专题05 函数的基本性质（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题05 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．ACD 2．C 3．C 4．C 5．AB 6．D 7．C 8．A 9．C 10．D 11．A 12．C 13．C 14．B 15．D 16．B 17．A 18．C 19．A 20．A 21．A 22．AD 23．C 24．C 25．AC 26．D 27．ABD 28．C 29．C 30．A 31．D 32．B 33．ABD 34．ABD 35．C 36．D 37．A 38．D 39．A 40．C 41．C 42．C 43．BCD 44．C 45．C 46．C 47．D 48．C 49．ABD 50．D 51．C 52．ACD 53．BCD 54．C 55．D 56．ABD 57．ABD 58．ABD 59．BCD 60．【答案】 【分析】 由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得. 【详解】 因，函数的对称轴为直线， 而由可知其对称轴为直线，故，解得. 故答案为：. 61．【答案】－5 【分析】 根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意知，， 所以. 故答案为： 62．【答案】 【分析】 代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】 因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 63．【答案】 【分析】 根据解析式得出即可求解． 【详解】 ， 则 则有， 若，则． 故答案为：． 64．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解； （2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解. (1) 小问详解： 设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，. (2) 小问详解： 作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知 ，所以， 所以的取值范围是. 65．【答案】（1）     （2）证明：任取， 由于，所以， 所以函数在区间上单调递减.     （3）      【分析】 （1）设出的解析式，根据图象所过点求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义来证得结论成立. （3）根据函数的奇偶性、单调性化简所求不等式，进而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 设，将代入上式得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的定义域为， 所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减. 由 得 ， ，所以不等式 的解集为. 66．【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性分别求出和时的解析式即可. 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 则， 所以， 所以 ， 故答案为： . 67．【答案】 【分析】 先判断出在单调递增，利用单调性解不等式. 【详解】 函数为奇函数，又在上单调递增， 在单调递增， 从而可化为：， ，原不等式的解集为. 故答案为：. 68．【答案】（1）     （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有 ，解得， 所以原不等式的解集为． 69．【答案】（1）；     （2） ；     （3） 函数在上单调递增． 证明如下：任取，且， 则 ． 由，得，又因为，，所以， 所以，即． 所以函数在上单调递增． 又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．      【分析】 （1）根据得到方程，求出； （2）时，，根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，得到答案； （3）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，先得到函数在上的单调性，从而得到函数在R上的单调性．. (1) 小问详解： 函数是定义在上的奇函数，则，解得， 经检验，满足要求． (2) 小问详解： 由（1）得，时，， 当时，则，， 又是奇函数，则， 故，故； 则 (3) 小问详解： 略 70．【答案】 【分析】 先求出函数定义域得到函数图像对称中心横坐标为0，再计算求解出（，，且）即可分析计算求解. 【详解】 对于，有，解得，所以的定义域为， 设函数的图象的对称中心为，则， 因为对于，，且时， 有， 所以．所以函数的图象关于点对称， 所以， 故. 故答案为： 71．【答案】 【分析】 利用奇函数的定义求解. 【详解】 的定义域为，又函数是奇函数， 的定义域关于原点对称，， ，，， 是奇函数，故. 故答案为：. 72．【答案】 【分析】 首先求出的解析式，再画出的图象，数形结合即可得解. 【详解】 令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 又， 所以 ， 则的图象如下所示：    由图可知当时取得最大值，即. 故答案为： 73．【答案】 【分析】 分析可知在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解即可. 【详解】 由题意可知：在上单调递增， 则 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 74．【答案】（1） ；     （2）① ；②；     （3） .      【分析】 （1）利用奇函数的定义求出解析式. （2）① 利用二次函数及奇函数性质作出图象；② 结合图象求出范围. （3）按二次函数的对称轴与区间的位置关系分类，结合单调性求出最小值. (1) 小问详解： 函数是上的奇函数，当时，， 则当时，，，而， 所以函数的解析式是 . (2) 小问详解： ① 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数在时的图象，再将所作图象关于原点对称，并作点即得函数的图象，如图， ② 由在上的值域为，得， 当或时，；当时，，观察图象得， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，； 当时，函数在上单调递增， 当时，； 当时，，， 所以 . 75．【答案】（1）的图象是中心对称图形，函数的图象关于点中心对称.     （2）     （3）①， 因为， 所以， 所以函数的图象关于直线对称. ② 当时，方程有个根；当时，方程有个根.      【分析】 （1）计算出的结果，即可判断出对称性； （2）根据对称性计算出的值，由此结果可求； （3）解法一：将问题转化为“讨论与的图象交点个数”，结合图象求解出；解法二：根据绝对值的取值特点以及的正负进行分类讨论，由此可分析出结果. (1) 小问详解： 的图象是中心对称图形. 因为， 所以函数的图象关于点中心对称. (2) 小问详解： 由（1）得， 所以. (3) 小问详解： ① 略 ② 解法一：由得， 令，则函数的图象是由幂函数的图象向右平移个单位长度， 再将轴下方的部分沿轴翻折形成的，如图， 由图得，当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根； 当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 解法二：由得（*）， 当时，恒成立，此时方程无解， 当时，时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解； 时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 76．【答案】（1） 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数．     （2） 由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减．     （3）      【分析】 （1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 77．【答案】（1）偶函数     （2）      【分析】 （1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）设，则且，把函数转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 由函数有意义，需使，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 又由恒成立， 即，所以函数为定义域上的偶函数． (2) 小问详解： 设，则且， 则， 该抛物线的开口向下且对称轴为直线，所以在区间上单调递增， 又由，所以，即， 所以函数的值域为． 78．【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为     （2）（i）（0，1）；（ii）2      【分析】 （1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解； （2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：当时，，即， 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以 ， 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. (2) 小问详解： 解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足 ，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）可知， 令，所以， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 79．【答案】（1） ，证明如下： 令， 因为，所以，即； 因为，所以，即； 所以 所以，即， 所以函数在区间上单调递增；     （2）      【分析】 （1）借助函数的奇偶性即可求解的解析式，根据定义即可证明单调性. （2）根据偶函数的对称性，判断出在上单调递减，又，所以将转化为恒成立问题，平方后参变量分离求最值即可得解. (1) 小问详解： 令，则，因为当时， 所以，因为是定义在上的偶函数， 所以， 综上， ； (2) 小问详解： 由（1）知，函数在区间上单调递增，为偶函数， 所以在区间上单调递减， 若恒成立，则，即恒成立， 等价于，因为， 所以， 所以. 80．【答案】（1） ；     （2） 设， ， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）取值、作差再因式分解，最后判断符号即可； （3）先求出时的范围，再根据其为奇函数即可求出其在上的值域. (1) 小问详解： 令，则，， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对于，可得，所以，所以， 因为函数是奇函数，所以，， 又， 因此，在上的值域是 . 81．【答案】（1） 函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数．     （2） 函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 82．【答案】 【分析】 根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】 因为函数在上单调递增， 所以 或 ， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 83．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. (1) 小问详解： 由题意知，是定义在上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在上的解析式为 (2) 小问详解： 作出函数 的图象，如图所示： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即， 所以实数的取值范围是. 84．【答案】（1）， 证明：令，则， 当时，，所以，可得，解得.     （2） 法一：由（1）知， ，且，令， 则，则， 因为，所以， 所以在上是增函数. 法二：，且， 所以， 由，得，则，又， 所以，即， 所以在上是增函数.     （3）      【分析】 （1）首先通过已知条件令即可求得的值；再令，可得，然后通过当时，，即可证明结论. （2）法一：应用作商法，结合函数单调性定义判断证明；法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. （3）首先根据已知，通过赋值法求解得：及，然后利用函数的单调性求解函数的值域即可. (1) 小问详解： 令，则， 又，故. 证明略. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，得， 由（1）可得， 因为在上是增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上可得：在上的值域为. 85．【答案】（1）；     （2） ，单调递减区间为：，；     （3） 当时，的值域为； 当时，的值域为； 当时，的值域为．      【分析】 （1）由奇函数的定义求出解析式； （2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间； （3）利用图象，分类讨论，求解值域即可． (1) 小问详解： 依题意，设，则， 于是， 因为为上的奇函数，因此， 所以当时，的解析式； (2) 小问详解： 由已知及（1）得函数的图象如下： 观察图象，得函数的单调递减区间为：，； (3) 小问详解： 由（1）可知， ， 显然当时，， 当时，令得，， 解得或（舍去）， 当时，在上单调递减， 所以，， 所以的值域为； 当时，由于， 所以，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为， 综上所述，当时，的值域为； 当时，的值域为； 当时，的值域为． 86．【答案】 【分析】 利用给定的分段函数单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解. 【详解】 由函数 在上单调递增，得 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 87．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围. (1) 小问详解： 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足 ，解得 ，即， 故实数a的取值范围为. 88．【答案】（1） 函数是偶函数. 函数定义域为R，， 所以函数是偶函数.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用函数奇偶性定义直接判断. （2）利用配方法求出指定区间上的值域. （3）等价变形给定不等式并分离参数，再利用基本不等式求出最小值即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数，由，得， 则当，即时，，当时，， 所以函数在区间上的值域为. (3) 小问详解： 当时，恒成立， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 89．【答案】 【分析】 若去掉绝对值可得，可知的最大值为，，，中之一，将四个不等式相加使用绝对值三角不等式可得结果. 【详解】 去绝对值，则，根据二次函数的性质 所以在的最大值为，，，中之一， 所以可得， ， ， ， 上面四个式子相加可得 即有， 可得的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查分析能力，属中档题. 90．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. (2) 小问详解： 因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 91．【答案】 【分析】 根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】 由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时， ，解得． 当时，在上恒成立． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 92．【答案】（1） ；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）先利用是定义在上的奇函数求出，设，，利用当时，求出，利用是定义在上的奇函数，将转化为，从而得到的的表达式，再将写出分段函数即可得解； （2）利用偶函数的定义求出是偶函数．求出，可知的1个零点．由在内恰有3个零点，及是偶函数，可得在内恰有1个零点．令，解得．从而得到，解得的取值范围即可． （3）先分别按照和这两种情况讨论求解. 当时，再分别按照，，，，讨论求得的范围. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数，所以． 当时，． 所以 ； (2) 小问详解： 因为， 所以是偶函数． 是的1个零点． 因为在内恰有3个零点，所以在内恰有1个零点． 令，即，解得． 令，解得， 所以的取值范围为； (3) 小问详解： 对于任意的，都有， 当时，在上单调递增，则恒成立，符合题意． 当时，分以下五种情况． ① 当时，，因为在上单调递增，所以恒成立． ② 当时，由，得，即，解得． ③ 当时，由，得，即，解得． ④ 当时，，由，得，即． 因为，所以 要使得恒成立，则，解得． ⑤ 当时，，因为在上单调递增， 所以恒成立． 故当时，若，则． 综上，的取值范围是． 93．【答案】（1） 证明：任取，且， 则． 因为， 所以， 所以，即， 故在上单调递增.     （2）     （3） 证明：由题意得，则， 所以. 由，得， 当且仅当时，等号成立，解得， 所以， 得， 因为，所以，则， 所以，故.      【分析】 （1）任取，且，利用作差法证明，由函数单调性的定义可得在上单调递增； （2）先利用复合函数的单调性得到在上单调递增，则关于的不等式在上有解，等价于在上有解，再分离参数得到在上有解，等价利用基本不等式求出的最小值，得到的取值范围； （3）先得到，根据条件先得到；根据题目条件利用表示出，得到，解指数不等式得到，得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得在上单调递增，又函数在上单调递增，， 所以根据复合函数的单调性可得在上单调递增. 关于的不等式在上有解，等价于在上有解，即在上有解. 令，则； 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围为. (3) 小问详解： 略 94．【答案】 【分析】 原题意等价于不等式在上恒成立，分、和三种情况，结合二次函数单调性分析求解. 【详解】 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，可知在内单调递增，则， 则，解得； 当时，，解得； 当时，可知在内单调递减，则， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是． 故答案为：． 95．【答案】（1） 令， 易得函数在上单调递减，所以， 因为，所以， 因为，所以，故是“弹性函数”.     （2） 令， 因为，所以， 因为，所以， 故是“弹性函数”.     （3） 令，则 ， 所以是“弹性函数”. 易得为偶函数且在上为减函数，所以在上为增函数. ① 当时，有， 设，则， ② 当时，有， ③ 当时，. 所以只要满足对恒成立即可， 即 对恒成立， 恒成立，即恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令对恒成立. 因为，所以在上为增函数，则， 解得，即的取值范围为.      【分析】 （1）令，根据定义及幂函数的性质判定即可； （2）令，根据定义及对数函数的性质判定即可； （3）先令，根据定义及绝对值的几何意义可完成证明，再判定的奇偶性与单调性，利用换元法结合分区间讨论计算参数范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 96．【答案】（1） 关于点成中心对称，理由如下： 因为定义域为， 又， 由已知可得是关于成中心对称．     （2） 在 上单调递增，证明如下： 任取 ，且， 则， ，且， ，且，，所以， 所以，即， 在 上单调递增；     （3）      【分析】 （1）根据所给定义，计算即可； （2）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （3）对任意的，总存在，使成立，需函数的值域为函数的值域的子集，分类讨论m求出值域，根据集合间的包含关系求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对任意的 ，总存在，使成立，只需函数在 上的值域为函数在上的值域的子集． 因为函数的图像关于点对称， 所以函数在 上单调递增， 又，， 所以函数在 上的值域为， 下讨论在上的值域． ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，在上的值域为，要使， 只需 ，解得； ③当时，在上的值域为，要使， 只需 ，解得； 综上可得的取值范围为． 97．【答案】（1）     （2） 由（1）可知：， 任取，令， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在上为增函数.     （3）存在，，理由如下： 因为函数在内的值域为， 对于，， 可知 ，解得， 因为，可知当在内单调递增， 可得 ， 可知是方程的两根， 整理可得，解得或或， 且，则 ， 所以存在，此时.      【分析】 （1）根据题意结合偶函数的定义运算求解即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据区间的定义可得，再结合的单调性和值域列式求解即可. (1) 小问详解： 因为函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得， 结合x的任意性可知. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 98．【答案】（1）     （2） 不存在整数k，使得函数是偶函数 证明：由题意可知的定义域为，故不关于原点对称， 故不存在整数k，使得函数是偶函数     （3） 对于任意，不妨设， 则， 即，， ∴由题意得， ∴ ， ∴在上单调递减.      【分析】 （1）由函数新定义赋值令可得； （2）结合偶函数的性质可得； （3）结合函数满足的性质由函数单调性定义证明即可. (1) 小问详解： 在中， 令，得， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 99．【答案】 【分析】 解法一：由在处有定义的奇函数，利用即可求解； 解法二：利用奇函数的定义得，进而求解. 【详解】 解法一：∵在处有定义， ∴是为奇函数的必要不充分条件， 由解得（舍去）， 经检验，时，为奇函数. 故答案为：. 解法二：由为奇函数得， 即， 解得（舍去）. 故答案为：. 100．【答案】（1）2，     （2）（i）若，即在区间上单调递增； 若，在区间上单调递减，上单调递增； 若，在区间上单调递减． （ii）若“对区间上任意三个数， 都存在以为边长的三角形”等价于对，只需． 当时，在区间上单调递减， 只需， 即，解得， 故，所以的取值范围是．      【分析】 （1）利用对勾函数的单调性分类求出的最值，进而得到的值，再代入到中即可； （2）（i）利用对勾函数的单调性与复合函数的单调性法则分类讨论可得的单调性， （ii）换元，令，原题可转化为，利用的单调性求出的最值即可. (1) 小问详解： ， 若在区间上单调递减，（舍去）； 若，则在区间上单调递增，， 解得． 综上，的值为2． 由上知，则， 函数． (2) 小问详解： （i）由（1）知在区间上单调递增， 则，即． 设，则， 利用对勾函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，分类讨论： ① 若在区间上单调递增， 即在区间上单调递增； ② 若在区间上单调递减，上单调递增， 即在区间上单调递减，上单调递增； ③ 若在区间上单调递减， 即在区间上单调递减． （ii）略 101．【答案】 【分析】 先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得. 【详解】 因为在上单调递增，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 102．【答案】（1）1；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质求参数值，注意验证； （2）根据解析式及指数函数的单调性判断的单调性，利用奇偶性、单调性得，结合对数函数的性质得，根据恒成立求参数范围； （3）根据已知有两个不同实根，应用换元法及二次函数的零点分布求参数范围. (1) 小问详解： 由函数是上的奇函数，有，得，则， 由，可得函数为奇函数，满足题设， 所以实数的值为1； (2) 小问详解： 由，又单调递增，则单调递减， 所以函数单调递增， 由等价于， 所以，即， 整理得，即， 又，有， 当时，在时取最大值10，得， 所以实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由函数单调递增，有 ，得有两个不相等的实数根， 方程可化为，整理为， 令，方程可化为， 由关于的方程有两个不相等的正根，有 ，得. 103．【答案】 【分析】 作函数图象关于原点的对称的函数图象，问题转换成和在有交点，即可求解. 【详解】 若函数存在“优美点”， 即作函数图象关于原点的对称的函数图象， 令，则， 则， 由题意和在有交点， 即当时，方程有解. 显然不是方程的解，方程可化为， 又由（当且仅当时取等号）， 有，可得. 即实数的取值范围为， 故答案为： 104．【答案】 【分析】 令，即可证函数为奇函数，进而得，即，进而求解. 【详解】 因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 故答案为：． 105．【答案】（1）在区间上不是“关联函数”，理由如下： 由题知：对任意，都存在，使得， 设函数在区间上值域在区间上值域，则， 因为函数在区间上是增函数，所以值域， 函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不是“关联函数”.     （2）     （3）或.      【分析】 （1）通过“关联函数”的定义，分别求解函数及在区间上的值域，通过判断两个函数值域的子集关系即可判断是否为“关联函数” （2）通过“关联函数”的定义可得：对任意，都存在，使得，可得，然后由可以求得：，进而可得：，最后根据子集关系求解参数取值范围即可； （3）首先分、及三种情况，分别根据函数的单调性求解函数及函数的值域，然后根据“关联函数”的定义确定两个函数值域的子集关系，最后根据实数的唯一性求解参数的值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数为区间上的“关联函数”， 所以对任意，都存在，使得，可得， 因为，所以， 又，所以， 即 解得， 因此实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的值域为，即， 的对称轴为直线，且开口向下， ① 当时，在上单调递减，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ② 当时，在上单调递增，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又， （i）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意. 综上所述，的值为或. 106．【答案】（1）偶函数     （2）因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 函数在上也为增函数，理由如下： 因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数.     （3）最小值为，最大值为      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性； （3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值. (1) 小问详解： 因为实数，函数，， 则，其中， ，则函数为偶函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，， 则， 因为，当时，，即， 当时，，即， 故当时， ， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为. 【点睛】 方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 107．【答案】（1）     （2） ①在上单调递减， 证明如下： 任取且， ， 函数在上单调递增，且， ，又，， ，即， 在上单调递减. ②，或，或.      【分析】 （1）根据幂函数的性质可知，又，求出即可； （2）① 利用函数的单调性的定义判断并证明即可； ② 根据的奇偶性及单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 由题可知，解得， 又，所以，， 所以. (2) 小问详解： ① 略 ②，定义域为，定义域关于原点对称， ，因此是奇函数. 又因为在上单调递减，在上单调递减. ，当时，. 由是奇函数，可得当时，. 当即或时，不等式成立， 当即时， 则由得，解得. 综上不等式的解集为，或，或. 108．【答案】（1），奇函数     （2）在上单调递增，在上单调递减     （3）      【分析】 （1）根据已知条件列方程组求得，利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性. （2）利用函数单调性的定义求得在上的单调区间. （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 由题可知 ，解得 则． 的定义域为，因为，， 且，所以是奇函数． (2) 小问详解： 任取， ． 若，则，从而，即； 若，则，从而，即． 故在上单调递增，在上单调递减． (3) 小问详解： 因为是奇函数，所以由，可得． 根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，． 令，即，解得或， 则由，得，解得， 故不等式的解集为． 109．【答案】（1）是，理由如下： 因为， 所以， 所以是函数．     （2）126     （3）      【分析】 （1）根据函数定义判断即可； （2）根据为函数求得，然后求解和即可； （3）根据为函数得，利用赋值法求得，利用题干求得，然后按照和分类讨论，求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为函数， 所以，， 则， 整理得 ． 由的任意性可知 ，解得 ， 则，且， 则， 则， 得． (3) 小问详解： 因为为函数，所以，， 取，则，得． 取，则，得， 则，由，，可得， 则． 若，则由，得． 若，则，， 取，则，得， 取，则，得， 则，由，，可得， 因为，所以． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（       ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 【答案】ACD 【分析】 根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】 对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 2．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象为（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可. 【详解】 因为的定义域为， 且， 所以是奇函数，排除 D． 又因为， 所以，排除A． 当时，，排除B. 故选：C 3．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用函数的单调性建立不等式组进行求解即可． 【详解】 由分段函数的单调性可得 解得， 故选：C． 4．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）下列函数中，既是偶函数，又是上的严格减函数的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数奇偶性定义以及函数单调性，对选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】 对于A，易知的定义域为，且满足， 因此为偶函数，但在上不是严格减函数，即A错误； 对于B，函数的定义域为，但，因此为奇函数，所以B错误； 对于C，函数的定义域为，满足，因此为偶函数， 当时，为严格减函数，即C正确； 对于D，的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为偶函数，即D错误. 故选：C 5．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）（多选）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 利用奇函数的定义和性质即可作出判定,注意判定CD时要考虑到特殊情况. 【详解】 ∵在R上为奇函数，∴．∵，∴，∴，故A正确． ，故B正确． 当时，，故C不正确． 当时，无意义，故D不正确． 故选：AB. 6．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的单调性和奇偶性并根据不等式分类讨论，进而求解. 【详解】 由题意知在上单调递减，且， 由 或 ， 即 或 ， 解得或， 故选：D. 7．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（     ） A. （为常数，） B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接由解析式判断ABD，利用复合函数的单调性和奇函数的性质可得C. 【详解】 对于A，该函数是反比例函数且是奇函数，在与上分别单调递减，A不正确； 对于B， 是奇函数且在上单调递增，B不正确； 对于C，与均是减函数，∴在上单调递减， ∵，∴是奇函数，C正确； 对于D，是上的增函数，D不正确. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据的性质作出示意图，再根据分情况讨论求解即可. 【详解】 因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 故选：A 9．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】求出定义域，判断单调性可得， 【详解】 是上的减函数；在上是增函数，在上是减函数；在上递减，在上递增，因此在上也递增；的定义域是，而． 故选：C． 10．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合函数定义域、奇偶性与函数正负，借助排除法即可得. 【详解】 的定义域为，故B错误； 又，则为奇函数，故A错误； 当时，，所以，故C错误. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知 为奇函数，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】A 【分析】 由奇函数定义计算即可得的值. 【详解】 由奇函数定义可得， 即， 整理得. 由对任意恒成立，故. 故选：A 12．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数 在上单调递减，则a 的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数单调性列式求解即可，注意端点值的大小. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 则 ，解得， 所以a 的取值范围是. 故选：C. 13．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数是偶函数得出函数在上的单调性，进而应用单调性列不等式计算求解. 【详解】 由偶函数的减区间为，增区间为， 若，则或， 可得或. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）函数的单调递增区间为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】 由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 15．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可． 【详解】 对于A，函数为奇函数，故选项A错误； 对于B，函数为偶函数，且在上, 单调递减，故选项B错误； 对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误； 对于D，函数为偶函数，且在上, 单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确． 故选：D 16．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）函数在区间上的最大值､最小值分别为（       ） A. 最大值为1，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为1，最小值为 D. 最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】 根据给定函数，确定其单调性，进而求出其最值. 【详解】 函数在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B 17．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）设函数,则（       ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】 根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】 因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 18．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）若为奇函数，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 1 D. 0 【答案】C 【分析】 求出函数的零点，再利用奇函数性质求出并验证得解. 【详解】 函数定义域为R，由，得或或， 由是奇函数，得的值关于数0对称，则，此时， ，函数是奇函数， 所以的值为1. 故选：C 19．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若幂函数是偶函数，则的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由幂函数及偶函数定义可得答案. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得或. 若，则是偶函数，符合题意； 若，则是奇函数，不符合题意. 即 ，据此可得大致图象符合选项A. 故选：A 20．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性以及对称性可得周期性，即可作出两函数图象，根据图象交点个数即可求解. 【详解】 由于是定义域为的奇函数，故，故， 所以，当时，， 又由，可得， 故是周期函数，且周期为4， 当时，，则， 又，所以时， 当时，，则， 又由，得到，所以当时，， 当时，，则， 所以当时，， 故 在同一坐标系中，作出的图象如下, 又当时，，而，故当后，两个函数图象再无交点， 由函数图象可知：的图象有4个不同的交点，故有4个零点， 故选：A 21．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合函数的定义域、奇偶性与单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即可得解. 【详解】 因为函数为奇函数，， 所以， 又因为函数在定义域上单调递减，所以 ， 解得 ，即. 故选：A． 22．（2026·河北保定·联考）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】 因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 23．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）下列结论中正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. ， C. 若为上的偶函数，则 D. 设函数，若，则 【答案】C 【分析】 对A，解出方程，根据充分不必要条件的判断即可判断A；对B，举反例即可判断；对C，根据偶函数定义即可判断；对D，分段代入求解即可判断. 【详解】 对A，，解得或， 则“或”推不出“”，但“”能推出“”， 故“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对B，当时，，故B错误； 对C，定义域为，关于原点对称，， 即， 即， 化简得恒成立，则，解得，故C正确； 对D，当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上所述，，故D错误. 故选：C. 24．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 找到临界点，由函数的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】 由是奇函数，且定义域为，则， ，则， 又因为其在内是增函数，则有： 当或时，， 当或时，， 的解集为或， 故选：C 25．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）（多选）若，则下列选项正确的是（       ） A. 是偶函数 B. 若，则 C. 的单调递增区间是和 D. 的值域是 【答案】AC 【分析】 利用函数奇偶性的定义可判断A选项；举反例或者直接代入计算即可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用反解法可判断D选项. 【详解】 对于A选项，对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，  ，故为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，法一：举例，此时，此时， 法二：，即，化简得，则，解得，故B错误； 对于C选项，因为， 设，因为在和上单调递减，外层函数在和上单调递减， 所以在和上单调递增，故C选项正确； 对于D选项，令，可得，解得或， 函数的值域为 ，故D选项错误. 故选：AC. 26．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（       ） A.  B.  C. 0 D. 1 【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用奇偶函数的性质求出函数的周期，再结合赋值法求出函数值. 【详解】 函数的定义域为， 由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，即， 因此，即，则， 即函数的周期是8，由，得， 所以. 故选：D 27．（25-26学年高一上·河北定州·期中）（多选）已知函数 在上单调递增，则关于实数，下列可以取的值为（　　） A.  B. -1 C. 0 D.  【答案】ABD 【分析】 通过和两类情况分别讨论即可. 【详解】 当时， ， 取，则， 所以函数不是单调函数，所以， 因为函数 在上单调递增，所以两段函数都分别单调递增， 因为二次函数在上单调递增， 所以 ，解得： 为了满足函数在上单调递增， 还需要满足，解得， 综上： 故选：ABD． 28．（25-26学年高一上·河北定州·期中）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，不是奇函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 应用奇函数定义分别判断各个选项即可. 【详解】 是奇函数，． 对于是奇函数． 对于，是奇函数． 对于不是奇函数． 对于是奇函数． 故选: C． 29．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知定义在上的偶函数满足：，都有，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数单调性定义以及函数奇偶性可得不等式，解不等式可得结论. 【详解】 由得，则在上单调递增， 又由偶函数性质知，所以， 即，整理得， 解得或， 所以原不等式的解集为． 故选：C． 30．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知函数 在上单调递减，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合题意由二次函数的单调性和分段函数在间断点处函数值列不等式组，再解不等式即可. 【详解】 因为函数在上单调递减， 所以 即 ∴. 故选：A 31．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出二次函数的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得其取值范围. 【详解】 ，当且仅当时取等号， 又不等式对任意实数恒成立， 所以，解得，实数的取值范围是. 故选：D． 32．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的对称性、单调性、奇偶性得到，从而得，从而得到结果． 【详解】 的图象关于点对称， 的图象关于原点对称， 为奇函数． ， ， 在R上是减函数， ， ， 在区间上是减函数，则 故选：B. 33．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）（多选）已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（       ） A. 函数是奇函数 B. 函数在其定义域上有零点 C. 函数的图象过定点 D. 当时，函数在其定义域上单调递增 【答案】ABD 【分析】 A项，由奇函数定义可得；B项，由方程有解可知函数有零点；C项，由可知；D项，由两个增函数的和函数仍为增函数可得. 【详解】 选项A，由，， 定义域为，关于原点对称. 且， 所以函数是奇函数，故A正确； 选项B，令，解得， 则在其定义域上有零点，故B正确； 选项C，因为， 所以函数的图象过定点，不过，故C错误； 选项D，当时，， 所以是增函数，且是减函数，则是增函数， 所以也是增函数，故D正确. 故选：ABD. 34．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 为奇函数 C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】 令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，， 根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项. 【详解】 对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确； 对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确； 对于C选项，任取，，且，则，， 所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误； 对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确. 故选：ABD． 35．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得 求解即可. 【详解】 由分段函数在上单调递减， 可得： ，解得：， 所以的取值范围是， 故选：C 36．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定函数的单调性及偶函数的性质求出解集. 【详解】 由偶函数在上单调递减，且，得不等式， 则，解得或，所以原不等式的解集为. 故选：D 37．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数单调性结合一次函数及二次函数单调性列式计算求参. 【详解】 因为函数 在上单调递增， 所以 ， 所以. 故选：A. 38．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】 由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 39．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数的单调性列不等式计算求解. 【详解】 二次函数的对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，有，可得. 若函数单调递增，有. 若函数在上单调递增， 有 ，可得. 故选：A. 40．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 对参数进行分类讨论，再由二次函数单调性得出不等式即可求解. 【详解】 当时，，函数图象如图1所示，由图象可知满足条件； 当时， 函数图象如图2所示，由图象可知，    要使在上单调递增，则，即， 同理可得，当时也满足题意．综上． 故选：C 41．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）函数的最小值为，函数，则下列说法正确的是（       ） A. 是幂函数 B.  C. 的单调递增区间为 D.  【答案】C 【分析】 应用换元法结合单调性得出，在应用幂函数定义判断A，应用奇函数定义判断B，结合幂函数单调性判断C，作差计算求解判断D. 【详解】 ， 令，在上单调递增. 所以，所以函数不是幂函数，A选项错误； ，B选项错误； 幂函数在单调递增，所以的单调递增区间为，C选项正确； ， 因为，所以，所以，D选项错误. 故选:C. 42．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，则，代入，利用奇函数即可求解. 【详解】 设，则， 又是奇函数， ． 故选：C． 43．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（       ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【分析】 利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本初等函数的单调性可判断CD选项. 【详解】 由题可知，的定义域为，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 故选：BCD. 44．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则的大小顺序是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的单调区间结合偶函数性质化简比较求解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减， ，得， 所以. 故选:C. 45．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题目中的不等式可得函数的单调性，利用一次函数与二次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】 由题意，不妨设，则， 由，则，即， 所以函数是减函数，可得 ，解得. 故选：C. 46．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分、讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，数形结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】 当时，， 当时，，因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 此时函数在上为增函数，合乎题意； 当时， ，函数图象如下图所示， 由图象可知，要使在上单调递增，则，即， 综上，即实数的取值范围是. 故选：C. 47．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，求出函数的对称中心，再利用对称性求出目标值. 【详解】 依题意，， 令函数，，即函数是奇函数， 则，因此函数是奇函数，函数图象对称中心为， 而，则函数在上的图象关于点成中心对称， 由函数在上的最大值和最小值分别为，得. 故选：D 48．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知函数 满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】 对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 49．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】 通过对合理赋值求解. 【详解】 对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，则，解得， 再令，则，解得，B正确； 对于C：，且，则，令， 则，即， 因为，所以，所以，即， 所以在上是增函数，C错误； 对于D：令，则，解得， 所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即，解得， 即不等式的解集是，D正确； 故选：ABD. 50．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）函数．若存在，使得，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围. 【详解】 当时，，，可化为， 即存在，使得成立， 的对称轴为， 在区间单调递增， 只要，即，解得：， 又，， 当时，可化为，此时不等式恒成立， 综上所述，． 故选： 【点睛】 本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 51．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则 或 ， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 52．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）（多选）已知函数，给出下列四个结论：其中所有正确的选项是（       ） A. 的值域是 B. 任意且，都有 C. 任意，且，都有 D. 规定，其中，则 【答案】ACD 【分析】 A先求证奇偶性，再求时的范围即可求出值域；B举反例即可；C根据化简即可；D根据新定义逐一计算即可. 【详解】 对于A：，定义域关于原点对称，则为奇函数， 当时，， 因，则，，，则， 则时，，又，故的值域是，所以A正确； 对于B：因，若，有， ，此时，故B错误； 对于C：任取且，则 若同号，则； 若，则，则， 若，则，所以 则，故C正确； 对于D：，，，， 则，故D正确. 故选：ACD. 53．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）定义在上的函数，对任意，都有，且当时，，则（     ） A.  B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 通过赋值法可判断A、B；令，，其中，由定义法得到在上单调性即可判断C；根据B中结论将转化为，再利用C中结论得到不等式求解即可判断D. 【详解】 对于A，令，则，令，则，A错误． 对于B，令，则，所以为偶函数，B正确． 对于C，令，，其中， 则，即， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，C正确． 对于D，因为是偶函数，且，所以． 又在上单调递减，所以，且，解得，且． 故不等式的解集为故D正确. 故选：BCD. 54．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据已知条件判断的性质，作出函数与的图象，由图象交点个数判断零点个数. 【详解】 由题意可得，解得， 因为，则，的图象关于对称， 又因为为奇函数，则， 可得，则4是的一个周期. 令，则，注意到此时，分别作出的图象， 由图象可知，与的图象有4个交点，故有4个零点. 故选：C. 55．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数 的值域为，且，使得,的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据存在，使得，求解取值范围. 【详解】 由， 则，又的值域为， 故，， 则在单调递增，在单调递减， 由存在，使得， 则，则 则，又，故，则， 故 故选：D. 56．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（多选）已知定义在上的函数 f(x)满足，且当时，，则（     ） A.  B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【分析】 对于A：赋值求运算求解即可；对于B：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据题意结合单调性的定义分析判断. 【详解】 因为定义在上的函数 满足， 对于选项A：令，可得，即， 令，可得，即，故A正确； 对于选项B：令，可得， 整理可得， 对于，可得，且定义域为， 所以是奇函数，故B正确； 对于选项C：例如， 则，符合题意， 但在上单调递减，在上单调递增，所以在上不单调，故C错误； 对于选项D：令，可得， 即， 若，则，可得，， 则，即， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ABD 57．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（       ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABD 【分析】 根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D. 【详解】 由条件① 得是偶函数，条件② 得在上单调递减， 所以在单调递增，又，所以， 因为定义在上函数的图象是连续不断的， 所以当时，；当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，即， 解得或，则，故B正确； 对于C，若，则 或 ， 即 或 ， 解得或，故C错误； 对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的， 且在上单调递减，在单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：ABD. 58．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）已知，且，方程的两个根分别为，且，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 令，利用基本不等式“1”的妙用求出的范围，并将方程化为，再求出方程两个根，结合函数单调性逐项求解. 【详解】 由，，得，原方程化为， 令，当且仅当时取等号， 此时原方程为，， 对于A，对单调递减，当时，，A正确； 对于BC，对单调递减，当时，，B正确，可以小于1，C错误； 对于D，对单调递增，，D正确. 故选：ABD 59．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述．正确的是（       ） A.  B.  C. ，若，则有 D.  【答案】BCD 【分析】 取，得到，可判定A不正确；取，求得，可判定B正确；设，得到，求得，可判定C正确；设，求得和，分和，两种情况讨论，可判定D正确. 【详解】 对于A，取，可得，则，， 此时，所以A不正确； 对于B，取，则，此时，则， 所以，所以B正确； 对于C，设，则，其中， 则，所以，所以C正确； 对于D，设，则， ， 当时，，则， 可得且， 所以当时，成立， 当时，，则， 可得且， 所以当时，成立， 综上可得，成立，所以D正确. 故选：BCD. 60．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得. 【详解】 因，函数的对称轴为直线， 而由可知其对称轴为直线，故，解得. 故答案为：. 61．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（－2）＋f（0）＝　　　　　　　　. 【答案】－5 【分析】 根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意知，， 所以. 故答案为： 62．（2026·河北保定·联考）已知函数 在上单调递增，则a的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】 因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 63．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知，且，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据解析式得出即可求解． 【详解】 ， 则 则有， 若，则． 故答案为：． 64．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解； （2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解. (1) 小问详解： 设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，. (2) 小问详解： 作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知 ，所以， 所以的取值范围是. 65．（25-26学年高一上·河北沧州·期中） 已知幂函数的图象过点 （1）求函数的解析式; （2）用定义证明函数在区间上单调递减； （3）求不等式 的解集. 【答案】（1）     （2）证明：任取， 由于，所以， 所以函数在区间上单调递减.     （3）      【分析】 （1）设出的解析式，根据图象所过点求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义来证得结论成立. （3）根据函数的奇偶性、单调性化简所求不等式，进而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 设，将代入上式得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的定义域为， 所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减. 由 得 ， ，所以不等式 的解集为. 66．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为　　　　　　 【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性分别求出和时的解析式即可. 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 则， 所以， 所以 ， 故答案为： . 67．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先判断出在单调递增，利用单调性解不等式. 【详解】 函数为奇函数，又在上单调递增， 在单调递增， 从而可化为：， ，原不等式的解集为. 故答案为：. 68．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知定义在上的函数图象关于原点对称． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）     （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有 ，解得， 所以原不等式的解集为． 69．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的解析式； （3）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）；     （2） ；     （3） 函数在上单调递增． 证明如下：任取，且， 则 ． 由，得，又因为，，所以， 所以，即． 所以函数在上单调递增． 又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．      【分析】 （1）根据得到方程，求出； （2）时，，根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，得到答案； （3）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，先得到函数在上的单调性，从而得到函数在R上的单调性．. (1) 小问详解： 函数是定义在上的奇函数，则，解得， 经检验，满足要求． (2) 小问详解： 由（1）得，时，， 当时，则，， 又是奇函数，则， 故，故； 则 (3) 小问详解： 略 70．（25-26学年高一上·河北承德·期中）设函数的定义域为，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，则　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出函数定义域得到函数图像对称中心横坐标为0，再计算求解出（，，且）即可分析计算求解. 【详解】 对于，有，解得，所以的定义域为， 设函数的图象的对称中心为，则， 因为对于，，且时， 有， 所以．所以函数的图象关于点对称， 所以， 故. 故答案为： 71．（2026·河北保定·联考）已知函数是奇函数，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用奇函数的定义求解. 【详解】 的定义域为，又函数是奇函数， 的定义域关于原点对称，， ，，， 是奇函数，故. 故答案为：. 72．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则的最大值为　　　　　. 【答案】 【分析】 首先求出的解析式，再画出的图象，数形结合即可得解. 【详解】 令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 又， 所以 ， 则的图象如下所示：    由图可知当时取得最大值，即. 故答案为： 73．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知函数 ，且当时，总有，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 分析可知在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解即可. 【详解】 由题意可知：在上单调递增， 则 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 74．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）①在给定的坐标系作出函数的图象； ②若在上的值域为，写出的取值范围. （3）当时，求的最小值的解析式. 【答案】（1） ；     （2）① ；②；     （3） .      【分析】 （1）利用奇函数的定义求出解析式. （2）① 利用二次函数及奇函数性质作出图象；② 结合图象求出范围. （3）按二次函数的对称轴与区间的位置关系分类，结合单调性求出最小值. (1) 小问详解： 函数是上的奇函数，当时，， 则当时，，，而， 所以函数的解析式是 . (2) 小问详解： ① 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数在时的图象，再将所作图象关于原点对称，并作点即得函数的图象，如图， ② 由在上的值域为，得， 当或时，；当时，，观察图象得， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，； 当时，函数在上单调递增， 当时，； 当时，，， 所以 . 75．（25-26学年高一上·河北定州·期中）小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数． （1）试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心； （2）求的值； （3）若函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②讨论方程的根的个数． 【答案】（1）的图象是中心对称图形，函数的图象关于点中心对称.     （2）     （3）①， 因为， 所以， 所以函数的图象关于直线对称. ② 当时，方程有个根；当时，方程有个根.      【分析】 （1）计算出的结果，即可判断出对称性； （2）根据对称性计算出的值，由此结果可求； （3）解法一：将问题转化为“讨论与的图象交点个数”，结合图象求解出；解法二：根据绝对值的取值特点以及的正负进行分类讨论，由此可分析出结果. (1) 小问详解： 的图象是中心对称图形. 因为， 所以函数的图象关于点中心对称. (2) 小问详解： 由（1）得， 所以. (3) 小问详解： ① 略 ② 解法一：由得， 令，则函数的图象是由幂函数的图象向右平移个单位长度， 再将轴下方的部分沿轴翻折形成的，如图， 由图得，当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根； 当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 解法二：由得（*）， 当时，恒成立，此时方程无解， 当时，时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解； 时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 76．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求证：在区间上单调递减； （3）若，解不等式． 【答案】（1） 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数．     （2） 由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减．     （3）      【分析】 （1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 77．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的值域. 【答案】（1）偶函数     （2）      【分析】 （1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）设，则且，把函数转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 由函数有意义，需使，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 又由恒成立， 即，所以函数为定义域上的偶函数． (2) 小问详解： 设，则且， 则， 该抛物线的开口向下且对称轴为直线，所以在区间上单调递增， 又由，所以，即， 所以函数的值域为． 78．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）定义 已知函数 （1）求的单调区间． （2）已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为     （2）（i）（0，1）；（ii）2      【分析】 （1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解； （2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：当时，，即， 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以 ， 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. (2) 小问详解： 解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足 ，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）可知， 令，所以， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 79．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知定义在上的偶函数满足：当时，． （1）求的解析式并用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ，证明如下： 令， 因为，所以，即； 因为，所以，即； 所以 所以，即， 所以函数在区间上单调递增；     （2）      【分析】 （1）借助函数的奇偶性即可求解的解析式，根据定义即可证明单调性. （2）根据偶函数的对称性，判断出在上单调递减，又，所以将转化为恒成立问题，平方后参变量分离求最值即可得解. (1) 小问详解： 令，则，因为当时， 所以，因为是定义在上的偶函数， 所以， 综上， ； (2) 小问详解： 由（1）知，函数在区间上单调递增，为偶函数， 所以在区间上单调递减， 若恒成立，则，即恒成立， 等价于，因为， 所以， 所以. 80．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知定义在上的函数是奇函数，且当时， （1）求在上的解析式; （2）根据定义证明在上单调递减; （3）求在上的值域. 【答案】（1） ；     （2） 设， ， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）取值、作差再因式分解，最后判断符号即可； （3）先求出时的范围，再根据其为奇函数即可求出其在上的值域. (1) 小问详解： 令，则，， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对于，可得，所以，所以， 因为函数是奇函数，所以，， 又， 因此，在上的值域是 . 81．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） 函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数．     （2） 函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 82．（25-26学年高一上·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】 因为函数在上单调递增， 所以 或 ， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 83．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. (1) 小问详解： 由题意知，是定义在上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在上的解析式为 (2) 小问详解： 作出函数 的图象，如图所示： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即， 所以实数的取值范围是. 84．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，有. （1）求的值，并证明：当时，； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求在上的值域. 【答案】（1）， 证明：令，则， 当时，，所以，可得，解得.     （2） 法一：由（1）知， ，且，令， 则，则， 因为，所以， 所以在上是增函数. 法二：，且， 所以， 由，得，则，又， 所以，即， 所以在上是增函数.     （3）      【分析】 （1）首先通过已知条件令即可求得的值；再令，可得，然后通过当时，，即可证明结论. （2）法一：应用作商法，结合函数单调性定义判断证明；法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. （3）首先根据已知，通过赋值法求解得：及，然后利用函数的单调性求解函数的值域即可. (1) 小问详解： 令，则， 又，故. 证明略. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，得， 由（1）可得， 因为在上是增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上可得：在上的值域为. 85．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求出当时，的解析式； （2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间； （3）结合函数图象，讨论函数在上的值域． 【答案】（1）；     （2） ，单调递减区间为：，；     （3） 当时，的值域为； 当时，的值域为； 当时，的值域为．      【分析】 （1）由奇函数的定义求出解析式； （2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间； （3）利用图象，分类讨论，求解值域即可． (1) 小问详解： 依题意，设，则， 于是， 因为为上的奇函数，因此， 所以当时，的解析式； (2) 小问详解： 由已知及（1）得函数的图象如下： 观察图象，得函数的单调递减区间为：，； (3) 小问详解： 由（1）可知， ， 显然当时，， 当时，令得，， 解得或（舍去）， 当时，在上单调递减， 所以，， 所以的值域为； 当时，由于， 所以，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为， 综上所述，当时，的值域为； 当时，的值域为； 当时，的值域为． 86．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用给定的分段函数单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解. 【详解】 由函数 在上单调递增，得 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 87．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数a的取值范围. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围. (1) 小问详解： 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足 ，解得 ，即， 故实数a的取值范围为. 88．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）求函数在区间上的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数是偶函数. 函数定义域为R，， 所以函数是偶函数.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用函数奇偶性定义直接判断. （2）利用配方法求出指定区间上的值域. （3）等价变形给定不等式并分离参数，再利用基本不等式求出最小值即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数，由，得， 则当，即时，，当时，， 所以函数在区间上的值域为. (3) 小问详解： 当时，恒成立， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 89．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 若去掉绝对值可得，可知的最大值为，，，中之一，将四个不等式相加使用绝对值三角不等式可得结果. 【详解】 去绝对值，则，根据二次函数的性质 所以在的最大值为，，，中之一， 所以可得， ， ， ， 上面四个式子相加可得 即有， 可得的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查分析能力，属中档题. 90．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知函数． （1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. (2) 小问详解： 因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 91．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】 由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时， ，解得． 当时，在上恒成立． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 当，且 ，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 92．（2026·河北保定·联考）已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式； （2）若函数在内恰有3个零点，求的取值范围； （3）若对于任意的，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） ；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）先利用是定义在上的奇函数求出，设，，利用当时，求出，利用是定义在上的奇函数，将转化为，从而得到的的表达式，再将写出分段函数即可得解； （2）利用偶函数的定义求出是偶函数．求出，可知的1个零点．由在内恰有3个零点，及是偶函数，可得在内恰有1个零点．令，解得．从而得到，解得的取值范围即可． （3）先分别按照和这两种情况讨论求解. 当时，再分别按照，，，，讨论求得的范围. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数，所以． 当时，． 所以 ； (2) 小问详解： 因为， 所以是偶函数． 是的1个零点． 因为在内恰有3个零点，所以在内恰有1个零点． 令，即，解得． 令，解得， 所以的取值范围为； (3) 小问详解： 对于任意的，都有， 当时，在上单调递增，则恒成立，符合题意． 当时，分以下五种情况． ① 当时，，因为在上单调递增，所以恒成立． ② 当时，由，得，即，解得． ③ 当时，由，得，即，解得． ④ 当时，，由，得，即． 因为，所以 要使得恒成立，则，解得． ⑤ 当时，，因为在上单调递增， 所以恒成立． 故当时，若，则． 综上，的取值范围是． 93．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数． （1）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （2）若存在，使得关于的不等式成立，求的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1） 证明：任取，且， 则． 因为， 所以， 所以，即， 故在上单调递增.     （2）     （3） 证明：由题意得，则， 所以. 由，得， 当且仅当时，等号成立，解得， 所以， 得， 因为，所以，则， 所以，故.      【分析】 （1）任取，且，利用作差法证明，由函数单调性的定义可得在上单调递增； （2）先利用复合函数的单调性得到在上单调递增，则关于的不等式在上有解，等价于在上有解，再分离参数得到在上有解，等价利用基本不等式求出的最小值，得到的取值范围； （3）先得到，根据条件先得到；根据题目条件利用表示出，得到，解指数不等式得到，得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得在上单调递增，又函数在上单调递增，， 所以根据复合函数的单调性可得在上单调递增. 关于的不等式在上有解，等价于在上有解，即在上有解. 令，则； 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围为. (3) 小问详解： 略 94．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 原题意等价于不等式在上恒成立，分、和三种情况，结合二次函数单调性分析求解. 【详解】 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，可知在内单调递增，则， 则，解得； 当时，，解得； 当时，可知在内单调递减，则， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是． 故答案为：． 95．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）定义：对于函数，若在其定义域内存在正数，使得对定义域内的任意恒成立，则称为“弹性函数”． （1）设函数，试判断是否为“弹性函数”，并说明理由． （2）设定义在上的函数，试判断是否为“弹性函数”，并说明理由． （3）设函数．证明是“弹性函数”，并求的取值范围． 【答案】（1） 令， 易得函数在上单调递减，所以， 因为，所以， 因为，所以，故是“弹性函数”.     （2） 令， 因为，所以， 因为，所以， 故是“弹性函数”.     （3） 令，则 ， 所以是“弹性函数”. 易得为偶函数且在上为减函数，所以在上为增函数. ① 当时，有， 设，则， ② 当时，有， ③ 当时，. 所以只要满足对恒成立即可， 即 对恒成立， 恒成立，即恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令对恒成立. 因为，所以在上为增函数，则， 解得，即的取值范围为.      【分析】 （1）令，根据定义及幂函数的性质判定即可； （2）令，根据定义及对数函数的性质判定即可； （3）先令，根据定义及绝对值的几何意义可完成证明，再判定的奇偶性与单调性，利用换元法结合分区间讨论计算参数范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 96．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知：若、是常数，，则函数的图像关于点对称.设，. （1）判断是否关于对称?并说明理由； （2）当时，证明单调性； （3）若对任意，总存在，使，求的取值范围. 【答案】（1） 关于点成中心对称，理由如下： 因为定义域为， 又， 由已知可得是关于成中心对称．     （2） 在 上单调递增，证明如下： 任取 ，且， 则， ，且， ，且，，所以， 所以，即， 在 上单调递增；     （3）      【分析】 （1）根据所给定义，计算即可； （2）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （3）对任意的，总存在，使成立，需函数的值域为函数的值域的子集，分类讨论m求出值域，根据集合间的包含关系求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对任意的 ，总存在，使成立，只需函数在 上的值域为函数在上的值域的子集． 因为函数的图像关于点对称， 所以函数在 上单调递增， 又，， 所以函数在 上的值域为， 下讨论在上的值域． ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，在上的值域为，要使， 只需 ，解得； ③当时，在上的值域为，要使， 只需 ，解得； 综上可得的取值范围为． 97．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数为偶函数， （1）求a的值； （2）用单调性的定义证明函数在上为增函数； （3）是否存在实数m，n，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2） 由（1）可知：， 任取，令， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在上为增函数.     （3）存在，，理由如下： 因为函数在内的值域为， 对于，， 可知 ，解得， 因为，可知当在内单调递增， 可得 ， 可知是方程的两根， 整理可得，解得或或， 且，则 ， 所以存在，此时.      【分析】 （1）根据题意结合偶函数的定义运算求解即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据区间的定义可得，再结合的单调性和值域列式求解即可. (1) 小问详解： 因为函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得， 结合x的任意性可知. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 98．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知函数满足：对任意正实数x，y，. （1）求； （2）是否存在整数k，使得函数是偶函数?证明你的结论； （3）若时，，证明：在上单调递减. 【答案】（1）     （2） 不存在整数k，使得函数是偶函数 证明：由题意可知的定义域为，故不关于原点对称， 故不存在整数k，使得函数是偶函数     （3） 对于任意，不妨设， 则， 即，， ∴由题意得， ∴ ， ∴在上单调递减.      【分析】 （1）由函数新定义赋值令可得； （2）结合偶函数的性质可得； （3）结合函数满足的性质由函数单调性定义证明即可. (1) 小问详解： 在中， 令，得， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 99．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知函数是奇函数，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 解法一：由在处有定义的奇函数，利用即可求解； 解法二：利用奇函数的定义得，进而求解. 【详解】 解法一：∵在处有定义， ∴是为奇函数的必要不充分条件， 由解得（舍去）， 经检验，时，为奇函数. 故答案为：. 解法二：由为奇函数得， 即， 解得（舍去）. 故答案为：. 100．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知函数在定义域上的最大值为． （1）求的值与函数解析式． （2）设． （i）讨论函数的单调区间． （ii）是否存在，对区间上任意三个数，都存在以为边 长的三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2，     （2）（i）若，即在区间上单调递增； 若，在区间上单调递减，上单调递增； 若，在区间上单调递减． （ii）若“对区间上任意三个数， 都存在以为边长的三角形”等价于对，只需． 当时，在区间上单调递减， 只需， 即，解得， 故，所以的取值范围是．      【分析】 （1）利用对勾函数的单调性分类求出的最值，进而得到的值，再代入到中即可； （2）（i）利用对勾函数的单调性与复合函数的单调性法则分类讨论可得的单调性， （ii）换元，令，原题可转化为，利用的单调性求出的最值即可. (1) 小问详解： ， 若在区间上单调递减，（舍去）； 若，则在区间上单调递增，， 解得． 综上，的值为2． 由上知，则， 函数． (2) 小问详解： （i）由（1）知在区间上单调递增， 则，即． 设，则， 利用对勾函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，分类讨论： ① 若在区间上单调递增， 即在区间上单调递增； ② 若在区间上单调递减，上单调递增， 即在区间上单调递减，上单调递增； ③ 若在区间上单调递减， 即在区间上单调递减． （ii）略 101．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知且，函数 在上单调递增，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得. 【详解】 因为在上单调递增，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 102．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若对，使得恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）1；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质求参数值，注意验证； （2）根据解析式及指数函数的单调性判断的单调性，利用奇偶性、单调性得，结合对数函数的性质得，根据恒成立求参数范围； （3）根据已知有两个不同实根，应用换元法及二次函数的零点分布求参数范围. (1) 小问详解： 由函数是上的奇函数，有，得，则， 由，可得函数为奇函数，满足题设， 所以实数的值为1； (2) 小问详解： 由，又单调递增，则单调递减， 所以函数单调递增， 由等价于， 所以，即， 整理得，即， 又，有， 当时，在时取最大值10，得， 所以实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由函数单调递增，有 ，得有两个不相等的实数根， 方程可化为，整理为， 令，方程可化为， 由关于的方程有两个不相等的正根，有 ，得. 103．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）对于函数，若存在使得，则称点是函数的“优美点”.已知函数 存在“优美点”，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 作函数图象关于原点的对称的函数图象，问题转换成和在有交点，即可求解. 【详解】 若函数存在“优美点”， 即作函数图象关于原点的对称的函数图象， 令，则， 则， 由题意和在有交点， 即当时，方程有解. 显然不是方程的解，方程可化为， 又由（当且仅当时取等号）， 有，可得. 即实数的取值范围为， 故答案为： 104．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，即可证函数为奇函数，进而得，即，进而求解. 【详解】 因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 故答案为：． 105．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”. （1）判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值. 【答案】（1）在区间上不是“关联函数”，理由如下： 由题知：对任意，都存在，使得， 设函数在区间上值域在区间上值域，则， 因为函数在区间上是增函数，所以值域， 函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不是“关联函数”.     （2）     （3）或.      【分析】 （1）通过“关联函数”的定义，分别求解函数及在区间上的值域，通过判断两个函数值域的子集关系即可判断是否为“关联函数” （2）通过“关联函数”的定义可得：对任意，都存在，使得，可得，然后由可以求得：，进而可得：，最后根据子集关系求解参数取值范围即可； （3）首先分、及三种情况，分别根据函数的单调性求解函数及函数的值域，然后根据“关联函数”的定义确定两个函数值域的子集关系，最后根据实数的唯一性求解参数的值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数为区间上的“关联函数”， 所以对任意，都存在，使得，可得， 因为，所以， 又，所以， 即 解得， 因此实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的值域为，即， 的对称轴为直线，且开口向下， ① 当时，在上单调递减，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ② 当时，在上单调递增，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又， （i）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意. 综上所述，的值为或. 106．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知实数，函数，. （1）试判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. （3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 【答案】（1）偶函数     （2）因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 函数在上也为增函数，理由如下： 因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数.     （3）最小值为，最大值为      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性； （3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值. (1) 小问详解： 因为实数，函数，， 则，其中， ，则函数为偶函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，， 则， 因为，当时，，即， 当时，，即， 故当时， ， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为. 【点睛】 方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 107．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知幂函数在单调递减. （1）求函数的解析式； （2）设； ①判断在上的单调性并证明； ②解关于的不等式：. 【答案】（1）     （2） ①在上单调递减， 证明如下： 任取且， ， 函数在上单调递增，且， ，又，， ，即， 在上单调递减. ②，或，或.      【分析】 （1）根据幂函数的性质可知，又，求出即可； （2）① 利用函数的单调性的定义判断并证明即可； ② 根据的奇偶性及单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 由题可知，解得， 又，所以，， 所以. (2) 小问详解： ① 略 ②，定义域为，定义域关于原点对称， ，因此是奇函数. 又因为在上单调递减，在上单调递减. ，当时，. 由是奇函数，可得当时，. 当即或时，不等式成立， 当即时， 则由得，解得. 综上不等式的解集为，或，或. 108．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数，且，． （1）求的解析式并判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），奇函数     （2）在上单调递增，在上单调递减     （3）      【分析】 （1）根据已知条件列方程组求得，利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性. （2）利用函数单调性的定义求得在上的单调区间. （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 由题可知 ，解得 则． 的定义域为，因为，， 且，所以是奇函数． (2) 小问详解： 任取， ． 若，则，从而，即； 若，则，从而，即． 故在上单调递增，在上单调递减． (3) 小问详解： 因为是奇函数，所以由，可得． 根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，． 令，即，解得或， 则由，得，解得， 故不等式的解集为． 109．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）设是定义在上的函数，已知，若，，，则称为函数． （1）判断是否为函数，并说明理由； （2）若为函数，求的值； （3）已知为函数，且，，求的值． 【答案】（1）是，理由如下： 因为， 所以， 所以是函数．     （2）126     （3）      【分析】 （1）根据函数定义判断即可； （2）根据为函数求得，然后求解和即可； （3）根据为函数得，利用赋值法求得，利用题干求得，然后按照和分类讨论，求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为函数， 所以，， 则， 整理得 ． 由的任意性可知 ，解得 ， 则，且， 则， 则， 得． (3) 小问详解： 因为为函数，所以，， 取，则，得． 取，则，得， 则，由，，可得， 则． 若，则由，得． 若，则，， 取，则，得， 取，则，得， 则，由，，可得， 因为，所以． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（       ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 2．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象为（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）下列函数中，既是偶函数，又是上的严格减函数的是（     ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）（多选）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（     ） A. （为常数，） B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（       ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知 为奇函数，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 12．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数 在上单调递减，则a 的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）函数的单调递增区间为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）函数在区间上的最大值､最小值分别为（       ） A. 最大值为1，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为1，最小值为 D. 最大值为，最小值为 17．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）设函数,则（       ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 18．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）若为奇函数，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 1 D. 0 19．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若幂函数是偶函数，则的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 21．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（2026·河北保定·联考）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）下列结论中正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. ， C. 若为上的偶函数，则 D. 设函数，若，则 24．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 25．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）（多选）若，则下列选项正确的是（       ） A. 是偶函数 B. 若，则 C. 的单调递增区间是和 D. 的值域是 26．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（       ） A.  B.  C. 0 D. 1 27．（25-26学年高一上·河北定州·期中）（多选）已知函数 在上单调递增，则关于实数，下列可以取的值为（　　） A.  B. -1 C. 0 D.  28．（25-26学年高一上·河北定州·期中）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，不是奇函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·河北定州·期中）已知定义在上的偶函数满足：，都有，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知函数 在上单调递减，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）（多选）已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（       ） A. 函数是奇函数 B. 函数在其定义域上有零点 C. 函数的图象过定点 D. 当时，函数在其定义域上单调递增 34．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 为奇函数 C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 35．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）函数的最小值为，函数，则下列说法正确的是（       ） A. 是幂函数 B.  C. 的单调递增区间为 D.  42．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（     ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（       ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 44．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则的大小顺序是（       ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  46．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（       ） A.  B.  C. 2 D.  48．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知函数 满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 50．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）函数．若存在，使得，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）（多选）已知函数，给出下列四个结论：其中所有正确的选项是（       ） A. 的值域是 B. 任意且，都有 C. 任意，且，都有 D. 规定，其中，则 53．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（多选）定义在上的函数，对任意，都有，且当时，，则（     ） A.  B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 54．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 55．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数 的值域为，且，使得,的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（多选）已知定义在上的函数 f(x)满足，且当时，，则（     ） A.  B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 57．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（       ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 58．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）已知，且，方程的两个根分别为，且，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 59．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述．正确的是（       ） A.  B.  C. ，若，则有 D.  60．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　　　. 61．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（－2）＋f（0）＝　　　　　　　　. 62．（2026·河北保定·联考）已知函数 在上单调递增，则a的取值范围是　　　　　　　　　　． 63．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知，且，则　　　　　　　　　　． 64．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 65．（25-26学年高一上·河北沧州·期中） 已知幂函数的图象过点 （1）求函数的解析式; （2）用定义证明函数在区间上单调递减； （3）求不等式 的解集. 66．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为　　　　　　 67．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为　　　　　　　　　　　． 68．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知定义在上的函数图象关于原点对称． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 69．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的解析式； （3）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 70．（25-26学年高一上·河北承德·期中）设函数的定义域为，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，则　　　　　． 71．（2026·河北保定·联考）已知函数是奇函数，则　　　　　　　　　　． 72．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则的最大值为　　　　　. 73．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知函数 ，且当时，总有，则实数的取值范围是　　　　　. 74．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）①在给定的坐标系作出函数的图象； ②若在上的值域为，写出的取值范围. （3）当时，求的最小值的解析式. 75．（25-26学年高一上·河北定州·期中）小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数． （1）试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心； （2）求的值； （3）若函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②讨论方程的根的个数． 76．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求证：在区间上单调递减； （3）若，解不等式． 77．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的值域. 78．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）定义 已知函数 （1）求的单调区间． （2）已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 79．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知定义在上的偶函数满足：当时，． （1）求的解析式并用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （2）若，求实数a的取值范围． 80．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知定义在上的函数是奇函数，且当时， （1）求在上的解析式; （2）根据定义证明在上单调递减; （3）求在上的值域. 81．（25-26学年高一上·河北保定·期中）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 82．（25-26学年高一上·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 83．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 84．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，有. （1）求的值，并证明：当时，； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求在上的值域. 85．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求出当时，的解析式； （2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间； （3）结合函数图象，讨论函数在上的值域． 86．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　. 87．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数a的取值范围. 88．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）求函数在区间上的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 89．（25-26学年高一上·河北石家庄第一中学·期中）设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为　　　　　　. 90．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）已知函数． （1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数的值． 91．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　　　　　　　． 92．（2026·河北保定·联考）已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式； （2）若函数在内恰有3个零点，求的取值范围； （3）若对于任意的，都有，求a的取值范围． 93．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数． （1）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （2）若存在，使得关于的不等式成立，求的取值范围； （3）若，证明：． 94．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 95．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）定义：对于函数，若在其定义域内存在正数，使得对定义域内的任意恒成立，则称为“弹性函数”． （1）设函数，试判断是否为“弹性函数”，并说明理由． （2）设定义在上的函数，试判断是否为“弹性函数”，并说明理由． （3）设函数．证明是“弹性函数”，并求的取值范围． 96．（25-26学年高一上·河北迁安·期中）已知：若、是常数，，则函数的图像关于点对称.设，. （1）判断是否关于对称?并说明理由； （2）当时，证明单调性； （3）若对任意，总存在，使，求的取值范围. 97．（25-26学年高一上·河北遵化·期中）已知函数为偶函数， （1）求a的值； （2）用单调性的定义证明函数在上为增函数； （3）是否存在实数m，n，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 98．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知函数满足：对任意正实数x，y，. （1）求； （2）是否存在整数k，使得函数是偶函数?证明你的结论； （3）若时，，证明：在上单调递减. 99．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）已知函数是奇函数，则　　　　　　　. 100．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）已知函数在定义域上的最大值为． （1）求的值与函数解析式． （2）设． （i）讨论函数的单调区间． （ii）是否存在，对区间上任意三个数，都存在以为边 长的三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 101．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知且，函数 在上单调递增，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 102．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若对，使得恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 103．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）对于函数，若存在使得，则称点是函数的“优美点”.已知函数 存在“优美点”，则实数的取值范围为　　　　　　. 104．（25-26学年高一上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为　　　　　　　　　　　． 105．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”. （1）判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值. 106．（25-26学年高一上·河北唐山第八中学·期中）已知实数，函数，. （1）试判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. （3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 107．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知幂函数在单调递减. （1）求函数的解析式； （2）设； ①判断在上的单调性并证明； ②解关于的不等式：. 108．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数，且，． （1）求的解析式并判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）求不等式的解集． 109．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）设是定义在上的函数，已知，若，，，则称为函数． （1）判断是否为函数，并说明理由； （2）若为函数，求的值； （3）已知为函数，且，，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $