专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，新疆专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01指数 考点02指数函数 考点03对数 考点04对数函数 考点05函数的应用（二） D考点01指数 1.(25-26学年高一上~新疆乌鲁木齐八一中学·期中)若1<a<2:则1-a+2-a的化简结果是 () A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 2.（25-26学年商一上新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中)设a>0:则a。的分数指数幂形式为 ( ) A. a B.a D.a 3,(25-26学年高一上新疆乌鲁木齐第一中学期中) 25+0.12+94-3m= 27 4.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学期中)计算： 1 1)3-π+(0.008)3+(3-π° 2-5+1.52×-33+的 8 5,.（2026新骚乌合木齐实验学校质量监测)(1)化简：。正 ▣ (3)已知号号，求x+x1的值. x2-x2=2 x2+x2 116 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02指数函数 1.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中)若a=0.45,b=0.46,c=0.55,则 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 2.(25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)下列关系中正确的是( c 3. (25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学.期中)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图 象如图所示，则函数g(X)=a'+b的图象是（） (x) D 216 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)（多选)下列选项中，正确的是( A.若p:n∈W,n2>2,则p:Vn∈N,n2≤2” B.若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|-1<x<3},则a+b=2 C.函数fX=a1+1（a>0且a≠1)的图象恒过定点1,2 D.若a>0,b>0,且a+4b=1,则上+1的最小值为9 a b x2+2X+3 5.(25-26学年高一上新疆乌鲁木齐第一中学期中)函数y=(4 的值域是 6.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中)已知函数 a,x<0 f(x=1 7 -ax+4a,x≥0 ，满足对任意x,≠X,'都有x一fx<0成立，则。的取值范国是 X1-X2 7.(2526学年高一上新疆生产建设兵团第二中学期中)已知号≤X≤2：求函数y= 1 x-1 2 -4 值域为 8. (2026新疆乌鲁木齐实验学校质量监测)已知函数f(x)=3x+8+a关于点(0，-12)对称，若对任意 X 的x∈[-1,1k-2-f2)≥0恒成立，则实数k的取值范围为 》 考点03对数 1. (25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学期中)(1)若xl0g32=1,求4-2*+1的值： (2》计算：g2+1g2×1g5+(lg5}+1og,9×3到-0.125 》 考点04对数函数 316 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26学年高一上新疆乌鲁木齐期中)已知函数fx=log1x+2mx+8在0,2上单调递增，则实 数m的取值范围是 ①考点05函数的应用（=） 1.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中)某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次 过滤可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据 lg2=0.3010,lg3=0.4771)( A.30 B.29 C.28 D.27 2.(25-26学年高一上~新疆乌鲁木齐第四十一中学期中)函数fx=2-1的零点所在区间为 ) A.-1,0 B片 C.1,2 D.2,3 3.(25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)（多选）已知函数 flx)=2x-x,xs0 2x-1,X>0 ,若关于x的方程2r+1-6a-fx-3a=0有4个不同的实根，则实数。可能的取值有（） B、 6 e 1-3 D. 4. (25-26学年高一上-新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中)已知函数gX=a+1-2+1la>0的图象恒过 定点A:且点A又在函数fx=lg 的图象上 (1)求实数a的值： (2)解不等式fx<logo 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3》1gx+2-2=2b有两个不等实根时，求b的取值范围. 5.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学期中)已知函数 fx=/2-1,xs2 5-x,x>2 ,当a<b<c时，有fa=fb=fc,则2+2°+2的取值范围为 6.(25-26学年高一上新疆生产建设兵团第二中学期中)已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x>0 时，fx=-x+3 (1)求函数fx的解析式： (2)若关于x的方程fx2+1+f2kx=0在0，+o∞上有解，求实数k的取值范围. 7.(25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹 车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距 离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间o与人的反应时 间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d,d1,d2,d,如图所示当车速为v(米/秒)， 且0<V≤33.3时通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化， 且1≤k≤2) 报警距离 危险距离 do i d d 0 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 to t1=0.8秒 t2=0.2秒 t3 距离 d=10米 d 20片米 (1)请写出报警距离d(米)与年速v(米/秒)之间的函数关系式，若要求汽车在k=1的路面上行驶时报 警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下（单位：米/秒）？： (2)求当k=2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况 下，汽车撞上固定障碍物的最短时间. 8.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学期中)对于函数fx,若在定义域内存在实数x,满足 f=-fx则称x为“局部反比例对称函数”· 516 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)用定义证明函数fx=1+x在1，+o0为单调递增函数： (2)已知函数x=x+子试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由： (3)若fx=X-2mx+m-7是定义在区间10，+0上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范 围. 9.(25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学期中)若函数y=fx对于其定义域中任意非零实数X, 部清是fx+f以-0：则称西数y=x为“好玩西数”·已知 f=gx,gx=XAx=B文 (1)试判断fx,gx,hx是否是“好玩函数”.并说明理由： (2)若ga2+g 60求4a2+9的最小值： 1 b2 (3》设通数PW=fX一g文求证：Fx性其定义域内有且汉有两个零点 616 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．C 2．A 3．【答案】100 【分析】 利用指数运算法则计算得解. 【详解】 . 故答案为：100 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. (1) 小问详解： 由指数幂的运算公式，可得： . (2) 小问详解： 由指数幂的运算公式，可得： . 5．【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）（2）直接根据根式与指数幂的运算法则即可计算； （3）利用两次平方即可求出分子与分母值，再代入计算即可. 【详解】 （1）原式. （2） . （3）由，两边平方得，即， 两边再平方可得， 故. 考点02 指数函数 1．A 2．D 3．A 4．ACD 5．【答案】 【分析】 利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】 依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 6．【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】 对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则 ，解得， 故答案为：. 7．【答案】 【分析】 借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得. 【详解】 令，由，则， 则 ， 由，则， 又当时，， 当时，， 有， 故，故函数的值域为. 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数. 【详解】 由为奇函数，可得其图像关于对称， 所以的图像关于对称， 由题目可知函数关于点对称，可得， 对任意的，恒成立 恒成立， 即在恒成立， 所以， 令，由，可得， 设， 当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 ① 分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题； ② 恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论. 考点03 对数 1．【答案】（1）3；（2）7 【分析】 （1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果； （2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果. 【详解】 （1）， . （2）原式 . 考点04 对数函数 1．【答案】 【分析】 由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】 由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．B 3．AC 4．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． (1) 小问详解： 函数的图像恒过定点A，且，则A点的坐标为， 又因为A点在的图象上， 所以， 所以, 所以； (2) 小问详解： 由（1）知， 所以所要解不等式为， 而对数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由知：， 令，， 由方程有两个不等实根， 可知函数的图象有两个不同交点，如下图示 由图象可知：， 故的取值范围为. 5．【答案】 【分析】 作出f(x)图像，设a＜b＜c，a、b、c为与f(x)图像三个交点的横坐标，求出a、b、c的范围和它们之间的关系即可求解. 【详解】 如图，设a＜b＜c，a、b、c为与f(x)图像三个交点的横坐标： 则，， ，，所以． 故答案为： 6．【答案】（1） ；     （2）或.      【分析】 （1）根据奇函数的性质求，再求时函数的解析式，由此可得结论； （2）分别在，，条件下，结合（1）化简方程，结合条件列不等式求的范围. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数， 所以， 所以 ， 设，则， ，又， 所以， 的解析式为 (2) 小问详解： ， ①当时，，， 方程可化为， 即，方程的判别式， 所以方程有两个根，设其根为， 则，所以一正一负， 所以方程在上有解，符合题意.                            ②当时，，解得或（舍），符合题意. ③当时，，， 令，对称轴为， 因为方程在上有解， 所以，解得或， ，                                                           综上所述，的取值范围是.或. 7．【答案】（1），20米/秒以下     （2）2秒.      【分析】 （1）利用求得函数关系即可求解;（2）结合（1）利用基本不等式求得最短时间. (1) 小问详解： 由题意知，，即， 当时，，即 即，又， 故， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. (2) 小问详解： 当时，，当且仅当时等号成立，， 即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. 8．【答案】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数.     （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”.     （3）      【分析】 （1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ① 当时，只需，即， 解得，所以； ② 当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 9．【答案】（1）、是；不是，理由如下： ， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”．     （2）12     （3）证明：因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点．      【分析】 （1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）若，则的化简结果是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】 ，，. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中）设，则的分数指数幂形式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 3．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）　　　　　　　　　　 【答案】100 【分析】 利用指数运算法则计算得解. 【详解】 . 故答案为：100 4．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）计算： （1）； （2）. 【答案】（1）     （2）      【分析】 根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. (1) 小问详解： 由指数幂的运算公式，可得： . (2) 小问详解： 由指数幂的运算公式，可得： . 5．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（1）化简：． （2）求值：． （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）（2）直接根据根式与指数幂的运算法则即可计算； （3）利用两次平方即可求出分子与分母值，再代入计算即可. 【详解】 （1）原式. （2） . （3）由，两边平方得，即， 两边再平方可得， 故. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论. 【详解】 ，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）下列关系中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项. 【详解】 幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】 由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 4．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）（多选）下列选项中，正确的是（       ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 若，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【分析】 A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B选项，得到为方程的两个根，由韦达定理得到方程，求出，故；C选项，令得，故图象恒过定点，C正确；D选项，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 A选项，若，，则，，A正确； B选项，由题意得为方程的两个根， 则，解得，故，B错误； C选项，（且）中，令得， 故图象恒过定点，C正确； D选项，若，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 5．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）函数的值域是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】 依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 6．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数 ，满足对任意，都有成立，则的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】 对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则 ，解得， 故答案为：. 7．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）已知，求函数的值域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得. 【详解】 令，由，则， 则 ， 由，则， 又当时，， 当时，， 有， 故，故函数的值域为. 故答案为：. 8．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数. 【详解】 由为奇函数，可得其图像关于对称， 所以的图像关于对称， 由题目可知函数关于点对称，可得， 对任意的，恒成立 恒成立， 即在恒成立， 所以， 令，由，可得， 设， 当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 ① 分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题； ② 恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）3；（2）7 【分析】 （1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果； （2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果. 【详解】 （1）， . （2）原式 . 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】 由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据，）（       ）. A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 【答案】B 【分析】 由题意可得，两边取常用对数结合对数的运算性质即可求出的取值范围，得到结果． 【详解】 解：由题意可得， 两边取常用对数得：， 为正整数， 至少需要过滤29次， 故选：B． 2．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）函数的零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】 函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）（多选）已知函数 ，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】 作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 4．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． (1) 小问详解： 函数的图像恒过定点A，且，则A点的坐标为， 又因为A点在的图象上， 所以， 所以, 所以； (2) 小问详解： 由（1）知， 所以所要解不等式为， 而对数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由知：， 令，， 由方程有两个不等实根， 可知函数的图象有两个不同交点，如下图示 由图象可知：， 故的取值范围为. 5．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知函数 ，当时，有，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作出f(x)图像，设a＜b＜c，a、b、c为与f(x)图像三个交点的横坐标，求出a、b、c的范围和它们之间的关系即可求解. 【详解】 如图，设a＜b＜c，a、b、c为与f(x)图像三个交点的横坐标： 则，， ，，所以． 故答案为： 6．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）已知函数是定义域为的奇函数， 当时， . （1）求函数的解析式; （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） ；     （2）或.      【分析】 （1）根据奇函数的性质求，再求时函数的解析式，由此可得结论； （2）分别在，，条件下，结合（1）化简方程，结合条件列不等式求的范围. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数， 所以， 所以 ， 设，则， ，又， 所以， 的解析式为 (2) 小问详解： ， ①当时，，， 方程可化为， 即，方程的判别式， 所以方程有两个根，设其根为， 则，所以一正一负， 所以方程在上有解，符合题意.                            ②当时，，解得或（舍），符合题意. ③当时，，， 令，对称轴为， 因为方程在上有解， 所以，解得或， ，                                                           综上所述，的取值范围是.或. 7．（25-26学年高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中）智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间与人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示.当车速为（米/秒），且时通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米）与年速（米/秒）之间的函数关系式，若要求汽车在的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下（单位：米/秒）?； （2）求当时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间. 【答案】（1），20米/秒以下     （2）2秒.      【分析】 （1）利用求得函数关系即可求解;（2）结合（1）利用基本不等式求得最短时间. (1) 小问详解： 由题意知，，即， 当时，，即 即，又， 故， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. (2) 小问详解： 当时，，当且仅当时等号成立，， 即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. 8．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数.     （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”.     （3）      【分析】 （1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ① 当时，只需，即， 解得，所以； ② 当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 9．（25-26学年高一上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）、是；不是，理由如下： ， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”．     （2）12     （3）证明：因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点．      【分析】 （1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $