专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，新疆专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）（多选）如果，那么下列不等式不正确的是(       ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）下列四个命题中为假命题的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 3．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）若实数a，b满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）若a＞b，c＞d，则（     ） A.  B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 6．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）下列命题中错误的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C.  D. 若，则 10．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）下列说法中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）（多选）下列说法错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， ，则 12．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）若，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 15．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知，则下列命题中为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 16．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，求和的取值范围； 17．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　.（用区间表示） 18．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）若实数，满足，，则的取值范围是　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与. 20．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）（1）比较与两个代数式的大小. （2）求不等式的解集. （3）已知，，求的取值范围. 22．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（　     　） A. 的最小值是3 B. 的最大值是5 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 2．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）若，则的最小值是（       ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 3．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C.  D.  5．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）若，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）（多选）设正实数a，b满足，则（       ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最大值2 D. 有最小值 7．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知为正实数，，则（       ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为-12 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）设正实数满足，则下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 13 12．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）设正实数，满足，则（       ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 13．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）（多选）下列推导过程，正确的为（       ） A. 因为a，b为正实数，所以 B. 因为，所以 C. 取得最大值时的值为 D. 已知则 14．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）下列结论中，错误的结论有（     ） A. 取得最大值时x的值为1 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，，则的最小值为 15．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若，则的最小值是　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（1）设，，且，求的最大值； （2）若，求的最小值. 17．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）求下列函数的最值. （1）已知，求的最小值； （2）已知：，，且，求的最小值. 18．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知，，，则的最小值是　　　　　　． 19．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值. 20．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 21．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数为一次函数，且对均满足. （1）求函数的解析式； （2）已知，，且，求的最小值. 22．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 23．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（1）已知，且，求的最小值； （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，则求这个矩形菜园的面积最大值. 24．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为　　　　　　　　　　. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知集合，，若，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（        ） A.  B.  C.  D. 的解集为 6．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）不等式的解集为 A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知命题p：，有，则（       ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 10．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）不等式的解集为（     ） A. 或 B.  C. 或 D.  11．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（  ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知集合，集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 16．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）若不等式的解集为，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 的解集为 20．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 的解集为 21．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解为　　　　　　 22．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）若集合，则的子集个数为　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）解下列不等式： （1） （2） 24．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）解下列不等式. （1）； （2），其中是常数. 25．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0. （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围. 26．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）比较与的大小 （2）关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（1）解不等式； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围： 28．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）解下列不等式： （1） （2） 29．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）函数的值域是　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）（1）已知函数，且，，求函数的解析式. （2）已知，且，求的最大值. 31．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）解下列不等式. （1）； （2）. 32．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 33．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知函数的定义域是，值域为则的取值范围是　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）若关于的不等式（1－a）x2－4x＋6<0的解集是{x| x<－3或x> 1}． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式2x2＋（2－a）x－a>0． 35．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知二次函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值，并写出取最小值时的值. 36．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围． 37．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．BCD 2．BCD 3．D 4．ACD 5．C 6．C 7．ACD 8．A 9．C 10．ACD 11．ABC 12．D 13．ABC 14．B 15．BC 16．【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）利用作差比较法进行判断即可； （2）利用不等式的基本性质进行求解即可. 【详解】 （1）因为， 所以； （2），， 又，， ，， 又，. 17．【答案】 【分析】 由不等式的性质即可求解. 【详解】 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 18．【答案】 【分析】 应用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】 由，则，而，故. 故答案为： 19．【答案】（1）     （2） 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则.      【分析】 （1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. (1) 小问详解： ，. (2) 小问详解： ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 20．【答案】 【分析】 作差法比较大小即可. 【详解】 ， 由x＞0，y＞0且x≠y知，， , 即 故答案为： 21．【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用作差法进行判断比较即可； （2）将不等式左边进行因式分解，即可求得不等式的解集； （3）根据不等式的性质求解即可. 【详解】 （1）因为， 所以； （2）由可得，解得或， 故原不等式的解集为； （3）因为，，所以，所以. 22．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用完全平方公式和平方差公式即可因式分解； （2）利用十字相乘法即可因式分解； （3）利用完全平方式和平方差公式即可因式分解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . (3) 小问详解： . 考点02 基本不等式 1．ABD 2．C 3．BCD 4．B 5．C 6．AD 7．BCD 8．C 9．D 10．BC 11．B 12．ACD 13．ACD 14．AC 15．【答案】12 【分析】 直接利用基本不等式计算求出最小值即可. 【详解】 因为， 所以，当且仅当即时，取“=”号， 所以当时，的最小值为12， 故答案为：12. 16．【答案】（1）81；（2）7. 【分析】 （1）根据给定条件，利用基本不等式求出积的最大值. （2）根据给定条件，利用配凑法，结合基本不等式求出和的最小值. 【详解】 （1）由，，，得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值81. （2）由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值7. 17．【答案】（1）4；     （2）.      【分析】 （1）由基本不等式求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法求解即可； (1) 小问详解： ， 当且仅当时取等号，所以最小值为4. (2) 小问详解： ， 当且仅当时取等号，又，即，， 所以最小值为. 18．【答案】8 【分析】 可通过基本不等式将等式转化为不等式，然后解不等式即可. 【详解】 因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 19．【答案】时的最大面积为 【分析】 由题意可知，，即，设，则，，再根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得面积的最大值及相应的的值. 【详解】 由题意可知，矩形的周长为，，即， 设，则，，而为直角三角形， ∴，∴，∴， ∴. 当且仅当，即，此时满足， 即时的最大面积为. 20．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 21．【答案】（1）     （2）最小值为9      【分析】 （1）设，根据题意列式求即可； （2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. (1) 小问详解： 设，则， 可得 ，解得，， 所以. (2) 小问详解： 因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为9； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为9. 22．【答案】（1）     （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元      【分析】 （1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. (1) 小问详解： 当时，； 当时，， 故 ； (2) 小问详解： 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 23．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值； （2）设矩形菜园的长、宽分别为、，可得出，利用基本不等式可求得矩菜园面积的最大值. 【详解】 （1）因为，且， 所以， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故的最小值为； （2）设矩形菜园的长、宽分别为、，则， 该矩形菜园的面积为， 当且仅当时，等号成立， 故这个矩形菜园的面积最大值为. 24．【答案】 【分析】 先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】 由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B 11．C 12．ABC 13．B 14．C 15．AC 16．D 17．A 18．C 19．D 20．ABC 21．【答案】 【分析】不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0，利用根与系数的关系可得a，b，即可得出． 【详解】解：∵不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，∴-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0， 解得解得a=-1，b=1．则不等式化为，解得. 不等式的解集为. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题． 22．【答案】8 【分析】 化简集合，即可由子集个数公式求解. 【详解】 由题意得，所以的子集个数为. 故答案为：8. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）化简为一元二次不等式，根据一元二次不等式得解集即可； （2）化简为一元二次不等式，根据一元二次不等式得解集即可. (1) 小问详解： 不等式化为， 解得，故不等式的解集为； (2) 小问详解： 不等式化为， 因为恒成立，故不等式的解集为. 24．【答案】（1）或     （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论进行求解即可. (1) 小问详解： ，或， 所以原不等式的解集为或； (2) 小问详解： ， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 25．【答案】（1）；（2）﹣8＜k≤0. 【详解】（1）由解集为，知和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入求k的值； （2）讨论k是否为0，分别求得k的范围，求并集即为k的取值范围. 【详解】 （1）关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为， ∴和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得； （2）若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R， ∴当k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意； 当k≠0时，应满足 ，解得﹣8＜k＜0； 综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0. 【点睛】 关键点点睛： 1、一元二次不等式解集的端点值为对应一元二次方程的根，由根的性质求参数. 2、分类讨论参数的取值，分别求得符合题意的范围，整合结论取并即可. 26．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用作差法比较大小； （2）分和两种情况讨论，当时则 ，即可求出不等式恒成立时的取值范围． 【详解】 （1）因为， 所以； （2）因为关于的不等式对任意实数恒成立， 当时，不等式化为，对任意实数恒成立，所以符合题意； 当时，应满足 ，解得； 综上，的取值范围是. 27．【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）利用因式分解法求解一元二次不等式即得. （2）利用判别式不小于0列式并求解即可. 【详解】 （1）不等式， 解得，所以原不等式的解集为. （2）由关于的方程有实数解，得， 即，因此，解得或， 所以实数的取值范围是或. 28．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）根据分式不等式的解法直接求解即可. (1) 小问详解： ， 或， 的解集为. (2) 小问详解： 由得： ，解得：， 的解集为. 29．【答案】 【分析】 利用配方法可得出所求二次函数的值域. 【详解】 ，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域是. 故答案为：. 30．【答案】（1）；（2）的最大值为 【分析】 （1）根据，，代入可得的值，进而求得函数解析式； （2）利用基本不等式即可得到，结合，求的最大值即可. 【详解】 （1）因为函数，且，， 则 ，                          解得     所以函数； （2）因为，，所以，又， 故，当且仅当时等号成立， 所以当时，取最大值，最大值为． 31．【答案】（1）     （2）若时，解为, 若时，解为， 若时，解为.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. (1) 小问详解： 不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. (2) 小问详解： 原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 32．【答案】（1）；     （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.     （3）.      【分析】 （1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． (1) 小问详解： 当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由解集为，得到 ，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为； ②当时，，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，．又， 所以不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题对任意，不等式恒成立， 即，因为时，恒成立， 可得，设，则，所以， 可得， 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围. 33．【答案】 【分析】 根据一元二次函数的图象与性质，确定参数的取值范围. 【详解】 设. 所以. 令，得，所以. 函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为如图所示，    由图可知，要使函数的定义域是，值域为 则的取值范围是. 故答案为：. 34．【答案】（1）3 （2） 【详解】试题分析：（1）利用一元二次不等式解集的边界值为与不等式对应的方程的根，结合根与系数的关系可求得实数的值；（2）将实数的值代入不等式，求得二次方程的根，结合二次函数图像可得到不等式的解集 试题解析：（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a）x2－4x＋6＝0的两根， ∴ ， 解得a＝3． （2）由（1）得不等式2x2＋（2－a）x－a>0即为2x2－x－3>0， 解得x<－1或x>．∴所求不等式的解集为． 考点：一元二次不等式解法 35．【答案】（1）     （2）最小值为，      【分析】 （1）根据一元二次不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求解出的值； （2）根据条件确定出的关系，再通过“”的代换求解出最小值，并根据取等号的条件求解出此时的值. (1) 小问详解： 因为的解集为， 由条件可知 ，解得； (2) 小问详解： 因为，所以，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，此时. 36．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据题意，设，根据，求得，即再整体代入计算即可得到方程组，解出可得到函数的解析式； （2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质得，即可求解； （3）把在区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质求出其最小值即可. (1) 小问详解： 设， 因为，即， 则，即， 整理得，所以 ，解得 . 所以. (2) 小问详解： 由（1）函数的对称轴为， 要使在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围是. (3) 小问详解： 由在区间上，的图象恒在的图象上方， 可得在区间上恒成立， 化简得在区间上恒成立， 设函数， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴，解得 故实数m的取值范围为：. 37．【答案】（1）；     （2）；     （3） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为．      【分析】 （1）利用配方法即可求解； （2）利用穿根法即可求解； （3）首先代入求解，当时，因式分解后再求解不等式即可. (1) 小问详解： ，即，解得，则其解集为. (2) 小问详解： ，即， 则，且， 利用穿根法得，则其解集为. (3) 小问详解： 当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上所述：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）（多选）如果，那么下列不等式不正确的是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，例如：若，此时，所以B不正确； 对于C中，例如：若，此时，所以C不正确； 对于D中，例如：若，此时，所以D不正确. 故选：BCD. 2．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）下列四个命题中为假命题的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【分析】 根据不等式的性质可判断A，根据特殊值举反例可判断BCD. 【详解】 对于A, 若，则 ，又，所以，故A为真命题， 对于B，若，比如，则此时，故B为假命题， 对于C，若，则，故C为假命题， 对于D, 若，而，则，故D为假命题， 故选：BCD 3．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）若实数a，b满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用不等式的性质，判断各选项是否正确. 【详解】 由，则，A选项错误； 由，时，不满足，B选项错误； 由，则，C选项错误； 由，则，D选项正确. 故选：D 4．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【详解】 选项A：由，可得.判断正确； 选项B：令， 满足，但是 则不成立.判断错误； 选项C：由，可得， 则不等式两边均除以可得.判断正确； 选项D： 又，则， 则，则.判断正确. 故选：ACD 5．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）若a＞b，c＞d，则（     ） A.  B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 【答案】C 【分析】 根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 6．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）下列命题中错误的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【分析】 利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】 因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 7．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【分析】 根据不等式的基本性质判断AC；举例判断B；利用作差法判断D. 【详解】 对于A，由，则，所以，故A正确； 对于B，当时，满足，，但，故B错误； 对于C，由，则，所以，即，故C正确； 对于D，由，，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由不等式的性质可得选项A 正确，举反例可说明选项B、C、D错误. 【详解】 由及不等式的性质可知，，选项A正确. 令，满足，此时，且，选项B、C错误. 令，满足，此时，选项D错误. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C.  D. 若，则 【答案】C 【分析】 分别举出反例即可判断ABD，从而得到结果，根据不等式性质判断C. 【详解】 对于A，令，满足， 但是，故A错误； 对于B，令，则，即不成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 即，故C正确； 对于D，令，则，满足，但是不成立， 故D错误； 故选：C 10．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）下列说法中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【分析】 利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；作差确定正负判断C. 【详解】 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：ACD 11．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）（多选）下列说法错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， ，则 【答案】ABC 【分析】 利用特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】 对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：当时满足，但，故C错误； 对于D：若，，则，． 所以，所以，故D正确． 故选：ABC． 12．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解. 【详解】 因为， 所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B错误； 由A知，两边同乘以正数，则，故C错误； 因为，所以，所以（，等号不成立）， 故，故D正确. 故选：D 13．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【分析】 对于A：利用同向不等式相加，即可证明； 对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明； 对于D：取特殊值即可否定结论. 【详解】 对于A：因为，所以. 因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确； 对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确； 对于C：因为，所以. 因为，所以. 对两边同乘以，有，所以.故C正确； 对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误. 故选：ABC 14．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）若，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】B 【分析】 根据不等式的性质对各选项进行逐一分析，利用举反例或通过不等式性质推导判断命题的正确性． 【详解】 选项A：令，满足，但，故A错误； 选项B：，， ，，即，故B正确； 选项C：，， ，，即，故C错误； 选项D：若，则，不符合题意，故D错误． 故选：B． 15．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知，则下列命题中为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 根据不等式的性质，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】 当时，若，则，所以A错误； 当时，，因为，所以，所以B正确； 作差得，因为，所以， 则，即，所以C正确； 当时，有，此时，所以D错误. 故选：BC 16．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，求和的取值范围； 【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）利用作差比较法进行判断即可； （2）利用不等式的基本性质进行求解即可. 【详解】 （1）因为， 所以； （2），， 又，， ，， 又，. 17．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　.（用区间表示） 【答案】 【分析】 由不等式的性质即可求解. 【详解】 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 18．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）若实数，满足，，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】 由，则，而，故. 故答案为： 19．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与. 【答案】（1）     （2） 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则.      【分析】 （1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. (1) 小问详解： ，. (2) 小问详解： ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 20．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为　　　　　　． 【答案】 【分析】 作差法比较大小即可. 【详解】 ， 由x＞0，y＞0且x≠y知，， , 即 故答案为： 21．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）（1）比较与两个代数式的大小. （2）求不等式的解集. （3）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用作差法进行判断比较即可； （2）将不等式左边进行因式分解，即可求得不等式的解集； （3）根据不等式的性质求解即可. 【详解】 （1）因为， 所以； （2）由可得，解得或， 故原不等式的解集为； （3）因为，，所以，所以. 22．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用完全平方公式和平方差公式即可因式分解； （2）利用十字相乘法即可因式分解； （3）利用完全平方式和平方差公式即可因式分解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . (3) 小问详解： . 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（　     　） A. 的最小值是3 B. 的最大值是5 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 【答案】ABD 【分析】 A，C选项构造基本不等式即可，B选项利用基本不等式计算即可，D项变形构造基本不等式即可 【详解】 选项A，因为 所以 当且仅当时取等号，故A正确. 选项B，因为, 所以, 当且仅当时取等号，故B正确. 对于C，， 当且仅，即时，等号不成立， 令，则在上单调递增， 所以时取得最小值为，故选项C错误； 对于D，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故D正确. 故选：ABD. 2．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）若，则的最小值是（       ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 【答案】C 【分析】 利用基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为， 所以，当且仅当时，即当时取等号， 所以当时，有最小值， 故选：C 3．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】 解：对于A：当时，满足，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于C：因为，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：BCD 4．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用展开结合均值不等式即可求解. 【详解】 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 5．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）若，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将所求变形为，再根据基本不等式即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）（多选）设正实数a，b满足，则（       ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最大值2 D. 有最小值 【答案】AD 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式，结合“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】 对于A，由正实数a，b满足，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 7．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知为正实数，，则（       ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为-12 【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对于A，由为正实数，且，则，故，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C， ，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，C正确， 对于D， ，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：BCD 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】范围可直接由基本不等式得到，可先将平方再利用基本不等式关系． 【详解】 由，，且， ，当且仅当时取等号 而，当且仅当时取等号 . 故选：C． 【点睛】 该题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题目，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方． 9．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【详解】 因为正实数满足， 所以， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D 10．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）设正实数满足，则下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BC 【分析】 A选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值，B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，代入，结合基本不等式即可求解. 【详解】 对于A， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，A选项错误. 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项正确； 对于C，， 因为正实数，满足， 则有 ，解得，即， 则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当时，取等号，又，故等号不成立，D错误； 故选：BC 11．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】B 【分析】 先用1的代换化简，再用1的妙用结合基本不等式求解即可. 【详解】 由题可知， 所以， 当且仅当，时取等号. 故的最小值为. 故选：B. 12．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）设正实数，满足，则（       ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【分析】 根据基本不等式可进行判断. 【详解】 选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD 13．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）（多选）下列推导过程，正确的为（       ） A. 因为a，b为正实数，所以 B. 因为，所以 C. 取得最大值时的值为 D. 已知则 【答案】ACD 【分析】 根据基本不等式可确定选项正确，利用二次函数的最值可确定正确，根据不等式的性质可确定错. 【详解】 对A，因为a，b为正实数，所以均大于零，，故A正确； 对B，，故，故B错误； 对C，，当时函数取得最大值，故C正确； 对D，结合基本不等式推导过程判断完全正确，故D正确． 故选：ACD. 14．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）下列结论中，错误的结论有（     ） A. 取得最大值时x的值为1 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，，则的最小值为 【答案】AC 【分析】 根据二次函数的性质，可判断A的正误;将条件整理变形，根据基本不等式，可判断B、C、D的正误，即可得答案. 【详解】 对于A选项,为开口向下，对称轴为的抛物线, 所以函数取得最大值时x的值为，故A错误; 对于B选项,当时，则 所以， 因为， 所以，即最大值为-3，当且仅当，即时取等号，故B正确; 对于C选项，，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时不成立， 故无法取得最小值2，故C错误； 对于D选项，因为，，所以， 整理得，解得或（舍去）， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故答案选:AC. 15．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】12 【分析】 直接利用基本不等式计算求出最小值即可. 【详解】 因为， 所以，当且仅当即时，取“=”号， 所以当时，的最小值为12， 故答案为：12. 16．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（1）设，，且，求的最大值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）81；（2）7. 【分析】 （1）根据给定条件，利用基本不等式求出积的最大值. （2）根据给定条件，利用配凑法，结合基本不等式求出和的最小值. 【详解】 （1）由，，，得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值81. （2）由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值7. 17．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）求下列函数的最值. （1）已知，求的最小值； （2）已知：，，且，求的最小值. 【答案】（1）4；     （2）.      【分析】 （1）由基本不等式求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法求解即可； (1) 小问详解： ， 当且仅当时取等号，所以最小值为4. (2) 小问详解： ， 当且仅当时取等号，又，即，， 所以最小值为. 18．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知，，，则的最小值是　　　　　　． 【答案】8 【分析】 可通过基本不等式将等式转化为不等式，然后解不等式即可. 【详解】 因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 19．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值. 【答案】时的最大面积为 【分析】 由题意可知，，即，设，则，，再根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得面积的最大值及相应的的值. 【详解】 由题意可知，矩形的周长为，，即， 设，则，，而为直角三角形， ∴，∴，∴， ∴. 当且仅当，即，此时满足， 即时的最大面积为. 20．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 21．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数为一次函数，且对均满足. （1）求函数的解析式； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）     （2）最小值为9      【分析】 （1）设，根据题意列式求即可； （2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. (1) 小问详解： 设，则， 可得 ，解得，， 所以. (2) 小问详解： 因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为9； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为9. 22．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）     （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元      【分析】 （1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. (1) 小问详解： 当时，； 当时，， 故 ； (2) 小问详解： 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 23．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（1）已知，且，求的最小值； （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，则求这个矩形菜园的面积最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值； （2）设矩形菜园的长、宽分别为、，可得出，利用基本不等式可求得矩菜园面积的最大值. 【详解】 （1）因为，且， 所以， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故的最小值为； （2）设矩形菜园的长、宽分别为、，则， 该矩形菜园的面积为， 当且仅当时，等号成立， 故这个矩形菜园的面积最大值为. 24．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】 由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知集合，，若，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先解一元二次不等式，求出集合，再借助数轴分析，即可求解. 【详解】 因为，且，所以.    故选：B． 2．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】 即为即 ，故， 故解集为. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】化简集合，再求交集即可. 【详解】，或，. 故选：C 【点睛】本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题. 4．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】 由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 5．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（        ） A.  B.  C.  D. 的解集为 【答案】D 【分析】 根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出 ,且,代入消元即可. 【详解】 根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 6．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）不等式的解集为 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】直接根据一元二次不等式的解法求解． 【详解】解：∵，∴，无解 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，注意三个二次——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，属于基础题． 7．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 分类讨论，，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围． 【详解】 由可得， 当时，无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 综上所述：或， 所以实数的取值范围为或． 故选：B． 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】 解不等式得，记， 记满足的元素组成的集合为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知命题p：，有，则（       ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可. 【详解】 因为恒成立，所以命题p是假命题； p的否定是：，使. 故选：D. 10．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）不等式的解集为（     ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】 将分式不等式作等价转化得 ，再解一元二次不等式求解集. 【详解】 由 ，故解集为. 故选：B 11．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】 因为集合，，故. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 根据一元二次不等式与一元二次方程以及二次函数的关系，可得的等量关系，构造函数，可得答案. 【详解】 由题意可知，方程的解为，且， 则，，解得，， 令； 对于A，，故A正确；对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 13．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】 因为对，关于的不等式恒成立， 当时恒成立，符合题意； 当时， ，解得； 综上可得. 因为， 所以“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件可以是. 故选：B 14．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知集合，集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】 ， ， 所以， 故选：C 15．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【分析】 通过作差法可判断A；解其中不等式，再结合充要条件定义即可判断B，由根与系数的关系求得可判断C，由时，恒成立；可判断D. 【详解】 对于A，因为，又，且，则， 所以，即，所以A正确； 对于B，解，解得或， 所以“”不是“”的充要条件，所以B错误； 对于C，因为不等式的解集为， 所以的解为， 由一元二次方程根与系数的关系得 ，解得， 则， 因此该集合子集个数为，所以C正确； 对于D，当时，恒成立； 当时，则 解得． 综上，，所以D错误． 故选：AC． 16．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】 ， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则 ，解得， 综上所述，， 故选：D． 17．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）若不等式的解集为，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分析可知方程的解为2，3，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 可知方程的解为2，3，且， 可得 ，即 ， 则不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 18．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求得 ，进而求解不等式即可. 【详解】 由题意，为方程的根，且， 则 ，即 ， 则不等式，即为， 则，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 19．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 的解集为 【答案】D 【分析】 由一元二次不等式的解集得到， ，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】 由题设是的两个根，且，A错， 所以 ，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 20．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 的解集为 【答案】ABC 【分析】 分析可知，且的根为，利用韦达定理求，即可判断ABC；代入不等式运算求解即可判断D. 【详解】 因为不等式的解集为或， 可知，且的根为，故A正确； 则 ，可得 ， 则，，B正确；C正确； 因为，即，且， 则0，解得， 所以的解集为，D错误． 故选：ABC． 21．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解为　　　　　　 【答案】 【分析】不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0，利用根与系数的关系可得a，b，即可得出． 【详解】解：∵不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，∴-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0， 解得解得a=-1，b=1．则不等式化为，解得. 不等式的解集为. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题． 22．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）若集合，则的子集个数为　　　　　　. 【答案】8 【分析】 化简集合，即可由子集个数公式求解. 【详解】 由题意得，所以的子集个数为. 故答案为：8. 23．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县实验中学·期中）解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）化简为一元二次不等式，根据一元二次不等式得解集即可； （2）化简为一元二次不等式，根据一元二次不等式得解集即可. (1) 小问详解： 不等式化为， 解得，故不等式的解集为； (2) 小问详解： 不等式化为， 因为恒成立，故不等式的解集为. 24．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）解下列不等式. （1）； （2），其中是常数. 【答案】（1）或     （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论进行求解即可. (1) 小问详解： ，或， 所以原不等式的解集为或； (2) 小问详解： ， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 25．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0. （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）﹣8＜k≤0. 【详解】（1）由解集为，知和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入求k的值； （2）讨论k是否为0，分别求得k的范围，求并集即为k的取值范围. 【详解】 （1）关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为， ∴和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得； （2）若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R， ∴当k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意； 当k≠0时，应满足 ，解得﹣8＜k＜0； 综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0. 【点睛】 关键点点睛： 1、一元二次不等式解集的端点值为对应一元二次方程的根，由根的性质求参数. 2、分类讨论参数的取值，分别求得符合题意的范围，整合结论取并即可. 26．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）比较与的大小 （2）关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用作差法比较大小； （2）分和两种情况讨论，当时则 ，即可求出不等式恒成立时的取值范围． 【详解】 （1）因为， 所以； （2）因为关于的不等式对任意实数恒成立， 当时，不等式化为，对任意实数恒成立，所以符合题意； 当时，应满足 ，解得； 综上，的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（1）解不等式； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围： 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）利用因式分解法求解一元二次不等式即得. （2）利用判别式不小于0列式并求解即可. 【详解】 （1）不等式， 解得，所以原不等式的解集为. （2）由关于的方程有实数解，得， 即，因此，解得或， 所以实数的取值范围是或. 28．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）根据分式不等式的解法直接求解即可. (1) 小问详解： ， 或， 的解集为. (2) 小问详解： 由得： ，解得：， 的解集为. 29．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）函数的值域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用配方法可得出所求二次函数的值域. 【详解】 ，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域是. 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县·期中）（1）已知函数，且，，求函数的解析式. （2）已知，且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）的最大值为 【分析】 （1）根据，，代入可得的值，进而求得函数解析式； （2）利用基本不等式即可得到，结合，求的最大值即可. 【详解】 （1）因为函数，且，， 则 ，                          解得     所以函数； （2）因为，，所以，又， 故，当且仅当时等号成立， 所以当时，取最大值，最大值为． 31．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县巴楚县第一中学·期中）解下列不等式. （1）； （2）. 【答案】（1）     （2）若时，解为, 若时，解为， 若时，解为.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. (1) 小问详解： 不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. (2) 小问详解： 原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 32．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.     （3）.      【分析】 （1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． (1) 小问详解： 当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由解集为，得到 ，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为； ②当时，，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，．又， 所以不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题对任意，不等式恒成立， 即，因为时，恒成立， 可得，设，则，所以， 可得， 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围. 33．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知函数的定义域是，值域为则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一元二次函数的图象与性质，确定参数的取值范围. 【详解】 设. 所以. 令，得，所以. 函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为如图所示，    由图可知，要使函数的定义域是，值域为 则的取值范围是. 故答案为：. 34．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）若关于的不等式（1－a）x2－4x＋6<0的解集是{x| x<－3或x> 1}． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式2x2＋（2－a）x－a>0． 【答案】（1）3 （2） 【详解】试题分析：（1）利用一元二次不等式解集的边界值为与不等式对应的方程的根，结合根与系数的关系可求得实数的值；（2）将实数的值代入不等式，求得二次方程的根，结合二次函数图像可得到不等式的解集 试题解析：（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a）x2－4x＋6＝0的两根， ∴ ， 解得a＝3． （2）由（1）得不等式2x2＋（2－a）x－a>0即为2x2－x－3>0， 解得x<－1或x>．∴所求不等式的解集为． 考点：一元二次不等式解法 35．（25-26学年高一上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知二次函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值，并写出取最小值时的值. 【答案】（1）     （2）最小值为，      【分析】 （1）根据一元二次不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求解出的值； （2）根据条件确定出的关系，再通过“”的代换求解出最小值，并根据取等号的条件求解出此时的值. (1) 小问详解： 因为的解集为， 由条件可知 ，解得； (2) 小问详解： 因为，所以，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，此时. 36．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中）二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据题意，设，根据，求得，即再整体代入计算即可得到方程组，解出可得到函数的解析式； （2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质得，即可求解； （3）把在区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质求出其最小值即可. (1) 小问详解： 设， 因为，即， 则，即， 整理得，所以 ，解得 . 所以. (2) 小问详解： 由（1）函数的对称轴为， 要使在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围是. (3) 小问详解： 由在区间上，的图象恒在的图象上方， 可得在区间上恒成立， 化简得在区间上恒成立， 设函数， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴，解得 故实数m的取值范围为：. 37．（25-26学年高一上·新疆克拉玛依第一中学·期中）求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；     （2）；     （3） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为．      【分析】 （1）利用配方法即可求解； （2）利用穿根法即可求解； （3）首先代入求解，当时，因式分解后再求解不等式即可. (1) 小问详解： ，即，解得，则其解集为. (2) 小问详解： ，即， 则，且， 利用穿根法得，则其解集为. (3) 小问详解： 当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上所述：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $