精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高二年级2025-2026学年第一学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第101中学高二年级2025-2026学年第一学期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 2. 以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为： ． 故选C． 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 3. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件为掷出的点数为奇数且小于4，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有共6种， 其中满足掷出的点数为奇数且小于4有共2种， 所以事件发生的概率为. 故选：D 4. 平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】方程变形为 由平行线间的距离公式可得所求距离． 故选：A. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由，则，即， 有， 所以， 所以，则 故选：D 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项. 【详解】由题意可知：，，，， 因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误； 可得，故A正确； 又因为， 所以，故C正确； 故选：D. 7. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°，求出费马点，再根据费马点是与三角形三个顶点距离之和最小的点求出. 【详解】设为坐标原点，由，，， 知,且为锐角三角形， 因此，费马点M在线段上，设，如图， 则为顶角是120°的等腰三角形，故， 所以， 则的最小值为. 故选：B 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）. A. B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可判断A，由数量积的坐标运算可判断B，由关于平面对称的点的坐标特点可判断C，由向量模的坐标运算可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，所以，故B正确； 对C，点关于平面对称的点的坐标为，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，联立，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线有3个公共点，故正确； 对于B，由，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C，， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知随机事件，互斥，且，，则________. 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果. 【详解】随机事件，互斥， , . 故答案为：0.5. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型. 13. 已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为_____________________________，若点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据条件得到，化简即可求解；根据题设得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设，因为，且， 则，整理得到，即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用，从而有，即可求解. 四、解答题（本大题共5小题，共 77分） 15. 已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． （1）分别求事件、、发生的概率； （2）求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 【答案】（1）， ， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）列出样本空间和所有满足事件的情况，根据古典概型概率计算公式计算即可； （2）列出满足题意的所有情况，根据古典概型概率计算公式计算即可. 【小问1详解】 样本空间，共有12个基本事件； 事件，共有6个样本点， 所以， 事件，共有3个样本点，所以， 事件，共有4个样本点，所以． 【小问2详解】 事件中至多有一个发生的情况有，共有8种， 所以． 17. 已知是空间中不共面的向量，若． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系． 【小问1详解】 因为三点共线，则， 又， ， 有解得； 【小问2详解】 因为四点共面，则， 则， 有 ，得. 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值： （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （2）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【小问1详解】 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 存在点，使得点到平面的距离为，且，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E，使得点到平面的距离为，此时. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. （1）求点P的轨迹的方程； （2）设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）； 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，根据及两点距离公式列方程，化简即可得； （2）（i）设点．确定以为直径圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，即可求证；（ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则 通过确定的最大值即可求解； 【小问1详解】 设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． 【小问2详解】 （i）设点，而，则中点为，且， 以为直径圆的方程为， 整理得， 以为直径圆与圆的方程相减，得． 整理得，令，可得， 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则． 当取最大值时有最小值，而，当且仅当时取到， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第101中学高二年级2025-2026学年第一学期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件为掷出的点数为奇数且小于4，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 7. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）. A. B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D. 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知随机事件，互斥，且，，则________. 13. 已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为_____________________________，若点，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共 77分） 15. 已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16. 一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． （1）分别求事件、、发生的概率； （2）求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 17. 已知是空间中不共面的向量，若． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的值． 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值： （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. （1）求点P的轨迹的方程； （2）设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $