所以 故答案为：. 40．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知 ，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式求函数值即可. 【详解】 . 故答案为：. 41．（25-26学年高一上·河北保定·期中）函数的定义域为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分母不为，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】 对于函数，令 ，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 42．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数具体解析式求定义域即可. 【详解】 要使函数有意义，则 解得． 所以函数的定义域为. 故答案为：. 43．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　 【答案】1 【分析】 代入解析式中求值即可. 【详解】 根据题意可得， 则 故答案为： 44．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】 （1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】 （1）设， 则. ，解得 ，或 ， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得 ，解得. 45．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）函数 的定义域为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于以及分式分母不为求解出定义域. 【详解】 因为 ，解得，所以定义域为， 故答案为：. 46．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数 则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先得到，从而得到. 【详解】 因为， 所以. 故答案为：. 47．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】 （1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以 ，解得 ， 所以. 48．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得． 【详解】 若函数的定义域是，则函数需要满足： 则 ，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 49．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，且． （1）求的解析式并证明为定值； （2）若，且在上的值域为，求的值． 【答案】（1），证明如下： 因为， 所以，则为定值，得证.     （2）      【分析】 （1）由题中给出的定义域结合函数的结构可得，再根据可求出，即可确定，再代入证明即可； （2）利用的单调性得到自变量与函数值的对应关系，列出方程，再作差，即可得解. (1) 小问详解： 因为的定义域为， 所以，则. 由，得， 则. 因为， 所以，则为定值，得证. (2) 小问详解： 当时，易知函数与在上均单调递减， 所以在上单调递减. 因为在上的值域为， 所以 ，即 ， 两式相减得，整理得， 即，又，所以. 50．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知函数的定义域为． （1）若集合为函数的定义域，求集合； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1）.     （2）.      【分析】 （1）根据抽象函数的定义域解答即可； （2）利用分离常量法可得，利用换元法可得（），结合定义法讨论函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为函数的定义域为， 即，所以， 由，得， 所以集合. (2) 小问详解： 由（1）知， 令，则， 令， 对于任意，不妨令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 同理得在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，所以， 所以的值域为. 51．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）函数的值域为　　　　　　　　　　　． 【答案】. 【分析】 根据题意，化简得到，分和，两种情况讨论，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由函数， 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，可得， 当且仅当，即时取等号，， 综上可得，函数的值域为. 故答案为：. 52．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为． （1）求． （2）（i）求； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）当时，，即； 当时，无解，即； 当时，，即． （ii）      【分析】 （1）利用根据根式有意义的条件，被开方数需非负得到或，进而求解集合即可. （2）（i）对参数分类讨论，进而求解集合即可，（ii）将条件转化为，进而得到参数范围即可. (1) 小问详解： 由，解得或， 得到． (2) 小问详解： （i）不等式，即， 当时，，即； 当时，无解，即； 当时，，即． （ii）由，得， 由（i）知当时，，则不成立； 当时，成立； 当时，，对任意，都有，即，满足，恒成立． 综上，实数的取值范围是． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 幂函数是奇函数 B. 幂函数是偶函数 C. 幂函数既是奇函数又是偶函数 D. 幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【分析】 根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】 由的定义域为，且， 即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为，且，即为偶函数，所以B正确； 令的定义域为，且，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数， 所以D正确. 故选：ABD. 2．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知幂函数的图象经过点，则（       ） A.  B.  C. 64 D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，求出函数解析式，进而求出函数值. 【详解】 设幂函数，则，解得， 因此，所以. 故选：D 3．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可. 【详解】 设，因为的图象经过点， 所以，即，解得，则， 因为，所以为偶函数，排除B、D， 因为的定义域为，排除A． 因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足， 故选：C. 4．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）（多选）已知函数是幂函数，则下列结论正确的是（　　） A. 若是负偶数，则的图象只在第一象限和第二象限内 B. 若的图象只在第一象限，则的值可以是 C. 存在，使得的图象经过第四象限 D. 当时，是奇函数且是增函数 【答案】ABD 【分析】 根据幂函数的图象与性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】 对于A，若是负偶数，根据幂函数的性质，可得幂函数是偶函数且不经过原点，所以A正确； 对于B，当时，的定义域为，值域为，所以B正确； 对于C，根据幂函数的图象与性质，幂函数的图象不经过第四象限，所以C不正确； 对于D，当时，函数是奇函数且是增函数，所以D正确． 故选：ABD. 5．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂函数的定义逐项验证即可求解. 【详解】 选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 6．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知点在幂函数的图象上，则（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 由幂函数定义求得，再代入点的坐标求得即可得结论． 【详解】 由题意，则， ，， 所以， 故选：B． 7．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 或1 【答案】B 【分析】 由系数为1求得，然后代入确定函数图象是否与坐标轴有交点． 【详解】 由题意，解得或， 时，，图象与坐标轴交点为，舍去， 时，满足题意． 故选：B． 8．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用二次函数的图象与性质分析的符号，结合幂函数的性质判定选项即可. 【详解】 由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 9．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知幂函数在上单调递减，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数的定义以及在第一象限的单调性求解出的值，代入解析式可求结果. 【详解】 函数为幂函数，， ，又在上单调递减，， ，， 故选：D． 10．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】 因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 11．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（       ） A. 是偶函数 B. 的图象过点 C. 是单调函数 D. 无最值 【答案】D 【分析】 先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为，为奇函数， 且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值； 当时，，定义域为，为奇函数， 且在定义域上为增函数，无最值. 综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确. 故选：D. 12．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=　　　　　　　 【答案】 【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解. 【详解】由题得 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 13．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. (1) 小问详解： 由题意， ，所以， 所以. (2) 小问详解： ， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 14．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设幂函数，代入已知点求出，确定函数解析式；然后分析该幂函数的单调性和奇偶性；最后将不等式利用奇偶性转化，再结合单调性得到关于的不等式，即可求解. 【详解】 由题意可设，由于函数的图象过点，故，所以， 即，所以函数在上单调递增，且为奇函数. 由可得，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知幂函数的图象过点，则　　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 设，根据函数过点，即可求出的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】 解：设，因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，所以 故答案为： 16．（25-26学年高一上·河北承德·期中）设，是实数，集合，．若有且仅有两个元素，则　　　　　． 【答案】 【分析】 探讨三个幂函数的图象性质，结合集合B的意义及条件确定幂函数，进而求得的值. 【详解】 幂函数定义域为，在上单调递减，且图象在第一、二象限，关于轴对称； 幂函数定义域为，且在上单调递增，图象过原点和第一象限； 幂函数定义域为，在上单调递增，且图象过原点和第一、三象限，关于原点对称， 又集合中有且仅有两个元素， 因此幂函数与的图象有两个交点， 而与或的图象均只有一个交点为，不符合题意， 与的图象有两个交点和，符合题意， 则当，的组合为和3时，满足有且仅有两个元素，所以. 故答案为： 17．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）若函数为幂函数，且在上单调递减. （1）求实数m的值； （2）若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【答案】（1）1     （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②      【分析】 （1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. (1) 小问详解： 由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. (2) 小问详解： ① 略 ②由①知，在区间单调递增， 又由可得： ，解得解得，所以实数t的取值范围是. 18．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的值，并求的解析式； （2）若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义直接可得； （2）先将不等式进行参数分离，再由基本不等式可得. (1) 小问详解： 因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意． 综上所述，的值为的解析式为. (2) 小问详解： 因存在，则， 令，则， 当且仅当时，等号成立，即取得最小值. 故，即的取值范围为. 19．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）     （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；;当时，不等式解集为.      【分析】 （1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题； （2）根据一元二次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解为. 20．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数是偶函数. （1）求的值； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数是偶函数可求出； （2）由题意可知当的对称轴在时，在区间上不单调. (1) 小问详解： 由函数是幂函数，有，解得或， ① 当时，，为偶函数，符合题意； ② 当时，，由函数的定义域为，可知函数不是偶函数，不合题意. 由上知. (2) 小问详解： 由的减区间为，增区间为， 且函数在区间上不单调，有，可得， 故实数的取值范围为. 21．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）利用幂函数的定义求得的值，再检验对应的值时的奇偶性，从而得解； （2）根据题意，利用参变分离法，结合配方法解决恒成立问题，从而得解. (1) 小问详解： 由题意，为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，舍去； 当时，，是偶函数，满足题意； 所以； (2) 小问详解： 依题意，知，在上恒成立， 则当时，，所以恒成立， 又， 所以当，即时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 22．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）①0；②      【分析】 （1）由幂函数的概念和单调性即可求解； （2）① 由内向外代入解析式求解即可；② 将问题转换成在上恒成立，分参求最值即可. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． (2) 小问详解： ①，则， 所以． ② 由① 可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． （1）写出与的函数关系式； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， (2) 小问详解： 由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 2．（25-26学年高一上·河北定州·期中）眼下正是栗子成熟热销的季节，尤其是“糖炒栗子”，更是受到广大消费者的喜爱，一家名叫“甘甜美栗”的店为促销糖炒栗子，提供了多购优惠的阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的糖炒栗子质量/kg 糖炒栗子单价/（元/kg） 不超过的部分 36 超过但不超过的部分 30 超过的部分 24 记顾客购买的糖炒栗子的质量为，消费额为元． （1）求函数的解析式； （2）一位顾客第一天购买了糖炒栗子，品尝后觉得味道很好，第二天便带着一个朋友来购买糖炒栗子，他想买，朋友想买，两人商量着一起购买，请帮他们计算一下，两人合伙购买比他们各自购买节省了多少钱． 【答案】（1）     （2）两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱.      【分析】 （1）由题意分，，和求解即可； （2）由（1）的函数解析式，代入数据即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知，当时，； 当时，； 当时，. 故 (2) 小问详解： 由（1）可知， 当两人各自购买时，消费总额为（元）， 当两人合伙购买时，消费总额为（元）， （元）， 所以两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱. 3．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足： （1）求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量. 【答案】（1）     （2）最大利润是800万元，此时月产量为50000片.      【分析】 （1）根据，分、分别求出函数解析式，即可得解； （2）当时根据二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式求出最大值，即可得解. (1) 小问详解： 当月产量为千片时，销售额为（万元）， ∴ ， 又 当时 ， 当时 ， 所以 (2) 小问详解： 当时， ， 当且仅当时取等号. 当时，， 当且仅当，即时，取等号， ∵， ∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片. 4．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中. x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 （1）根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 【答案】（1）    ；，     （2），，当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润      【分析】 （1）根据题中表格描点，可知y与x 之间的函数关系为一次函数，利用待定系数法运算求解； （2）根据题意结合（1）中的函数解析式求P 关于x 的函数解析式，并利用基本不等式求最值. (1) 小问详解： 描出实数对的对应点，如图所示：    根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得 ，解得 ， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. (2) 小问详解： 由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 5．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）某网店老板计划对甲、乙两种商品开展促销活动．据市场调查统计，当投入成本为万元时，促销甲、乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中 ，该网店计划投入20万元全部用于促销这两种商品． （1）假设该网店只对一种商品促销，求该网店能获得的收益； （2）如果该网店促销这两种商品，为使该网店能获得最大收益，应该如何分配这20万元？请求出最大收益． 【答案】（1）22万元；20万元；     （2）甲商品投入4万元，乙商品投入16万元，总收益最大值为26万元.      【分析】 （1）由题意代入求解即可； （2）设乙商品投入万元，则甲商品投入万元，分，两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入20万元，即， 若只促销甲商品，则所获得的收益为万元； 若只促销乙商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设乙商品投入万元，则甲商品投入万元，， 可知总收益， 若，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为25万元，此时甲商品投入16万元，乙商品投入4万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值为26万元，此时甲商品投入4万元，乙商品投入16万元， 因为，所以甲商品投入4万元，乙商品投入16万元，总收益最大值为26万元. 6．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛．现某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元；该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额因设备额外产生的收益－设备的成本），其中． （1）从第几年开始，该设备开始盈利； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理?并说明理由． 【答案】（1）3；     （2）两种方案盈利额相同，但方案① 使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案① 更合理.      【分析】 （1）先求出前年的盈利额y，分析和求解得解； （2）由（1）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求出两种方案对应的年份和总盈利额即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知前年的盈利额为， 令，有即， 解方程得， 所以不等式的解为， 因为，所以， 又，所以当时，， 所以从第3年开始，该设备开始盈利； (2) 小问详解： 方案① ：由（1）知年平均盈利额为， 当且仅当即时等号成立， 所以第7年平均盈利额达到最大值，再以30万元价格处理该设备，则共盈利万元； 方案② ：由（1）知第10年盈利额达到最大值为， 再以12万元价格处理该设备，则共盈利万元； 两种方案盈利相同，但方案① 使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案① 更合理. 7．（2026·河北保定·联考）如图，在一块直角梯形场地中， ，其中米米．现在直角梯形区域内规划一个矩形区域，使点F，E，G分别在线段上． （1）设米，米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； （2）求矩形面积的最大值； （3）求矩形周长的取值范围． 【答案】（1），定义域为     （2）平方米     （3）      【分析】 （1）作，垂足为，线段与交于点，求出，，利用，列式子得到，； （2）由（1）得到面积，利用二次函数性质求出在区间上的最大值即可； （3）由（1）可得周长．，利用函数单调性求出周长的取值范围为. (1) 小问详解： 作，垂足为，线段与交于点． 米，米． 因为，所以，即． 所以，定义域为． (2) 小问详解： 设矩形的面积为平方米，由（1）可得． 由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米． (3) 小问详解： 设矩形的周长为米，由（1）可得． 函数是减函数． 因为，所以，即， 所以矩形周长的取值范围为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $