精品解析：河北省衡水市2025-2026学年高二上学期第三次调研考试数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级三调考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解. 【详解】数列 通项公式为， 当， 解得， 故选：B. 【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为， 所以，所以. 所以焦点坐标为. 故选：C. 3. 已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求出结果. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得， 故选：A. 4. 已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在圆的外部，然后设所求圆的半径为r，再由求解. 【详解】因为， 所以点在圆的外部， 设以为圆心的圆的半径为：r， 则， 解得， 所以所求圆的方程为：. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 6. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 7. 已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线恒过定点，结合圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系求解即可. 【详解】直线化简为，即直线恒过定点. 当时，取得最小值. ，则直线的斜率为，解得. 故选：B 8. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设，，再由的周长为得到关于的方程，从而求得的值. 【详解】双曲线渐近线方程为， 抛物线的准线方程为， 则，，， ， 又的周长为， ， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、抛物线的准线方程、三角形的周长等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将周长表示成关于的方程. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D． 【详解】A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确； B选项，中，所以四点共面，B正确； 选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面， 若共面，则存在实数，使得，所以，从而， 与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确； 选项D，时，是钝角或，D错． 故选：ABC． 10. 圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的方程为 B. C. 线段AB的垂直平分线方程为 D. 点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：两个圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程； B：利用几何关系即可求AB弦长； C：弦AB中垂线为； D：根据几何关系，点P到直线AB的距离的最大值P到AB距离与圆半径之和. 【详解】； . 对于A，由与，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离，半径为，则，故B错误； 对于C，圆的圆心为，圆的圆心的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故C正确； 对于D为圆上一动点，圆心到弦AB：的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且，则的值是____. 【答案】或 【解析】 【分析】求出，再由得到，列式求解即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为， 所以， 解得或. 故答案为：或. 13. 抛物线的准线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程. 【详解】由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 解得，故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 14. 双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 则，离心率， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【小问1详解】 经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； 【小问2详解】 ∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 16. 如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设平面的一个法向量为 由，令，所以，， 故， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 故 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上， （1）求的标准方程； （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程； （2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点. 【小问1详解】 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 根据题意可知， ∴的标准方程为 【小问2详解】 ∵，∴， ∴设直线， 则联立方程组得，即， ∴，∴， ∴， ∴直线过动点. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 19. 已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值； (2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）由条件得到m=2k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦长公式|AB|，代入整理，解得． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由条件结合韦达定理得到3m2=8k2+8．利用点O到直线AB的距离公式求得d2=，从而得到定值． 【详解】（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=， 代入整理得，解得k2=1.∴． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB为直径的圆过原点O，即． ∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2=，x1x2=代入， 整理得3m2=8k2+8．设点O到直线AB的距离为d， 于是d2=， 故O到直线AB的距离是定值为． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二年级三调考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 4. 已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 7. 已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 8. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 10. 圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的方程为 B. C. 线段AB的垂直平分线方程为 D. 点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且，则的值是____. 13. 抛物线的准线方程是_______． 14. 双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 16. 如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上， （1）求的标准方程； （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 19. 已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值； (2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $