精品解析：河北丰润车轴山中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

河北省唐山市丰润区车轴山中学2025-2026高二上期中考试 数学 一、单选题 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 5. “ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的等价条件得到方程，解出后再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】若“直线 与直线 相互垂直”， 则，该方程恒成立，则， 则可以推出，则充分性成立， 无法推出，则必要性不成立， 则“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据公切线条数可知两圆外切，可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果. 【详解】两圆公切线有且仅有三条 两圆外切 由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和 两圆圆心距，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数值，关键是能够根据公切线条数确定两圆的位置关系. 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 8. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 线段的最大值为，故B正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：B 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项. 【详解】对于A，由，显然时，恒成立， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确； 对于C，若截距均为0，则该直线为； 若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得， 即，故C错误； 对于D，由两直线平行可知， 此时方程可化为，故两直线距离为， 故D正确. 故选：ABD 10. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 11. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量判断B，利用向量的夹角公式判断C，设，求出平面的法向量，利用求出的轨迹方程，进而得到与六个面的交线判断D. 【详解】选项A：因为四棱柱是正四棱柱，且底面边长为， 所以， 又因为是等腰三角形，， 所以底边上的高为， 设点B到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点B到平面的距离是，A说法正确； 选项B：以为坐标原点，分别为轴建立如题所示坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 取，， 因为，所以平面与平面垂直，B说法正确； 选项C：底面中心，则， 又，所以， ，， 所以直线与直线所成角的余弦值，C说法错误； 选项D：若为线段的中点，则， 因为，，， 设平面的法向量，则，取平面的法向量， 设，则， 若平面，则， 整理得的轨迹方程为， 因为点在正四棱柱表面上运动， ，，， 所以6个表面方程及交线如下： ①下底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ②上底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ③后面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ④前面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑤左侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑥右侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； 由图象可得依次连接，形成一个闭合的六边形，D说法正确； 故选：ABD 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 13. 由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线长定理，结合点到直线距离公式计算作答. 【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离， 于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“， 所以线段的最小长度为. 故答案为： 14. 已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 【答案】， 【解析】 【分析】设出圆心和半径，根据弦长得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. 故答案为：， 四、解答题 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程， （2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解， （3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由两点式得边AB所在直线方程为，即． 【小问2详解】 因为，AC的中点， 所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 点C到边AB的距离为，， ． 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值.. （3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 【答案】（1） （2） ， 则 . 故. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【小问1详解】 设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. 【小问2详解】 略 19. 已知点，，曲线上任意一点满足 （1）求曲线的方程； （2）设点，过定点的直线与曲线相交于不同两点，，直线无论如何转动，轴都平分，请求出点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由，可得，化简即可得出； （2）设存在定点满足条件，分两种情况讨论，当直线斜率不存在，且点在圆内时，显然成立；当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，直线的方程与圆的方程联立化为：，由无论直线如何旋转，轴都平分，可得，可得，利用根与系数的关系代入即可得出结果． 【小问1详解】 设， ，，， ， 则曲线的方程：． 【小问2详解】 当直线与轴垂直，且在圆内时，易得关于轴对称，故必有轴平分． 当直线斜率存在时，设存在定点满足条件，设直线的方程为． 设，． 联立则， ， 判别式，，， 无论直线如何运动，轴都平分，则， ， ， ， ， 化为：，． 直线，可得直线经过定点， 存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何旋转，轴都平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市丰润区车轴山中学2025-2026高二上期中考试 数学 一、单选题 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. “ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹的长度为 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 10. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 11. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 13. 由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________． 14. 已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 四、解答题 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 19. 已知点，，曲线上任意一点满足 （1）求曲线的方程； （2）设点，过定点的直线与曲线相交于不同两点，，直线无论如何转动，轴都平分，请求出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $