专题04 直线与圆、圆与圆（期中真题汇编，新疆专用）高二数学上学期

专题04 直线与圆、圆与圆 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．A 3．A 4．D 5．BC 6．D 7．C 8．BC 9．C 10．D 11．A 12．ABD 13．B 14．D 15．ABD 16．ABC 17．C 18．B 19．A 20．A 21．ABC 22．BCD 23．BD 24．AD 25．D 26．CD 27．BC 28．C 29．ABD 30．C 31．AD 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离， 所以. 33．【答案】①     ② 【分析】 先求得公共弦所在直线方程，然后结合点到直线距离公式求得公共弦长. 【详解】 两圆圆心分别为，，圆心距为2，两圆半径分别为2，3， ，所以两圆相交． 两圆对应的方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程为． 已知圆的圆心到公共弦直线的距离为． 所以两圆的公共弦长为． 故答案为：； 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆的方程为，代入点的坐标，求出、、，即可得解； （2）首先确定圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 因为点，，在圆上， 所以 ，解得 ， 所以圆的方程为，即； (2) 小问详解： 由（1）可得圆的圆心为，半径， 又，所以圆的圆心到直线的距离， 所以，解得. 35．【答案】 【分析】 画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】 根据题意画出图形，如图所示，由题意可得，曲线的图象为以 为圆心，2为半径的半圆， 直线l恒过，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离 ， 即，解得； 当直线l过B点时，直线l的斜率k＝， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故答案为： 36．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的标准式方程，代入计算，即可得到结果； （2）由向量数量积的定义可得，从而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得 ，解得 ， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意，过点的直线与圆相交于、两点， 且，则， 所以，所以， 所以圆心到直线的距离， 由题意直线的斜率存在，设直线为，即， 所以，化简得， 解得或，所以直线的方程为或. 37．【答案】 【分析】 通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】 如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 38．【答案】 【分析】 求出两圆相交弦所在直线方程，利用弦长公式计算可得结果. 【详解】 根据题意可知两圆相交，且圆心，其半径为； 将两圆方程相减可得直线的方程为； 所以圆心到直线的距离为， 因此弦长. 故答案为： 39．【答案】（1）直线与相交     （2）3      【分析】 （1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得； （2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0． (1) 小问详解： 当时，可化为：， 表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则， 直线与相交. (2) 小问详解： 设，由， 直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即， 由 消元，得. 经检验时，. 40．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求出中点为即可进一步求解中线方程； （2）先求的中垂线方程，然后得外接圆圆心坐标，最后求得外接圆半径即可得解； （3）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，设中点为，则点的坐标为， 所以直线边上的中线所在直线方程，即； (2) 小问详解： 因为，所以， 因为中点为，所以的中垂线为， 因为，设中点为，则点的坐标为， ，所以的中垂线为，即， 联立与得，外接圆圆心的坐标为， 外接圆半径， 故所求为； (3) 小问详解： 设点到直线的距离为，则， 所以. 41．【答案】6 【分析】 判断直线与圆相离后，再求出点到直线的距离的最大值，利用三角形的面积公式，即可得到答案； 【详解】 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 则圆上一点到直线的距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为， 故答案为：. 42．【答案】（1）证明：∵圆，∴圆心，半径， ∵直线，整理得：， 令 ，解得： ，∴直线过定点， ∴， ∴定点在圆内， ∴直线总与圆相交. （2）或；（3）或. 【分析】 （1）利用直线系方程证明直线过定点，再由定点在圆内说明直线总与圆C相交； （2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得，直线方程可求； （3）利用待定系数法设，先求出的坐标，代入圆的方程，再令，根据结合韦达定理得方程，解出方程即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）∵直线被圆所截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， ∵直线， ∴， ∴，解得或， 将或，代入直线， ∴直线的方程：或. （3）设圆的方程：， 当时，直线， 联立 ，解得 或 ， 所以设点、点 所以有， 令，则，解得：，， 又因为圆在轴上截得弦长为，所以， 所以 ，解得： 或 ， 所以圆的方程为：或 【点睛】 本题主要考查直线方程的应用，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用待定系数法求圆的方程，属于中档题. 43．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设动点M坐标为，由两点间距离公式结合即可求解； （2）分直线l的斜率存在与不存在两种情况，由圆心到直线的距离等于半径即可求解； (1) 小问详解： 设动点M坐标为，则，， 由条件，得， 化简得 (2) 小问详解： 当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即， 由l与圆相切，得圆心到直线的距离，解得， 此时l的方程为 综上，l的方程为或 44．【答案】 【分析】 根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【详解】 由题意可知，变形为， 即圆心为，半径为，则弦心距为， 则弦长为. 故答案为：. 45．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 46．【答案】（1）； （2）∵是直线上一点.设 ∵为圆的切线，∴，即过、、三点的圆是以为直径的圆 设圆上任一点，则 ∵， ∴ 即 故 解得 或 因此经过、、三点的圆必过定点和. 【分析】 （1）由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求； （2）由已知设出点坐标，再由已知可知过，，三点的圆是以为直径的圆，设圆上任意一点，则，整理可得圆系方程，联立即可求得经过，，三点的圆所过定点的坐标． 【详解】 （1）设圆心，则圆心到直线的距离 由题意可得，即，解得或（舍） 所以圆的方程为 （2）略 【点睛】 本题考查利用弦长求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系过定的问题，同时考查了计算能力，是中档题． 47．【答案】（1）；     （2） （i）设点，而， 则中点为，且， 以为直径圆的方程为， 整理得， 以为直径圆与圆的方程相减，得． 整理得，令 ，可得 ， 所以直线过定点． （ii）      【分析】 （1）设点P的坐标为，根据及两点距离公式列方程，化简即可得； （2）（i）设点．确定以为直径圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，即可求证；（ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则 通过确定的最大值即可求解； (1) 小问详解： 设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则． 当取最大值时有最小值，而，当且仅当时取到， 所以的最小值为． 48．【答案】（1）     （2）直线CD经过定点      【分析】 （1） 弦AB恰好被点平分，则，即可求得斜率，根据点斜式即可得弦AB所在直线的方程； （2）设出点坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点. (1) 小问详解： 由圆，得圆心，半径， 又，所以，所以，所以， 即：弦AB所在直线的方程为. (2) 小问详解： 直线l与圆O相离，令，线段OQ中点， 因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆， 所以CD是圆O与圆K的相交弦，故． 即，由且，得直线CD经过定点． 49．【答案】（1）；（2）当点为时，直线与直线关于轴对称 【分析】 （1）利用圆心到直线的距离公式求得圆的半径，即可求得圆的方程； （2）设，通过对称性将坐标的关系找出，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，代入化简求解即可. 【详解】 （1）圆心到直线的距离，由圆的性质可得，所以，圆的方程为； （2）设， 由 得，, 所以 若直线与直线关于轴对称，则， 即，即，化简得， 代入韦达定理，即 所以当点为时，直线与直线关于轴对称； 50．【答案】（1）     （2）（ⅰ）（ⅱ）存在，      【分析】 （1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. (1) 小问详解： 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 (2) 小问详解： （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得① ， 由 可得， 所以，代入① 并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】 关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 51．【答案】（1）     （2）直线经过定点，该定点的坐标为      【分析】 （1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. (1) 小问详解： 设圆W的方程为， 则 ，解得 则圆W的方程为． (2) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组 ，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 【点睛】 求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将圆心坐标代入直线的方程，可求得实数的值. 【详解】 圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 则直线经过圆心，则，解得. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将两圆方程作差，可得出直线的方程. 【详解】 因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得， 因此，直线的方程为. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 外切 B. 外离 C. 相交 D. 内切 【答案】A 【分析】 根据给定条件求出两圆的圆心坐标及它们的半径，再计算两圆圆心距即可判断作答. 【详解】 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 于是得，即， 所以圆与圆外切. 故选：A 4．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由题意，设直线的方程为，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】 由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆心与直线的距离应小于等于半径， 即，解得. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于常考题型. 5．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（     ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C.  D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【分析】 求出圆的圆心及半径，求出点到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径， 对于AB，圆心到直线的距离， 则，故A错误，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误. 故选：BC 6．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若圆，，则和的位置关系是（       ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【分析】 求出两圆的圆心距，比较与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】 可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， ， 因此，圆与圆外切. 故选：D. 【点睛】 本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 7．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）圆与圆的位置关系为（       ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【分析】 分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】 ，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（       ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】 根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】 易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 9．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 代入弦长公式，即可求解. 【详解】 圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 10．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知直线和圆相交于两点.若，则的值为（       ） A. 7 B. 6 C.  D. 5 【答案】D 【分析】 先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径即可. 【详解】 由题意得，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 由于，故半径. 故选：. 11．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【分析】 求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】 已知直线，变形为， 由 ，即直线恒过定点， 代入圆的方程的左端有，即点在圆内， 所以直线与圆相交， 故选：A 12．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）（多选）已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（     ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【分析】 对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得到直线的距离，结合圆的半径，即可判断；对C：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误. 【详解】 对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由 ，解得 ，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 13．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求得圆心和半径，利用两点间距离公式和勾股定理求得最短弦长. 【详解】 圆的圆心为，半径为 由于，，所以在圆内. 在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦， ， 所以最短弦长为. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查圆的弦长有关计算，属于基础题. 14．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如果实数，满足等式，那么的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设过原点的直线的斜率为，数形结合当直线与圆相切时利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； 【详解】 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为 画出图形 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小， 圆心，半径为 所以，解得或（舍）， 故选：D. 15．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知直线：，圆：，以下正确的是（     ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】ABD 【分析】 对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断. 【详解】 对于A，圆心到直线的距离为， 当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确； 对于B，因为直线，即，所以直线过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确； 对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误； 对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为， 所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（       ） A. 点在圆内 B. 圆的圆心坐标为，半径为 C. 圆与轴交于点，则 D. 直线：与圆相切，则 【答案】ABC 【分析】 对于A，直接利用点与圆的位置关系判断即可；对于B，将圆的一般式方程化为标准式方程即可；对于C，将点表示出来，利用三角形面积公式求解即可；对于D，根据直线与圆相切表示出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】 对于A，根据点与圆的位置关系， 将点代入圆方程，得， 所以点在圆内，选项A正确； 对于B，因为圆：， 所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确； 对于C，令，则，得， 所以， 因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确； 对于D，因为直线：与圆相切， 所以，解得，所以D错误. 故选：ABC 17．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【分析】 利用两圆心之间的距离与两圆半径之间的关系判断即可． 【详解】 解：对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为 对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为， 所以圆心距为， 所以，两圆的位置关系为外切. 故选：C 18．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）圆与圆的公共弦所在直线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】 由，所以圆心，半径； 由，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 19．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由两圆内切得到，它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直，即可求解. 【详解】 由题意知圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， 两圆内切，则它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直， 又两圆圆心所在直线的斜率为， 所以它们的公切线的斜率为． 故选：A 20．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）实数满足，则的最小值为（       ） A. 3 B. 7 C.  D.  【答案】A 【分析】 化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】 化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 21．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）（多选）圆和圆的交点为A， B，则有（     ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 公共弦AB所在直线方程为 C. 线段AB中垂线方程为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】 求出圆的标准方程即可判断A选项，根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作差得出公共弦所在直线方程，判断选项B； 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项C；利用点到直线的距离即可判断选项. 【详解】 对于，由圆：可得， 所以圆的圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由圆：与圆的交点为A，B， 两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故B正确； 对于C，圆：的圆心为，， 则线段中垂线斜率为，即线段中垂线方程为：，整理可得，故C正确； 对于D，圆，圆心到的距离为，半径， 所以P到直线AB距离的最大值为，故D不正确； 故选：ABC 22．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，圆C：，点P为直线l：上的动点，则（     ） A. 圆C上没有点到直线l的距离为 B. 已知点，圆C上的动点N，则的最小值为 C. 过点P作圆C的一条切线，切点为Q，则可以为30° D. 过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】BCD 【分析】 首先判断直线与圆的位置关系，再求圆心到直线距离得判断A；由关于对称，得到，即可求最值，注意取值条件判断B；由最大时，只需，进而确定的范围判断C；令，得到都在直线上，结合求定点判断D. 【详解】 由的圆心，半径， 则到的距离为，即直线与圆相离， 所以，故圆C上存在点到直线l的距离为，A错； 由关于对称，则 ，可得 ， 由，故， 又，则， 当且仅当三点共线时取等号，故的最小值为，B对； 由最大时，只需，此时，即， 所以，则可以为，即可以为为30°，C对； 如下图，令，则， 由在切线上，则，同理， 显然都在直线上，又， 所以，即，易知直线恒过点，D对. 故选：BCD 23．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）（多选）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【分析】 根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】 A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 24．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【分析】 根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】 对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 25．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】D 【分析】 由相切的关系可得出都是直角三角形，根据几何关系可知四边形的面积取决于M的位置，可得当时四边形面积可取得最小值，进而求出此时四边形面积的值. 【详解】 如图所示， 因为MC，MD都与圆相切，所以， 因为在Rt和Rt中，，OM为公共边， . 又因为， 所以当取得最小值时，面积最小， 此时四边形面积也取得最小值， 又由勾股定理，， 所以当取最小值时，最小. 由题意，当时，取得最小值，， 所以此时，， 故四边形面积的最小值. 故选：D. 26．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）（多选）若曲线与直线有两个交点，则实数的值可能为（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】CD 【分析】 画出图像，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】 根据题意画出图形，如图所示．由题意可得， 曲线的图像为以为圆心，2为半径的半圆， 直线l恒过，由图可知当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r， 即，解得； 当直线l过B点时，直线l的斜率， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故选：CD 27．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则直线与圆相切 B. 若圆上存在两点关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是 【答案】BC 【分析】 利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆上存在两点关于直线对称可得直线过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误. 【详解】 A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径. ∴圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离，故A不正确. B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心， ∴，解得，故B正确. C. 若，则圆心到直线的距离， ∴，故C正确. D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示， ， 当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确. 故选：BC. 28．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（       ） A. 2分钟 B. 3分钟 C. 4分钟 D. 5分钟 【答案】C 【分析】 根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【详解】 以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C 29．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（       ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【分析】 对于A，联立 ，根据解的个数即可判断；对于B，联立 ，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】 对于A，由 ，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线有3个公共点，故正确； 对于B，由 ，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C， ， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】 难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 30．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】 由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图.    可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 31．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）（多选）下列说法不正确的是（       ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】AD 【分析】 利用直线垂直求出的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得的范围，选项D错误. 【详解】 A.由两直线垂直得，，解得或， “或”是“”的必要不充分条件，选项A错误. B.由得，，直线斜率， ∵，∴，即， ∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确. C.到点距离为的点在圆上， 由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交， ∵圆心距， ∴， ∴,即的取值范围是，选项C正确. D.由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示， 当直线过点时，， 当直线过点和点时，， 当直线与半圆相切于点时， 由圆心到直线的距离为得，解得或（舍）， 所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或. 选项D错误. 故选：AD. 32．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离， 所以. 33．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆：和圆：．则两圆公共弦所在直线的方程为　　　　　　；两圆公共弦长为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 先求得公共弦所在直线方程，然后结合点到直线距离公式求得公共弦长. 【详解】 两圆圆心分别为，，圆心距为2，两圆半径分别为2，3， ，所以两圆相交． 两圆对应的方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程为． 已知圆的圆心到公共弦直线的距离为． 所以两圆的公共弦长为． 故答案为：； 34．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知三个点，，，圆为的外接圆. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆的方程为，代入点的坐标，求出、、，即可得解； （2）首先确定圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 因为点，，在圆上， 所以 ，解得 ， 所以圆的方程为，即； (2) 小问详解： 由（1）可得圆的圆心为，半径， 又，所以圆的圆心到直线的距离， 所以，解得. 35．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若曲线与直线有两个交点，实数的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】 根据题意画出图形，如图所示，由题意可得，曲线的图象为以 为圆心，2为半径的半圆， 直线l恒过，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离 ， 即，解得； 当直线l过B点时，直线l的斜率k＝， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故答案为： 36．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的标准式方程，代入计算，即可得到结果； （2）由向量数量积的定义可得，从而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得 ，解得 ， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意，过点的直线与圆相交于、两点， 且，则， 所以，所以， 所以圆心到直线的距离， 由题意直线的斜率存在，设直线为，即， 所以，化简得， 解得或，所以直线的方程为或. 37．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】 如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 38．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知圆：与圆：相交于两点，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出两圆相交弦所在直线方程，利用弦长公式计算可得结果. 【详解】 根据题意可知两圆相交，且圆心，其半径为； 将两圆方程相减可得直线的方程为； 所以圆心到直线的距离为， 因此弦长. 故答案为： 39．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】（1）直线与相交     （2）3      【分析】 （1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得； （2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0． (1) 小问详解： 当时，可化为：， 表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则， 直线与相交. (2) 小问详解： 设，由， 直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即， 由 消元，得. 经检验时，. 40．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知的三个顶点， （1）求直线边上的中线所在直线方程； （2）求外接圆圆的方程； （3）直线与圆相交于两点，求． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求出中点为即可进一步求解中线方程； （2）先求的中垂线方程，然后得外接圆圆心坐标，最后求得外接圆半径即可得解； （3）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，设中点为，则点的坐标为， 所以直线边上的中线所在直线方程，即； (2) 小问详解： 因为，所以， 因为中点为，所以的中垂线为， 因为，设中点为，则点的坐标为， ，所以的中垂线为，即， 联立与得，外接圆圆心的坐标为， 外接圆半径， 故所求为； (3) 小问详解： 设点到直线的距离为，则， 所以. 41．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知为圆上任意一点，、为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是　　　　　　. 【答案】6 【分析】 判断直线与圆相离后，再求出点到直线的距离的最大值，利用三角形的面积公式，即可得到答案； 【详解】 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 则圆上一点到直线的距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为， 故答案为：. 42．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆：，直线：. （1）证明直线总与圆相交； （2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程； （3）当时，直线与圆交于、两点，求过、两点在轴截得弦长为的圆的方程. 【答案】（1）证明：∵圆，∴圆心，半径， ∵直线，整理得：， 令 ，解得： ，∴直线过定点， ∴， ∴定点在圆内， ∴直线总与圆相交. （2）或；（3）或. 【分析】 （1）利用直线系方程证明直线过定点，再由定点在圆内说明直线总与圆C相交； （2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得，直线方程可求； （3）利用待定系数法设，先求出的坐标，代入圆的方程，再令，根据结合韦达定理得方程，解出方程即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）∵直线被圆所截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， ∵直线， ∴， ∴，解得或， 将或，代入直线， ∴直线的方程：或. （3）设圆的方程：， 当时，直线， 联立 ，解得 或 ， 所以设点、点 所以有， 令，则，解得：，， 又因为圆在轴上截得弦长为，所以， 所以 ，解得： 或 ， 所以圆的方程为：或 【点睛】 本题主要考查直线方程的应用，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用待定系数法求圆的方程，属于中档题. 43．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）若平面内动点P到两定点距离的比值为常数且，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知两定点的坐标分别为，，动点M满足 （1）求动点M的阿波罗尼斯圆方程； （2）过点作该圆的切线l，求切线l的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设动点M坐标为，由两点间距离公式结合即可求解； （2）分直线l的斜率存在与不存在两种情况，由圆心到直线的距离等于半径即可求解； (1) 小问详解： 设动点M坐标为，则，， 由条件，得， 化简得 (2) 小问详解： 当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即， 由l与圆相切，得圆心到直线的距离，解得， 此时l的方程为 综上，l的方程为或 44．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【详解】 由题意可知，变形为， 即圆心为，半径为，则弦心距为， 则弦长为. 故答案为：. 45．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 46．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为. （1）圆的方程； （2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 【答案】（1）； （2）∵是直线上一点.设 ∵为圆的切线，∴，即过、、三点的圆是以为直径的圆 设圆上任一点，则 ∵， ∴ 即 故 解得 或 因此经过、、三点的圆必过定点和. 【分析】 （1）由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求； （2）由已知设出点坐标，再由已知可知过，，三点的圆是以为直径的圆，设圆上任意一点，则，整理可得圆系方程，联立即可求得经过，，三点的圆所过定点的坐标． 【详解】 （1）设圆心，则圆心到直线的距离 由题意可得，即，解得或（舍） 所以圆的方程为 （2）略 【点睛】 本题考查利用弦长求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系过定的问题，同时考查了计算能力，是中档题． 47．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. （1）求点P的轨迹的方程； （2）设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 【答案】（1）；     （2） （i）设点，而， 则中点为，且， 以为直径圆的方程为， 整理得， 以为直径圆与圆的方程相减，得． 整理得，令 ，可得 ， 所以直线过定点． （ii）      【分析】 （1）设点P的坐标为，根据及两点距离公式列方程，化简即可得； （2）（i）设点．确定以为直径圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，即可求证；（ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则 通过确定的最大值即可求解； (1) 小问详解： 设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则． 当取最大值时有最小值，而，当且仅当时取到， 所以的最小值为． 48．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）已知圆，直线． （1）若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； （2）点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 【答案】（1）     （2）直线CD经过定点      【分析】 （1） 弦AB恰好被点平分，则，即可求得斜率，根据点斜式即可得弦AB所在直线的方程； （2）设出点坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点. (1) 小问详解： 由圆，得圆心，半径， 又，所以，所以，所以， 即：弦AB所在直线的方程为. (2) 小问详解： 直线l与圆O相离，令，线段OQ中点， 因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆， 所以CD是圆O与圆K的相交弦，故． 即，由且，得直线CD经过定点． 49．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为 （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）；（2）当点为时，直线与直线关于轴对称 【分析】 （1）利用圆心到直线的距离公式求得圆的半径，即可求得圆的方程； （2）设，通过对称性将坐标的关系找出，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，代入化简求解即可. 【详解】 （1）圆心到直线的距离，由圆的性质可得，所以，圆的方程为； （2）设， 由 得，, 所以 若直线与直线关于轴对称，则， 即，即，化简得， 代入韦达定理，即 所以当点为时，直线与直线关于轴对称； 50．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）（ⅱ）存在，      【分析】 （1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. (1) 小问详解： 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 (2) 小问详解： （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得① ， 由 可得， 所以，代入① 并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】 关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 51．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知圆经过三点． （1）求圆的方程． （2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】（1）     （2）直线经过定点，该定点的坐标为      【分析】 （1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. (1) 小问详解： 设圆W的方程为， 则 ，解得 则圆W的方程为． (2) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组 ，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 【点睛】 求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 外切 B. 外离 C. 相交 D. 内切 4．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（     ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C.  D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 6．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若圆，，则和的位置关系是（       ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 7．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）圆与圆的位置关系为（       ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 8．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（       ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 9．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1 B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知直线和圆相交于两点.若，则的值为（       ） A. 7 B. 6 C.  D. 5 11．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 12．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）（多选）已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（     ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 13．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如果实数，满足等式，那么的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知直线：，圆：，以下正确的是（     ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（       ） A. 点在圆内 B. 圆的圆心坐标为，半径为 C. 圆与轴交于点，则 D. 直线：与圆相切，则 17．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 18．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）圆与圆的公共弦所在直线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）实数满足，则的最小值为（       ） A. 3 B. 7 C.  D.  21．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）（多选）圆和圆的交点为A， B，则有（     ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 公共弦AB所在直线方程为 C. 线段AB中垂线方程为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 22．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，圆C：，点P为直线l：上的动点，则（     ） A. 圆C上没有点到直线l的距离为 B. 已知点，圆C上的动点N，则的最小值为 C. 过点P作圆C的一条切线，切点为Q，则可以为30° D. 过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 23．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）（多选）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 24．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 25．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 26．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）（多选）若曲线与直线有两个交点，则实数的值可能为（     ） A.  B.  C.  D. 1 27．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则直线与圆相切 B. 若圆上存在两点关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是 28．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（       ） A. 2分钟 B. 3分钟 C. 4分钟 D. 5分钟 29．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（       ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 30．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  31．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）（多选）下列说法不正确的是（       ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 32．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 33．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆：和圆：．则两圆公共弦所在直线的方程为　　　　　　；两圆公共弦长为　　　　　　． 34．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知三个点，，，圆为的外接圆. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，且，求的值. 35．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若曲线与直线有两个交点，实数的取值范围是　　　　　　　　． 36．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 37．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是　　　　　　　　　． 38．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知圆：与圆：相交于两点，则　　　　　　. 39．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 40．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知的三个顶点， （1）求直线边上的中线所在直线方程； （2）求外接圆圆的方程； （3）直线与圆相交于两点，求． 41．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知为圆上任意一点，、为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是　　　　　　. 42．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知圆：，直线：. （1）证明直线总与圆相交； （2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程； （3）当时，直线与圆交于、两点，求过、两点在轴截得弦长为的圆的方程. 43．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）若平面内动点P到两定点距离的比值为常数且，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知两定点的坐标分别为，，动点M满足 （1）求动点M的阿波罗尼斯圆方程； （2）过点作该圆的切线l，求切线l的方程. 44．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 46．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为. （1）圆的方程； （2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 47．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. （1）求点P的轨迹的方程； （2）设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 48．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）已知圆，直线． （1）若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； （2）点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 49．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为 （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 50．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 51．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知圆经过三点． （1）求圆的方程． （2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $