专题03 直线与圆、圆与圆（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题03 直线与圆、圆与圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）直线与圆相切，则实数等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】 由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 2．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）直线l：与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 【答案】A 【分析】 利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】 圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·河北保定·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】D 【分析】 写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系. 【详解】 圆，圆的圆心分别为，则. 圆，圆的半径分别为，则，则这两个圆的位置关系是外切. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据圆心到直线的距离等于半径，结合选项逐个验证. 【详解】 因为圆的圆心为，半径为； 对于A，圆心到直线的距离，正确； 对于B，圆心到直线的距离，不正确； 对于C，圆心到直线的距离，正确； 对于D，圆心到直线的距离，正确； 故选：ACD. 5．（2026·河北衡水·三调）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（       ） A. 1 B. -1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 首先求出直线恒过定点，结合圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系求解即可. 【详解】 直线化简为，即直线恒过定点. 当时，取得最小值. ，则直线的斜率为，解得. 故选：B 6．（2026·河北衡水·三调）已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先判断点在圆的外部，然后设所求圆的半径为r，再由求解. 【详解】 因为， 所以点在圆的外部， 设以为圆心的圆的半径为：r， 则， 解得， 所以所求圆的方程为：. 故选：C 【点睛】 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．（2026·河北衡水·三调）（多选）圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（       ） A. 直线AB的方程为 B.  C. 线段AB的垂直平分线方程为 D. 点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】 A：两个圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程； B：利用几何关系即可求AB弦长； C：弦AB中垂线为； D：根据几何关系，点P到直线AB的距离的最大值P到AB距离与圆半径之和. 【详解】 ； . 对于A，由与，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离，半径为，则，故B错误； 对于C，圆的圆心为，圆的圆心的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故C正确； 对于D为圆上一动点，圆心到弦AB：的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 8．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】 即① ，② ， ① －② 化简可得直线的方程为. 故选:A. 9．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为， 故选：B. 10．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若直线与圆相离，则点（     ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】 根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】 由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）过点且与圆相切的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案. 【详解】 因为，所以点M在圆上，而， 则切线斜率为，所以切线方程为： 即 故选：A 12．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】A 【分析】 由圆心距和半径和、差的关系即可判断. 【详解】 由题意知，，两圆的半径分别为，， 所以，故两圆外离. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【分析】 通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 15．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线与圆的位置关系为（     ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 【答案】C 【分析】 由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】 由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 16．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【详解】 设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 17．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【分析】 求出两圆圆心距，与两圆半径和比较大小，可得出结论. 【详解】 由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，故两圆外切. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）（多选）直线与圆相切，则m的值是（     ） A. 6 B.  C. 4 D.  【答案】AD 【分析】 首先得到圆心坐标与半径，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即可求出参数的值. 【详解】 圆的圆心为，半径， 又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得或. 故选：AD 19．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】 由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 20．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（     ） A. 面积的最大值是 B. 面积的最小值是 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【分析】 根据题意得出，，则，然后求出到直线AB距离的最值即可判断选项AB；结合图像判断出最小和最大时的状态，即可得出答案. 【详解】 对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点， 所以，，则． 因为点在圆：上，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 则点到直线的距离的范围为， 则，所以面积的最大值是， 最小值为，A正确，B错误． 当最大或最小时，与圆相切，连接， 可知，，， 由勾股定理可得，CD均正确． 故选：ACD. 21．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）从点发出的光线射到轴上被轴反射后，照射到圆：上，则下列结论正确的是（       ） A. 若反射光光线与圆相切，则切线方程为或 B. 若反射光线穿过圆的圆心，则反射光线方程为 C. 若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是 D. 若反射光线反射后被圆遮挡，则在轴上被挡住的范围是 【答案】ABD 【分析】 首先求出点A关于x轴的对称点为A′点的坐标，再设反射光线方程为y+3=k（x+3），根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出k,即可求出切线方程，即可判断AD；再根据A′与C求出过圆心的直线方程，即可判断B，最后根据|A′C|判断C． 【详解】 点关于轴的对称点， 圆方程为， 当反射光线斜率不存在时，显然不成立， 当斜率存在时，设反射光线方程为，即． 由相切知， 解得或． 反射光线方程为或， 即或，故A正确． 又过，的直线方程为，故B正确； 因， 所以光线经过的最短路程为，故C不正确． 由于两条与圆相切的反射光线与轴的交点为和， 所以被挡住的范围是，故D正确． 故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有2条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆圆心所在直线方程为 【答案】ABD 【分析】 先把两圆化为标准方程得到圆心和半径，再分别分析圆心距、两圆位置关系、公共弦方程、圆心连线方程来判断各选项. 【详解】 将圆配方得， 得圆心，半径； 将圆配方得， 得圆心，半径. 选项A，圆心距为，A正确； 选项B，，，因， 两圆相交，公切线有2条，B正确； 选项C，两圆方程相减得，即， 并不是，C错误； 选项D，圆心连线的斜率为，方程为， 化简得，D正确. 故选：ABD 23．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）（多选）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（       ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 【答案】ABC 【分析】 由动点满足的条件列得其轨迹方程，判断A；由A知动点P的轨迹为圆，结合图象可知，当直线与曲线相切时，可分别使最小或最大，求出切线长可判断B，C；由曲线上仅有一点到直线的距离为2，得圆心到直线的距离等于，由此可求得两条满足条件的直线，判断D. 【详解】 设，由，得， 化简得，曲线，故A正确； 由曲线的方程，知曲线表示以为圆心，且半径为的圆. 当最小或最大时，如图所示，直线分别在的位置，均与曲线相切， ，故B，C正确；    圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误. 故选：ABC. 24．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 确定直线过定点，结合时，弦长最短，即可求解. 【详解】 将直线整理得， 由 得 ，则直线过定点， 由得，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆内部， 当直线被圆所截得的弦长最短时，， 此时弦长为， 故选：A． 25．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用坐标法设，由可得，根据几何意义列式求解即可. 【详解】 设，则，， 因为，所以，即， 所以点在以为圆心，2为半径的圆上，又点在直线上， 所以直线与圆有公共点，则， 解得． 故选：B． 26．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公切线的条数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 根据两个圆的位置关系直接判断可得. 【详解】 由题意得，圆的半径为，圆的半径为3，圆心. 因为，所以圆与圆外离，所以圆与圆的公切线的条数为4. 故选：A. 27．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（       ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【详解】求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断． 【详解】 直线方程整理得，由 ，解得 ，∴直线过定点，A正确； 在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确； ，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错． 故选：ABC． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短． 28．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（     ） A.  B.  C. 或 D. 不存在 【答案】B 【分析】 求出直线所过定点为，但不包括，再分析得圆心到直线的距离为1得到方程，解出即可. 【详解】 由圆的方程可知其圆心为，半径为2， l：，显然表示恒过点的直线，但不包括直线， 若圆上恰有三个点到直线的距离都为1， 则圆心到直线l的距离为1，得，解得. 直线为， 故选：B. 29．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）（多选）已知点，，满足，，，则（     ） A. 的最小值为1，最大值为3 B. △OAB的面积为 C. 线段AB中点的轨迹长度为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【分析】 将条件转化为向量的模和数量积，通过数量积的运算律和求模公式判断A；根据勾股定理判断三角形形状进而计算面积判断B；取线段的中点，计算，得出点的轨迹即可计算长度判断C；将题给条件转化为点到直线的距离的2倍，即可判断. 【详解】 由题可知，，， 由，，可知点A、点B分别在以原点为圆心，半径为1、2的圆上， 且，， 又，则， 则，故A错误； 则，则△OAB为直角三角形，其面积为，B正确；    取线段的中点， 则, 则线段AB中点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 所以轨迹长度为，故C正确； 可化为， 而为点A，B到直线的距离的和， 可转化为点到直线的距离的2倍， 又到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值为， 的最大值为，故D正确. 故选：BCD 30．（2026·河北承德第二中学·联考）（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（       ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD． 31．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）（多选）过点的直线与圆相切，切点分别为A，B，则（     ） A. 当时， B. 存在，使得 C. 直线AB经过点 D. 直线PC与直线AB的交点在定圆上 【答案】ACD 【分析】 A.利用数形结合解决；B.利用长的范围，并计算的范围，即可判断；C.求以点为圆心，为半径的圆，两圆相减，求直线的方程，即可判断；D.根据直线与的方程，判断两直线的关系，即可判断. 【详解】 圆的圆心为，半径， 对于选项A：当，点是原点，如图，    则，，则， 则，即， 所以是等边三角形，即，故A正确； 对于选项B：因为，    因为，则，可得， 则，且， 所以不存在，使得，故B错误； 对于选项C：，， 所以以点为圆心，以为半径的圆为， 与圆相减得，恒过点，故C正确；    对于选项D：直线的斜率， 则直线的方程为，即， 直线恒过点，且直线恒过点， 且满足，即两直线互相垂直， 所以两直线的交点在以，为直径的圆上，故D正确. 故选：ACD. 32．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）直线与圆的位置关系为（     ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 由圆心到直线的距离与半径的关系再结合同角三角函数关系计算即可； 【详解】 圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切， 故选：C. 33．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 34．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）（多选）圆与圆相交于、两点，则（       ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为4 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】ABD 【分析】 利用两圆的公共弦方程计算可判定A，利用弦长公式可计算判定B，利用两直线位置关系结合圆的对称性可判定C，利用圆的性质结合图象可判定D. 【详解】 对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以直线过圆心，易知为的中点， 又因 ，所以，所以垂直平分线段， ，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为 ，D对. 故选：ABD. 35．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】 由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 36．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知圆C：，直线l：，若圆C上有四个不同的点到直线l的距离为，则c的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可. 【详解】 将圆C化成标准方程为，圆心，半径. 上图所示，使圆上有4个不同的点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于， 所以圆心到直线的距离，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 37．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的切线的性质得出，结合勾股定理可得，即，然后设，将化为关于的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出的最大值，可得答案． 【详解】 解：根据题意，圆的圆心为，半径. 若与圆相切于点，则，可得， 即，设，则， 可得，整理得， 关于的一元二次方程有实数解，所以，解得. 当，时，有最大值，即的最大值是. 故选：C. 38．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【详解】 依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：，     观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故选：C. 39．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知圆，则（       ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】 利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】 对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 40．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解即可. 【详解】 由题意知，，在中，， 显然，是锐角，， 又函数在上单调递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，， 所以，. 故选：D. 41．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知圆，直线.若直线与圆相交于两点，则弦长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出直线所过的定点，利用点与圆的位置关系的判断方法可得定点在圆内，故直线与直线垂直时，弦长度最小，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】 由，得到， 由 ，得到，所以直线过定点， 又圆，即，得到圆的圆心为，半径为， 又，所以定点在圆内， 故当直线与直线垂直时，弦长度最小， 又，所以弦长度的最小值为， 故选：B. 42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则 最小值为3 【答案】CD 【分析】 根据直线的两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C、D的正误，求出结果即可. 【详解】 对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当经过点和时，直线方程为，在轴和轴上截距都为0，所以B错误； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且，所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，圆的标准方程为，则圆心，半径， 圆的标准方程为，则圆心，半径， ，则圆外离，则两圆上点的最小距离，所以D正确； 故选：CD. 43．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）（多选）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（     ） A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 【答案】AB 【分析】 对于A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于B，先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断；对于C，通过计算的斜率，利用，可判断不重合，排除该项；对于D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除D项. 【详解】 对于A，因抛物线的准线，则，解得，故． 设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确； 对于B，设点，则， 因，则四边形AMPN的面积为， 可得，故B正确； 对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为， 两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误； 对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取， 则，由已知，且，可得O，M，P三点共线， 由，可得， 此时PM斜率为，而AM的斜率为， 此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误． 故选：AB． 44．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C. [-(√41+3)/(2),-3]∪ [0,(√41-3)/(2)] D.  【答案】B 【分析】 设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】 设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即 ， 又，，所以的解集为， 由， 所以， 故选：B. 45．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（       ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【分析】 分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】 曲线, 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD 46．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【分析】 根据圆的方程确定圆心和半径，进而得圆心距，再结合各项给定的半径，分析判断正误. 【详解】 由可知圆心为，半径为2， 由可知圆心为，半径为， 两圆圆心距为， A：当时，，圆与圆外离，有4条公切线，错误； B：当时，与圆相切，又圆心到的距离为2， 即与圆也相切，所以是圆与圆的一条公切线，正确；    C：当时，，圆与圆外离，错误；    D：当时，，此时两圆相交，    圆的一般方程为，与圆的方程相减， 得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，正确． 故选：BD 47．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知点P的坐标满足 ，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出点的轨迹方程和的范围，然后结合图象分析反射光线所在直线斜率的最小值和最大值，从而得出结果. 【详解】 因为点P的坐标满足 ，得 ， 又，所以，，则，， 又，得，，， 如图所示，光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点， 相当于点P关于x轴的对称点P′发出的光线与圆C有公共点， 则可求过点与圆C相切的直线斜率为，，则反射光线所在直线斜率的最小值为. 再求圆：与圆C的内公切线斜率， 因为圆与圆C的半径相同，故内公切线必过线段的中点， 可设内公切线斜率为k，则内公切线为，即 得，解得，故反射光线所在直线斜率的最大值为. 故选：A. 48．（2026·河北承德第二中学·联考）已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】 由题意可设，则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设，则， 化简可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故选：A 49．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）圆与圆的公切线共有　　　　　　　　　　条 【答案】4 【分析】 由两圆的位置关系，判断两圆的公切线. 【详解】 由， 所以该圆的圆心坐标为，半径为2， ， 所以该圆的圆心坐标为，半径为1， 所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3， 因为，所以两圆的位置关系是外离， 故两圆的公切线共有4条. 故答案为：4. 50．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）圆上的点到直线的距离最大值为　　　　　. 【答案】4 【分析】 首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】 因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 51．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线：被圆：截得的弦AB的长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦的弦心距即可求解. 【详解】 由圆：，可得圆心，半径， 于是圆心到直线的距离， 从而得，所以弦的长为. 故答案为：. 52．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. (1) 小问详解： 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 53．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. (1) 小问详解： 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 54．（2026·河北衡水·三调）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, (1) 小问详解： 经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由 ，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； (2) 小问详解： ∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 55．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】 已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 56．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． (1) 小问详解： 由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． (2) 小问详解： 由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 57．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为　　　　　 【答案】 【分析】 先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为： 58．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】 如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 59．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是　　　　　． 【答案】8 【详解】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离． 【详解】解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18， ∴圆心A坐标为（2，2），半径， 由几何知识知过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小， ∴最大距离， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题． 60．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆. （1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线l的方程 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）设，根据圆与轴相切，与圆外切可得关于，从而可求，进而得到所求的圆的方程． （2）利用点到直线的距离为半径可求切线的方程，注意斜率不存在的情形． 【详解】 圆的标准方程为，所以圆心，半径为. （1）由圆心在直线上，可设， 与轴相切，与圆外切，且圆的半径为， 从而，解得. 因此，圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，切线的方程为，满足条件； 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得，解得， 故直线方程为， 综上，切线的方程为或． 61．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知圆C的圆心为点，且该圆经过原点．求： （1）圆C的方程． （2）过点与圆C相切的直线方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由圆经过原点求得半径，即可得到圆的方程. （2）讨论斜率是否存在，利用圆心到直线距离等于半径判断求解. (1) 小问详解： 因为圆心，经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离， 即此时直线与圆相切； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 由，解得， 此时直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 62．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知圆：和圆：内切，则　　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据两圆内切可得方程，求解即可. 【详解】 圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径， 因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）． 故答案为： 63．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于A、两点，求. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）设切线方程为，根据圆心到直线距离等于半径即可求解； （2）利用两圆方程消去求得公共弦所在直线方程，再由弦长公式可解. (1) 小问详解： 圆方程可化为， 则圆心，半径为2， 由，可知点在圆外， 由图可知，过点的直线斜率存在， 设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得或， 的方程为或. (2) 小问详解： 由 消去， 整理得直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. 64．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l经过点且与圆C相切，求直线l的方程； （3）若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值. 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）设，根据列式求出，进而求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合直线和圆相切列式求解； （3）由题可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列式求解. (1) 小问详解： 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3， 所以直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由（1）知，圆的圆心为，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 解得或，所以实数的值为或. 65．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离： ；若内含： ， 综上：. 故答案为：. 66．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知圆与圆． （1）若圆与圆D相交，求的取值范围． （2）若，求圆与圆所得的公共弦长； 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据两圆的位置关系，转化为公式，即可求解； （2）首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为3，则， 由圆与圆D相交得，，解得 所以的取值范围是； (2) 小问详解： 当时，圆， 圆C与圆D的方程相减整理得， 所以圆C与圆D的公共弦所在直线方程为， 点到直线距离为， 所以公共弦长为； 67．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】 因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 68．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）当直线被圆所截得的弦长最短时，实数　　　　　． 【答案】0 【分析】 确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解. 【详解】 直线的方程变形为， 则由 得 ， 所以直线过定点． 圆，因为， 所以点在圆内． 设直线与圆交于，两点， 则当时，取最小值， 由，得， 解得． 故答案为：0． 69．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知长为4的线段的两个端点和分别在直线和上滑动．设线段的中点的轨迹为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相交于，两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求的方程． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）利用直接法求轨迹方程即可； （2）利用勾股定理可得圆心到直线的距离为，分直线的斜率是否存在来讨论，利用点到直线的距离公式列式求解即可. (1) 小问详解： 设直线和的交点为，则， ．因为为线段的中点，则， 设，则，化简可得， 则圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心，半径为2， （为圆的圆心）为直角三角形，可得且， 所以可得圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆心，显然不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以，解得， 所以的方程为或. 70．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，动点满足：，其中为坐标原点，点坐标为，直线，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）证明：直线与曲线相交； （3）求直线被曲线截得的弦长的最小值． 【答案】（1）     （2） 证明：，， ， ，直线过定点. 圆的标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为， ，点在圆内 直线与圆相交，证毕.     （3）      【分析】 （1）利用两点间距离公式求出和，由建立的等式即为所求； （2）证明：求出直线过的定点，求出定点到圆心的距离与半径的大小关系得到结论； （3）由题意得到直线垂直于，即点为弦中点时，直线被圆截得的弦长最短，利用勾股定理求解即可. (1) 小问详解： ， 为坐标原点，点坐标为， ，， ，， ，曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当直线垂直于，即点为弦中点时， 直线被圆截得的弦长最短，此时弦长为. 71．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（1）求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程； （2）已知圆，直线l过点，当直线l与圆C相切时，求直线l的方程. 【答案】（1），；（2）或. 【分析】 （1）根据直线平行设该直线为，根据平行线间的距离公式可得的值，从而得直线方程； （2）讨论直线斜率不存在时、斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径即可得直线方程. 【详解】 （1）因为所求直线平行于直线，所以可设该直线为， 又因为所求直线与直线的距离为，所以， 可得，解得，， 所以平行于直线，且与它的距离为的直线的方程为：，. （2）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离为，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 72．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，已知某隧道的截面是一圆拱形，隧道内的路面宽为，隧道的高为.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.（参考数据：） 【答案】不能，理由如下： 如图，以水平直线为轴，隧道的高所在直线为轴，建立平面直角坐标系.    设截面圆拱形所在圆圆心为，由题意知，， 由，得，解得， 所以半径， 所以圆的方程为， 因为车辆只能在道路中心线一侧行驶， 所以当时，. 所以一辆宽为，高为的货车不能驶入这个隧道. 【分析】 建立平面直角坐标系，求解圆拱形所在的圆的方程，进而判断. 【详解】 略 73．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为　　　　　　，直线过定点　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】 如图：    因为， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令 ，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 74．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. (1) 小问详解： 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 75．（2026·河北承德第二中学·联考）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】 易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 76．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先找出直线过定点，然后画出曲线图形，根据直线和曲线位置关系得出结论. 【详解】 直线可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）， 其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分， 当l与该曲线相切时，圆心到直线l的距离， 解得， 设，则， 所以如图所示：    由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点， 则. 故答案为：. 77．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于两点，求的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案. （2）根据（1）可得圆心为，半径为2，可得圆心C到直线距离d的表达式，代入弦长公式，根据k的范围，即可求得答案. (1) 小问详解： 设，因为，所以， 则，即. 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线为一个圆，且圆心为，半径为2，        因为圆心到直线的距离，        所以， 又，所以，        所以当时，取得最大值，且最大值为. 78．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则　　　　　． 【答案】 【分析】 利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，分别求出，从而得到. 【详解】 设，则. 所以 ，即 ， 因为是圆上的动点，所以. 所以轨迹C的方程为. 所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为， 化简得. 由题意知 ，解得 . 则. 故答案为:. 79．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）与轴的交点为，与轴的交点为     （2）     （3）      【分析】 （1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. (1) 小问详解： 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； (2) 小问详解： 当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； (3) 小问详解： 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为. 80．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. （1）求点的轨迹方程. （2）若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 【答案】（1）     （2）（i）； （ii）设，，， 则，， 联立 ，则， 则，即，故， 联立 ，则， 则，即，故， 即，， 由图形的对称性可知，直线的定点在轴上， 记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时， 即，得，即，此时直线过点； 当直线斜率存在时，即时，有， 即，化简得， 又，故，即，故此时直线过点； 综上所述直线过定点. 【分析】 （1）设出点，结合斜率乘积计算即可得； （2）（i）结合圆的切线的性质可得取最小值时有最大值，计算即可得；（ii）设出点坐标后表示出直线、，即可通过计算表示出、坐标，结合圆的对称性分直线斜率存在与斜率不存在计算即可得. (1) 小问详解： 设点，则有. 化简得； (2) 小问详解： （i）记为，则，因为为锐角，即求最大值， 即求最大值，又，故只需取最小值即可， 则当时，最小，此时取，则， 所以的最大值为； （ii）略 81．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得；    综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 82．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知点是曲线上的动点，则的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围. 【详解】 曲线可化为， 可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆， 又由， 可得表示点与点两点间的直线的斜率， 当直线与曲线相切时，设直线的方程为， 有，解得（舍去）或， 设曲线与直线的一个交点为， 因为点和点两点间的直线的斜率为， 所以，由图形可知的取值范围为， 可得的取值范围为. 故答案为：. 83．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. （1）求圆的标准方程； （2）求圆和圆的公切线的方程； （3）过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【答案】（1）     （2）或或或     （3） 设过点的直线的方程为，整理为，        点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得.        又由，， 所以. 【分析】 （1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. (1) 小问详解： 由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，        又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.        可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. (3) 小问详解： 略 84．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】 曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 85．（2026·河北承德第二中学·联考）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）     （2）或     （3）过定点，      【分析】 （1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 由已知可得： ，解得：，，， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由 消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 86．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）如图，点是椭圆C：（）的一个顶点，C的长轴是圆的直径．，是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k（k不为0）的直线交圆于A，B两点，交椭圆C于另一点D．    （1）求椭圆C的方程； （2）求△ABD面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用已知条件求出，从而求出椭圆方程； （2）利用已知条件得出的方程，联立和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，利用两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出原点到的距离，利用勾股定理求出，根据三角形面积公式求出面积表达式，最后利用基本不等式求出面积的最大值． (1) 小问详解： 是以原点为圆心，半径为2的圆， 圆的直径为4，故，则， 又椭圆C的一个顶点为，， 椭圆C的方程为：． (2) 小问详解：    过点，，的斜率为， 的斜率为， ：，：， 联立直线与椭圆得， ，，， ， 圆心到的距离， 由勾股定理得， ， ， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 当时，即时面积最大，最大值为． 87．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 88．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据题意，求出圆方程，设直线：，求出圆心到直线的距离，结合，求解即可. （2）由题，求出到的距离，利用，求解. (1) 小问详解： 设圆：，，根据题意可得 ，解得，， 所以圆的标准方程为，可知直线：， 圆心到的距离，因为，所以， 即，解得或，所以直线的方程为或. (2) 小问详解： 若存在圆与圆外切，连接，即存在点使得,因为到的距离， 所以，所以，即，所以或， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．AC 2．A 3．D 4．ACD 5．B 6．C 7．ACD 8．A 9．B 10．B 11．A 12．A 13．C 14．ABD 15．C 16．D 17．C 18．AD 19．B 20．ACD 21．ABD 22．ABD 23．ABC 24．A 25．B 26．A 27．ABC 28．B 29．BCD 30．ACD 31．ACD 32．C 33．BCD 34．ABD 35．A 36．D 37．C 38．C 39．BCD 40．D 41．B 42．CD 43．AB 44．B 45．ABD 46．BD 47．A 48．A 49．【答案】4 【分析】 由两圆的位置关系，判断两圆的公切线. 【详解】 由， 所以该圆的圆心坐标为，半径为2， ， 所以该圆的圆心坐标为，半径为1， 所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3， 因为，所以两圆的位置关系是外离， 故两圆的公切线共有4条. 故答案为：4. 50．【答案】4 【分析】 首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】 因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 51．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦的弦心距即可求解. 【详解】 由圆：，可得圆心，半径， 于是圆心到直线的距离， 从而得，所以弦的长为. 故答案为：. 52．【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. (1) 小问详解： 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 53．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. (1) 小问详解： 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 54．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, (1) 小问详解： 经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由 ，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； (2) 小问详解： ∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 55．【答案】 【分析】 将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】 已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 56．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． (1) 小问详解： 由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． (2) 小问详解： 由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 57．【答案】 【分析】 先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为： 58．【答案】 【分析】 通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】 如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 59．【答案】8 【详解】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离． 【详解】解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18， ∴圆心A坐标为（2，2），半径， 由几何知识知过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小， ∴最大距离， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题． 60．【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）设，根据圆与轴相切，与圆外切可得关于，从而可求，进而得到所求的圆的方程． （2）利用点到直线的距离为半径可求切线的方程，注意斜率不存在的情形． 【详解】 圆的标准方程为，所以圆心，半径为. （1）由圆心在直线上，可设， 与轴相切，与圆外切，且圆的半径为， 从而，解得. 因此，圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，切线的方程为，满足条件； 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得，解得， 故直线方程为， 综上，切线的方程为或． 61．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由圆经过原点求得半径，即可得到圆的方程. （2）讨论斜率是否存在，利用圆心到直线距离等于半径判断求解. (1) 小问详解： 因为圆心，经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离， 即此时直线与圆相切； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 由，解得， 此时直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 62．【答案】8 【分析】 根据两圆内切可得方程，求解即可. 【详解】 圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径， 因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）． 故答案为： 63．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）设切线方程为，根据圆心到直线距离等于半径即可求解； （2）利用两圆方程消去求得公共弦所在直线方程，再由弦长公式可解. (1) 小问详解： 圆方程可化为， 则圆心，半径为2， 由，可知点在圆外， 由图可知，过点的直线斜率存在， 设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得或， 的方程为或. (2) 小问详解： 由 消去， 整理得直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. 64．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）设，根据列式求出，进而求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合直线和圆相切列式求解； （3）由题可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列式求解. (1) 小问详解： 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3， 所以直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由（1）知，圆的圆心为，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 解得或，所以实数的值为或. 65．【答案】 【分析】 根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离： ；若内含： ， 综上：. 故答案为：. 66．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据两圆的位置关系，转化为公式，即可求解； （2）首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为3，则， 由圆与圆D相交得，，解得 所以的取值范围是； (2) 小问详解： 当时，圆， 圆C与圆D的方程相减整理得， 所以圆C与圆D的公共弦所在直线方程为， 点到直线距离为， 所以公共弦长为； 67．【答案】 【分析】 先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】 因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 68．【答案】0 【分析】 确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解. 【详解】 直线的方程变形为， 则由 得 ， 所以直线过定点． 圆，因为， 所以点在圆内． 设直线与圆交于，两点， 则当时，取最小值， 由，得， 解得． 故答案为：0． 69．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）利用直接法求轨迹方程即可； （2）利用勾股定理可得圆心到直线的距离为，分直线的斜率是否存在来讨论，利用点到直线的距离公式列式求解即可. (1) 小问详解： 设直线和的交点为，则， ．因为为线段的中点，则， 设，则，化简可得， 则圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心，半径为2， （为圆的圆心）为直角三角形，可得且， 所以可得圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆心，显然不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以，解得， 所以的方程为或. 70．【答案】（1）     （2） 证明：，， ， ，直线过定点. 圆的标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为， ，点在圆内 直线与圆相交，证毕.     （3）      【分析】 （1）利用两点间距离公式求出和，由建立的等式即为所求； （2）证明：求出直线过的定点，求出定点到圆心的距离与半径的大小关系得到结论； （3）由题意得到直线垂直于，即点为弦中点时，直线被圆截得的弦长最短，利用勾股定理求解即可. (1) 小问详解： ， 为坐标原点，点坐标为， ，， ，， ，曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当直线垂直于，即点为弦中点时， 直线被圆截得的弦长最短，此时弦长为. 71．【答案】（1），；（2）或. 【分析】 （1）根据直线平行设该直线为，根据平行线间的距离公式可得的值，从而得直线方程； （2）讨论直线斜率不存在时、斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径即可得直线方程. 【详解】 （1）因为所求直线平行于直线，所以可设该直线为， 又因为所求直线与直线的距离为，所以， 可得，解得，， 所以平行于直线，且与它的距离为的直线的方程为：，. （2）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离为，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 72．【答案】不能，理由如下： 如图，以水平直线为轴，隧道的高所在直线为轴，建立平面直角坐标系.    设截面圆拱形所在圆圆心为，由题意知，， 由，得，解得， 所以半径， 所以圆的方程为， 因为车辆只能在道路中心线一侧行驶， 所以当时，. 所以一辆宽为，高为的货车不能驶入这个隧道. 【分析】 建立平面直角坐标系，求解圆拱形所在的圆的方程，进而判断. 【详解】 略 73．【答案】①     ② 【分析】 将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】 如图：    因为， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令 ，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 74．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. (1) 小问详解： 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 75．【答案】或 【分析】 直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】 易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 76．【答案】 【分析】 先找出直线过定点，然后画出曲线图形，根据直线和曲线位置关系得出结论. 【详解】 直线可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）， 其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分， 当l与该曲线相切时，圆心到直线l的距离， 解得， 设，则， 所以如图所示：    由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点， 则. 故答案为：. 77．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案. （2）根据（1）可得圆心为，半径为2，可得圆心C到直线距离d的表达式，代入弦长公式，根据k的范围，即可求得答案. (1) 小问详解： 设，因为，所以， 则，即. 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线为一个圆，且圆心为，半径为2，        因为圆心到直线的距离，        所以， 又，所以，        所以当时，取得最大值，且最大值为. 78．【答案】 【分析】 利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，分别求出，从而得到. 【详解】 设，则. 所以 ，即 ， 因为是圆上的动点，所以. 所以轨迹C的方程为. 所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为， 化简得. 由题意知 ，解得 . 则. 故答案为:. 79．【答案】（1）与轴的交点为，与轴的交点为     （2）     （3）      【分析】 （1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. (1) 小问详解： 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； (2) 小问详解： 当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； (3) 小问详解： 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为. 80．【答案】（1）     （2）（i）； （ii）设，，， 则，， 联立 ，则， 则，即，故， 联立 ，则， 则，即，故， 即，， 由图形的对称性可知，直线的定点在轴上， 记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时， 即，得，即，此时直线过点； 当直线斜率存在时，即时，有， 即，化简得， 又，故，即，故此时直线过点； 综上所述直线过定点. 【分析】 （1）设出点，结合斜率乘积计算即可得； （2）（i）结合圆的切线的性质可得取最小值时有最大值，计算即可得；（ii）设出点坐标后表示出直线、，即可通过计算表示出、坐标，结合圆的对称性分直线斜率存在与斜率不存在计算即可得. (1) 小问详解： 设点，则有. 化简得； (2) 小问详解： （i）记为，则，因为为锐角，即求最大值， 即求最大值，又，故只需取最小值即可， 则当时，最小，此时取，则， 所以的最大值为； （ii）略 81．【答案】 【分析】 首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得；    综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 82．【答案】 【分析】 由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围. 【详解】 曲线可化为， 可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆， 又由， 可得表示点与点两点间的直线的斜率， 当直线与曲线相切时，设直线的方程为， 有，解得（舍去）或， 设曲线与直线的一个交点为， 因为点和点两点间的直线的斜率为， 所以，由图形可知的取值范围为， 可得的取值范围为. 故答案为：. 83．【答案】（1）     （2）或或或     （3） 设过点的直线的方程为，整理为，        点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得.        又由，， 所以. 【分析】 （1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. (1) 小问详解： 由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，        又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.        可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. (3) 小问详解： 略 84．【答案】 【分析】 根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】 曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 85．【答案】（1）     （2）或     （3）过定点，      【分析】 （1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 由已知可得： ，解得：，，， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由 消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 86．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用已知条件求出，从而求出椭圆方程； （2）利用已知条件得出的方程，联立和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，利用两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出原点到的距离，利用勾股定理求出，根据三角形面积公式求出面积表达式，最后利用基本不等式求出面积的最大值． (1) 小问详解： 是以原点为圆心，半径为2的圆， 圆的直径为4，故，则， 又椭圆C的一个顶点为，， 椭圆C的方程为：． (2) 小问详解：    过点，，的斜率为， 的斜率为， ：，：， 联立直线与椭圆得， ，，， ， 圆心到的距离， 由勾股定理得， ， ， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 当时，即时面积最大，最大值为． 87．【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 88．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据题意，求出圆方程，设直线：，求出圆心到直线的距离，结合，求解即可. （2）由题，求出到的距离，利用，求解. (1) 小问详解： 设圆：，，根据题意可得 ，解得，， 所以圆的标准方程为，可知直线：， 圆心到的距离，因为，所以， 即，解得或，所以直线的方程为或. (2) 小问详解： 若存在圆与圆外切，连接，即存在点使得,因为到的距离， 所以，所以，即，所以或， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）直线与圆相切，则实数等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）直线l：与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 3．（25-26学年高二上·河北保定·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 4．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·河北衡水·三调）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（       ） A. 1 B. -1 C.  D. 2 6．（2026·河北衡水·三调）已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·河北衡水·三调）（多选）圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（       ） A. 直线AB的方程为 B.  C. 线段AB的垂直平分线方程为 D. 点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 8．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若直线与圆相离，则点（     ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 11．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）过点且与圆相切的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 13．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 15．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线与圆的位置关系为（     ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 16．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 18．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）（多选）直线与圆相切，则m的值是（     ） A. 6 B.  C. 4 D.  19．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（     ） A. 面积的最大值是 B. 面积的最小值是 C. 当最小时， D. 当最大时， 21．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）从点发出的光线射到轴上被轴反射后，照射到圆：上，则下列结论正确的是（       ） A. 若反射光光线与圆相切，则切线方程为或 B. 若反射光线穿过圆的圆心，则反射光线方程为 C. 若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是 D. 若反射光线反射后被圆遮挡，则在轴上被挡住的范围是 22．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有2条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆圆心所在直线方程为 23．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）（多选）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（       ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 24．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公切线的条数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 27．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（       ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 28．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（     ） A.  B.  C. 或 D. 不存在 29．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）（多选）已知点，，满足，，，则（     ） A. 的最小值为1，最大值为3 B. △OAB的面积为 C. 线段AB中点的轨迹长度为 D. 的最大值为 30．（2026·河北承德第二中学·联考）（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（       ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 31．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）（多选）过点的直线与圆相切，切点分别为A，B，则（     ） A. 当时， B. 存在，使得 C. 直线AB经过点 D. 直线PC与直线AB的交点在定圆上 32．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）直线与圆的位置关系为（     ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 33．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）（多选）圆与圆相交于、两点，则（       ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为4 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 35．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知圆C：，直线l：，若圆C上有四个不同的点到直线l的距离为，则c的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 39．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知圆，则（       ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 40．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（       ） A. 2 B.  C.  D.  41．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知圆，直线.若直线与圆相交于两点，则弦长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则 最小值为3 43．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）（多选）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（     ） A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 44．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C. [-(√41+3)/(2),-3]∪ [0,(√41-3)/(2)] D.  45．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（       ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 46．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 47．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知点P的坐标满足 ，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  48．（2026·河北承德第二中学·联考）已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）圆与圆的公切线共有　　　　　　　　　　条 50．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）圆上的点到直线的距离最大值为　　　　　. 51．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线：被圆：截得的弦AB的长为　　　　　　. 52．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 53．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 54．（2026·河北衡水·三调）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 55．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为　　　　　　　　． 56．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 57．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为　　　　　 58．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是　　　　　　　　　． 59．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是　　　　　． 60．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆. （1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线l的方程 61．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知圆C的圆心为点，且该圆经过原点．求： （1）圆C的方程． （2）过点与圆C相切的直线方程． 62．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知圆：和圆：内切，则　　　　　　． 63．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于A、两点，求. 64．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l经过点且与圆C相切，求直线l的方程； （3）若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值. 65．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是　　　　　　. 66．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知圆与圆． （1）若圆与圆D相交，求的取值范围． （2）若，求圆与圆所得的公共弦长； 67．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为　　　　　　　　　　. 68．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）当直线被圆所截得的弦长最短时，实数　　　　　． 69．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知长为4的线段的两个端点和分别在直线和上滑动．设线段的中点的轨迹为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相交于，两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求的方程． 70．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，动点满足：，其中为坐标原点，点坐标为，直线，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）证明：直线与曲线相交； （3）求直线被曲线截得的弦长的最小值． 71．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（1）求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程； （2）已知圆，直线l过点，当直线l与圆C相切时，求直线l的方程. 72．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，已知某隧道的截面是一圆拱形，隧道内的路面宽为，隧道的高为.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.（参考数据：） 73．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为　　　　　　，直线过定点　　　　　　. 74．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 75．（2026·河北承德第二中学·联考）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 76．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　. 77．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于两点，求的最大值. 78．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则　　　　　． 79．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 80．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. （1）求点的轨迹方程. （2）若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 81．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　　　　　． 82．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知点是曲线上的动点，则的取值范围为　　　　　. 83．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. （1）求圆的标准方程； （2）求圆和圆的公切线的方程； （3）过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 84．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为　　　　　　. 85．（2026·河北承德第二中学·联考）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 86．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）如图，点是椭圆C：（）的一个顶点，C的长轴是圆的直径．，是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k（k不为0）的直线交圆于A，B两点，交椭圆C于另一点D．    （1）求椭圆C的方程； （2）求△ABD面积的最大值． 87．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 88．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $