专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，新疆专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若直线与直线平行，则（       ） A. 0 B. 或0 C.  D. 1 4．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）下列结论中正确的有（       ） A. 直线倾斜角的范围是 B. 若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 C. 若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 D. 每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 6．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知两点，则直线的斜率为（     ） A.  B. -1 C. 2 D. 1 8．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（     ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 9．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）过两点的直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知直线过点，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）若直线的倾斜角为，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 16．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知直线和直线，则是两直线平行的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知直线过点，则直线的倾斜角（       ） A.  B.  C.  D.  20．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（       ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 24．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 25．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知直线 和 .当m为何值时，有: （1） ； （2） . 26．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）若直线过，则此直线的斜率为　　　　　　． 27．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）三角形的三个顶点是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积. 28．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程． 29．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知直线直线，当　　　　　　　　　　　时，；当　　　　　　　　　　　时，． 考点02 直线的方程 1．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）与直线平行，且过点的直线方程为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）直线在轴上的截距为（       ） A.  B.  C. 2 D. -2 6．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（       ） A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）（多选）下列结论不正确的有（       ） A. 直线在轴上的截距为 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 D. 直线恒过定点 11．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）下列关于平面直角坐标系下直线方程的说法不正确的是（       ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 所有直线都可以用方程表示 C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 12．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）已知直线l过点，，则（       ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 13．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 过两点的直线的倾斜角为 B. 经过点的所有直线都可以用方程表示 C. 直线在轴上的截距为 D. 点在同一条直线上 15．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）过点且方向向量为的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）下列说法中正确的有（     ） A. 直线在y轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线l的方向向量是，则直线l的斜率是 D. 点在直线上，则直线l方程为． 17．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知直线，，若，则实数的值是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  18．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 6 19．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）（多选）以下四个命题表述正确的有（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 20．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线在坐标轴上的截距之和为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 21．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（     ） A.      B.      C.      D.      22．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）直线在轴上的截距为　　　　　　　． 24．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知直线与直线相交于点，则 （1）求过点且平行于直线的直线 （2）求过点且垂直于直线的直线 25．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； 27．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）三角形的三个顶点是. （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； （3）求经过两边和中点的直线的方程. 28．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 29．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知直线的方向向量为且过点，则的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知的三个顶点，分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的斜截式方程． 31．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为　　　　　　. 32．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为　　　　　　　　，在y轴上的截距为　　　　　　　　． 33．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知的顶点分别为． （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 34．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 35．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知三角形三顶点，，，求： （1）直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程. （3）求三角形的面积. 36．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程. 37．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． （1）求经过点Q且与直线平行的直线方程； （2）求线段的中垂线方程． 38．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为　　　　　　． 39．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知点 （1）求过点，且与直线垂直的直线方程． （2）直线经过线段的中点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的方程． 40．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 41．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 42．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 43．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知直线． （1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线过（1）中的定点，且在轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 44．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为　　　　　　　　　　　　　；在轴上的截距为　　　　　　　　　　　　　． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）平行线与间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）若两直线与间的距离为，则（       ） A. 1 B. 7 C. 1或 D. 或7 3．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）若两直线：与：间的距离为，则（       ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 或5 4．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）两条平行直线与之间的距离为（     ） A. 6 B. 5 C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）直线与直线间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）两条平行直线与间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（       ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 9．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）下列说法中错误的有（       ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 10．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）（多选）已知直线与，则（     ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 14．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）若，则为　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）点到直线的距离为　　　　　　　 18．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）求两平行线与的距离为　　　　　　　　． 19．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知两直线与之间的距离为　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 21．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． （1）求与的交点的坐标； （2）求点到直线的距离． 22．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 24．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知，，动点P在直线上.则的最小值为　　　　　　. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）圆的圆心和半径分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）圆心为，半径为3的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（     ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）圆的半径为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆心C的坐标为 D. 当直线平分圆的周长时， 11．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 12．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）已知实数，满足圆的方程，则（     ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 14．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）设是圆上的任意点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）以为圆心，为半径的圆的方程是　　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知圆． （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径． （2）求直线被圆C所截得的弦长． 21．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知圆；直线，直线与圆交于两点. （1）写出圆的圆心坐标和半径大小； （2）求出的值. 22．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 23．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 24．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 25．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，若点，则的最小值为　　　　　　． 26．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知直线交圆于，两点，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知圆C经过，两点． （1）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． （2）已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．D 3．C 4．C 5．BD 6．D 7．D 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B 13．D 14．B 15．A 16．D 17．A 18．A 19．C 20．B 21．B 22．A 23．ACD 24．B 25．【答案】（1） 或     （2）或      【分析】 （1）根据直线方程一般式中平行满足的关系即可列方程求解， （2）根据直线方程一般式中垂直满足的关系即可列方程求解， (1) 小问详解： 由 ，且，解得或， 故当或时，. (2) 小问详解： 由 ，得或m=. 故当 或时，. 26．【答案】 【分析】 利用两点间的斜率公式求解即可. 【详解】 若直线经过，则此直线的斜率为； 故答案为： 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解. （2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可. (1) 小问详解： 由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. (2) 小问详解： 因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用两点求斜率，由点斜式方程即可求解； （2）根据中垂线的性质，利用垂直直线的斜率关系，结合点斜式方程，可得答案. (1) 小问详解： ， 边所在直线的方程， 即； (2) 小问详解： ， 所以， 又中点坐标， 所以边的垂直平分线的方程为， 即. 29．【答案】①     ② 【分析】 根据直线垂直、平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】 ； ，解得或； 当时，直线与的方程均为，两直线重合. 所以 故答案为：； 考点02 直线的方程 1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C 9．C 10．BC 11．ACD 12．BD 13．A 14．AD 15．A 16．BD 17．A 18．B 19．BD 20．BC 21．D 22．A 23．【答案】 【分析】 根据截距的知识求得正确答案. 【详解】 由，令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故答案为： 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果； （2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果. (1) 小问详解： 由 解得 ，即， 因为直线的斜率为， 所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. (2) 小问详解： 因为直线的斜率为， 所以点且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：，化简得. 25．【答案】 【分析】 先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】 由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 26．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. (1) 小问详解： 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. (2) 小问详解： 依题意，设直线的方程为， 而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 27．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （2）根据两直线的位置关系，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （3）根据中点坐标公式，两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； (1) 小问详解： 由题意知，， 所以所在直线方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即. (3) 小问详解： 由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 28．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. (1) 小问详解： 直线经过、两点， ， 直线，即：． (2) 小问详解： 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 29．【答案】 【分析】 根据方向向量求出斜率，再利用点斜式写出方程. 【详解】 因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 因其过，故的方程为，化简得. 故答案为：. 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程. （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程. (1) 小问详解： 由于分别是的中点，所以， 所以，直线的方程为，即. (2) 小问详解： ，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的斜截式方程为. 31．【答案】 【分析】 由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】 由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线，的斜率分别为： ，， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得， 故答案为： 32．【答案】①     ② 【分析】 根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】 直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 33．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； (1) 小问详解： 设中点的坐标为，则，，所以， 边的中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； (2) 小问详解： 因为的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 34．【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. (2) 小问详解： 当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 35．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由两点式写出直线的方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直和直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可； （3）由（1）得直线的方程，根据点到直线的距离公式，可求得边所对应的高，再利用两点间距离公式求得边的长，再根据三角形面积公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，， 根据两点式，可得方程为， 整理得，其一般方程为. (2) 小问详解： 因为，，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又点在边上的高所在的直线上， 所以高所在直线方程为， 所以其一般方程为. (3) 小问详解： 由（1）得，直线的方程为，又点， 所以点到直线的距离，即边所对应的高为， 又，， 所以， 所以，. 36．【答案】2x＋y－6＝0 【分析】 根据题意可写出直线的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)，求得A ，B(0,4－k)，进而得到|OA|＋|OB|＝ ＋(4－k)＝5－ ，再由均值不等式可得到最值. 【详解】 依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0). 令y＝0，可得A ； 令x＝0，可得， |OA|＋|OB|＝ ＋＝5－ ＝5＋ ≥5＋4＝9. 当且仅当＝且k<0， 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值. 此时l的方程为：2x＋y－6＝0. 37．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解. （2）求出交点坐标，再求出线段的中垂线方程. (1) 小问详解： 设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 由 ，解得 ，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 38．【答案】 【分析】 根据已知，应用点斜式写出的垂直平分线，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得标准方程. 【详解】 由原点与的中点坐标为，且，则垂直于的直线斜率为， 所以的垂直平分线为，即， 联立 ，可得 ，则圆心，半径为， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为： 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设与直线垂直的直线方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得线段的中点坐标为，设的倾斜角为，得到，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线，可得设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，可得，解得， 故所求直线方程为． (2) 小问详解： 解：由点，可得线段的中点坐标为， 设的倾斜角为，则，可得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即． 40．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. (1) 小问详解： 由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. (2) 小问详解： 因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. (3) 小问详解： 由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 41．【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. (1) 小问详解： 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； (2) 小问详解： 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. (3) 小问详解： 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 42．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解； （2）设，，根据条件得到，代入即可求解. (1) 小问详解： 因为直线恒过定点， 若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． (2) 小问详解： 设，，则 ，得到 ，所以， 又点在上，所以，整理得， 故的轨迹方程为. 43．【答案】（1）证明：将直线的方程整理为， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组 ，解得 ， 所以直线过定点，其坐标为．     （2）或或      【分析】 （1）整理方程为，然后解方程组 可得答案； （2）分截距为0与截距不为0两种情况计算可求得直线的方程． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 当截距为0时，直线的方程为，即． ② 当截距不为0时，设直线的方程为， 则 ，解得 或 若 ，则直线的方程为，即； 若 ，则直线的方程为． 故直线的方程为或或． 44．【答案】①     ② 【分析】 根据互相垂直直线之间的斜率关系，求出斜率，点斜式得出直线方程，求截距即可. 【详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为2． 因为直线过点，所以直线的方程为，即， 故直线的斜截式方程为， 令，解得，所以在轴上的截距为． 故答案为：； 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．A 2．C 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．ACD 10．B 11．A 12．A 13．ABD 14．C 15．D 16．【答案】 【分析】 根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得， 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 利用点到直线的距离公式即可得出． 【详解】 由点到直线的距离为有， 故答案为：. 18．【答案】 【分析】 根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 即与的距离为， 故答案为： 19．【答案】 【分析】 利用两平行线之间的距离公式直接求解. 【详解】 直线，与之间的距离为 故答案为：. 20．【答案】（1）定点，距离为     （2）      【分析】 先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. (1) 小问详解： 直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. (2) 小问详解： 由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. (1) 小问详解： 由题设得方程组 ， ，故. (2) 小问详解： 由点到直线的距离公式可得所求距离. 22．【答案】 【分析】 关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可. 【详解】 关于y轴的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线， 由两点式得直线的方程为：，即. 故答案为： 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可写出，代入即求出点到直线的距离； （2）求出平面的法向量，写出，代入求出点到平面的距离. (1) 小问详解： 建立如图所示：空间直角坐标系， 则 所以, 所以点到直线的距离. (2) 小问详解： , 设平面的法向量为：， 则 ， 取，则， 所以点到平面的距离为. 24．【答案】 【分析】 借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】 设关于直线对称对称点坐标为， 则 ，解得 ，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点04 圆的方程 1．C 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．C 8．D 9．D 10．ABC 11．D 12．D 13．AC 14．C 15．A 16．A 17．D 18．【答案】 【分析】 根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】 依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 19．【答案】 【分析】 设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】 因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则 ，解得： ， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 20．【答案】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径为，     （2）      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案. (1) 小问详解： 由可得该圆的标准方程为 其圆心为，半径为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为 所以直线：被圆所截得的弦长为 21．【答案】(1) 圆的圆心坐标为，半径；(2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准形式，可得圆的圆心坐标和半径大小； （2）求出圆心到直线的距离，由直线与圆的弦长公式可得答案; 【详解】解（1）将圆化为标准形式， 可得，故可得：圆的圆心坐标为，半径； （2）由（1）可得圆心到直线的距离：， 可得直线交圆的弦长. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，及直线与圆相交弦长的问题，考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，进而求得圆的半径，可求圆的方程； （2）设，根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 由 ，解得 ，则圆心为 ， 圆的标准方程为 (2) 小问详解： 设.由，可得， 则 ， 又点在圆上，所以，即， 化简得， 点的轨迹方程为. 23．【答案】（1）     （2）或；     （3）      【分析】 （1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，半径为， 则有 ，解得 ， 即圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； (3) 小问详解： 由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 24．【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40 【详解】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程. 【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）. 所以. 则直线CD的方程为y－2＝－（x－1）， 所以直线CD的方程为x＋y－3＝0. （2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以（a＋1）2＋b2＝40.② 由① ② 解得 或 所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）. 所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．【答案】①     ② 【分析】 设，根据条件得到，化简即可求解；根据题设得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】 设，因为，且， 则，整理得到，即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 故答案为：，. 【点睛】 关键点点晴，本题的关键在于利用，从而有，即可求解. 26．【答案】 【分析】 转化为，表示，两点到直线的距离和，设中点为，则到直线的距离和为点到直线距离和的2倍，只需求出点到直线距离范围，根据已知条件求出点的轨迹，数形结合，即可求解. 【详解】 设中点为，圆， 圆心，化为， 过定点，所以由， 所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧， 其方程为，联立 ，解得， ，所以的轨迹为， 圆心到直线的距离为， 过与直线垂直的直线方程为， 与圆的交点为， 在点轨迹上，不在点轨迹上， 所以到直线距离的最大值为， 点到直线的距离为， 设点到直线的距离为，， ，. 故答案为:. 【点睛】 本题考查直线与圆的关系，考查相交弦的中点轨迹，要注意轨迹的范围，考查圆弧上点到直线的距离，解题的关键要利用点到直线的距离的几何意义，属于较难题. 27．【答案】（1） 设点是圆上任意一点， 因为AB是圆C的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，时等式恒成立，故定点为， 所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为；     （2）      【分析】 （1）设点是圆上任意一点，由AB是圆C的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论； （2）根据题意可得点C在直线上，要使圆C的面积最小，则圆C是以为直径的圆，从而可求出圆的方程，进而可求得点的坐标，设出直线的方程，分别求出的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因点A关于直线的对称点也在圆C上， 所以点C在直线上， 又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆， 设过点A与直线垂直的直线方程为， 由方程组 得，则 所以圆C的方程为， 当时，或，又，所以，即， 由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为， 当时，当，时， 所以， （当且仅当，即时取等号） 则当时， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围. 【详解】 由直线l在x轴上的截距的取值范围为， l过点的斜率， l过点的斜率，    故直线l的斜率k的取值范围为. 故选：C 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】 设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若直线与直线平行，则（       ） A. 0 B. 或0 C.  D. 1 【答案】C 【分析】 根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】 由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角． 【详解】 由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为， 故选：C． 5．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）下列结论中正确的有（       ） A. 直线倾斜角的范围是 B. 若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 C. 若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 D. 每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 【答案】BD 【分析】 根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】 直线倾斜角的取值范围是，A选项错误. B选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B选项正确. C选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C选项错误. D选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D选项正确. 故选：BD 6．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】 该直线的斜截式方程为，则斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：D 7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知两点，则直线的斜率为（     ） A.  B. -1 C. 2 D. 1 【答案】D 【分析】 根据经过两点的直线的斜率公式，即可求得答案. 【详解】 由题意知， 则直线的斜率为， 故选：D 8．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（     ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】A 【分析】 分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】 由题意， 所以， 所以. 故选：A. 9．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以. 故选：C. 10．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 两直线平行，斜率相同，求已知直线斜率即可. 【详解】 由题可知直线与直线斜率相同，将一般式化为斜截式，所以斜率为. 故选：D 11．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出直线的斜率，结合直线l与直线垂直得斜率，从而得到l的倾斜角． 【详解】 直线的斜率是， 因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为， 由，所以l的倾斜角为． 故选：B. 12．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）过两点的直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据两点坐标求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】 已知直线经过和两点. 根据直线斜率的计算公式（其中和为直线上两点的坐标）， 所以, 因为直线的斜率（为倾斜角），已知，即. 又因为倾斜角，在这个区间内，满足的. 故选：B. 13．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知直线过点，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由即可求解. 【详解】 设直线的倾斜角为， ， 所以， 故选：D 14．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 ，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 15．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）若直线的倾斜角为，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】A 【分析】 根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】 由题意可得，解得， 故选：A 16．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线的一般方程得到斜截式方程，求得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角. 【详解】 由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：D. 17．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知直线和直线，则是两直线平行的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据两直线平行求出参数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 若直线和直线平行， 则 ，解得或， 因此，是两直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 18．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】 设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 19．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知直线过点，则直线的倾斜角（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由两点求出直线斜率，由斜率求倾斜角. 【详解】 设直线的斜率为，则，即． 因为，所以． 故选：C 20．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设直线的倾斜角为，得到，即可求解，得到答案. 【详解】 设直线的倾斜角为，又可知直线的斜率为， 所以，又，解得， 即直线的倾斜角为， 故选：B 21．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别求出直线的斜率，数形结合即可求直线的斜率的范围． 【详解】 如图所示： ， ， 由图可知，或，即或， 故直线的斜率的取值范围为． 故选：B． 22．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出直线过的定点，再得到，，进而结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】 由，得. 令 ，解得 ，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 因为当时，直线与线段也有交点， 所以的取值范围是，故A正确. 故选：A 23．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（       ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】 根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】 过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 24．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据求出的值，即可得出答案. 【详解】 因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 25．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知直线 和 .当m为何值时，有: （1） ； （2） . 【答案】（1） 或     （2）或      【分析】 （1）根据直线方程一般式中平行满足的关系即可列方程求解， （2）根据直线方程一般式中垂直满足的关系即可列方程求解， (1) 小问详解： 由 ，且，解得或， 故当或时，. (2) 小问详解： 由 ，得或m=. 故当 或时，. 26．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）若直线过，则此直线的斜率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用两点间的斜率公式求解即可. 【详解】 若直线经过，则此直线的斜率为； 故答案为： 27．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）三角形的三个顶点是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解. （2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可. (1) 小问详解： 由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. (2) 小问详解： 因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 28．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用两点求斜率，由点斜式方程即可求解； （2）根据中垂线的性质，利用垂直直线的斜率关系，结合点斜式方程，可得答案. (1) 小问详解： ， 边所在直线的方程， 即； (2) 小问详解： ， 所以， 又中点坐标， 所以边的垂直平分线的方程为， 即. 29．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知直线直线，当　　　　　　　　　　　时，；当　　　　　　　　　　　时，． 【答案】①     ② 【分析】 根据直线垂直、平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】 ； ，解得或； 当时，直线与的方程均为，两直线重合. 所以 故答案为：； 考点02 直线的方程 1．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先计算出直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】 的斜率为，设倾斜角为，， 则，解得，故倾斜角为. 故选：A 2．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）与直线平行，且过点的直线方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】由题意，先确定直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 又直线过点， 故所求直线方程为：. 故选：A 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于基础题型. 3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间， 所以直线的倾斜角是. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由点斜式方程即可求解. 【详解】 由题意直线方程为：， 故选：B 5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）直线在轴上的截距为（       ） A.  B.  C. 2 D. -2 【答案】D 【分析】 已知直线方程，令 即可求出轴上的截距，截距不是点坐标. 【详解】 直线,令, , 故选：D. 6．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（       ） A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 【答案】C 【分析】 根据直线的截距式方程特征直接求解即可. 【详解】 根据直线的截距式方程可知，直线在轴上的截距为5. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题直接写出直线方程得解. 【详解】 直线过点，且倾斜角为， 所以直线的方程为. 故选：C. 8．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】 因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 9．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据两直线的位置关系，结合直线的点斜式方程计算即可求解. 【详解】 设所求直线方程为， 直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直， 故，解得， 所以所求直线方程为，即. 故选：C 10．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）（多选）下列结论不正确的有（       ） A. 直线在轴上的截距为 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 D. 直线恒过定点 【答案】BC 【分析】 A选项，令得到在轴上的截距；B选项，举出反例；C选项，考虑在轴、轴上截距为0和不为0两种情况，得到直线方程；D选项，变形后求出定点坐标. 【详解】 A选项，直线中，令得，， 故直线在轴上的截距为，A正确； B选项，不妨设，满足条件，此时直线方程为， 经过第一、二、三象限，故B错误； C选项，当在轴、轴上截距均为0时，设直线方程为， 将代入，故，解得， 故此时直线方程为， 当在轴、轴上截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，，解得，此时直线方程为， 故过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为或，C错误； D选项，直线变形为，故直线恒过定点，D正确. 故选：BC 11．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）下列关于平面直角坐标系下直线方程的说法不正确的是（       ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 所有直线都可以用方程表示 C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 【答案】ACD 【分析】 根据各种直线方程的适用条件，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】 若经过定点的直线斜率不存在，则直线方程不可以用方程表示，故A错误； 对于直线方程的一般式适用表示所有直线，故B正确； 方程要满足条件，，故仅表示与坐标轴不平行的直线，故C错误. 在坐标轴上截距相等的直线，若经过原点，则该直线方程不可以用方程来表示，故D错误； 故选：ACD 12．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）已知直线l过点，，则（       ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】 应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】 A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 13．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两条互相垂直的直线的斜率相乘等于，先求出斜率，再根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】 因为直线的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 14．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 过两点的直线的倾斜角为 B. 经过点的所有直线都可以用方程表示 C. 直线在轴上的截距为 D. 点在同一条直线上 【答案】AD 【分析】 借助斜率与倾斜角的关系计算可得A；考虑斜率不存在的情况可得B；由截距定义可得C；借助斜率公式计算可得D. 【详解】 对于A：过两点的直线的斜率， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：过点斜率不存在时，方程为，故B错误； 对于C：直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D：因为，， 则，所以三点共线，故D正确. 故选：AD 15．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）过点且方向向量为的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】 由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为直线过点，所以所求直线方程为，即. 故选：A. 16．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）下列说法中正确的有（     ） A. 直线在y轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线l的方向向量是，则直线l的斜率是 D. 点在直线上，则直线l方程为． 【答案】BD 【分析】 A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断. 【详解】 A选项，令，则，即直线在y轴的截距是，错误； B选项，直线化为，故直线的斜率是， 设倾斜角为，则，则，正确； C选项，若直线l的放向向量是，则根据方向向量的定义可知，直线l的斜率是，错误； D选项，点在直线上，则，即， 直线可化为，正确. 故选：BD 17．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知直线，，若，则实数的值是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 利用直线的一般式方程，根据直线垂直的条件列出等式，求得答案. 【详解】 由题意可知,故， 解得或，经验证，符合题意， 故选：A 18．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 6 【答案】B 【分析】 由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】 由题意直线过定点， 直线可变为， 令 ，得 ，所以该直线过定点， 所以． 又， 所以直线与直线互相垂直，且交点为， 所以， 所以，即， 当且仅当时取等号， 所以，，即面积的最大值是． 故选：B． 19．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）（多选）以下四个命题表述正确的有（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 【答案】BD 【分析】 对于A，求出直线的定点即可；对于B，根据直线垂直的等价条件求值即可；对于C根据直线平行的等价条件求值即可；对于D，分截距为零和不为零讨论求解即可． 【详解】 对A，直线恒过定点，所以A错误； 对B，若，则，解得，所以B正确； 对C，若，则有，即，解得或， 当时，，，所以符合题意， 当时，，所以符合题意，所以C错误； 对D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，所以D正确． 故选：BD． 20．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线在坐标轴上的截距之和为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【分析】 根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误. 【详解】 对于A，由直线，可得直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误； 对于B，当时，；当时，， 可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确； 对于C，由直线可化为， 两平行直线间的距离为，所以C正确； 对于D，直线的斜率为， 因为，所以， 故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 21．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 观察图象判断直线的斜率、截距及其符号，结合不等式性质判断正误. 【详解】 观察各选项知a，b均不为0，两直线的斜率分别为，且符号相同， A：两直线在轴上的截距异号，得，所以，得，则两直线的斜率均大于0，故A正确； B，C，D：由两直线在轴上的截距同号，得，所以，得，则两直线的斜率均小于0，故B，C正确，D错误． 故选：D 22．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出直线的斜率，结合选项，即可作答. 【详解】 直线的斜率，所以直线的一个方向向量为， 故选：A. 23．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）直线在轴上的截距为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据截距的知识求得正确答案. 【详解】 由，令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故答案为： 24．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知直线与直线相交于点，则 （1）求过点且平行于直线的直线 （2）求过点且垂直于直线的直线 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果； （2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果. (1) 小问详解： 由 解得 ，即， 因为直线的斜率为， 所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. (2) 小问详解： 因为直线的斜率为， 所以点且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：，化简得. 25．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是　　　　　　. 【答案】 【分析】 先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】 由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 26．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. (1) 小问详解： 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. (2) 小问详解： 依题意，设直线的方程为， 而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 27．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）三角形的三个顶点是. （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； （3）求经过两边和中点的直线的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （2）根据两直线的位置关系，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （3）根据中点坐标公式，两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； (1) 小问详解： 由题意知，， 所以所在直线方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即. (3) 小问详解： 由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 28．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. (1) 小问详解： 直线经过、两点， ， 直线，即：． (2) 小问详解： 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 29．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知直线的方向向量为且过点，则的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据方向向量求出斜率，再利用点斜式写出方程. 【详解】 因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 因其过，故的方程为，化简得. 故答案为：. 30．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知的三个顶点，分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的斜截式方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程. （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程. (1) 小问详解： 由于分别是的中点，所以， 所以，直线的方程为，即. (2) 小问详解： ，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的斜截式方程为. 31．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】 由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线，的斜率分别为： ，， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得， 故答案为： 32．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为　　　　　　　　，在y轴上的截距为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】 直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 33．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知的顶点分别为． （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； (1) 小问详解： 设中点的坐标为，则，，所以， 边的中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； (2) 小问详解： 因为的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 34．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. (2) 小问详解： 当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 35．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知三角形三顶点，，，求： （1）直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程. （3）求三角形的面积. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由两点式写出直线的方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直和直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可； （3）由（1）得直线的方程，根据点到直线的距离公式，可求得边所对应的高，再利用两点间距离公式求得边的长，再根据三角形面积公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，， 根据两点式，可得方程为， 整理得，其一般方程为. (2) 小问详解： 因为，，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又点在边上的高所在的直线上， 所以高所在直线方程为， 所以其一般方程为. (3) 小问详解： 由（1）得，直线的方程为，又点， 所以点到直线的距离，即边所对应的高为， 又，， 所以， 所以，. 36．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程. 【答案】2x＋y－6＝0 【分析】 根据题意可写出直线的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)，求得A ，B(0,4－k)，进而得到|OA|＋|OB|＝ ＋(4－k)＝5－ ，再由均值不等式可得到最值. 【详解】 依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0). 令y＝0，可得A ； 令x＝0，可得， |OA|＋|OB|＝ ＋＝5－ ＝5＋ ≥5＋4＝9. 当且仅当＝且k<0， 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值. 此时l的方程为：2x＋y－6＝0. 37．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． （1）求经过点Q且与直线平行的直线方程； （2）求线段的中垂线方程． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解. （2）求出交点坐标，再求出线段的中垂线方程. (1) 小问详解： 设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 由 ，解得 ，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 38．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知，应用点斜式写出的垂直平分线，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得标准方程. 【详解】 由原点与的中点坐标为，且，则垂直于的直线斜率为， 所以的垂直平分线为，即， 联立 ，可得 ，则圆心，半径为， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为： 39．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知点 （1）求过点，且与直线垂直的直线方程． （2）直线经过线段的中点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设与直线垂直的直线方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得线段的中点坐标为，设的倾斜角为，得到，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线，可得设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，可得，解得， 故所求直线方程为． (2) 小问详解： 解：由点，可得线段的中点坐标为， 设的倾斜角为，则，可得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即． 40．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. (1) 小问详解： 由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. (2) 小问详解： 因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. (3) 小问详解： 由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 41．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. (1) 小问详解： 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； (2) 小问详解： 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. (3) 小问详解： 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 42．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解； （2）设，，根据条件得到，代入即可求解. (1) 小问详解： 因为直线恒过定点， 若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． (2) 小问详解： 设，，则 ，得到 ，所以， 又点在上，所以，整理得， 故的轨迹方程为. 43．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知直线． （1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线过（1）中的定点，且在轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【答案】（1）证明：将直线的方程整理为， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组 ，解得 ， 所以直线过定点，其坐标为．     （2）或或      【分析】 （1）整理方程为，然后解方程组 可得答案； （2）分截距为0与截距不为0两种情况计算可求得直线的方程． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 当截距为0时，直线的方程为，即． ② 当截距不为0时，设直线的方程为， 则 ，解得 或 若 ，则直线的方程为，即； 若 ，则直线的方程为． 故直线的方程为或或． 44．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为　　　　　　　　　　　　　；在轴上的截距为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据互相垂直直线之间的斜率关系，求出斜率，点斜式得出直线方程，求截距即可. 【详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为2． 因为直线过点，所以直线的方程为，即， 故直线的斜截式方程为， 令，解得，所以在轴上的截距为． 故答案为：； 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）平行线与间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 方程变形为 由平行线间的距离公式可得所求距离． 故选：A. 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）若两直线与间的距离为，则（       ） A. 1 B. 7 C. 1或 D. 或7 【答案】C 【分析】 根据两平行线直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】 由题意知，， 所以两直线间的距离为，解得或. 故选：C 3．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）若两直线：与：间的距离为，则（       ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 或5 【答案】C 【分析】 利用平行线间距离公式，列式计算即得. 【详解】 根据平行线间的距离公式，可得，所以或． 故选：C 4．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）两条平行直线与之间的距离为（     ） A. 6 B. 5 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据条件得，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 因为直线与平行，所以， 直线即， 所以两条平行直线之间的距离为. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）直线与直线间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】 可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 6．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）两条平行直线与间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两平行线间的距离求解即可. 【详解】 解：因为直线，即为， 原问题转化为求两平行直线与间的距离， 由平行直线间的距离公式可得. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】 根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 8．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（       ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】B 【分析】 求出边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案. 【详解】 设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 9．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）下列说法中错误的有（       ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】 根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】 对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 10．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°，求出费马点，再根据费马点是与三角形三个顶点距离之和最小的点求出. 【详解】 设为坐标原点，由，，， 知,且为锐角三角形， 因此，费马点M在线段上，设，如图，    则为顶角是120°的等腰三角形，故， 所以， 则的最小值为. 故选：B 11．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】 由题可知，△ABC的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 联立方程 可得△ABC的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故△ABC的欧拉线方程为. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】 由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 13．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）（多选）已知直线与，则（     ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【分析】 对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由 ，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由 ，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时， ，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 14．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，点在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案． 【详解】 设为点关于直线的对称点， 则的中点为，    由轴对称的性质，可得 ，解得 ，即． 故直线的方程为，即， 由 ，解得 ， 即直线与交于点． 由于，故当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为． 故选：C 15．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】 由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由 ，得 ，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）若，则为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得， 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）点到直线的距离为　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用点到直线的距离公式即可得出． 【详解】 由点到直线的距离为有， 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）求两平行线与的距离为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 即与的距离为， 故答案为： 19．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知两直线与之间的距离为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两平行线之间的距离公式直接求解. 【详解】 直线，与之间的距离为 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 【答案】（1）定点，距离为     （2）      【分析】 先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. (1) 小问详解： 直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. (2) 小问详解： 由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 21．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． （1）求与的交点的坐标； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. (1) 小问详解： 由题设得方程组 ， ，故. (2) 小问详解： 由点到直线的距离公式可得所求距离. 22．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可. 【详解】 关于y轴的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线， 由两点式得直线的方程为：，即. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可写出，代入即求出点到直线的距离； （2）求出平面的法向量，写出，代入求出点到平面的距离. (1) 小问详解： 建立如图所示：空间直角坐标系， 则 所以, 所以点到直线的距离. (2) 小问详解： , 设平面的法向量为：， 则 ， 取，则， 所以点到平面的距离为. 24．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知，，动点P在直线上.则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】 设关于直线对称对称点坐标为， 则 ，解得 ，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为： ． 故选C． 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 2．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）圆的圆心和半径分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】 先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】 圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 4．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）圆心为，半径为3的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的标准方程易得. 【详解】 圆心为，半径为3的圆的方程为. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的标准方程得解. 【详解】 因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 6．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（     ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 【答案】A 【分析】 根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】 由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】 因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 8．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）圆的半径为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】 根据题意，化简得圆，半径， 故选：D. 9．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求得点关于原点的对称点，进而求得圆的标准方程， 【详解】 因为点关于原点的对称点的坐标为， 所以圆心为，半径为的圆的标准方程为. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆心C的坐标为 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】 根据圆的半径为2，代入可求得a值，可判断A、C的正误，根据点与圆的位置关系，代入检验，可判断B的正误；由题意，直线过圆心，代入可求得m值，可判断D的正误. 【详解】 选项A：因为圆的半径为2， 所以，解得，则圆，故A正确； 选项B：将代入圆C方程可得， 所以点在圆的外部，故B正确； 选项C：圆心坐标为，故C正确； 选项D：因为直线平分圆的周长， 所以直线过圆心，则，解得，故D错误. 故选：ABC 11．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【分析】 求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 12．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出圆心的坐标以及，并求出线段的中点的坐标，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】 因为圆的圆心为， 所以， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为． 故所求圆的标准方程为． 故选：D. 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）已知实数，满足圆的方程，则（     ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【分析】 根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】 对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 14．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据条件得到，从而点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，即可求解. 【详解】 如图，易知，所以， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆， 而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为， 又点的轨迹的中心为，所以的轨迹方程为， 故选：C. 15．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】 一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 16．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】 直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 17．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）设是圆上的任意点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】将所求最值转化为求解圆上的点到定点距离的平方，即求圆心到直线距离与半径之和的平方，由此可计算求得结果. 【详解】 表示点到的距离的平方， 是圆上一点， 的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方， 即. 故选：. 【点睛】 本题考查圆上的点到定点距离最值的求解问题，关键是明确圆上的点到圆外定点的距离最大值为圆心到定点的距离与半径之和；最小值为圆心到定点的距离与半径之差. 18．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）以为圆心，为半径的圆的方程是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】 依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】 设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】 因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则 ，解得： ， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 20．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知圆． （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径． （2）求直线被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径为，     （2）      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案. (1) 小问详解： 由可得该圆的标准方程为 其圆心为，半径为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为 所以直线：被圆所截得的弦长为 21．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知圆；直线，直线与圆交于两点. （1）写出圆的圆心坐标和半径大小； （2）求出的值. 【答案】(1) 圆的圆心坐标为，半径；(2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准形式，可得圆的圆心坐标和半径大小； （2）求出圆心到直线的距离，由直线与圆的弦长公式可得答案; 【详解】解（1）将圆化为标准形式， 可得，故可得：圆的圆心坐标为，半径； （2）由（1）可得圆心到直线的距离：， 可得直线交圆的弦长. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，及直线与圆相交弦长的问题，考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 22．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，进而求得圆的半径，可求圆的方程； （2）设，根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 由 ，解得 ，则圆心为 ， 圆的标准方程为 (2) 小问详解： 设.由，可得， 则 ， 又点在圆上，所以，即， 化简得， 点的轨迹方程为. 23．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1）     （2）或；     （3）      【分析】 （1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，半径为， 则有 ，解得 ， 即圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； (3) 小问详解： 由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 24．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40 【详解】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程. 【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）. 所以. 则直线CD的方程为y－2＝－（x－1）， 所以直线CD的方程为x＋y－3＝0. （2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以（a＋1）2＋b2＝40.② 由① ② 解得 或 所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）. 所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，若点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 设，根据条件得到，化简即可求解；根据题设得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】 设，因为，且， 则，整理得到，即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 故答案为：，. 【点睛】 关键点点晴，本题的关键在于利用，从而有，即可求解. 26．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知直线交圆于，两点，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 转化为，表示，两点到直线的距离和，设中点为，则到直线的距离和为点到直线距离和的2倍，只需求出点到直线距离范围，根据已知条件求出点的轨迹，数形结合，即可求解. 【详解】 设中点为，圆， 圆心，化为， 过定点，所以由， 所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧， 其方程为，联立 ，解得， ，所以的轨迹为， 圆心到直线的距离为， 过与直线垂直的直线方程为， 与圆的交点为， 在点轨迹上，不在点轨迹上， 所以到直线距离的最大值为， 点到直线的距离为， 设点到直线的距离为，， ，. 故答案为:. 【点睛】 本题考查直线与圆的关系，考查相交弦的中点轨迹，要注意轨迹的范围，考查圆弧上点到直线的距离，解题的关键要利用点到直线的距离的几何意义，属于较难题. 27．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知圆C经过，两点． （1）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． （2）已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 【答案】（1） 设点是圆上任意一点， 因为AB是圆C的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，时等式恒成立，故定点为， 所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为；     （2）      【分析】 （1）设点是圆上任意一点，由AB是圆C的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论； （2）根据题意可得点C在直线上，要使圆C的面积最小，则圆C是以为直径的圆，从而可求出圆的方程，进而可求得点的坐标，设出直线的方程，分别求出的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因点A关于直线的对称点也在圆C上， 所以点C在直线上， 又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆， 设过点A与直线垂直的直线方程为， 由方程组 得，则 所以圆C的方程为， 当时，或，又，所以，即， 由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为， 当时，当，时， 所以， （当且仅当，即时取等号） 则当时， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $