专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】 因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据斜率的两点式公式和定义求解. 【详解】 经过两点的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：B 3．（2026·河北承德第二中学·联考）直线的倾斜角为（       ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线与坐标轴的位置关系，可得直线的倾斜角. 【详解】 直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D 4．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两条直线的斜率之积为 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 【答案】B 【分析】 通过直线与直线平行、垂直与斜率的关系，以及倾斜角的概念，对每个选项判断即可得到结果． 【详解】 因为两条直线倾斜角为时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确； 平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确； 垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为；当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为时两直线也垂直，故C不正确； 斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确； 故选：B． 5．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）直线的倾斜角为（   ） A.  B.  C.  D. 0 【答案】C 【分析】 由直线和x轴垂直即可判断. 【详解】 因为直线垂直于x轴， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）直线的倾斜角是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角. 【详解】 设直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知：，则. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题. 7．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求直线的斜率，再由即可求解. 【详解】 由，所以， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：A. 8．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【分析】 求出其斜率，再根据倾斜角和斜率关系即可得到答案. 【详解】 由题意得直线的斜率为， 设其倾斜角为，，则，则. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】 直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ② 当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 10．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 【答案】C 【分析】由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角. 【详解】直线l的斜率的绝对值等于， 线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则， 则或， 60°或120°. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想. 11．（25-26学年高二上·河北保定·期中）下列直线中，倾斜角为的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】 若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 12．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）已知直线与平行，则m的值为（       ） A.  B. 3 C. 2 D. 或3 【答案】B 【分析】 结合两直线平行的条件列式求解，然后代入检验是否平行，即可得解. 【详解】 由题意时，由得，则或， 当时，与，两条直线恰好重合，矛盾， 而时，与平行，且不重合，符合题意. 所以m的值为3. 故选：B． 13．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【分析】 根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】 由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知直线：，：，若，则a的值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 3或 【答案】C 【分析】 根据直线平行得到方程，解出最后验证即可. 【详解】 因为，则，解得或， 当时，：，：，两直线重合，故舍去， 当时，：，：，两直线平行，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 15．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】 ① 当时，此时，倾斜角为， ② 当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 16．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线的倾斜角为 B. 原点到直线的距离为 C. 直线不经过第一象限 D. 直线的一个方向向量的坐标为 【答案】BC 【分析】 运用直线的倾斜角与斜率的关系，点到直线的距离公式，直线在平面直角坐标系中的位置，直线的方向向量等知识可以逐一解决. 【详解】 对于A：由直线的斜率为，可得直线的倾斜角为,故A选项错误； 对于B：原点到直线的距离为,故B选项正确； 对于C：由直线与轴和轴的交点分别为,,可知直线不经过第一象限，故C选项正确； 对于D：由,可得向量不是直线的一个方向向量，故D选项错误. 故选：BC. 17．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线为常数）的倾斜角的取值范围是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得，可得倾斜角的范围. 【详解】 直线为常数）的斜率为， 故直线的倾斜角满足．又，， ，，或，， 故选：D． 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）若直线：与：互相垂直，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】 直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足. 当时，直线的斜率. 由，得，即，解得. 故选：C 19．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】 若，则，解得或， 当，则，，满足，符合题意； 当，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 20．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【分析】 A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】 对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以 ，则 ，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 21．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解. 【详解】 由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为. 而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为  ， 要使直线与线段有公共点，只需. 故选 ：C. 22．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若直线与直线垂直，则　　　　　　. 【答案】或0 【分析】 根据两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. 故答案为：或0. 23．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若点在过点，的直线上，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】 由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）直线（为任意实数）过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 含参数的项合并，让参数的系数为0,看成两直线的交点. 【详解】 由题意整理得:,令 ，解得 . 所以直线（为任意实数）过定点 故选：B. 3．（25-26学年高二上·河北保定·期中）直线的一个方向向量是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 4．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线的斜率为（   ） A. x B. y C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 根据直线的斜截式方程即可求解. 【详解】 由题意得的斜率为， 故选：C. 5．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. -3 B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 令，求得对应的即可 【详解】 令，得，即在轴上的截距为. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【分析】 根据题意，求得直线的斜率，得到，即可求解. 【详解】 由直线，可得直线的斜率为， 设倾斜角为其中，则，可得． 故选：D． 7．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用光的反射性质求出点关于轴的对称点，再利用，的坐标求出反射光线的斜率，即可求解. 【详解】 因为点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上， 所以，则直线方程为，即． 故选：C． 8．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）（多选）平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】 当截距均为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 当截距均不为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或. 故选：BC 9．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 化为斜截式方程即可求解． 【详解】 由，得， 得直线的斜率为：， 故选：C 10．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）直线经过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足 ，解出定点坐标即可. 【详解】 由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足 ，联立方程组解得 ， 即直线的定点为. 故答案为：B 11．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）过、两点的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由直线方程的截距式即可求解. 【详解】 设直线方程为，由题意，即直线方程为. 故选：A 12．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）直线的倾斜角为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直线的斜率公式为，先使用这个公式求出直线的斜率，再用公式，求出倾斜角即可. 【详解】 ， ， 设倾斜角为，， ， ， ， . 故选：A. 13．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 【答案】CD 【分析】 根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答. 【详解】 依题意，直线，由 解得： ，因此直线恒过定点，A不正确； 当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确； 当时，直线，而直线，显然，即，C正确； 当时，有，解得，即直线， 因此直线之间的距离，D正确. 故选：CD 14．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）以下四个命题是真命题的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线：与：互相垂直，则 C. 已知直线：与：平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 【答案】BD 【分析】 选项A：分离参数求定点，得.选项B：用一般式垂直的条件算得.选项C：用一般式平行条件，并且检验直线重合的情况.选项 D：分截距为0和不为0两种情况推导. 【详解】 对于A，可化为， 令 ，解得定点为， 直线恒过定点，所以A错误． 对于B，若，则，解得，所以B正确． 对于C，若，则，解得或， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，所以C错误． 对于D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：BD 15．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（    ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 首先确定直线的倾斜角，再利用两角和差的正切公式，即可求斜率. 【详解】 因为点A在x轴上，且在直线上，所以， 易知直线l的倾斜角为，若为正三角形， 则直线AC的倾斜角为或，即或， 故直线AC的斜率为， 或. 故选：D 16．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）（多选）对于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线垂直 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线到直线的距离为 【答案】BCD 【分析】 首先求直线与轴的交点，判断A，根据两直线的斜率关系，判断B，根据斜率和方向向量的关系，判断C，代入平行线间距离公式，判断D. 【详解】 对于A，直线显然经过点，所以直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线的斜率为，所以一个方向向量为，故C正确； 对于D，由直线到直线的距离为，故D正确. 故选：BCD 17．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 【答案】ABD 【分析】 A选项，变形得到直线方程为，得到方程组，求出直线恒过点；B选项，根据直线所过定点，得到点到直线的最大距离为，求出答案；C选项，变形得到直线的斜率不等于；D选项，得到直线与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到最值. 【详解】 A选项，变形得到， 令 ，解得 ，故直线恒过点，A正确； B选项，由于直线恒过点， 故点到直线的最大距离为，B正确； C选项，当时，此时直线的斜率为， 由于，故，C错误； D选项，当时，，， 中令得，令得， 故直线与坐标轴所围成的三角形面积为， 因为，所以当时，所围成的三角形面积最小，最小值为4，D正确. 故选：ABD 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】 由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 19．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）设直线，则（   ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线：一定垂直 C. 直线过定点 D. 当点在直线的右下方时， 【答案】CD 【分析】 令计算直线在轴上的截距可得选项A错误；利用两直线垂直公式可得选项B错误；直线方程变形可得选项C正确；数形结合可得选项D正确. 【详解】 A.令得，， 当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误. B.，当时，直线与直线不垂直，B错误. C.直线可化为， 由 得， ，故直线过定点，C正确. D.由点在直线的右下方得，. 由得， ∴ ，解得，D正确. 故选：CD. 20．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的倾斜角为120° B. 经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线：恒过点 D. 已知直线：，：，则“”的充要条件是“或” 【答案】AC 【分析】 由直线一般方程以及斜率与倾斜角的关系可判断A正确，分截距是否为0对直线方程进行分类讨论，可得直线方程还可以为，即B错误，利用直线的点斜式方程可判断C正确，由两直线垂直的位置关系可得D错误. 【详解】 对于A，易知直线的斜率为，所以倾斜角为，即A正确； 对于B，当在轴，轴上截距互为相反数且都为0时，此时直线方程为，可得B错误； 对于C，直线可化为，由点斜式方程可知其恒过点，即C正确； 对于D，当时，直线的方程不存在，当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当且时，若可得，解得； 当时，经检验可得此时， 因此“”的充要条件是“”，可得D错误. 故选：AC 21．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）如果直线与直线互相垂直，则实数的值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程，解此方程即可得出的值． 【详解】 因为直线与直线互相垂直, 所以，解得. 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； （1）经过点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. (1) 小问详解： 根据题意有直线的斜率为，则直线的方程为， 整理有； (2) 小问详解： 设与直线平行的直线的方程为，又因为经过点， 所以，即； (3) 小问详解： 设与直线垂直的直线方程为，又因为经过点， 所以，即. 23．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）直线恒过定点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 由直线方程得到，进而可求解. 【详解】 直线， 即， 联立可得 ，∴ ， 即直线恒过定点. 故答案为： 24．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. (1) 小问详解： 由 得 所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2) 小问详解： 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 25．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点，直线. （1）求过，且与平行的直线的一般式方程； （2）求过，且与垂直的直线的斜截式方程； （3）已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查直线的平行、垂直关系以及直线倾斜角的计算，解题的关键在于掌握直线的斜率公式、平行和垂直直线斜率的关系以及倾斜角与斜率的关系. (1) 小问详解： 直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. (2) 小问详解： 因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. (3) 小问详解： 联立直线方程得到 ，解得 ， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以. 26．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，. （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程. （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出线段的中点为的坐标，再利用两点式求出中线所在直线的方程； （2）先求出的斜率，可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程． (1) 小问详解： 解：三个顶点坐标分别为，，， 线段的中点，则中线所在直线的方程为， 即； (2) 小问详解： 解：由于直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即． 27．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为． （1）求直线AB的方程； （2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 【答案】（1）     （2）①；②．      【分析】 （1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知为的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解； ②联立直线BC的方程与直线CD的方程即可求得点C的坐标. (1) 小问详解： 由已知得直线AB的方程为：，即． 故直线AB的方程为． (2) 小问详解： ① 解方程组 ，解得 ，故． 又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为， 故CD所在直线的方程为，即， 所以CD所在直线的方程为． ② 由 ，解得 故顶点C的坐标为． 28．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知点，，直线.若直线l与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】 解：因为直线 所以 令 解得 故直线恒过点 直线的斜率为 则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或 解得或，即 故答案为： 【点睛】 本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题. 29．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程． 【详解】 设过点与直线平行的直线方程为， 代入点坐标，得，解得， 所求直线方程为． 故答案为：． 30．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知直线的方程为. （1）若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可； （2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可. (1) 小问详解： 由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，        又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，        可得直线的方程为，整理为. 故直线的方程为. (2) 小问详解： 由直线，可设直线的方程为，        又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.        故直线的方程为或. 31．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）△ABC的三个顶点是，，.求： （1）边BC上的中线所在直线的一般式方程； （2）边BC上的高线所在直线的斜截式方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出线段中点的坐标，然后求出中线的斜率，进而可求得中线的一般方程. （2）先求出边BC的斜率，然后根据垂直关系求出其上的高的斜率，从而可求出高线所在直线的斜截式方程. (1) 小问详解： BC的中点坐标为，即； 所以中线的斜率为， 则边BC上的中线所在直线的方程为， 即一般式方程为. (2) 小问详解： 边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为， 即斜截式方程为. 32．（2026·河北承德第二中学·联考）已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. (1) 小问详解： 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 33．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【分析】 （1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，   即可求解 【详解】 解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）平行直线与之间的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】 因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可 【详解】 如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为 答案选：C 【点睛】 本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题 3．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（       ） A. 0 B.  C. 3 D. 2 【答案】AB 【分析】 根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】 依题意，即,解得或. 故选：AB. 4．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线和的交点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 联立方程求解即可. 【详解】 由方程组 ，得 ，即交点为． 故选：C． 5．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线与直线的距离为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】 由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 6．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）点到直线的距离为（   ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 点到直线的距离． 故选：D 7．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得. 【详解】 设点，由，得点，又点在直线上， 因此，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 8．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可. 【详解】 联立方程 ,可得点的坐标为, 所以直线的方程为. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）三条直线,与相交于一点，则（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 求出两条已知直线的交点，再代入直线求解即可. 【详解】 联立 ,解得其交点为, 代入直线,得： ,解得. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知直线与互相平行，则它们之间的距离为（       ） A. 0.2 B. 1 C. 0.5 D. 0.1 【答案】C 【分析】 先由两直线平行的充要条件求出参数，再由两平行线之间的距离公式即可求解． 【详解】 因为，所以，解得，经检验直线不重合， 此时直线，直线，即， 所以它们之间的距离． 故选：C． 11．（2026·河北承德第二中学·联考）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两直线平行求出参数的值，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故选：D. 12．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）直线与直线的交点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【详解】 由题意得 ，解得 ，所以交点坐标为. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知点，直线，则点到直线的距离为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为： . 故选：D 14．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若两条平行直线与之间的距离是，则（       ） A.  B.  C. 17 D. 21 【答案】A 【分析】 根据两直线平行求出，再由两平行线间的距离公式求出. 【详解】 因为直线与，所以，解得， 又两条平行直线与之间的距离是，所以， 解得（舍去）或， 所以. 故选：A 15．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由和的方程求出点，设，分别利用的中点在直线上与，建立方程组，求得点，最后利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】 由 解得： ，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即② ， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 16．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）两条平行直线与间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】 因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 17．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 过两点，的直线都可用方程表示 D. 圆C：的圆心到直线的距离为2 【答案】ABC 【分析】 根据直线的倾斜角、直线恒过定点问题、直线方程的适用条件以及点到直线的距离公式，分别对各选项进行分析. 【详解】 对于选项，直线可化为， 直线斜率为， 设直线倾斜角为，则，，故选项正确. 对于选项，直线，令，得， 恒过定点，故选项正确. 对于选项，过两点，的直线，当时，此时直线垂直轴，斜率不存在，也可用该式表示，故选项正确. 对于选项，圆C：可化为， 圆心坐标为，利用点到直线的距离公式可得，故选项不正确. 故选：. 18．（25-26学年高二上·河北保定·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知顶点、、． （1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距； （2）求边BC的垂直平分线l的方程 （3）求的面积． 【答案】（1）；；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由题可得直线的斜率，然后根据点斜式即得； （2）由题可知的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得； （3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. (1) 小问详解： 因为、， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即直线的方程在y轴上的截距为； (2) 小问详解： 由题可知的中点为，直线的斜率为， 线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即； (3) 小问详解： 因为直线的方程为，又， 所以到的距离为， 又， 所以的面积为. 20．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线平行求得，根据两平行直线之间的距离公式求得正确答案. 【详解】 由于直线和直线平行， 所以，解得， 所以两条直线之间的距离为. 故答案为： 21．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）直线：与：之间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】.5 【分析】 根据平行线之间的距离公式即可得到答案. 【详解】 ：，：， 则与之间的距离为. 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知的三个顶点分别为．求： （1）BC边所在的直线方程． （2）的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由点斜式得直线方程； （2）求出线段BC的长及点A到直线BC的距离，进而求出的面积. (1) 小问详解： 直线BC的斜率，由点斜式直线方程为， 即. (2) 小问详解： 因为， 点A到直线的距离， 所以. 23．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点在直线上，若的最小值为4，则　　　　　　　． 【答案】或9 【分析】 根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】 因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 24．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）线段的中点为，，可得线段的垂直平分线方程，与圆心所在直线联立，即可求得圆心，再结合两点间距离可求得半径，即可得到圆的方程； （2）根据直线与圆相交的弦长公式，先求得圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，的中点坐标为， 所以线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以由 ，解得 ，即． 又点在圆上，所以， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 由，得圆心到直线的距离． 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 则，解得，所以的方程为． 故直线的一般式方程为或． 25．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知点，直线 （1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； （2）若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】（1）或     （2）4      【分析】 （1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围. （2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 (1) 小问详解： 因为直线，联立 所以交点， 因为C在线段AB上，所以， 即，解得 所以或 (2) 小问详解： 因为直线，联立 所以交点； 令中，则，所以， 因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为， 设， 所以， 所以当即时，S的最小值为4. 26．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数. 已知直线，点，圆. （1）当时，求和的值. （2）若点是圆的动点，当时，求的最小值. （3）设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；      （2）0     （3）      【分析】 （1）根据题意代入点点的坐标可得. （2）根据圆的方程设点，将坐标代入化简后利用时可取得最小值. （3）先设点，代入，得到的取值范围. (1) 小问详解： 对于点，直线， 对于点， (2) 小问详解： 设点，当时， ， 其中 当时，取得最小值. . (3) 小问详解： 设点， 得， 依题意有，， 由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为. 27．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；      （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. (1) 小问详解： 联立与的方程，得 解得             即与的交点坐标为，                     由题意知点在上，所以，              解得. (2) 小问详解： 由（1）知，                     当时，，所以，                     当时，，所以，                     当，，三条直线可以围成三角形，则且且，                     故的取值范围为. 28．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）7     （2）      【分析】 （1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 点到直线的距离，              ，                     所以的面积. (2) 小问详解： 设外接圆的方程为，              由题意得                    解得                           故的外接圆的方程为. 29．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. (1) 小问详解： 因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． (2) 小问详解： 因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ① 当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ② 直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 30．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】 设关于直线的对称点， 所以 ，所以 ， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 31．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. (1) 小问详解： 联立方程 ，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点为， 则 ，解得，即； 则, 故的最小值为. 32．（2026·河北承德第二中学·联考）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线上在第一象限内一点，且（为坐标原点），则到的距离最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出点P的坐标，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求得，即可判断动直线恒过点，再利用几何法求得最大距离. 【详解】 设，由，得，故①， 又在双曲线上，所以②，由① ②可得， 所以，故， 联立 整理得， 设，则， 因为，所以， 得， 所以0， 得，即， 当，即时，直线过定点，不符合题意； 当，即时，直线过定点. 综上，到的距离的最大值为. 故答案为： 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】 由在圆内，得，解得． 故选：A 2．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）圆的圆心坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的一般方程圆心坐标公式进行求解即可. 【详解】 因为圆的圆心坐标为， 所以圆的圆心坐标为． 故选：C 3．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案. 【详解】 解：设圆的方程为， 根据题意可得 ， 解得 ， 所以该圆的方程为. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆的一般方程的条件，通过判别式建立不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】 对于方程，若表示圆， 则需满足（其中，，）. 代入得， 化简为， 即， 因式分解得， 解得. 故选：B 5．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由圆C过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解. 【详解】 由题意，圆心，半径， 故圆C方程为. 故选：B 6．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，关于的方程表示一个圆或点求解. 【详解】 因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 7．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】 由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即 ，解得， 故选：C． 8．（2026·河北承德第二中学·联考）已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先方程需要满足才是圆的方程，由点与圆的位置关系可知，当点在圆外时，点到圆心距离大于半径，即带点到圆的方程坐标，结果会大于0 【详解】 由题意可知 ，解得或. 故选：C 9．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）若点，则以AB为直径的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得圆心和半径，即可得方程. 【详解】 因为， 可知以AB为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程是. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 的圆心是 B. 的半径是5 C. 斜率为，且过点的直线方程为 D. 过点和的直线方程为 【答案】ACD 【分析】 对A、B，根据圆的标准方程判断；对C、D，利用点斜式写出直线方程判断. 【详解】 对于A：可化为，所以圆心为，A正确； 对于B：圆的半径为，B错误； 对于C：由点斜式得直线方程为，即，C正确； 对于D：直线斜率为，所以直线方程为，即，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【详解】 圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以 解得， 又，所以，故， 故选：A. 12．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知，，则以线段为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据点，，且线段为直径，可知圆心，直径，半径，进而得到圆的方程. 【详解】 由中点坐标公式可知，的中点坐标为,点为以线段为直径的圆的圆心； 半径，所以以线段为直径的圆的方程为. 故选：B 13．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知圆：，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据“将军饮马”模型，求得对称点，利用两点距离公式结合圆的性质，可得答案． 【详解】 如图，设爬到轴上的点，再到圆上点处，    要求它爬行的最短路程，即求的最小值， 圆心，半径， 设点关于轴的对称点为,则坐标为，且， 由于（当三点共线时取等号）， 又点到圆上点的最短距离（当三点共线时取等号）， 所以,即该蚂蚁爬行的最短路程为3． 故选：C． 14．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. 直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B. 直线过定点 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆外 D. 若方程表示圆，则正数的取值范围是 【答案】BD 【分析】 对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D. 【详解】 对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误， 对于B，方程可化为， 由 可得 ， 所以直线过定点，B正确， 对于C，由，是方程的两个实根，可得，， 所以， 所以点在圆内，C错误， 对于D，方程表示圆，则，所以，又， 所以正数的取值范围是，D正确， 故选：BD 15．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（       ）． A. 7 B. 6 C. 8 D. 19 【答案】C 【分析】 由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解. 【详解】 由题意可知，当时，直线与互相垂直， 当时，，直线与互相垂直， 且直线经过定点，直线经过定点，所以. 设，则，即， 则点在以点为圆心，5为半径的圆（除去与、）上， 所以的最大值为， 最小值为. 故的取值范围是. 故选：C 16．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. (1) 小问详解： 易知的斜率为，故所求直线斜率是， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； (2) 小问详解： 联立方程组 ，解得 ， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 17．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知方程. （1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围； （2）若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 【答案】（1）     （2）最大值为，最小值      【分析】 （1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围； （2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案. (1) 小问详解： 若此方程表示圆，则， 解得， 即实数m的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）可知，此时圆E：， 圆心坐标为，半径为1， 因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是，半径是1， 故圆F方程为， 则圆心到直线的距离， 故到直线的距离的最大值为，最小值. 18．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求圆心到直线的距离. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由圆心在圆的弦的中垂线上和直线上，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等于半径，可得圆的半径，代入圆的标准方程即可求得； （2）利用点到直线的距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由圆经过点和，可得线段的中点坐标为， 则圆心在直线上，又在直线上， 故可得圆心，则半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心到直线的距离为. 故圆心到直线的距离为. 19．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案. 【详解】 根据题意，方程表示圆， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知圆． （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径． （2）求直线被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径为，     （2）      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案. (1) 小问详解： 由可得该圆的标准方程为 其圆心为，半径为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为 所以直线：被圆所截得的弦长为 21．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. (1) 小问详解： 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得， ， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 22．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 按绝对值内表达式的符号分类，拆分原方程为椭圆和圆的方程；分析曲线所围成的封闭图形；分别计算圆的部分面积、椭圆的部分面积、三角形面积，求和得到总面积即可． 【详解】 当时，，则曲线的方程为， 当时，，则曲线的方程为，即． 如图所示，为圆心角且， 故曲线所围成的封闭图形可分为三部分， 其面积为． 故答案为：． 23．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知的三个顶点为，，． （1）边的中垂线所在直线的一般式方程； （2）求的外接圆的标准方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求线段的中点和直线的斜率，根据两直线垂直，可得线段中垂线的斜率，利用点斜式可得边的中垂线方程，再化成一般式即可. （2）先判断的形状，再判断其外接圆圆心和半径，可得的外接圆的标准方程． (1) 小问详解： 由题意，，， 所以的中点坐标为， 直线的斜率， 所以边的中垂线所在直线的斜率为， 所以边的中垂线所在直线的方程为， 即直线. (2) 小问详解： ，，， ，所以，即为直角三角形， 故的外接圆的圆心为的中点，即中点坐标为， 故圆心的坐标为，， 所以圆的方程为. 24．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知圆的半径为. （1）求； （2）若为圆上的一个动点，，求的取值范围； （3）若过点的直线与圆交于两点，且，求的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，根据半径的值求出； （2）先求出圆心与点的距离，再结合圆的半径得到的取值范围； （3）分直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式求出直线方程. (1) 小问详解： 由， 得，则，得； (2) 小问详解： 由题意得，得，则在圆外， 所以.故的取值范围为； (3) 小问详解： 设到的距离为.由，得. 当的斜率不存在时，，符合题意； 当的斜率存在时，设，即. 由，得， 所以的方程为. 故的方程为或； 25．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由 ，得 ， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 设点． 因为点的坐标为，所以 即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 26．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． (1) 小问详解： 因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； (2) 小问详解： 设，，， 则有，，． 由，可得 ，解之得 ， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 27．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. （1）求圆E的标准方程； （2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分析可知圆心坐标为，进而可得半径，即可得圆的方程； （2）设，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程运算求解即可. (1) 小问详解： 因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. (2) 小问详解： 设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·河北承德第二中学·联考）直线的倾斜角为（       ） A. 0 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两条直线的斜率之积为 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 5．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）直线的倾斜角为（   ） A.  B.  C.  D. 0 6．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）直线的倾斜角是（ ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 9．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 11．（25-26学年高二上·河北保定·期中）下列直线中，倾斜角为的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）已知直线与平行，则m的值为（       ） A.  B. 3 C. 2 D. 或3 13．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 14．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知直线：，：，若，则a的值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 3或 15．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线的倾斜角为 B. 原点到直线的距离为 C. 直线不经过第一象限 D. 直线的一个方向向量的坐标为 17．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线为常数）的倾斜角的取值范围是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）若直线：与：互相垂直，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  19．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 21．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若直线与直线垂直，则　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若点在过点，的直线上，则　　　　　　　　． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）直线（为任意实数）过定点（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北保定·期中）直线的一个方向向量是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线的斜率为（   ） A. x B. y C. 2 D. 1 5．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. -3 B.  C.  D. 3 6．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）（多选）平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）直线经过定点（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）过、两点的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）直线的倾斜角为（       ）． A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 14．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）以下四个命题是真命题的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线：与：互相垂直，则 C. 已知直线：与：平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 15．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（    ） A.  B.  C. 或 D. 或 16．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）（多选）对于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线垂直 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线到直线的距离为 17．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 18．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）设直线，则（   ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线：一定垂直 C. 直线过定点 D. 当点在直线的右下方时， 20．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的倾斜角为120° B. 经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线：恒过点 D. 已知直线：，：，则“”的充要条件是“或” 21．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）如果直线与直线互相垂直，则实数的值是　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； （1）经过点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直； 23．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）直线恒过定点的坐标为　　　　　． 24．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 25．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知点，直线. （1）求过，且与平行的直线的一般式方程； （2）求过，且与垂直的直线的斜截式方程； （3）已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 26．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，. （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程. （2）求边上的高所在直线的方程. 27．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为． （1）求直线AB的方程； （2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 28．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知点，，直线.若直线l与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是　　　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为　　　　　． 30．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知直线的方程为. （1）若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 31．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）△ABC的三个顶点是，，.求： （1）边BC上的中线所在直线的一般式方程； （2）边BC上的高线所在直线的斜截式方程. 32．（2026·河北承德第二中学·联考）已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 33．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）平行直线与之间的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（       ） A. 0 B.  C. 3 D. 2 4．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）直线和的交点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）直线与直线的距离为（     ） A. 1 B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）点到直线的距离为（   ） A. 1 B.  C. 2 D.  7．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）三条直线,与相交于一点，则（     ） A.  B. 1 C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知直线与互相平行，则它们之间的距离为（       ） A. 0.2 B. 1 C. 0.5 D. 0.1 11．（2026·河北承德第二中学·联考）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）直线与直线的交点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知点，直线，则点到直线的距离为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  14．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若两条平行直线与之间的距离是，则（       ） A.  B.  C. 17 D. 21 15．（25-26学年高二上·河北保定·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）两条平行直线与间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 过两点，的直线都可用方程表示 D. 圆C：的圆心到直线的距离为2 18．（25-26学年高二上·河北保定·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知顶点、、． （1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距； （2）求边BC的垂直平分线l的方程 （3）求的面积． 20．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为　　　　　. 21．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）直线：与：之间的距离为　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知的三个顶点分别为．求： （1）BC边所在的直线方程． （2）的面积． 23．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点在直线上，若的最小值为4，则　　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 25．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知点，直线 （1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； （2）若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 26．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数. 已知直线，点，圆. （1）当时，求和的值. （2）若点是圆的动点，当时，求的最小值. （3）设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 28．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 29．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 30．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 32．（2026·河北承德第二中学·联考）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线上在第一象限内一点，且（为坐标原点），则到的距离最大值为　　　　　　. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）圆的圆心坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·河北承德第二中学·联考）已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）若点，则以AB为直径的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 的圆心是 B. 的半径是5 C. 斜率为，且过点的直线方程为 D. 过点和的直线方程为 11．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知，，则以线段为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知圆：，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. 直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B. 直线过定点 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆外 D. 若方程表示圆，则正数的取值范围是 15．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（       ）． A. 7 B. 6 C. 8 D. 19 16．（25-26学年高二上·河北沧州南皮县第一中学·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 17．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知方程. （1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围； （2）若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 18．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求圆心到直线的距离. 19．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知圆． （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径． （2）求直线被圆C所截得的弦长． 21．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 22．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为　　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知的三个顶点为，，． （1）边的中垂线所在直线的一般式方程； （2）求的外接圆的标准方程． 24．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知圆的半径为. （1）求； （2）若为圆上的一个动点，，求的取值范围； （3）若过点的直线与圆交于两点，且，求的方程. 25．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 26．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 27．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. （1）求圆E的标准方程； （2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．C 11．C 12．B 13．C 14．C 15．C 16．BC 17．D 18．C 19．C 20．BCD 21．C 22．【答案】或0 【分析】 根据两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. 故答案为：或0. 23．【答案】 【分析】 根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】 由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．C 8．BC 9．C 10．B 11．A 12．A 13．CD 14．BD 15．D 16．BCD 17．ABD 18．C 19．CD 20．AC 21．【答案】 【分析】 由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程，解此方程即可得出的值． 【详解】 因为直线与直线互相垂直, 所以，解得. 故答案为：. 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. (1) 小问详解： 根据题意有直线的斜率为，则直线的方程为， 整理有； (2) 小问详解： 设与直线平行的直线的方程为，又因为经过点， 所以，即； (3) 小问详解： 设与直线垂直的直线方程为，又因为经过点， 所以，即. 23．【答案】 【分析】 由直线方程得到，进而可求解. 【详解】 直线， 即， 联立可得 ，∴ ， 即直线恒过定点. 故答案为： 24．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. (1) 小问详解： 由 得 所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2) 小问详解： 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 25．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查直线的平行、垂直关系以及直线倾斜角的计算，解题的关键在于掌握直线的斜率公式、平行和垂直直线斜率的关系以及倾斜角与斜率的关系. (1) 小问详解： 直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. (2) 小问详解： 因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. (3) 小问详解： 联立直线方程得到 ，解得 ， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出线段的中点为的坐标，再利用两点式求出中线所在直线的方程； （2）先求出的斜率，可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程． (1) 小问详解： 解：三个顶点坐标分别为，，， 线段的中点，则中线所在直线的方程为， 即； (2) 小问详解： 解：由于直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即． 27．【答案】（1）     （2）①；②．      【分析】 （1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知为的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解； ②联立直线BC的方程与直线CD的方程即可求得点C的坐标. (1) 小问详解： 由已知得直线AB的方程为：，即． 故直线AB的方程为． (2) 小问详解： ① 解方程组 ，解得 ，故． 又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为， 故CD所在直线的方程为，即， 所以CD所在直线的方程为． ② 由 ，解得 故顶点C的坐标为． 28．【答案】 【分析】 首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】 解：因为直线 所以 令 解得 故直线恒过点 直线的斜率为 则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或 解得或，即 故答案为： 【点睛】 本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题. 29．【答案】 【分析】 先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程． 【详解】 设过点与直线平行的直线方程为， 代入点坐标，得，解得， 所求直线方程为． 故答案为：． 30．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可； （2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可. (1) 小问详解： 由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，        又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，        可得直线的方程为，整理为. 故直线的方程为. (2) 小问详解： 由直线，可设直线的方程为，        又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.        故直线的方程为或. 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出线段中点的坐标，然后求出中线的斜率，进而可求得中线的一般方程. （2）先求出边BC的斜率，然后根据垂直关系求出其上的高的斜率，从而可求出高线所在直线的斜截式方程. (1) 小问详解： BC的中点坐标为，即； 所以中线的斜率为， 则边BC上的中线所在直线的方程为， 即一般式方程为. (2) 小问详解： 边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为， 即斜截式方程为. 32．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. (1) 小问详解： 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 33．【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【分析】 （1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，   即可求解 【详解】 解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．C 3．AB 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．A 10．C 11．D 12．A 13．D 14．A 15．D 16．C 17．ABC 18．【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 19．【答案】（1）；；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由题可得直线的斜率，然后根据点斜式即得； （2）由题可知的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得； （3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. (1) 小问详解： 因为、， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即直线的方程在y轴上的截距为； (2) 小问详解： 由题可知的中点为，直线的斜率为， 线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即； (3) 小问详解： 因为直线的方程为，又， 所以到的距离为， 又， 所以的面积为. 20．【答案】 【分析】 根据直线平行求得，根据两平行直线之间的距离公式求得正确答案. 【详解】 由于直线和直线平行， 所以，解得， 所以两条直线之间的距离为. 故答案为： 21．【答案】.5 【分析】 根据平行线之间的距离公式即可得到答案. 【详解】 ：，：， 则与之间的距离为. 故答案为：. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由点斜式得直线方程； （2）求出线段BC的长及点A到直线BC的距离，进而求出的面积. (1) 小问详解： 直线BC的斜率，由点斜式直线方程为， 即. (2) 小问详解： 因为， 点A到直线的距离， 所以. 23．【答案】或9 【分析】 根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】 因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 24．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）线段的中点为，，可得线段的垂直平分线方程，与圆心所在直线联立，即可求得圆心，再结合两点间距离可求得半径，即可得到圆的方程； （2）根据直线与圆相交的弦长公式，先求得圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，的中点坐标为， 所以线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以由 ，解得 ，即． 又点在圆上，所以， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 由，得圆心到直线的距离． 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 则，解得，所以的方程为． 故直线的一般式方程为或． 25．【答案】（1）或     （2）4      【分析】 （1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围. （2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 (1) 小问详解： 因为直线，联立 所以交点， 因为C在线段AB上，所以， 即，解得 所以或 (2) 小问详解： 因为直线，联立 所以交点； 令中，则，所以， 因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为， 设， 所以， 所以当即时，S的最小值为4. 26．【答案】（1）；      （2）0     （3）      【分析】 （1）根据题意代入点点的坐标可得. （2）根据圆的方程设点，将坐标代入化简后利用时可取得最小值. （3）先设点，代入，得到的取值范围. (1) 小问详解： 对于点，直线， 对于点， (2) 小问详解： 设点，当时， ， 其中 当时，取得最小值. . (3) 小问详解： 设点， 得， 依题意有，， 由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；      （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. (1) 小问详解： 联立与的方程，得 解得             即与的交点坐标为，                     由题意知点在上，所以，              解得. (2) 小问详解： 由（1）知，                     当时，，所以，                     当时，，所以，                     当，，三条直线可以围成三角形，则且且，                     故的取值范围为. 28．【答案】（1）7     （2）      【分析】 （1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 点到直线的距离，              ，                     所以的面积. (2) 小问详解： 设外接圆的方程为，              由题意得                    解得                           故的外接圆的方程为. 29．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. (1) 小问详解： 因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． (2) 小问详解： 因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ① 当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ② 直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 30．【答案】 【分析】 先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】 设关于直线的对称点， 所以 ，所以 ， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. (1) 小问详解： 联立方程 ，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点为， 则 ，解得，即； 则, 故的最小值为. 32．【答案】 【分析】 先求出点P的坐标，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求得，即可判断动直线恒过点，再利用几何法求得最大距离. 【详解】 设，由，得，故①， 又在双曲线上，所以②，由① ②可得， 所以，故， 联立 整理得， 设，则， 因为，所以， 得， 所以0， 得，即， 当，即时，直线过定点，不符合题意； 当，即时，直线过定点. 综上，到的距离的最大值为. 故答案为： 考点04 圆的方程 1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．ACD 11．A 12．B 13．C 14．BD 15．C 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. (1) 小问详解： 易知的斜率为，故所求直线斜率是， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； (2) 小问详解： 联立方程组 ，解得 ， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 17．【答案】（1）     （2）最大值为，最小值      【分析】 （1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围； （2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案. (1) 小问详解： 若此方程表示圆，则， 解得， 即实数m的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）可知，此时圆E：， 圆心坐标为，半径为1， 因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是，半径是1， 故圆F方程为， 则圆心到直线的距离， 故到直线的距离的最大值为，最小值. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由圆心在圆的弦的中垂线上和直线上，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等于半径，可得圆的半径，代入圆的标准方程即可求得； （2）利用点到直线的距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由圆经过点和，可得线段的中点坐标为， 则圆心在直线上，又在直线上， 故可得圆心，则半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心到直线的距离为. 故圆心到直线的距离为. 19．【答案】 【分析】 根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案. 【详解】 根据题意，方程表示圆， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 20．【答案】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径为，     （2）      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案. (1) 小问详解： 由可得该圆的标准方程为 其圆心为，半径为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为 所以直线：被圆所截得的弦长为 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. (1) 小问详解： 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得， ， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 22．【答案】 【分析】 按绝对值内表达式的符号分类，拆分原方程为椭圆和圆的方程；分析曲线所围成的封闭图形；分别计算圆的部分面积、椭圆的部分面积、三角形面积，求和得到总面积即可． 【详解】 当时，，则曲线的方程为， 当时，，则曲线的方程为，即． 如图所示，为圆心角且， 故曲线所围成的封闭图形可分为三部分， 其面积为． 故答案为：． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求线段的中点和直线的斜率，根据两直线垂直，可得线段中垂线的斜率，利用点斜式可得边的中垂线方程，再化成一般式即可. （2）先判断的形状，再判断其外接圆圆心和半径，可得的外接圆的标准方程． (1) 小问详解： 由题意，，， 所以的中点坐标为， 直线的斜率， 所以边的中垂线所在直线的斜率为， 所以边的中垂线所在直线的方程为， 即直线. (2) 小问详解： ，，， ，所以，即为直角三角形， 故的外接圆的圆心为的中点，即中点坐标为， 故圆心的坐标为，， 所以圆的方程为. 24．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，根据半径的值求出； （2）先求出圆心与点的距离，再结合圆的半径得到的取值范围； （3）分直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式求出直线方程. (1) 小问详解： 由， 得，则，得； (2) 小问详解： 由题意得，得，则在圆外， 所以.故的取值范围为； (3) 小问详解： 设到的距离为.由，得. 当的斜率不存在时，，符合题意； 当的斜率存在时，设，即. 由，得， 所以的方程为. 故的方程为或； 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由 ，得 ， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 设点． 因为点的坐标为，所以 即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． (1) 小问详解： 因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； (2) 小问详解： 设，，， 则有，，． 由，可得 ，解之得 ， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分析可知圆心坐标为，进而可得半径，即可得圆的方程； （2）设，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程运算求解即可. (1) 小问详解： 因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. (2) 小问详解： 设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $