上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期 9月月考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 函数的定义域是_________. 2. 已知集合，若，则___________. 3. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模为__________. 4. 若，，则_________. 5. 若，用表示_____________． 6. 函数的严格增区间为__________. 7. 已知向量则的最大值为 ． 8. 若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是__________． 9. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 10. 如图，为外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________. 11. 已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为______． 12. 正实数x，y满足：存在和，使得，，，则的最大值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 15. 设集合(其中常数)，(其中常数)，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数、； （2）若向量满足，且，求的坐标． 18. 已知，函数. （1）当时，求的值域； （2）已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 19. 已知． （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 20. 已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点． 求椭圆的方程； 若A为椭圆的上顶点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值． 若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围． 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期 9月月考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】2 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1）， （2）或 【18题答案】 【答案】（1） （2）. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）. 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【21题答案】 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $