专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，新疆专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则（       ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【分析】 根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】 对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则 ，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】 因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则 ，解得 ，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 3．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（     ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】D 【分析】 先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】 由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 4．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）（多选）已知椭圆，则（       ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 【答案】AD 【分析】 利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解. 【详解】 因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为，短半轴长为3，离心率． 故选：AD. 5．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）“”是“方程表示椭圆”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由方程表示椭圆可得 ，求解可判断结论. 【详解】 若方程表示椭圆，则 ，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B. 6．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的焦点为双曲线的顶点得到双曲线焦点在轴上，，根据椭圆的长轴端点为双曲线的焦点得到，然后根据求双曲线的方程即可. 【详解】 由题意得双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 7．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】 不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 8．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）（多选）已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，过斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则（       ） A. M的长轴长为6 B. 的周长为8 C. 的周长为12 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】 由椭圆方程得出，然后根据椭圆的几何性质判断各选项. 【详解】 由题意得，，，则M的长轴长为6，的周长为，的周长为．当A为M的短轴端点时，的面积最大，且最大值为． 故选：ACD. 9．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由椭圆定义得到，结合题中等式解得，，由勾股定理逆定理得到，由夹角求得直线的斜率. 【详解】 由椭圆的定义得， 结合， 解得，， 所以， 从而， 所以 故选：D. 10．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆定义直接求解即可. 【详解】 由椭圆方程知：椭圆长轴长； 由椭圆定义知：， 的周长为. 故选：C. 11．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 椭圆的标准方程为 C.  D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果. 【详解】 由题意可知： ，解得 ， ∴，A选项正确； ∴ ∴椭圆：，B选项正确； ∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 12．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点， 则下列关于椭圆的结论正确的有（        ） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆的方程求出，，，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】 由椭圆方程可知：，所以， 所以：离心率，所以选项B正确； 长轴，所以选项B错误； 由椭圆的定义可知：， 所以的周长为，所以选项C正确； 设，所以，因为， 所以由勾股定理可得：，即：， 化简得：， 解之得：或，即： 或 ， 所以的面积为： ，故选项D正确. 故选：BCD. 13．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解. 【详解】 由 ，消可得得，解得， 分别代入得， ，，，， ，，，， ， ， ，， 把代入式并整理得， 两边同除以并整理得，解得， . 故选：D 【点睛】 方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）. 14．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）（多选）已知椭圆分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是（       ） A. 离心率 B. 的周长为18 C. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D. 若，则的面积为8 【答案】ABC 【分析】 根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出可判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D. 【详解】 由，可得，，， 对于A，离心率，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确. 对于C，设，，故C正确； 对于D，，， 又因为，所以， 即，解得, 所以，故D错误. 故选：ABC 15．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案. 【详解】 由题得，即， 由焦距为4得，解得， 可得椭圆方程为，所以，， 所以离心率为. 故选：B. 16．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大面积为 B. 若直线的斜率为，则 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 【答案】BD 【分析】 当P为椭圆短轴顶点时的面积最大，即可判断A；利用两点求斜率公式计算化简即可判断B；当P为椭圆短轴顶点时为最大，利用余弦定理计算即可判断C；根据椭圆的定义可得，求出即可判断D. 【详解】 对A，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大， 且最大面积为：，故A错误； 对B，由椭圆，得，设， 则，又，则， 所以，故B正确； 对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时， 即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误； 对D，由椭圆，所以，又， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 17．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知， 是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】由题意可知，正的边长为，又因为边的中点在椭圆上，故，且，再结合椭圆的定义，可求出椭圆离心率. 【详解】∵以线段为边作正三角形， ∴正三角形的边长为：， 又∵边的中点在椭圆C上， ∴，且， 由可知，， ∴ ∴ 故选：C. 【点睛】本题考查学生对椭圆的定义，椭圆的焦点，离心率的掌握情况，能知道正三角形的相关性质，列出椭圆的半长轴和半焦距之间的关系，能根据题意，找出相关关系，解出问题，对学生的逻辑思维能力，转化化归思想有要求，为中等偏下难度问题. 18．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（     ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 的最大值为25 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【分析】 根据椭圆的概念和基本性质，求出椭圆的参数，再逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】 由题意可知，，则， 所以长轴为，所以A正确；焦距为，所以C错误； 由椭圆定义可知，由基本不等式可知， 即，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为25，所以B正确； 的周长为，所以D正确； 故选：ABD. 19．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）（多选）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（       ） A. 5 B. 4 C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积. 【详解】 由可得，，所以， 根据对称性只需考虑或， 当时，将代入可得， 如图：，，所以的面积为，    当时，由椭圆的定义可知：， 由勾股定理可得， 因为， 所以，解得：， 此时的面积为，    综上所述：的面积为或. 故选：BC. 20．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）（多选）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（       ） A. 点坐标为 B. 右焦点坐标为 C.  D. 椭圆的方程为 【答案】BD 【分析】 根据可求得，进而确定点坐标和焦点坐标，知AB正误；利用焦点三角形面积和椭圆定义可求得，由椭圆关系可得，知CD正误. 【详解】 对于A，，为中点，， ，，且符号相同， ，解得：， ，，又符号相同，或，A错误； 对于B，，，则右焦点为，B正确； 对于C，设，， ，， 由椭圆定义知：，又，，， ，，即，解得：， ，C错误； 对于D，，，椭圆的方程为，D正确. 故选：BD. 21．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】 因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 22．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（       ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 64 【答案】A 【分析】 根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算. 【详解】    由题意得，，于是， 即为△的外心，以为直径的圆经过，于是， 记，根据椭圆定义和勾股定理： ， 于是. 故选：A 23．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【详解】 设、，所以 ，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 【详解】 24．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（       ）个.    ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由题设椭圆中可得，又、判断① ② ；令得，特殊值判断③ ；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④ . 【详解】 由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故① 正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故② 正确； 设，则 ，取， 则，故③ 错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④ 正确，故答案为① ② ④ . 故选：C. 【点睛】 关键点睛：本题③ 的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 25．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，利用中位线的性质可求出，可得出，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理可求得的值，进而利用椭圆的离心率公式可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】 不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，    由圆的几何性质可知， 易知、分别为、的中点，则，且， 所以，，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为， 故选：A. 【点睛】 方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 26．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. (1) 小问详解： 依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 27．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求△的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆中离心率与的关系求解； （2）根据椭圆的定义和余弦定理求解. (1) 小问详解： 由题可得， ，解得， 所以椭圆的标准方程是； (2) 小问详解： 由（1）知，， 在中，由余弦定理得 即.① 由椭圆定义，得，即② 将② 代入① 解得， ∴. 因此所求的面积是. 28．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据半焦距及离心率可计算得,进而确定椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理与弦长公式求解. (1) 小问详解： 由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. (2) 小问详解： 过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程 ,可得, 根据韦达定理，有. . 29．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）设椭圆方程为，根据题意可得且，从而，得到椭圆的标准方程； （2）设点，，线段的中点为，根据中点坐标公式将、表示成关于、的式子，将，关于、的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段的中点的轨迹方程． 【详解】 解：（1）由题意知椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程是 椭圆经过点，左焦点为， ，，可得 因此，椭圆的标准方程为． （2）设点的坐标是，，线段的中点为， 由根据中点坐标公式，可得 ，整理得 ， 点，在椭圆上， 可得，化简整理得， 由此可得线段中点的轨迹方程是． 【点睛】 方法点睛：求轨迹方程的常见方法有： （1）直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； （2）定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； （3）参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； （4）相关点法，将 代入. 30．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出，根据斜率得到方程，结合得到，求出离心率. 【详解】 由题意得，中令得，， 由于直线的斜率为，故，则① ， 又② ，联立① ② 得，，所以， 解得或（舍）. 故答案为：. 31．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意设，，如图所示： 联立 ， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 32．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）求符合下列条件的方程： （1）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． （2）与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． (1) 小问详解： 设所求圆的标准方程为：， 依题意得 ，即 ， 解得 ， 所以所求圆的方程为：. (2) 小问详解： 椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 33．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 依题意，在中，，，，利用余弦定理可求得的值，从而可求得的面积． 【详解】 椭圆，，，． 又为椭圆上一点，，、为左右焦点，，， ，．． 故答案为：． 34．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆定义即可得结果. 【详解】 由题意可知：， 因为， 所以的周长为. 故答案为：. 35．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过两点. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意可得，结合求得，即可得方程； （2）设椭圆的方程为，代入点运算即可. (1) 小问详解： 由题意知， 因为，即，解得， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设椭圆的方程为. 因为椭圆经过两点， 则 ，解得 故椭圆的标准方程为. 36．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】（1）（2）直线l的方程为 【详解】（1）根据椭圆的几何性质求得，； （2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程． 【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，， ，即 椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为， ，，从而得， 椭圆C的方程为； （2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k， 直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得： 且该方程显然有二不等根， 记A，B两点的坐标依次为，， ，即， ，解得， 所求直线l的方程为． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题． 37．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． (1) 小问详解： 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立 ，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 38．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 39．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 【答案】（1）     （2）1；或      【分析】 （1）先求出，根据椭圆的定义求得，最后根据平方关系求得； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. (1) 小问详解： 因为椭圆与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点是，即， 即， 因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由题意过点的直线与曲线交于两点， 显然直线斜率是存在的，否则三点共线，此时不是三角形， 所以设直线的方程为， 联立与，所以， 即，或， 设， 有. 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积.    设， 则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为1， 此时直线的方程为或. 40．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据已知椭圆方程求出，设所求椭圆标准方程为，利用焦点相同且过点，列方程组求解． 【详解】 椭圆方程为， ， 椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为， 由两椭圆焦点相同，则， ，解得 ， 所求椭圆标准方程为：． 故答案为：． 41．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）过椭圆上的点，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆的切点弦方程得直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理计算即可. 【详解】 先证椭圆上一点的切线方程：对于上一点，过点的切线方程为， 证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为，与椭圆方程联立可得： ， 则，， 代入切线方程得， 于是，从而切线方程为， 整理得： 由椭圆方程，知，，所以． 设两切线交点，易得切线的方程为， 切线的方程为． 由于点在切线、上， 则 ，故直线的方程为， 联立方程 ，消去得，显然， 由韦达定理得． 即的最小值为． 故答案为：． 42．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点. （1）求点A关于M的所有共轭点的坐标: （2）设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点A关于M的共轭点的坐标，由题意解方程组 即可. （2）由题设直线PQ方程为：，用m表示出，再表示出共轭点与直线距离即可. (1) 小问详解： 设点A关于M的共轭点的坐标为,由题意有 ， 消去得，解得 ， 即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为A本身. (2) 小问详解： 由题设直线PQ方程为：， 将其与椭圆方程联立有 ，消去得. 由题有其.又设. 则. 则 . 又设A到直线距离为，则. 则所围成的图形面积为 ，当且仅当，即取等号. 故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：本题为直线与椭圆位置综合题，第一问较为基础，读懂题意，列出相应方程组即可.第二问的关键，为利用所设直线所含参数，结合韦达定理和点到直线距离公式表示出和. 43．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）根据题意，得到，由，求得，即可求得椭圆的方程的标准方程； （2）假设存在定直线，设为，联立方程组求得，化简，设直线、及直线的倾角分别为，，，且直线与直线交于点，利用斜率公式，化简得到且，求得，即可求解. (1) 小问详解： 解：由椭圆的两个顶点分别为、，可得， 又由，解得， 所以椭圆的方程的标准方程为. (2) 小问详解： 解：假设存在定直线，显然直线的斜率存在，设为，且、， 联立方程组 ，整理得， 则，且，， 由 . 设直线、及直线的倾角分别为，，，设直线与直线交于点， 则，，所以， 即， 所以即， 化简得且， 所以，解得或（舍）， 所以存在过点的定直线，使直线平分，该定直线的方程为； 【点睛】 方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 44．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可. 【详解】 方法一：设，即， 与椭圆C的方程联立 ，得． ，∴， 当时，点P到直线l的距离为， 即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为． 方法二：设， 由点到直线距离公式 ∵，∴ ∴，∴． 故答案为：. 45．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）①；② 存在，      【分析】 （1）根据题意，求出得解； （2）① 把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；② 把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. (1) 小问详解： 由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： ① 直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ② 假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点，且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，    设两交点，中点，则有，且， 所以， 即，整理得， 又因为，所以，当且仅当，即， 所以，则. 46．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）椭圆短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）根据题意列出 ，即可直接写出椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立方程组，设，，利用根于系数的关系化简即可得解. (1) 小问详解： 由题意得 ，得， 故椭圆为； (2) 小问详解： 由已知直线过，设的方程为， 联立两个方程得 ，消去得：， 得， 设，，则，（*）， 因为，故， 将（*）代入上式，可得：， ∴直线与斜率之积为定值． 47．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为． （1）求曲线的方程； （2）求的取值范围； （3）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据椭圆的定义求标准方程； （2）若直线与轴重合，直接计算，若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点，直线方程代入椭圆方程消元后应用韦达定理得，然后由点的坐标及参数计算，代入韦达定理的结论得关于的函数，再求得其范围； （3）在（2）的基础上计算可得． (1) 小问详解： 连接，则．设点圆的圆心，半径为4，，    点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距， 曲线的方程为． (2) 小问详解： （法一）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴重合，则； ② 若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点， 联立 ，消去，得， 则， 由韦达定理得， 由弦长公式可得 ， ，则． 综上所述，的取值范围是． （2）（法二）分以下两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，，不妨设； ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点， 联立 ，消去，得，则， 由韦达定理得， 由弦长公式可得 ． 综上所述，的取值范围是． （2）（法三）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴重合，则 ② 若直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点，， 联立 ，消去，得，则， 由韦达定理得， ， ，则． 综上所述，的取值范围是． (3) 小问详解： （法一）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴重合，点都在轴上， ② 若直线不与轴重合，由（2）知，直线的方程为，点， ， 综上所述：． （3）（法二）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，； ② 若直线不与轴垂直，由（2）知，直线的方程为， 设点， 综上所述：． 【点睛】 方法点睛：椭圆中范围或定值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求范围或定值的量，如本题中线段积或斜率和，如果是范围则可转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得范围，如果是定值，则代入后化简可得定值． 48．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 【答案】（1）；     （2）①；②.      【分析】 （1）根据椭圆的性质判断面积最大时的位置，即可求直线斜率； （2）① 利用垂直关系分别写出直线的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程； ② 将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合① 中直线的方程可得，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. (1) 小问详解： 由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，面积最大， 若为上顶点，此时， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为. (2) 小问详解： 如下图所示： ① 设，由题意直线斜率一定存在，即， 所以，有直线，又，且相互垂直，则， 所以，故直线， 综上，，结合，可得， 所以直线交点横坐标为， 同理得，即直线交点横坐标为， 综上，直线为； ② 设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得， 又 ，同理可得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以最大值为. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可. 49．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值. （3）求证： 【答案】（1）     （2）     （3） 设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由 消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立.      【分析】 （1）根据条件，列出关于的方程，求出，可得椭圆的标准方程. （2）设过点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得的值. （3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可. (1) 小问详解： 由题意： . 所以椭圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 设过点的切线方程为：，即， 由 ，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 50．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）；（ⅱ）是，2      【分析】 （1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. (1) 小问详解： 由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； (2) 小问详解： （i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立： ， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由① 可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即 ， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】 关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（       ） A.  B.  C. 顶点到渐近线的距离为 D. 的外接圆的面积为 【答案】ABD 【分析】 利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为，则， 由题意知，A正确. ，B正确. 对于C，双曲线的渐近线方程为， 所以顶点到渐近线距离，C错误. 对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且， 所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确. 故选：ABD. 2．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知双曲线的顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，且的焦距为4，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式列出方程推出关系，然后结合双曲线的焦距，求出双曲线的方程即可. 【详解】 双曲线的顶点分别为，， 且以线段为直径的圆的圆心为， 以线段为直径的圆与直线相切， 圆心到直线的距离为，则， 则，又， 双曲线的焦距为，所以，解得，， 所以双曲线方程为：. 故选：A 【点睛】 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了计算求解能力，属于基础题. 3．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的结构特征列不等式求解即可. 【详解】 由题知，求得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由条件推导出，由此能求出双曲线的离心率． 【详解】 抛物线的准线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据题意点在上， 所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设椭圆：，由双曲线方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】 设椭圆：， 双曲线：，可得，所以， 解得，所以， ，， ，， 因为四边形为矩形，所以在中，， ，即， ，，即的离心率是. 故选：C. 6．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（       ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】C 【分析】 设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 【详解】 设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图： 设、，，双曲线其中一条渐近线为， 直线的方程为，① 由，得，即直线的斜率为，直线方程为，② 由点在双曲线上，得，③ 联立① ③ ，得，联立① ② ，得， 则，即，因此， 所以离心率． 故选：C 7．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（       ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】 对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 8．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】 先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【详解】 双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6 9．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1）     （2）.     （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由 ，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点      【分析】 （1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； (1) 小问详解： 因为，， 所以，故的标准方程为· (2) 小问详解： 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. (3) 小问详解： 略 10．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. （1）求双曲线的标准方程和渐近线方程； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. (1) 小问详解： 由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； (2) 小问详解： 过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 11．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值. 【答案】（1）.     （2）.      【分析】 根据焦距可得的值，再由已知条件将点代入曲线可列出关于的方程，最后联立关系求解即可得到双曲线的方程； 设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式即可求解.    (1) 小问详解： 由题意得，即，所以， 因为双曲线经过点，所以代入可得， 解得，， 所以的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，，，的中点为. 联立 ，消去整理得：， 所以，， 则，，所以. 因为在直线上，所以，又，所以. 【点睛】 本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题. 12．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】（1），；     （2）1.      【分析】 （1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. (1) 小问详解： 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. (2) 小问详解： 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由 ，得， 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． （1）求的标准方程； （2）设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【答案】（1）     （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证.      【分析】 （1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. (1) 小问详解： 由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为　　　　　 . 【答案】2 【分析】 利用已知条件，求出A到渐近线的距离，然后推出，最后求双曲线的离心率. 【详解】 由题意，则为正三角形，    则A到渐近线距离为，，渐近线为， 所以，故，可得，故. 故答案为：2 15．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】（1）     （2） 当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点．      【分析】 （1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． (1) 小问详解： 由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意得到，设，则，由勾股定理得，由双曲线定义得到方程，求出，故，，在中，由勾股定理得到方程，求出，得到离心率. 【详解】 因为，所以， 又，所以， 设，则，由勾股定理得， 由双曲线定义得，故， 故， 由双曲线定义得， 故，解得， 故，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 故离心率. 故答案为： 17．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意，可得两两互相垂直，且，，从而可求得，，，利用余弦定理建立关于的方程即可求解. 【详解】    由题意，，所以，， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，且面， 所以平面，又平面，所以， 所以， ， 因为， 所以由余弦定理有， 即， 所以，即， 所以或，又离心率， 所以， 故答案为：. 考点03 抛物线 1．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）抛物线的焦点到其准线的距离为（          ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 抛物线方程化为标准方程易得焦参数，从而得焦点到准线的距离． 【详解】 抛物线化为标准方程为，焦点坐标为，准线方程为，所求距离为． 故选：B 2．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】 因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 3．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出，进而求出焦点坐标. 【详解】 依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 5．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】 由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 6．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）（多选）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点、是上两个动点，则（       ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 当直线过点时，直线和的斜率之积为定值 D. 当直线与垂直时，直线过定点 【答案】ABD 【分析】 根据抛物线的标准方程可得出其准线方程，可判断A选项；利用抛物线的定义和抛物线的范围可求出的最小值，可判断B选项；设直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用斜率公式与韦达定理可判断C选项；设直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立，利用斜率公式与韦达定理可判断D选项. 【详解】 对于A选项，抛物线的准线方程为，A对； 对于B选项，设点，则， 由抛物线的定义可得，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于C选项，设点，若直线与轴不重合时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 易知点，设直线的方程为， 联立 可得，，所以， 故，C错； 对于D选项，设直线的方程为， 联立 可得，，所以， 若，则，解得， 此时直线的方程为，故直线过定点，D对. 故选：ABD. 7．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论错误的是（     ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C.  D. 线段的中点到轴的距离为 【答案】BD 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A；联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D. 【详解】 由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点， 又经过的焦点，故，可得，即抛物线方程为：，A正确； 由 ，可得，解得或， 可得，，所以， 此时， 由于不确定点A、B的位置，线段的长度不能确定，B错误； 由以上分析可知，，，， 可得，则，即，C正确； 因为，，故线段的中点为， 则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：BD 8．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 证明，根据基本不等式求的最小值. 【详解】 根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F， 所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：C. 9．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据抛物线的定义求解即可. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 10．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. （1）求抛物线的方程； （2）O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用点到直线的距离公式表示三角形的高，即可求解面积. (1) 小问详解： 设方程为，， 由 并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. (2) 小问详解： 由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 11．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知点为抛物线：（）的焦点，过的直线交于点，.当的斜率为1时，. （1）求的方程； （2）已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立直线与抛物线方程，由焦点弦长公式即可求解； （2）由直线与抛物线相切，判别式为0，及 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列出等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知，，则过点的直线为， 与抛物线方程联立得，则， ，得，所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： 由直线与抛物线相切可知，直线得到斜率存在， 设直线：，与抛物线方程联立，得， ，即，① 圆：的圆心为，圆心到直线得到距离等于半径 即，得，② 由① ② 得，得 或 ， 所以直线的方程为或； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则（       ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（     ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 4．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）（多选）已知椭圆，则（       ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 5．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）“”是“方程表示椭圆”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）（多选）已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，过斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则（       ） A. M的长轴长为6 B. 的周长为8 C. 的周长为12 D. 面积的最大值为 9．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 椭圆的标准方程为 C.  D. 的最大值为 12．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点， 则下列关于椭圆的结论正确的有（        ） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为 13．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）（多选）已知椭圆分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是（       ） A. 离心率 B. 的周长为18 C. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D. 若，则的面积为8 15．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大面积为 B. 若直线的斜率为，则 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 17．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知， 是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（     ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 的最大值为25 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 19．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）（多选）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（       ） A. 5 B. 4 C.  D.  20．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）（多选）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（       ） A. 点坐标为 B. 右焦点坐标为 C.  D. 椭圆的方程为 21．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（       ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 64 23．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 24．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（       ）个.    ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 25．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 27．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求△的面积． 28．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 29．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程. 30．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为　　　　　　. 31．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 32．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）求符合下列条件的方程： （1）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． （2）与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 33．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为　　　　　　　　　　． 34．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为　　　　　　. 35．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过两点. 36．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 37．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 38．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 39．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 40．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　　． 41．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）过椭圆上的点，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为　　　　　　． 42．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点. （1）求点A关于M的所有共轭点的坐标: （2）设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值. 43．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 44．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为　　　　　　． 45．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 46．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）椭圆短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 47．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为． （1）求曲线的方程； （2）求的取值范围； （3）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值． 48．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 49．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值. （3）求证： 50．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（       ） A.  B.  C. 顶点到渐近线的距离为 D. 的外接圆的面积为 2．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知双曲线的顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，且的焦距为4，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是 A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（       ） A.  B. 2 C.  D. 3 7．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（       ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 8．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则　　　　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 10．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. （1）求双曲线的标准方程和渐近线方程； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 11．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值. 12．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． （1）求的标准方程； （2）设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 14．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为　　　　　 . 15．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 16．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为　　　　　　. 17．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　． 考点03 抛物线 1．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）抛物线的焦点到其准线的距离为（          ） A. 1 B. 2 C.  D.  2．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）（多选）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点、是上两个动点，则（       ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 当直线过点时，直线和的斜率之积为定值 D. 当直线与垂直时，直线过定点 7．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论错误的是（     ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C.  D. 线段的中点到轴的距离为 8．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是　　　　　　　　． 10．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. （1）求抛物线的方程； （2）O为坐标原点，求的面积. 11．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）已知点为抛物线：（）的焦点，过的直线交于点，.当的斜率为1时，. （1）求的方程； （2）已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．AB 2．B 3．D 4．AD 5．B 6．B 7．A 8．ACD 9．D 10．C 11．ABD 12．BCD 13．D 14．ABC 15．B 16．BD 17．C 18．ABD 19．BC 20．BD 21．B 22．A 23．D 24．C 25．A 26．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. (1) 小问详解： 依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆中离心率与的关系求解； （2）根据椭圆的定义和余弦定理求解. (1) 小问详解： 由题可得， ，解得， 所以椭圆的标准方程是； (2) 小问详解： 由（1）知，， 在中，由余弦定理得 即.① 由椭圆定义，得，即② 将② 代入① 解得， ∴. 因此所求的面积是. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据半焦距及离心率可计算得,进而确定椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理与弦长公式求解. (1) 小问详解： 由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. (2) 小问详解： 过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程 ,可得, 根据韦达定理，有. . 29．【答案】（1）（2） 【分析】 （1）设椭圆方程为，根据题意可得且，从而，得到椭圆的标准方程； （2）设点，，线段的中点为，根据中点坐标公式将、表示成关于、的式子，将，关于、的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段的中点的轨迹方程． 【详解】 解：（1）由题意知椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程是 椭圆经过点，左焦点为， ，，可得 因此，椭圆的标准方程为． （2）设点的坐标是，，线段的中点为， 由根据中点坐标公式，可得 ，整理得 ， 点，在椭圆上， 可得，化简整理得， 由此可得线段中点的轨迹方程是． 【点睛】 方法点睛：求轨迹方程的常见方法有： （1）直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； （2）定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； （3）参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； （4）相关点法，将 代入. 30．【答案】 【分析】 求出，根据斜率得到方程，结合得到，求出离心率. 【详解】 由题意得，中令得，， 由于直线的斜率为，故，则① ， 又② ，联立① ② 得，，所以， 解得或（舍）. 故答案为：. 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意设，，如图所示： 联立 ， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． (1) 小问详解： 设所求圆的标准方程为：， 依题意得 ，即 ， 解得 ， 所以所求圆的方程为：. (2) 小问详解： 椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 33．【答案】3 【分析】 依题意，在中，，，，利用余弦定理可求得的值，从而可求得的面积． 【详解】 椭圆，，，． 又为椭圆上一点，，、为左右焦点，，， ，．． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 根据椭圆定义即可得结果. 【详解】 由题意可知：， 因为， 所以的周长为. 故答案为：. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意可得，结合求得，即可得方程； （2）设椭圆的方程为，代入点运算即可. (1) 小问详解： 由题意知， 因为，即，解得， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设椭圆的方程为. 因为椭圆经过两点， 则 ，解得 故椭圆的标准方程为. 36．【答案】（1）（2）直线l的方程为 【详解】（1）根据椭圆的几何性质求得，； （2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程． 【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，， ，即 椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为， ，，从而得， 椭圆C的方程为； （2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k， 直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得： 且该方程显然有二不等根， 记A，B两点的坐标依次为，， ，即， ，解得， 所求直线l的方程为． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． (1) 小问详解： 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立 ，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 38．【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 39．【答案】（1）     （2）1；或      【分析】 （1）先求出，根据椭圆的定义求得，最后根据平方关系求得； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. (1) 小问详解： 因为椭圆与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点是，即， 即， 因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由题意过点的直线与曲线交于两点， 显然直线斜率是存在的，否则三点共线，此时不是三角形， 所以设直线的方程为， 联立与，所以， 即，或， 设， 有. 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积.    设， 则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为1， 此时直线的方程为或. 40．【答案】 【分析】 先根据已知椭圆方程求出，设所求椭圆标准方程为，利用焦点相同且过点，列方程组求解． 【详解】 椭圆方程为， ， 椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为， 由两椭圆焦点相同，则， ，解得 ， 所求椭圆标准方程为：． 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 利用椭圆的切点弦方程得直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理计算即可. 【详解】 先证椭圆上一点的切线方程：对于上一点，过点的切线方程为， 证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为，与椭圆方程联立可得： ， 则，， 代入切线方程得， 于是，从而切线方程为， 整理得： 由椭圆方程，知，，所以． 设两切线交点，易得切线的方程为， 切线的方程为． 由于点在切线、上， 则 ，故直线的方程为， 联立方程 ，消去得，显然， 由韦达定理得． 即的最小值为． 故答案为：． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点A关于M的共轭点的坐标，由题意解方程组 即可. （2）由题设直线PQ方程为：，用m表示出，再表示出共轭点与直线距离即可. (1) 小问详解： 设点A关于M的共轭点的坐标为,由题意有 ， 消去得，解得 ， 即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为A本身. (2) 小问详解： 由题设直线PQ方程为：， 将其与椭圆方程联立有 ，消去得. 由题有其.又设. 则. 则 . 又设A到直线距离为，则. 则所围成的图形面积为 ，当且仅当，即取等号. 故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：本题为直线与椭圆位置综合题，第一问较为基础，读懂题意，列出相应方程组即可.第二问的关键，为利用所设直线所含参数，结合韦达定理和点到直线距离公式表示出和. 43．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）根据题意，得到，由，求得，即可求得椭圆的方程的标准方程； （2）假设存在定直线，设为，联立方程组求得，化简，设直线、及直线的倾角分别为，，，且直线与直线交于点，利用斜率公式，化简得到且，求得，即可求解. (1) 小问详解： 解：由椭圆的两个顶点分别为、，可得， 又由，解得， 所以椭圆的方程的标准方程为. (2) 小问详解： 解：假设存在定直线，显然直线的斜率存在，设为，且、， 联立方程组 ，整理得， 则，且，， 由 . 设直线、及直线的倾角分别为，，，设直线与直线交于点， 则，，所以， 即， 所以即， 化简得且， 所以，解得或（舍）， 所以存在过点的定直线，使直线平分，该定直线的方程为； 【点睛】 方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 44．【答案】 【分析】 方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可. 【详解】 方法一：设，即， 与椭圆C的方程联立 ，得． ，∴， 当时，点P到直线l的距离为， 即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为． 方法二：设， 由点到直线距离公式 ∵，∴ ∴，∴． 故答案为：. 45．【答案】（1）     （2）①；② 存在，      【分析】 （1）根据题意，求出得解； （2）① 把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；② 把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. (1) 小问详解： 由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： ① 直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ② 假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点，且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，    设两交点，中点，则有，且， 所以， 即，整理得， 又因为，所以，当且仅当，即， 所以，则. 46．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）根据题意列出 ，即可直接写出椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立方程组，设，，利用根于系数的关系化简即可得解. (1) 小问详解： 由题意得 ，得， 故椭圆为； (2) 小问详解： 由已知直线过，设的方程为， 联立两个方程得 ，消去得：， 得， 设，，则，（*）， 因为，故， 将（*）代入上式，可得：， ∴直线与斜率之积为定值． 47．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据椭圆的定义求标准方程； （2）若直线与轴重合，直接计算，若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点，直线方程代入椭圆方程消元后应用韦达定理得，然后由点的坐标及参数计算，代入韦达定理的结论得关于的函数，再求得其范围； （3）在（2）的基础上计算可得． (1) 小问详解： 连接，则．设点圆的圆心，半径为4，，    点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距， 曲线的方程为． (2) 小问详解： （法一）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴重合，则； ② 若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点， 联立 ，消去，得， 则， 由韦达定理得， 由弦长公式可得 ， ，则． 综上所述，的取值范围是． （2）（法二）分以下两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，，不妨设； ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点， 联立 ，消去，得，则， 由韦达定理得， 由弦长公式可得 ． 综上所述，的取值范围是． （2）（法三）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴重合，则 ② 若直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点，， 联立 ，消去，得，则， 由韦达定理得， ， ，则． 综上所述，的取值范围是． (3) 小问详解： （法一）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴重合，点都在轴上， ② 若直线不与轴重合，由（2）知，直线的方程为，点， ， 综上所述：． （3）（法二）分以下两种情况讨论： ① 若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，； ② 若直线不与轴垂直，由（2）知，直线的方程为， 设点， 综上所述：． 【点睛】 方法点睛：椭圆中范围或定值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求范围或定值的量，如本题中线段积或斜率和，如果是范围则可转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得范围，如果是定值，则代入后化简可得定值． 48．【答案】（1）；     （2）①；②.      【分析】 （1）根据椭圆的性质判断面积最大时的位置，即可求直线斜率； （2）① 利用垂直关系分别写出直线的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程； ② 将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合① 中直线的方程可得，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. (1) 小问详解： 由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，面积最大， 若为上顶点，此时， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为. (2) 小问详解： 如下图所示： ① 设，由题意直线斜率一定存在，即， 所以，有直线，又，且相互垂直，则， 所以，故直线， 综上，，结合，可得， 所以直线交点横坐标为， 同理得，即直线交点横坐标为， 综上，直线为； ② 设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得， 又 ，同理可得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以最大值为. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可. 49．【答案】（1）     （2）     （3） 设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由 消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立.      【分析】 （1）根据条件，列出关于的方程，求出，可得椭圆的标准方程. （2）设过点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得的值. （3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可. (1) 小问详解： 由题意： . 所以椭圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 设过点的切线方程为：，即， 由 ，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 50．【答案】（1）     （2）（i）；（ⅱ）是，2      【分析】 （1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. (1) 小问详解： 由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； (2) 小问详解： （i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立： ， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由① 可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即 ， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】 关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 考点02 双曲线 1．ABD 2．A 3．C 4．A 5．C 6．C 7．ABD 8．【答案】6 【分析】 先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【详解】 双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6 9．【答案】（1）     （2）.     （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由 ，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点      【分析】 （1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； (1) 小问详解： 因为，， 所以，故的标准方程为· (2) 小问详解： 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. (3) 小问详解： 略 10．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. (1) 小问详解： 由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； (2) 小问详解： 过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 11．【答案】（1）.     （2）.      【分析】 根据焦距可得的值，再由已知条件将点代入曲线可列出关于的方程，最后联立关系求解即可得到双曲线的方程； 设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式即可求解.    (1) 小问详解： 由题意得，即，所以， 因为双曲线经过点，所以代入可得， 解得，， 所以的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，，，的中点为. 联立 ，消去整理得：， 所以，， 则，，所以. 因为在直线上，所以，又，所以. 【点睛】 本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题. 12．【答案】（1），；     （2）1.      【分析】 （1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. (1) 小问详解： 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. (2) 小问详解： 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由 ，得， 13．【答案】（1）     （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证.      【分析】 （1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. (1) 小问详解： 由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； (2) 小问详解： 略 14．【答案】2 【分析】 利用已知条件，求出A到渐近线的距离，然后推出，最后求双曲线的离心率. 【详解】 由题意，则为正三角形，    则A到渐近线距离为，，渐近线为， 所以，故，可得，故. 故答案为：2 15．【答案】（1）     （2） 当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点．      【分析】 （1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． (1) 小问详解： 由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． (2) 小问详解： 略 16．【答案】 【分析】 根据题意得到，设，则，由勾股定理得，由双曲线定义得到方程，求出，故，，在中，由勾股定理得到方程，求出，得到离心率. 【详解】 因为，所以， 又，所以， 设，则，由勾股定理得， 由双曲线定义得，故， 故， 由双曲线定义得， 故，解得， 故，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 故离心率. 故答案为： 17．【答案】 【分析】 由题意，可得两两互相垂直，且，，从而可求得，，，利用余弦定理建立关于的方程即可求解. 【详解】    由题意，，所以，， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，且面， 所以平面，又平面，所以， 所以， ， 因为， 所以由余弦定理有， 即， 所以，即， 所以或，又离心率， 所以， 故答案为：. 考点03 抛物线 1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．ABD 7．BD 8．C 9．【答案】2 【分析】 根据抛物线的定义求解即可. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用点到直线的距离公式表示三角形的高，即可求解面积. (1) 小问详解： 设方程为，， 由 并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. (2) 小问详解： 由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 11．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立直线与抛物线方程，由焦点弦长公式即可求解； （2）由直线与抛物线相切，判别式为0，及 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列出等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知，，则过点的直线为， 与抛物线方程联立得，则， ，得，所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： 由直线与抛物线相切可知，直线得到斜率存在， 设直线：，与抛物线方程联立，得， ，即，① 圆：的圆心为，圆心到直线得到距离等于半径 即，得，② 由① ② 得，得 或 ， 所以直线的方程为或； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $