精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第一学期 2026届高二年级期中考试 数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】的斜率为，设倾斜角为，， 则，解得，故倾斜角为. 故选：A 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 3. 以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点为双曲线的顶点得到双曲线焦点在轴上，，根据椭圆的长轴端点为双曲线的焦点得到，然后根据求双曲线的方程即可. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 4. 如果实数，满足等式，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设过原点的直线的斜率为，数形结合当直线与圆相切时利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； 【详解】由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为 画出图形 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小， 圆心，半径为 所以，解得或（舍）， 故选：D. 5. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，△ABC的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 联立方程可得△ABC的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故△ABC的欧拉线方程为. 故选：A 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 7. 已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解. 【详解】由，消可得得，解得， 分别代入得， ，，，， ，，，， ， ， ，， 把代入式并整理得， 两边同除以并整理得，解得， . 故选：D 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）. 8. 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】补全底面为正方形ABCG，由正方形性质有面面，进而可证为平行四边形，则为直线与平面所成角，△中由余弦定理知，结合棱锥侧面为全等三角形知，即可求的取值范围. 【详解】由，，将底面补全为正方形ABCG，如下图示， O为ABCG对角线交点且，又有，， ∴面，而面，故面面， 若H为DG的中点，连接FH，又为棱的中点，则且， 而，，有平行且相等，即为平行四边形. ∴可将平移至，直线与平面所成角为，且中， 令，，即， ∴△中，，即， ∵，即， ∴，解得（舍去）， 综上有， 故选：C 【点睛】关键点点睛：补全几何体，应用正方形、中位线、平行四边形性质，根据线面角的定义确定对应的平面角，结合余弦定理及空间角的范围，求线面角的范围. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点， 则下列关于椭圆的结论正确的有（    ） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出，，，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】由椭圆方程可知：，所以， 所以：离心率，所以选项B正确； 长轴，所以选项B错误； 由椭圆的定义可知：， 所以周长为，所以选项C正确； 设，所以，因为， 所以由勾股定理可得：，即：， 化简得：， 解之得：或，即：或， 所以的面积为： ，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断. 【详解】对于A，圆心到直线的距离为， 当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确； 对于B，因为直线，即，所以直线过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确； 对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误； 对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为， 所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 平面 C. 二面角的正弦值为 D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接、交于点，连接，即可证明，从而得到平面，即可判断A、B，建立空间中直角坐标系，利用空间向量法判断C，求出外接圆的半径，即可求出正三棱柱外接球的半径，即可判断D. 【详解】连接、交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以，平面，平面， 所以平面，故B正确； 又，平面，所以与不平行且无公共点， 所以直线与直线为异面直线，故A正确； 取的中点，连接，则，又平面，则平面，又， 如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的法向量可以为， 设二面角为，显然为锐二面角， 则，所以， 即二面角的正弦值为，故C错误； 外接圆的半径， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以该球的表面积，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【详解】双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6 13. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于______________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出侧面平面方程，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，连接，则底面，. 设，的中点为，，连接，. 以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设平面的一般方程为， 则，解得， 所以平面的一般方程为，即. 所以底面中心到侧面的距离为 . 故答案为：. 14. 已知直线交圆于，两点，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为，表示，两点到直线的距离和，设中点为，则到直线的距离和为点到直线距离和的2倍，只需求出点到直线距离范围，根据已知条件求出点的轨迹，数形结合，即可求解. 【详解】设中点为，圆， 圆心，化为， 过定点，所以由， 所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧， 其方程为，联立，解得， ，所以的轨迹为， 圆心到直线的距离为， 过与直线垂直的直线方程为， 与圆的交点为， 在点轨迹上，不在点轨迹上， 所以到直线距离的最大值为， 点到直线的距离为， 设点到直线的距离为，， ，. 故答案为:. 【点睛】本题考查直线与圆关系，考查相交弦的中点轨迹，要注意轨迹的范围，考查圆弧上点到直线的距离，解题的关键要利用点到直线的距离的几何意义，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 和 .当m为何值时，有: （1） ； （2） . 【答案】（1） 或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线方程一般式中平行满足的关系即可列方程求解， （2）根据直线方程一般式中垂直满足的关系即可列方程求解， 【小问1详解】 由 ，且，解得或， 故当或时，. 【小问2详解】 由 ，得或m=. 故当 或时，. 16. 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】（1）直线与相交 （2）3 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得； （2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0． 【小问1详解】 当时，可化为：， 表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则， 直线与相交. 【小问2详解】 设，由， 直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即， 由消元，得. 经检验时，. 17. 已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】（1）（2）直线l的方程为 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质求得，； （2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程． 【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，， ，即 椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为， ，，从而得， 椭圆C的方程为； （2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k， 直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得： 且该方程显然有二不等根， 记A，B两点的坐标依次为，， ，即， ，解得， 所求直线l的方程为． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. 【小问2详解】 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. 【小问3详解】 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 19. 已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，由，求得，即可求得椭圆的方程的标准方程； （2）假设存在定直线，设为，联立方程组求得，化简，设直线、及直线的倾角分别为，，，且直线与直线交于点，利用斜率公式，化简得到且，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的两个顶点分别为、，可得， 又由，解得， 所以椭圆的方程的标准方程为. 【小问2详解】 解：假设存在定直线，显然直线的斜率存在，设为，且、， 联立方程组，整理得， 则，且，， 由 . 设直线、及直线的倾角分别为，，，设直线与直线交于点， 则，，所以， 即， 所以即， 化简得且， 所以，解得或（舍）， 所以存在过点的定直线，使直线平分，该定直线的方程为； 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 五、附加题（本题10分，登峰班必须做附加题，理特班鼓励做附加题，平行班可以不做） 20. 定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点. （1）求点A关于M的所有共轭点的坐标: （2）设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值. 【答案】（1）答案见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）设点A关于M的共轭点的坐标，由题意解方程组即可. （2）由题设直线PQ方程为：，用m表示出，再表示出共轭点与直线距离即可. 【小问1详解】 设点A关于M的共轭点的坐标为,由题意有， 消去得，解得， 即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为A本身. 【小问2详解】 由题设直线PQ方程为：， 将其与椭圆方程联立有，消去得. 由题有其.又设. 则. 则 . 又设A到直线距离为，则. 则所围成的图形面积为 ，当且仅当，即取等号. 故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题为直线与椭圆位置综合题，第一问较为基础，读懂题意，列出相应方程组即可.第二问的关键，为利用所设直线所含参数，结合韦达定理和点到直线距离公式表示出和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第一学期 2026届高二年级期中考试 数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ） A B. C. D. 4. 如果实数，满足等式，那么最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 7. 已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点， 则下列关于椭圆的结论正确的有（    ） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为 10. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 11. 已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 平面 C. 二面角的正弦值为 D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 13. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于______________. 14. 已知直线交圆于，两点，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 和 .当m为何值时，有: （1） ； （2） . 16. 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 17. 已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出值；如果不存在说明理由. 19. 已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 五、附加题（本题10分，登峰班必须做附加题，理特班鼓励做附加题，平行班可以不做） 20. 定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点. （1）求点A关于M的所有共轭点的坐标: （2）设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $