上海市松江二中2026-2027学年第一学期9月学情调研高三数学试题

松江二中 2026 学年第一学期 9 月学情调研 高三 数学 2026.9 一、填空题 (本大题共有 12 题, 第 1-6 题每题 4 分, 第 7-12 题每题 5 分, 共 54 分) 考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果. 1. 已知集合 ，则实数 _____. 2. 平面向量 ，则 _____. 3. 展开式中的常数项为_____. 4. △ 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 _____. 5. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____. 6. 用两个 1 , 两个 3 , 一个 5 组成五位数的个数为_____. (用数字作答) 7. 若曲线 在 处的切线与直线 垂直,则实数 _____. 8. 已知虚数z的实部为 1,且 ,则实数 为_____. 9. 设函数 (其中 ),若函数 图像的对称轴 与其对称中心的最小距离为 ,则 _____. 10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,直线 与 相交于 两点, 且 时,则 _____. 11. 如图, 是款户外露营 “遮阳神器” 的平面结构示意图, 它由三叉形的支架 和覆盖在支架上的遮阳布 组成. 已知 ,且 ; 当遮阳效果最好 (即 的面积最大) 时, _____ 12. 已知集合 ，集合 、 、 满足:①每个集合都恰有 4 个元素；② . 集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数,记为 ，则 的最大值与最小值的积为_____. 二、单选题 (本大题共有 4 题, 第 13、 14 题每题 4 分, 第 15、 16 题每题 5 分, 共 18 分) 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应位置上, 将所选答案的代号涂黑. 13. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 14. 如果 是独立事件, 分别是 的对立事件,那么以下等式不一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 15. 已知 ,则 "存在实数 ,使得 既是函数 的零点,又是函数 的驻点 " 是 " 函数 恰好有两个零点 " 的 ( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设各项均为实数的等差数列 和 的前 项和分别为 和 , 对于方程 ① ，② ，③ . 下列判断正确的是 ( ) A. 若①有实根，②有实根，则③有实根； B. 若①有实根，②无实根，则③有实根； C. 若①无实根，②有实根，则③无实根 D. 若①无实根，②无实根，则③无实根 三、解答题 (本大题共有 5 题, 满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. (本小题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分) 如图,在四棱锥 中,已知 底面 ,底面 是正方形, . (1)求证:平面 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的大小. 18. (本小题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分) “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为 ，动点 在扇形的弧上，点 在 上， 且 . 当 米时，求 的长； 综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区 的面积尽可能的大 . 设 ，求 面积的最大值. 19. (本题满分 14 分, 第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分) 已知函数 . (1)若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围; (2)若 ,求函数 的最小值. 20. (本题满分 16 分, 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 8 分) 已知椭圆 ,直线 经过椭圆 的右顶点 且与椭圆交于另一点 ,设线段 的中点为 . (1)求椭圆 的焦距和离心率; (2) 若 ,求直线 的方程; (3) 过点 再作一条直线与椭圆 交于点 ,线段 的中点为 . 若 ,则直线 是否经过定点? 若经过定点, 求出定点坐标; 若不经过定点, 请说明理由. 21. (本题满分 18 分, 第 1 小题 4 分, 第 2 小题 6 分, 第 3 小题 8 分) 设 . 若函数 满足 恒成立,则称函数 具有性质 . (1) 判断 是否具有性质 ,并说明理由; (2) 设 ,若函数 具有性质 ,求实数 的取值范围; (3)设函数 的定义域为 ,且对任意 以及 ,都有 . 若当 时,恒有 . 求证: 函数 对任意实数 均具有性质 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $