专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）如果为实数，且，那么一定有（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）若函数 则　　　　　　　. 3．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）若，且，则的最小值等于　　　　　　　　　　　　　　　　. 4．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（1）用分数指数幂表示并计算(式中字母均为正数)： （2）已知，若 求 的值. 5．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 6．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（1）用分数指数幂表示并计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 7．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若，则　　　　　　. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·河北保定·联考）函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的图象恒过定点，则的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是增函数 D.  5．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（多选）若函数（且）的图象不经过第二象限，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）若函数（且)的图象不经过第二象限，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·河北保定·联考）已知函数（且）的图像与直线交于两点，若，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 10．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数． （1）证明：为奇函数； （2）求方程的解； （3）设函数，求在上的最大值与最小值． 11．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知奇函数与偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数，求在上的最小值. 12．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数（且）在上的最大值为，则　　　　　　　　　　. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）若，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数，若恒成立，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知，则　　　　　　　　　　.（用的代数式表示） 4．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（1）求的值； （2）求的值． 5．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）　　　　　　. 6．（2026·河北保定·联考）计算： （1）（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； （2） （3） 7．（25-26学年高一上·河北承德·期中）计算：　　　　　． 8．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（1）计算：． （2）计算：． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）设则的大小关系为   （             ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·河北保定·联考）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·河北保定·联考）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（       ）（参考数据：） A. 134 B. 269 C. 539 D. 540 4．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）（多选）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（     ） A. 2 B. 0 C.  D.  7．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北承德·期中）若函数 ，且在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·河北保定·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知函数在上的最大值与最小值之差为1． （1）求实数的值； （2）求的最小值； （3）求不等式的解集． 13．（2026·河北保定·联考）已知函数若对任意．总存在．使得，则a的取值范围是　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 15．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）函数在区间上取值范围为　　　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过　　　　　　　　　　　年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 17．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数，其中且. （1）当时，求函数的单调区间和值域； （2）解关于的不等式. 18．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·河北承德·期中）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（     ） A. 40分钟 B. 30分钟 C. 20分钟 D. 10分钟 2．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（       ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知函数 在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数 描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（     ） A. 6小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 18小时 5．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中正数为臭氧的初始含量，则（     ） A. 随着时间的增加，臭氧的含量增加 B. 随着时间的增加，臭氧的含量减少 C. 当时， D. 已知年臭氧含量为，年臭氧含量为，若，则 6．（2026·河北保定·联考）（多选）已知函数则下列结论正确的是（       ） A. 的图象关于点对称 B. 若，则一定有3个零点 C. 若有3个零点，则 D. 若有3个零点，且3a+b<0，则 7．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）已知函数 ，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（     ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C.  D. 的取值范围为 8．（25-26学年高一上·河北承德·期中）（多选）已知函数 ，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 最大的整数解是4 D. 最小的整数解是 9．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 10．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）2022年8月17日，为进一步捍卫国家主权和领土完整，中国人民解放军东部战区继续开展围绕某岛的军事演习，海陆空三军联手展开全域作战演练，各类现役主力装备悉数登场，其中解放军长航时无人机远海作战能力再一次强力震慑住了敌对势力.例如两型侦察干扰无人机可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌方的防空系统.为了检验实战效果，某作战部门对某处战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离的比值成正比，比例系数为常数.现已知相距36的两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为和，线段上任意一点处的干扰指数等于两机对该处的干扰指数之和，设. （1）试将表示为的函数，并求出定义域； （2）当时，试确定“干扰指数”最小时所处的位置. 11．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 12．（2026·河北保定·联考）已知函数 （1）求的零点； （2）求的值域； （3）判断在上的单调性，并根据定义证明． 13．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）函数 若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　，这6个实数根的和为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知函数，若存在，使得在上恰有两个零点，则实数的最小值是　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数 （1）若对任意实数x，都有，求a的值. （2）若，且关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围. （3）是否存在a，b，使得在上的值域为? 若存在，求a，b的所有值;若不存在，请说明理由. 16．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值在上的取值范围是（m是常数），则称函数具有性质M． （1）当时，函数是否具有性质M？若具有，求出区间；若不具有，说明理由； （2）若定义在上的函数具有性质M，求m的取值范围． （本题中函数的单调性不必给出证明） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）如果为实数，且，那么一定有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助指数运算法则计算可得，即得D符合；通过举反例排除A，B，C项可得结果. 【详解】 由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，则，故A不合题意； 对于B，若取，则，故B不合题意； 对于C，若取，则，故C不合题意. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·河北石家庄二中·期中）若函数 则　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 由分段函数解析式代入可得. 【详解】 ，，则. 故答案为：2. 3．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）若，且，则的最小值等于　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 利用指数运算并由基本不等式中“1”的妙用计算可得结果. 【详解】 由可得，因此； 又，所以； 当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值等于8. 故答案为：8 4．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（1）用分数指数幂表示并计算(式中字母均为正数)： （2）已知，若 求 的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根据条件，利用根式与指数幂的互化及指数幂的运算，即可求解； （2）令，利用指数幂的运算，再结合条件，即可求解. 【详解】 （1）， 所以的分数指数幂形式为， 又，所以. （2）因为，令，则① ， 又，则② ， 由① 减② 得到，即，所以， 故的值为. 5．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值； （2）由已知条件变形得出且，利用平方关系求出、，再结合立方和公式可化简得出所求代数式的值. 【详解】 （1）原式； （2）由得且， ，所以， ，所以， ，故. 6．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（1）用分数指数幂表示并计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根据条件，利用根式与指数幂的互化及指数幂的运算，即可求解； （2）令，利用指数幂的运算，再结合条件，即可求解. 【详解】 （1），所以的分数指数幂形式为， 又，所以. （2）因为，令，则① ， 又，则② ， 由①② 得到，即，所以， 故的值为. 7．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）若，则　　　　　　. 【答案】9 【分析】 根据幂的运算法则求解即可． 【详解】 若， 则. 故答案为：9 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出集合、，利用补集和交集的定义可得集合. 【详解】 因为，， 所以，则． 故选：B． 2．（2026·河北保定·联考）函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出的值域，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为的值域为，且在上单调递增， 所以的值域为， 故选：A 3．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）函数的图象恒过定点，则的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数函数过定点的性质即得 【详解】 令， 故的图象恒过定点． 故选：C. 4．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是增函数 D.  【答案】ACD 【分析】 利用指数函数的性质，可判断A、B、C，对D，根据条件，利用基本不等式的性质，即可求解. 【详解】 因为，又，由指数函数的性质知， 的定义域为，的值域为，在上单调递增， 所以A和C正确，B错误， 对于D，， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 故选：ACD. 5．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）（多选）若函数（且）的图象不经过第二象限，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据条件，利用指数函数的性质得 ，即可求解. 【详解】 因为函数恒过点， 又函数（且）的图象不经过第二象限，则 ， 即且， 故选：AC. 6．（25-26学年高一上·河北保定·期中）（多选）若函数（且)的图象不经过第二象限，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据给定条件，结合指数函数图象性质分析判断. 【详解】 由函数的图象可以看作由指数函数的图象向上（时）平移个单位或向下（时） 平移个单位得到，要使函数的图像不经过第二象限，根据指数函数的图象的性质可得， 又因为指数函数的图象恒经过点，所以必须将指数函数的图象向下平移至少1个单位，所以 故AC正确，BD错误，. 故选：AC 7．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用指数函数的单调性比较，的大小，利用幂函数的单调性比较，的大小，由此可得结论. 【详解】 因为函数为上的减函数， 又，所以，故， 因为函数在上单调递增，又， 所以，故， 综上. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由二次函数图象得到，再结合指数函数图象与平移即可解题. 【详解】 由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 故选：B． 9．（2026·河北保定·联考）已知函数（且）的图像与直线交于两点，若，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 先证明是偶函数，根据图像关于y轴对称，得到，代入函数求解值. 【详解】 函数定义域为,所以是偶函数． 当时，函数，函数在上单调，故位于轴两侧， 设A在第一象限，在第二象限．因为，所以，， 所以，解得． 故选：A 10．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数． （1）证明：为奇函数； （2）求方程的解； （3）设函数，求在上的最大值与最小值． 【答案】（1） 依题意得的定义域为，定义域关于原点对称. 因为，所以为奇函数.     （2）     （3）最小值为1，最大值为      【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）由题设可得，令，解出，进而求解即可； （3）令，由题设可得，进而根据二次函数的单调性求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由， 令，则， 所以，即， 解得或（舍去）， 则，解得，故方程的解为. (3) 小问详解： 由，， 令，所以函数， 则在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为1，最大值为. 11．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知奇函数与偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数，求在上的最小值. 【答案】（1），.     （2）     （3）当时，； 当时，； 当时，.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. (1) 小问详解： 因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. (2) 小问详解： 由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . (3) 小问详解： 由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 12．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数（且）在上的最大值为，则　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最大值列方程，解方程可得的值. 【详解】 ， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，，解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时，，解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 故答案为：或 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）若，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】 ， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数，若恒成立，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 令由题意零点相同，求得；再分和分析是否恒有即可判断. 【详解】 由题意的定义域为， 令 由题意零点相同， 所以，得, 若，当时，，不符合题意； 若， 时，， 时，， 时，. 恒有 故选：B. 3．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知，则　　　　　　　　　　.（用的代数式表示） 【答案】 【分析】 根据对数运算的性质进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 故答案为：. 4．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【详解】 （1） . （2） 5．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）　　　　　　. 【答案】7 【分析】 根据指数和对数的公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：7 6．（2026·河北保定·联考）计算： （1）（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 （1）将根式化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则计算即可. （2）利用零指数幂、负数指数幂、分数指数幂的运算法则计算即可. （3）直接利用对数的运算法则，化简计算即可. (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 原式． (3) 小问详解： 原式 7．（25-26学年高一上·河北承德·期中）计算：　　　　　． 【答案】 【分析】 由指数、对数的运算性质即可求解. 【详解】 由指数幂与对数的运算性质得， 故答案为： 8．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 根据指数和对数的运算性质化简即可. 【详解】 （1）原式 . （2） . 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）设则的大小关系为   （             ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对数函数、幂函数等知识来确定正确答案. 【详解】 ， 在上单调递增，所以， 所以. 故选：D 2．（2026·河北保定·联考）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 函数需满足被开方数大于等于0，真数大于0，即可得到函数的定义域. 【详解】 要使函数有意义则 ，解得，所以的定义域为 故选：A 3．（2026·河北保定·联考）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（       ）（参考数据：） A. 134 B. 269 C. 539 D. 540 【答案】B 【分析】 将函数值代入求解即可. 【详解】 由题意可得，则． 故选：B. 4．（25-26学年高一上·河北六校联合体·期中）已知全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先解对数不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得. 【详解】 由，即，所以， 所以，又全集，所以. 故选：D 5．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以． 故选：B 6．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）（多选）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（     ） A. 2 B. 0 C.  D.  【答案】CD 【分析】 进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解． 【详解】 因为命题“”为真命题， 所以． 令， 根据增函数减去减函数知：为增函数， 当时，有最小值， 故实数的取值范围为． 故选：CD． 7．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据对数函数的单调性，化简分析，即可得答案. 【详解】 因为，所以， 又，所以， 所以． 故选：A 8．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据具体函数有意义，可得关于的不等式，解之即可得函数的定义域. 【详解】 由函数有意义， 等价于 ，解得， 可得函数的定义域为. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·河北承德·期中）若函数 ，且在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端点函数值小于等于右端点函数值，得到不等式组，求出 【详解】 当时，单调递增须满足，解得； 当时，单调递增须满足，且． 所以要使函数在上单调递增，须满足 ，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 10．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由对数函数单调性和中间值2，即可比较大小. 【详解】 因为，函数是增函数， 所以． 因为函数是增函数，所以． 所以，即． 故选：D． 11．（25-26学年高一上·河北保定·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据根式和对数的性质即可求解. 【详解】 因为，所以 解得或， 即的定义域为. 故答案为： 12．（25-26学年高一上·河北承德·期中）已知函数在上的最大值与最小值之差为1． （1）求实数的值； （2）求的最小值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据对数函数的单调性，结合已知条件列出关于的方程，进而求解的值. （2）先求出的表达式，再根据二次函数的性质求出的最小值，最后根据对数函数的单调性求出的最小值. （3）先对不等式右边化简，再根据对数函数的单调性列出关于的不等式，进而求解不等式的解集. (1) 小问详解： 因为函数，根据对数函数的性质，当时，函数在区间上单调递增．所以在区间上单调递增， 又因为函数在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得． (2) 小问详解： 由（1）得，则． 因为对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递增，所以， 即的最小值为． (3) 小问详解： 由（1）知，， 又因为， 所以，即， 所以，令， 则，即， 解 得；解 得． 所以的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为. 13．（2026·河北保定·联考）已知函数若对任意．总存在．使得，则a的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把问题转化为在上的值域是在上值域的子集，对分类讨论即可得出答案. 【详解】 当时，．当时，记的值域为，则． ，函数均在上单调递增，所以函数在上单调递增． 当时，则的值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，的值域为，不符合题意； 当时，在上单调递增，的值域为，由题意可得，，解得． 综上，的取值范围是． 故答案为： 14．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为     （2）存在，实数      【分析】 （1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间. （2）根据的最小值为列方程，从而求得的值. (1) 小问详解： ∵，∴，即， ，由， 解得，∴函数的定义域为， ∵函数在上单调递增，在上单调递减， 又∵在上为增函数， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 小问详解： 设存在实数a，使函数的最小值为0，， ∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②， 联立① ②解得：， ∴存在实数，使函数的最小值为0. 15．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）函数在区间上取值范围为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据对数函数单调性得出函数的最值，最后写出值域即可. 【详解】 因为函数在区间上递减， 所以函数的最大值为， 函数的最小值为， 所以函数在区间上取值范围为, 故答案为：. 16．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过　　　　　　　　　　　年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】 根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】 由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 17．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）已知函数，其中且. （1）当时，求函数的单调区间和值域； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）增区间为，减区间为，值域为.     （2）当时，关于的不等式的解集为，当时，关于的不等式的解集为.      【分析】 （1）根据指数函数及二次函数单调性应用复合函数单调性性质计算求解，进而得出函数的单调区间和值域； （2）分及应用对数函数单调性及对数复合函数定义域列式计算求解. (1) 小问详解： 由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. (2) 小问详解： ① 当时，关于的不等式可化为， 可化为 或 . 可得或， 故关于的不等式的解集为. ② 当时，关于的不等式可化为， 可化为 或 . 可得或， 故关于的不等式的解集为. 综上，当时，关于的不等式的解集为， 当时，关于的不等式的解集为. 18．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）最小值为，；（ii）     （2）      【分析】 （1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. (2) 小问详解： 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·河北承德·期中）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（     ） A. 40分钟 B. 30分钟 C. 20分钟 D. 10分钟 【答案】D 【分析】 先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】 由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 2．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】 由已知，则，则， 可知函数为周期函数，最小正周期， 又当时，， 可知函数的图象如图所示，且的值域为， 关于的方程至少有两解， 可得函数与函数的图象至少有两个交点， 如图所示，    可知当时，，解得，即， 当时，，解得，即， 综上所述， 故选：C. 3．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知函数 在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由在， 上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数 且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】 解：由在上单调递减，得， 又由 且在上单调递减， 得，解得，所以， 作出函数 且在上的大致图象， 由图象可知，在上，有且仅有一个解， 故在上，同样有且仅有一个解， 当，即时，联立，即， 则，解得：， 当时，即，由图象可知，符合条件． 综上：． 故选：C． 4．（25-26学年高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数 描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（     ） A. 6小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 18小时 【答案】D 【分析】 当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即小于或等于200时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可. 【详解】 由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动， 得当小于或等于200时，可开展户外活动，即， 因为 所以当时，，解得， 当时，，解得． 综上，可开展户外活动的时长至多为小时． 故选:D. 5．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中正数为臭氧的初始含量，则（     ） A. 随着时间的增加，臭氧的含量增加 B. 随着时间的增加，臭氧的含量减少 C. 当时， D. 已知年臭氧含量为，年臭氧含量为，若，则 【答案】BCD 【分析】 由指数型复合函数的单调性和指数幂的运算逐项判断即可. 【详解】 对于A，B选项，由函数单调递减，函数单调递增， 可得函数单调递减，故A选项错误，B选项正确； 对于C选项，当时，，故C选项正确； 对于D选项，由，有，可得，故D选项正确. 故选：BCD. 6．（2026·河北保定·联考）（多选）已知函数则下列结论正确的是（       ） A. 的图象关于点对称 B. 若，则一定有3个零点 C. 若有3个零点，则 D. 若有3个零点，且3a+b<0，则 【答案】ABD 【分析】 选项A，求出即可得解；选项B，求出，由得到，求出，由，得到，从而得到， 由，得到在上至少有1个零点，在上至少有1个零点，在上至少有1个零点，从而可以判断出选项B；选项C，由有3个零点，得到，整理化简，利用等式两边对应项的系数相等建立等式，即可得解；选项D，由，得到的范围，计算即可得解． 【详解】 因为，所以的图象关于点对称，A正确． ．因为， 所以．， ，， ，，， ，， ， ， 因为，所以在上至少有1个零点， 在上至少有1个零点，在上至少有1个零点． 又因为三次函数最多有3个零点，所以一定有3个零点，B正确． 若有3个零点，则， 化简得， 所以 ，C错误. 因为，所以，D正确． 故选：ABD. 7．（25-26学年高一上·河北邯郸·期中）（多选）已知函数 ，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（     ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C.  D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 画出函数图象，即可判断A，由与有且仅有个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断B，结合图象可得，再由对称性即可判断C，将式子转化为关于的解析式，结合函数的单调性，即可判断D. 【详解】 因为 ， 当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，； 当时，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，； 所以函数的图象如下：    对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确； 对于B：因为函数有且仅有4个零点， 令，则，即与有且仅有个交点， 由函数的图象可知，，故B错误； 对于C：由函数的图象可知， 又由，有，可得， 又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确； 对于D：由， 则 ， 又函数单调递增，所以， 单调递增，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 8．（25-26学年高一上·河北承德·期中）（多选）已知函数 ，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 最大的整数解是4 D. 最小的整数解是 【答案】BCD 【分析】 作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解. 【详解】 因为当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因为在单调递减，而单调递增， 所以在定义域内单调递减， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下： 令，则，即，根据的图象可知， 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 当且仅当时，有两个整数根或． 要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时，，则． 即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确． 解方程得或，解方程得， 此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确． 故选：BCD． 9．（25-26学年高一上·河北石家庄第四中学·期中）已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 【答案】（1）偶函数，证明：因为且定义域为R，所以是偶函数.     （2）      【分析】 (1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 10．（25-26学年高一上·河北唐山第二中学·期中）2022年8月17日，为进一步捍卫国家主权和领土完整，中国人民解放军东部战区继续开展围绕某岛的军事演习，海陆空三军联手展开全域作战演练，各类现役主力装备悉数登场，其中解放军长航时无人机远海作战能力再一次强力震慑住了敌对势力.例如两型侦察干扰无人机可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌方的防空系统.为了检验实战效果，某作战部门对某处战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离的比值成正比，比例系数为常数.现已知相距36的两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为和，线段上任意一点处的干扰指数等于两机对该处的干扰指数之和，设. （1）试将表示为的函数，并求出定义域； （2）当时，试确定“干扰指数”最小时所处的位置. 【答案】（1），定义域为     （2）“干扰指数”最小时所处位置在距离A点处      【分析】 （1）根据题意即可求出，继而根据问题实际意义求得函数定义域； （2）将变为，利用基本不等式即可求得答案. (1) 小问详解： 由题意，点受A干扰指数为，点受干扰指数为，其中， 从而点处干扰指数：， 又， 故定义域为. (2) 小问详解： 当，时， , 当且仅当,即时，等号成立. 故“干扰指数”最小时所处位置在距离A点处. 11．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） ；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出； （2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围. (1) 小问详解： 由已知可得. 当时，在上为增函数，所以 ，解得 ； 当时，在上为减函数，所以 ，解得 . 由于，所以 . (2) 小问详解： 由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 所以求实数的范围为. (3) 小问详解： 方程化为， 化为，且. 令，则方程化为. 作出的函数图象 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根， 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设， 记， 根据二次函数的图象与性质可得 ，或 ， 解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况. 12．（2026·河北保定·联考）已知函数 （1）求的零点； （2）求的值域； （3）判断在上的单调性，并根据定义证明． 【答案】（1）     （2）     （3） 在上单调递增．证明如下： ，且， ． 由，且，得， 所以，，所以， 即，所以在上单调递增．      【分析】 （1）令，求出可得函数的零点； （2）利用换元法令，则，求出二次函数在的值域即可； （3），且，用作差法比较的大小，得到，所以在上单调递增． (1) 小问详解： 令，即， 则，且， 解得，即的零点为． (2) 小问详解： 令，则， 所以的值域为． (3) 小问详解： 略 13．（25-26学年高一上·河北沧衡名校联·期中）函数 若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　，这6个实数根的和为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】 函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填 14．（25-26学年高一上·河北沧州·期中）已知函数，若存在，使得在上恰有两个零点，则实数的最小值是　　　　　　. 【答案】 【详解】根据函数存在在上恰有两个零点,则求得当时满足条件的.再由当时取到零点,即可求得的值. 【详解】因为函数,在上恰有两个零点 则必在与时恰好取到零点的边界 若时,的零点满足 解方程求得或 当时, ,满足在上恰有两个零点 则,且 解方程可得(舍)或(舍) 当时, ,满足在上恰有两个零点 则,且 解方程可得(舍)或 综上可知,当时满足在上恰有两个零点 故答案为: 【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题. 15．（25-26学年高一上·河北秦皇岛部分学校·期中）已知函数 （1）若对任意实数x，都有，求a的值. （2）若，且关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围. （3）是否存在a，b，使得在上的值域为? 若存在，求a，b的所有值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）根据给定条件，代入计算，结合恒成立列式求出值. （2）由可得，再利用判别式列出不等式求解即得. （3）按分类，结合函数单调性及二次函数性质求出在上的最小值、最大值，再列式求解即可. (1) 小问详解： 对任意实数x，恒成立， 即对任意实数x，恒成立，因此，解得， 所以a的值是. (2) 小问详解： 由，得，由关于x的方程有两个不同的实数根， 得 ，解得且， 所以a的取值范围. (3) 小问详解： 当时，函数在上单调递增， ，依题意， ，无解； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，，函数在上单调递增，则 ， 依题意， ，解得，与矛盾； 当时，，若，即，函数在上单调递增， 则 ，解得，与矛盾； 若，即，函数在上的最大值为， 最小值为或，于是 或 ， 解得，此时在上的值域为，符合要求， 所以存在实数，使得在上的值域为，. 16．（25-26学年高一上·河北衡水中学·期中）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值在上的取值范围是（m是常数），则称函数具有性质M． （1）当时，函数是否具有性质M？若具有，求出区间；若不具有，说明理由； （2）若定义在上的函数具有性质M，求m的取值范围． （本题中函数的单调性不必给出证明） 【答案】（1）在区间上具有性质M     （2）．      【分析】 （1）首先求出函数的定义域与单调性，根据题意 ，解得即可; （2）分为和两种情况，，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不相等的实根，构造函数结合函数性质求出参数范围. (1) 小问详解： 因为在上单调递增， 所以在上函数值的取值范围是， 若函数具有性质M，应有 因为，所以 ， 故时，函数在区间上具有性质M． (2) 小问详解： ， ① 当时，在上单调递减， ∴ ，即 ， 两式相除，得，整理得， ∵与矛盾，∴当时，不合题意． ② 当时，在上单调递增， ∴ ，即 所以方程在上有两个不相等的实根， 即在上有两个不相等的实根， 令， ∵在上单调递增，在上单调递减， 且，， ∴由图可知，实数m的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．D 2．【答案】2 【分析】 由分段函数解析式代入可得. 【详解】 ，，则. 故答案为：2. 3．【答案】8 【分析】 利用指数运算并由基本不等式中“1”的妙用计算可得结果. 【详解】 由可得，因此； 又，所以； 当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值等于8. 故答案为：8 4．【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根据条件，利用根式与指数幂的互化及指数幂的运算，即可求解； （2）令，利用指数幂的运算，再结合条件，即可求解. 【详解】 （1）， 所以的分数指数幂形式为， 又，所以. （2）因为，令，则① ， 又，则② ， 由① 减② 得到，即，所以， 故的值为. 5．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值； （2）由已知条件变形得出且，利用平方关系求出、，再结合立方和公式可化简得出所求代数式的值. 【详解】 （1）原式； （2）由得且， ，所以， ，所以， ，故. 6．【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根据条件，利用根式与指数幂的互化及指数幂的运算，即可求解； （2）令，利用指数幂的运算，再结合条件，即可求解. 【详解】 （1），所以的分数指数幂形式为， 又，所以. （2）因为，令，则① ， 又，则② ， 由①② 得到，即，所以， 故的值为. 7．【答案】9 【分析】 根据幂的运算法则求解即可． 【详解】 若， 则. 故答案为：9 考点02 指数函数 1．B 2．A 3．C 4．ACD 5．AC 6．AC 7．D 8．B 9．A 10．【答案】（1） 依题意得的定义域为，定义域关于原点对称. 因为，所以为奇函数.     （2）     （3）最小值为1，最大值为      【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）由题设可得，令，解出，进而求解即可； （3）令，由题设可得，进而根据二次函数的单调性求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由， 令，则， 所以，即， 解得或（舍去）， 则，解得，故方程的解为. (3) 小问详解： 由，， 令，所以函数， 则在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为1，最大值为. 11．【答案】（1），.     （2）     （3）当时，； 当时，； 当时，.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. (1) 小问详解： 因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. (2) 小问详解： 由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . (3) 小问详解： 由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 12．【答案】或 【分析】 讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最大值列方程，解方程可得的值. 【详解】 ， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，，解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时，，解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 故答案为：或 考点03 对数 1．A 2．B 3．【答案】 【分析】 根据对数运算的性质进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 故答案为：. 4．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【详解】 （1） . （2） 5．【答案】7 【分析】 根据指数和对数的公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：7 6．【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 （1）将根式化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则计算即可. （2）利用零指数幂、负数指数幂、分数指数幂的运算法则计算即可. （3）直接利用对数的运算法则，化简计算即可. (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 原式． (3) 小问详解： 原式 7．【答案】 【分析】 由指数、对数的运算性质即可求解. 【详解】 由指数幂与对数的运算性质得， 故答案为： 8．【答案】（1）；（2） 【分析】 根据指数和对数的运算性质化简即可. 【详解】 （1）原式 . （2） . 考点04 对数函数 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．CD 7．A 8．A 9．C 10．D 11．【答案】 【分析】 根据根式和对数的性质即可求解. 【详解】 因为，所以 解得或， 即的定义域为. 故答案为： 12．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据对数函数的单调性，结合已知条件列出关于的方程，进而求解的值. （2）先求出的表达式，再根据二次函数的性质求出的最小值，最后根据对数函数的单调性求出的最小值. （3）先对不等式右边化简，再根据对数函数的单调性列出关于的不等式，进而求解不等式的解集. (1) 小问详解： 因为函数，根据对数函数的性质，当时，函数在区间上单调递增．所以在区间上单调递增， 又因为函数在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得． (2) 小问详解： 由（1）得，则． 因为对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递增，所以， 即的最小值为． (3) 小问详解： 由（1）知，， 又因为， 所以，即， 所以，令， 则，即， 解 得；解 得． 所以的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为. 13．【答案】 【分析】 把问题转化为在上的值域是在上值域的子集，对分类讨论即可得出答案. 【详解】 当时，．当时，记的值域为，则． ，函数均在上单调递增，所以函数在上单调递增． 当时，则的值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，的值域为，不符合题意； 当时，在上单调递增，的值域为，由题意可得，，解得． 综上，的取值范围是． 故答案为： 14．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为     （2）存在，实数      【分析】 （1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间. （2）根据的最小值为列方程，从而求得的值. (1) 小问详解： ∵，∴，即， ，由， 解得，∴函数的定义域为， ∵函数在上单调递增，在上单调递减， 又∵在上为增函数， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 小问详解： 设存在实数a，使函数的最小值为0，， ∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②， 联立① ②解得：， ∴存在实数，使函数的最小值为0. 15．【答案】 【分析】 根据对数函数单调性得出函数的最值，最后写出值域即可. 【详解】 因为函数在区间上递减， 所以函数的最大值为， 函数的最小值为， 所以函数在区间上取值范围为, 故答案为：. 16．【答案】50 【分析】 根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】 由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 17．【答案】（1）增区间为，减区间为，值域为.     （2）当时，关于的不等式的解集为，当时，关于的不等式的解集为.      【分析】 （1）根据指数函数及二次函数单调性应用复合函数单调性性质计算求解，进而得出函数的单调区间和值域； （2）分及应用对数函数单调性及对数复合函数定义域列式计算求解. (1) 小问详解： 由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. (2) 小问详解： ① 当时，关于的不等式可化为， 可化为 或 . 可得或， 故关于的不等式的解集为. ② 当时，关于的不等式可化为， 可化为 或 . 可得或， 故关于的不等式的解集为. 综上，当时，关于的不等式的解集为， 当时，关于的不等式的解集为. 18．【答案】（1）（i）最小值为，；（ii）     （2）      【分析】 （1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. (2) 小问详解： 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 考点05 函数的应用（二） 1．D 2．C 3．C 4．D 5．BCD 6．ABD 7．ACD 8．BCD 9．【答案】（1）偶函数，证明：因为且定义域为R，所以是偶函数.     （2）      【分析】 (1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 10．【答案】（1），定义域为     （2）“干扰指数”最小时所处位置在距离A点处      【分析】 （1）根据题意即可求出，继而根据问题实际意义求得函数定义域； （2）将变为，利用基本不等式即可求得答案. (1) 小问详解： 由题意，点受A干扰指数为，点受干扰指数为，其中， 从而点处干扰指数：， 又， 故定义域为. (2) 小问详解： 当，时， , 当且仅当,即时，等号成立. 故“干扰指数”最小时所处位置在距离A点处. 11．【答案】（1） ；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出； （2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围. (1) 小问详解： 由已知可得. 当时，在上为增函数，所以 ，解得 ； 当时，在上为减函数，所以 ，解得 . 由于，所以 . (2) 小问详解： 由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 所以求实数的范围为. (3) 小问详解： 方程化为， 化为，且. 令，则方程化为. 作出的函数图象 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根， 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设， 记， 根据二次函数的图象与性质可得 ，或 ， 解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况. 12．【答案】（1）     （2）     （3） 在上单调递增．证明如下： ，且， ． 由，且，得， 所以，，所以， 即，所以在上单调递增．      【分析】 （1）令，求出可得函数的零点； （2）利用换元法令，则，求出二次函数在的值域即可； （3），且，用作差法比较的大小，得到，所以在上单调递增． (1) 小问详解： 令，即， 则，且， 解得，即的零点为． (2) 小问详解： 令，则， 所以的值域为． (3) 小问详解： 略 13．【答案】①     ② 【分析】 令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】 函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填 14．【答案】 【详解】根据函数存在在上恰有两个零点,则求得当时满足条件的.再由当时取到零点,即可求得的值. 【详解】因为函数,在上恰有两个零点 则必在与时恰好取到零点的边界 若时,的零点满足 解方程求得或 当时, ,满足在上恰有两个零点 则,且 解方程可得(舍)或(舍) 当时, ,满足在上恰有两个零点 则,且 解方程可得(舍)或 综上可知,当时满足在上恰有两个零点 故答案为: 【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题. 15．【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）根据给定条件，代入计算，结合恒成立列式求出值. （2）由可得，再利用判别式列出不等式求解即得. （3）按分类，结合函数单调性及二次函数性质求出在上的最小值、最大值，再列式求解即可. (1) 小问详解： 对任意实数x，恒成立， 即对任意实数x，恒成立，因此，解得， 所以a的值是. (2) 小问详解： 由，得，由关于x的方程有两个不同的实数根， 得 ，解得且， 所以a的取值范围. (3) 小问详解： 当时，函数在上单调递增， ，依题意， ，无解； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，，函数在上单调递增，则 ， 依题意， ，解得，与矛盾； 当时，，若，即，函数在上单调递增， 则 ，解得，与矛盾； 若，即，函数在上的最大值为， 最小值为或，于是 或 ， 解得，此时在上的值域为，符合要求， 所以存在实数，使得在上的值域为，. 16．【答案】（1）在区间上具有性质M     （2）．      【分析】 （1）首先求出函数的定义域与单调性，根据题意 ，解得即可; （2）分为和两种情况，，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不相等的实根，构造函数结合函数性质求出参数范围. (1) 小问详解： 因为在上单调递增， 所以在上函数值的取值范围是， 若函数具有性质M，应有 因为，所以 ， 故时，函数在区间上具有性质M． (2) 小问详解： ， ① 当时，在上单调递减， ∴ ，即 ， 两式相除，得，整理得， ∵与矛盾，∴当时，不合题意． ② 当时，在上单调递增， ∴ ，即 所以方程在上有两个不相等的实根， 即在上有两个不相等的实根， 令， ∵在上单调递增，在上单调递减， 且，， ∴由图可知，实数m的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $