专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）（       ） A. 8 B. 4 C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】 . 故选：A 2．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）（多选）若，则下列各式一定有意义的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 根据根式有意义的条件和实数指数幂的定义逐一判断即可. 【详解】 对于A，由，可知无意义，故A错误， 对于B，底数，指数，符合实数指数幂中底数大于零的情况，故B正确， 对于C，由，可知若，则无意义，故C错误， 对于D，因为根指数是3，任意实数都有唯一的立方根，所以有意义，故D正确. 故选：BD. 3．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）（多选）下列各式错误的是（       ） A.  B.  C. （） D.  【答案】ABC 【分析】 A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 4．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）式子的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 根据根式的性质运算即可得解. 【详解】 ， 故选：A 5．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）（     ） A. 4 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故选：C 6．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）下列命题中正确的个数为（       ） ①②，则，③，④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 由指数幂的运算和根式与分数指数幂的转换,结合特殊值逐项判断即可. 【详解】 ① 取，则，错， ② 当时，，无意义，错， ③ 取，则，错， ④，错， 故选：A 7．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（       ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】D 【详解】 设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即， ∴，解得， 再过4周后该植物的长度为. 因此，再经过4周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：D 8．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 设， D. 若，则 【答案】BD 【分析】 根据不等式的性质判断A，B，根据指数幂的运算性质判断C，D. 【详解】 对于A，若，当时，，所以A错误； 对于B，若，则，因为，所以.所以B正确； 对于C，当时，，所以C错误； 对于D，若，则，所以D正确. 故选：BD. 9．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用指数幂的运算公式求解. 【详解】 由题意得. 故答案为：. 10．（2026·重庆名校联盟·一模）计算：　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用有理数指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】 由. 故答案为： 11．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 由题意得， 因为，，所以，可得. 故答案为： 12．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知函数． （1）证明：； （2）解关于的不等式：； （3）若，，对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明： .     （2）     （3）      【分析】 （1）由指数幂的运算可得； （2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得； （3）先由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的单调性得到的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到的表达式，最后结合二次函数的性质分析可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得， 所以， 因为， 由复合函数的单调性可得在定义域上为递增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值. ， 由指数函数的性质可得在上单调递减， 时，；时，. 所以的值域为. 所以 令，所以， 由指数函数的性质可得是单调增函数， 当时，，当时，所以在上的取值范围是， 设对称轴为，开口向上， 当时，，解得； 当时，， 综上，实数的取值范围为. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先利用的单调性判断a、b的大小，再把a、c分别与1比较，从而得到答案. 【详解】 因为函数在上的增函数，且， 所以，即 又，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】 指、对数比较大小： （1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 2．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令，结合图象即可得到. 【详解】 当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 3．（2026·重庆名校联盟·一模）函数的图像可能是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A， 当时，∴，所以排除B， 当时，∴，所以排除C，故选D. 考点：函数图象的平移. 4．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知，，，则的大小关系（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用基本不等式可求得；根据指数函数单调性和临界值可确定，由此可得大小关系. 【详解】 ，（当且仅当时取等号）； ，，. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数的定义域得出的范围，再根据指数函数的单调性求解，最后取交集即可. 【详解】 因函数的定义域为，则，得 又，即，得， 故的定义域为. 故选：B 6．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案. 【详解】 由为指数函数得，解得， 又且，故， 所以函数，令得，此时， 所以函数的图象过定点. 故选：A 7．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知集合 ，则 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数的单调性化简集合，即可由交集的定义求解. 【详解】 ， 故， 故选：A 8．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）设，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂函数的单调性，可判断a，b的大小，根据指数函数的单调性，可得c的范围，即可得答案. 【详解】 因为在上单调递增，且，， 所以， 又因为在R上单调递增，所以， 所以. 故选：B 9．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数式的形式，构造幂函数、指数函数，利用幂函数和指数函数的单调性，运用中间值比较法进行判断即可. 【详解】 因为幂函数是正实数集上的增函数， 所以有，即， 又因为指数函数是实数集上的增函数， 所以有，即，于是有， 故选：C 10．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】 设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 11．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（     ） A. －18 B. －15 C. 15 D. 18 【答案】A 【分析】 由题意代入数据，由指数运算法则求解即可. 【详解】 由题意，， ， 则， 故选：A. 12．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）（多选）下列命题中是真命题的是（     ） A. 函数在上单调递增 B. 命题“”的否定是“” C. 函数的图象过定点 D. 函数与是同一个函数 【答案】ACD 【分析】 利用增函数加增函数是增函数可判断A；全称量词命题的否定是特称命题即可判断B；将点代入函数解析式即可判断C；根据定义域和对称法则相同即可判断D． 【详解】 解：A．和在上单调递增，则在上单调递增，是真命题，符合题意； B．命题“”的否定是“”，选项错误，是假命题，不符合题意； C．当，得，则函数的图象过定点，真命题，符合题意； D．函数与是定义域和对应法则相同，为同一函数，真命题，符合题意； 故选：ACD 13．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）（多选）下列幂值比大的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据在上的单调性可判断A；根据在上的单调性可判断B；与1做比较可判断C；根据在上的单调性、在上的单调性可判断D． 【详解】 对于A，根据在上单调递增，可得，故A错误； 对于B，根据在上单调递减，可得，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，根据在上单调递增及在上单调递减， 得，故D错误． 故选：BC． 14．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知函数，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出，分析可得，根据分析计算得到答案. 【详解】 由题，则， 因为，所以. 故答案为：. 15．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知，则两个数的大小关系是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】 函数在R上单调递减，而，因此， 所以两个数的大小关系是. 故答案为： 16．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）的单调递增区间为　　　　　. 【答案】（或） 【分析】 根据指数函数单调性结合复合函数单调性分析求解. 【详解】 因为的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 17．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】 令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 18．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）函数 是上的减函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性，结合指数函数、二次函数单调性列出不等式求解即可. 【详解】 因为函数 是上的减函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知函数（，且）是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）求函数的值域； （3）存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据函数奇偶性的性质，利用定义结合等式性质进行求解即可；（2）先判定函数单调性，然后根据单调性即可确定最值；（3）利用不等式成立将不等式进行转化分离参数求最值即可． (1) 小问详解： ∵是上的奇函数，∴， 即. 当时，有 解得：；经检验满足题意. (2) 小问详解： 由（1）可得. 因为在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增， 即函数在上单调递增. 又， ∴， ∴． ∴函数的值域为． (3) 小问详解： 当时， ． 由题意，存在，成立， 即存在，成立． 令， 则有. 因为在上为增函数，在上为增函数， 所以当时函数为增函数， ∴. ∴. 故实数的取值范围为． 20．（2026·重庆名校联盟·一模）已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），.     （2）或      【分析】 （1）先求出集合、集合，以及集合的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出结果； （2）由，得到，按照集合是否为空集分类讨论，即可求出结果. (1) 小问详解： ，解得或，则或， . 又由 ，即，解得，则， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 当时，则有，即； 当时，则有 ，解得， 综上，实数的取值范围为或. 21．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为　　　　　　. 【答案】9 【分析】 根据过定点，推得，进而推得，结合条件推出，利用“1”的妙用和基本不等式计算即得的最小值. 【详解】 由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 故答案为：9. 22．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）若函数的最小值为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由复合函数的单调性可求出最小值，列式即可求. 【详解】 令，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数的单调减区间即为的减区间，为； 函数的单调增区间即为的增区间，为， 所以在上先减后增， 当时，，解得． 故答案为： 23．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）已知函数. （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值. （2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. (2) 小问详解： 依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知 ，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得 无解， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知，，则可用表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用对数的运算即可求得结果. 【详解】 ∵，∴，∴ . 故选：B. 2．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）（多选）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据对数运算法则判断，通过换底公式判断选项，应用根式运算判断C选项. 【详解】 A. ，A选项正确； B. ，B选项正确； C. ，C选项错误； D. ,D选项正确. 3．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）（多选）下列运算中正确的是（       ） A. 当时， B.  C. 若，则 D.  【答案】AD 【分析】 根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，所以，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 4．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（     ） A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B. 时，浮萍面积就会超过 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】D 【分析】 根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可. 【详解】 由图可得：函数过点， 则，解得，即. 对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误； 对于选项B：若时，则， 所以浮萍面积不会超过，故B错误； 对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加， 即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D. 5．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）计算下列各式的值： （1）计算 （2）计算 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用根式的性质和指数运算公式计算. （2）利用对数运算公式和对数的性质计算. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 7．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用对数运算性质进行计算即可； (2)利用指数运算性质进行计算即可. (1) 小问详解： ; (2) 小问详解： 8．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）（1）已知：，求； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先对进行平方，得到的值，再进行平方得到的值即可求出； （2）利用换底公式，结合对数运算性质运算求解即可. 【详解】 解：（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以 9．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）计算：　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据对数运算法则和对数恒等式计算即可. 【详解】 故答案为：. 10．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）计算 （1） ； （2） 【答案】（1）1000     （2）0      【分析】 （1）根据题意结合指数幂运算求解即可； （2）根据题意结合对数运算求解即可. (1) 小问详解： 原式. (2) 小问详解： 原式. 11．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知二次函数同时满足以下条件：①；②；③.函数且. （1）求的解析式； （2）当时，解方程； （3）解不等式. 【答案】（1）；     （2）；     （3） 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为.      【分析】 （1）由可得二次函数关于直线对称，设其解析式为，由，列式计算即可求解； （2）令，，代入计算可得，当时，列式计算可解； （3）分，两种情况，根据一元二次不等式解法分类求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以二次函数关于直线对称， 设二次函数， 由题意可得 ，解得 ， 所以，即； (2) 小问详解： 令，， 则，即，解得或（舍去）， 所以，即， 当时，有，解得； (3) 小问详解： 当时，函数在定义域R内单调递增， 若，则， 即，解得或； 当时，函数在定义域R内单调递减， 若，则， 即，解得； 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 12．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）计算下列式子： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数幂的运算法则求解即可； （2）利用对数的运算法则求解即可. (1) 小问详解： ， (2) 小问详解： , 13．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. (1) 小问详解： (2) 小问详解： 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）（多选）关于函数有以下4个结论，其中正确的有（     ） A. 函数的定义域为 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的最小值为1 D. 函数的图象恒在轴的上方 【答案】BCD 【分析】 利用二次函数的单调性和最小值，结合对数函数的单调性，可确定对数型函数的各选项. 【详解】 由可得解集为，故A错误； 由二次函数性质可得递增区间为， 结合对数函数性质可知函数的单调递增区间为，故B正确； 由二次函数的最小值为，且， 结合对数函数性质可知函数的最小值为1，故C正确； 由于函数的最小值为1，所以函数的图象恒在轴的上方，故D正确； 故选：BCD 2．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）设，，，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可. 【详解】 指数函数在上单调递减，因为， 所以，即； 对数函数在上单调递减，因为， 所以，即， 指数函数在上单调递增，因为，所以，即. 综上，. 故选：D. 3．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数且过定点，则函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据指数函数的性质求出函数所过的定点，即可求出，再根据对数函数的图象与性质即可得解. 【详解】 令，则， 所以函数且过定点， 所以， 则，其图象关于对称，且在上单调递减， 则符合的图象为D选项. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）设，，，则，，的大小关系是 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由对数函数的图像可知c<0,由指数函数图像可判断出a,b与1的关系，从而得到a,b,c的大小关系. 【详解】由指数函数图像可知<1, 由对数函数图像可知c<0, 即可得到c 故选D 【点睛】本题考查指数函数图像和对数函数图像的应用，属于简单题. 5．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 命题：“”的否定是“” B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】AC 【分析】 A选项，运用含有一个量词的命题的否定书写方法来判断A选项；B选项，运用对数函数恒过定点真数为1来进行判断；C选项，考查抽象函数定义域求法；D选项，考查利用复合函数单调性，求函数值域问题. 【详解】 对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确； 对于B：函数（且），令， 解得，， 所以恒过定点为，故B错误； 对于C：已知函数的定义域为，即，即，所以的定义域为, 则对于，由，得，即的定义域为，故C正确； 对于D：令 ，，二次函数开口向下，在上单调递增， 在上单调递减，又因为在定义域上为减函数， 故在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，， 故的值域为，故D错误. 故选：AC 6．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）“函数在区间上单调递增”是“函数在区间上单调递增”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先根据幂函数的单调性和对数型复合函数的单调性分别求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得； 令，则， 因为函数在区间上单调递增，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 所以 ，解得， 所以函数在区间上单调递增”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C. 7．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）设，，，则、、的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】 因为对数函数为上的增函数，所以， 因为对数函数为上的减函数，所以， 因为指数函数为上的减函数，所以，因此. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）已知，“”是“函数 在上为增函数”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 分别求出“”和“函数 在上为增函数”的充要条件，即可判断. 【详解】 由，得.所以函数 在上为增函数； 由函数 在上为增函数，得.所以. 所以“”是“函数 在上为增函数”的充要条件. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知 ， ， ，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较大小即可 【详解】 因为对数函数在上单调递增，所以， 因为指数函数与在上单调递增，所以，， 又，所以， 由于幂函数在上单调递增，所以， 综上，. 故选：D. 10．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数，设集合 ，集合 ，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 探讨函数的性质，由此化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】 函数中，，函数定义域为R， ， 则函数是R上的奇函数，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，由奇函数性质得函数在上单调递增， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，即，解得，集合， 而集合，集合是集合的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 11．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（1）计算：； （2）已知函数的定义域是集合，值域是集合，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的真数大于0求出集合，再根据对数函数的值域求出集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】 （1） ； （2）令，解得， 所以， ，则， 所以，即， 所以. 12．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先求函数，再求，利用复合函数单调性的判断方法求函数的单调递增区间. 【详解】 由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 13．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知. （1）若过，解不等式； （2）已知的最大值为. ①求的值； ②求的值域. 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）先求出，再根据对数函数的单调性解不等式即可； （2）① 易得，再根据对数函数的性质即可得解； ② 根据对数函数的值域结合整体思想求解即可. (1) 小问详解： 因为过， 所以，解得， 所以， 由，得， 所以 ，解得， 所以不等式的解集为； (2) 小问详解： ①， 因为，的最大值为， 所以 ，解得， 经检验，符合题意，所以； ② 由① 得， 则 ， 当时，， 所以， 即的值域为. 14．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 函数的值域为，需要满足二次函数的值域包含所有正实数，由判别式求解即可. 【详解】 ，，解得. 故答案为：. 15．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）已知函数是奇函数. （1）求不等式的解集. （2）若函数在上单调递增，求b的取值范围. （3）是否存在正实数m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；     （2）；     （3） 假设存在正实数m，，，使得在上的值域， 由（2）可知在上单调递增，则 ， 即 ，整理得 ， 即，是关于的方程的两个实数根， 因为，， 所以 ， 即 所以，所以， 故不存在正实数m，，，使得在上的值域．      【分析】 （1）根据奇函数的定义可得参数值，解分式不等式即可. （2）根据复合函数定义域及复合函数单调性列不等式，解不等式组即可； （3）根据函数单调性与值域列方程，可转化为方程在内有两个不等实根，可转化为二次方程问题，列不等式，解不等式即可判断. (1) 小问详解： 因为是奇函数，所以，则， 即，则，因为，所以， 且当时，的定义域为，且，满足题意， 由，得，则，即，解得，则不等式的解集为； (2) 小问详解： 由（1）可知， 易知函数在和上单调递增， 则在和上单调递增． 因为在上单调递增，所以 ， 解得，则的取值范围为； (3) 小问详解： 略 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）若为函数的零点，则所在区间为（     ） A.  B. （1，2） C.  D.  【答案】B 【分析】 根据零点存在性定理即可求解. 【详解】 函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 2．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知函数 ，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将问题转化为与有三个或四个交点，根据对称性可知，化简得到；结合韦达定理可构造方程，利用和可确定的范围，结合二次函数值域可确定的范围. 【详解】 有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，， ，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）函数的零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】 因为在定义域上单调递增，在内单调递增， 所以在定义域上单调递增， ，，，， 根据零点存在定理可知，函数的零点所在区间为． 故选：C 4．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）（多选）已知 ，若存在，使得，则下列结论正确的有（     ） A. 实数m的取值范围为 B. 的最大值为1 C.  D. 取值范围为 【答案】ACD 【分析】 画出的函数图象，数形结合判断A；根据是方程的两根，利用韦达定理判断B；根据判断C；利用的范围求出的范围，再结合对勾函数的单调性判断D. 【详解】 画出的函数图象如图： 由图象可知，，故A正确； 因是方程的两根，则， 故无最大值，故B错误； ，则，则，故C正确； 因，则，得， 则， 因在上单调递增，，， 故，即，故D正确. 故选：ACD 5．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量(单位：毫克/升)与过滤时间(单位：小时)之间的函数关系为： (为正常数，为原污染物数量)，若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（     ） A. 5小时 B. 10小时 C. 15小时 D. 小时 【答案】A 【分析】 先利用函数关系式，结合前5个小时消除了的污染物，求出常数的值，然后根据污染物的残留含量不得超过，列出方程，即可求出结论． 【详解】 由题意，前个小时消除了的污染物， ∵，∴， ∴，即，∴， 则由，即， ∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过， ∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）（多选）函数 ，则下列说法正确的是（     ） A. 的单调递减区间是 B. 的值域是 C. 不等式的解集是 D. 若方程有3个解，则 【答案】BCD 【分析】 根据每段上的单调性判断ABD，根据分类求解可判断C的正误. 【详解】 对于A：当时，单调递减； 当，在单调递减，在单调递增， 且，即在处是断开的， 所以的单调减区间是和，A错误； 对于B：当时，单调递减，； 当，在单调递减，在单调递增， 当时，取得最小值，所以， 综上，的值域是，B正确； 对于C：由 ，解得； 由 ，解得且， 综上，不等式的解集是，C正确； 对于D：若方程有个解，则 当时，有一个解；当时，有两个解. 当时，单调递减，，所以； 当，在单调递减，在单调递增， 且，所以， 综上，实数的取值范围为，即，D正确； 故选：BCD. 7．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知 若，且，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】 画出 的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 8．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知函数为偶函数，当时，，那么函数的零点个数为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 把函数的零点个数，转化为函数与的图像的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】 由题意，函数的零点个数，即与的图像的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出函数及的图像，如图所示. 令=0，得，设，则. 由图像知，方程有四个解（从左到右依次记为，，，，） 则 当时，有两个解；当时，有两个解； 当时，有四个解；当时，无解. 故共有8个实数解，即函数的零点个数为8. 故选D. 【点睛】 本题主要考查了函数的与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点个数，转化为函数与的图像的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题. 9．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为2米，要让该植物的高度超过3.8米，至少需要（     ）年． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 由题设有 ，即可求，并判断的单调性后代入数值验证可得. 【详解】 依题意可得 ，则 ，解得， ∴， 因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减， 所以在上单调递增，而， 即， ∴该植物的高度超过3.8米，至少需要4年. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知关于x的方程（，）恰有三个不同的实数解，，，其中，则下列选项中一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项. 【详解】 令，则的定义域为， 有， 故为偶函数，则，故A正确； 必有一解为0，则，即， ①当时，因时，， 故，当且仅当时取等号； ②当时，在上递增，， 由可得， 即，解得， 又在上递增，，即，解得，则，故B、D正确，C错误. 故选：ABD. 11．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数且，若对，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出函数的对称轴，再分和两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象列出不等式，即可得解. 【详解】 的对称轴为，，， 当时，作出函数的图象，如图所示： 由，得，所以， 因为对，与至少有一个为正数， 所以 ，解得； 当时，作出函数的图象，如图所示： 若 ，即时， 则函数在上单调递减， 则当时，， 所以当时，符合题意； 若 ，即时，则函数的对称轴在轴左侧， 因为对，与至少有一个为正数， 所以 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）（多选），用表示不超过的最大整数，称为取整函数，也称为高斯函数.例如：，.设，则下列命题中正确的是（     ） A. ， B. 函数的值域为 C. 方程的解集为 D. 函数的所有零点之和为 【答案】BCD 【分析】 举特例判断A；由取整函数的定义，分段表示，可求值域判断B；由值域结合取整函数定义可判断C；首先得出的整数零点为-1，然后当不是整数时，得出，则可得非整数零点之和为0，则可得出所有零点之和判断D. 【详解】 A选项，，，故A错误； B选项，当，时，，，故B正确； C选项，由B得，，则，故C正确； D选项，设，当时，，，； 当时，， ，， 此时，， ，， 故的非整数零点之和为0，所有零点之和为，故D正确； 故选：BCD. 13．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数 ，若存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由函数的解析式，根据参数的取值情况分类考虑，借助于图象逐一取舍，即得其范围. 【详解】    当时，函数中，因,其图象如图1所示， 当时，必存在两个不相等的实数，使得，符合题意； 当时， ， 由图2可知，当时，必存在两个不相等的实数，使得，符合题意；    当时，因 ， ① 当，即时，因,其图象如图3所示， 在直线附近，必存在两个不相等的实数，使得，符合题意； ② 当，即时，若时，因，其图象如图4所示， 可知不存在两个不相等的实数，使得； 若时，因，其图象如图5可知，    在直线附近，必存在两个不相等的实数，使得，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 14．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（       ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 【答案】BCD 【分析】 由函数新定义举反例可得A错误；由函数新定义设 可得B正确；由函数新定义化简可得C正确；当 时, 方程有无数解可得D正确； 【详解】 A 选项， 时, ，故A 错 误； 选项，设 ， ，又 ， 故 或 1,故 故B正确； C 选项， ， 因为 ，所以 ，故 正确； 选项，当 时, ，故方程存在无数个解，故 正确； 故选： BCD 【点睛】 关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，其中B选项可设求解，D选项可取. 15．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）作为重庆本土最高级别足球赛事，渝超某焦点赛事凭借激烈对抗与精彩进球，点燃了重庆民众的观赛热情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值（单位：万次点击）与时间（单位：小时）呈现阶段性变化：①当时，受重庆民众自发传播、二次创作赛事内容的推动，热度持续增长，函数关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为 （1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值； （2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”． 【答案】（1）当时，取得最大值280．     （2）第7至第13小时.      【分析】 （1）分和，利用单调性求解最值； （2）分和，解不等式求解范围. (1) 小问详解： ① 当时，单调递增， 此时． ② 当时，．故单调递减． 此时． 所以，当时，取得最大值280． (2) 小问详解： ① 当时，令， 即， 解得或 ： ② 当时，令， 即，解得， ; 综上，霸榜时段为第7至第13小时. 16．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． （1）如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； （2）请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【答案】（1）万元     （2）万元      【分析】 （1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可. (1) 小问详解： 小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 17．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足 ，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. (1) 小问详解： 由题意知，， 即，解得； (2) 小问详解： 由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则 ，解得 ， 所以； (3) 小问详解： ， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 18．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示. （1）试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式： （2）现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金) 【答案】（1）；     （2）当时，利润最大，最大净利润为(亿元)      【分析】 （1）直接由题意得芯片利润的解析式，将，代入，确定芯片利润的解析式； （2）先求出的表达式，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解. (1) 小问详解： 设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入， 将，代入，得 ，解得 ， 故生产芯片的毛收入； (2) 小问详解： 由题意， 令，则， 则， 当时，， 即当时，利润最大，最大净利润为(亿元). 19．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能．根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且 当该公司一年内共生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元；当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） ;     （2）当万部时，利润取得最大值为3680万元.      【分析】 （1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． (1) 小问详解： 因为当生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上 ． (2) 小问详解： ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合① ②知，当万部时，取得最大值为3680万元． 20．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】（1）为定值，定值为     （2） ， ，得证.     （3）证明: 依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得.       【分析】 （1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. (1) 小问详解： ∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 证明略. 由上可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 21．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减．刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：．已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为（）．则生物体死亡　　　　　　　　　　　天后，它机体内该元素含量变为（）． 【答案】15 【分析】 根据指数型函数的性质，以及对数的运算法则，列出方程，求出参数值，进而求出结果 【详解】 由题意可知，化简得，解得，则， 可得，化简得，解得. 故答案为： 22．（2026·重庆名校联盟·一模）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 【答案】（1）答案见解析     （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元      【分析】 （1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 23．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）重庆的轻轨交通越来越方便，已知环线通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为1500人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为4分钟时的载客量为1180人，记地铁的载客量为. （1）求的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时列车的载客量； （2）若该线路每分钟的收益为（元）.问当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的收益最大？ 【答案】（1） ,发车时间间隔为6分钟时列车的载客量为1320人.     （2）当列车发车时间间隔为8分钟时，该线路每分钟的收益最大.      【分析】 （1）当时， 设，由可求得的值，结合已知条件可得出函数的解析式，进而可求得的值； （2）分、两种情况讨论，求出关于的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得的最大值及其对应的值，即可得出结论. (1) 小问详解： 当时，设， 则，解得， 由题意得 ， 所以，发车时间间隔为6分钟时列车的载客量为人. (2) 小问详解： 当时， 元，当且仅当时等号成立； 当时，，该函数在上单调递减， 则，当且仅当时，等号成立. 因，故当列车发车时间间隔为8分钟时，该线路每分钟的收益最大. 24．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ．每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1）     （2）当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据题意，结合已知函数模型得出分段函数关系式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式，分析分段函数在每段的最大值，再比较函数在每段的最大值的大小关系得出函数最大值，从而求解． (1) 小问详解： 固定成本万元，每百台高级设备售价为万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元， ， 当时，， 当时，， ． (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，即时取等号， ，， 当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 25．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数为奇函数，且． （1）求，并指出函数在的单调性（不用证明）； （2）若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 【答案】（1），函数在上单调递减，在单调递增.     （2）①；②      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可求出； （2）① 通过令，把题目化成二次函数有两个不等的实数根即可求出； ② 利用得到，，再利用单调性即可求出. (1) 小问详解： 函数为奇函数，，即，解得， 又，，解得， ， 设，， 当，则，，，即函数在是单调递增函数； 当，则，，，即函数在是单调递减函数， 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. (2) 小问详解： ① 令，则方程化为， 为奇函数，故图象关于原点对称， 又方程有四个不等实根， 有两个不等的实根，则， 又当时，，当且仅当，即时等号成立，， 为奇函数，故图象关于原点对称，当时，， ， 设，则 ，解得， 故实数m的取值范围为. ② 结合① 可知是的两个根，同时注意到， ，，其中， 同时，， 同理，由，可得， 原式 ，显然关于在上单调递增， . 26．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）对于函数，若存在使得成立，则称为的不动点．若（）， （1）若，，求的不动点； （2）若对任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若，，求函数的不动点． 【答案】（1）和3.     （2）     （3）和.      【分析】 （1）解方程即可求解； （2）恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围； （3）由条件确定，令，得到，两方程相加得到，由或求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 由题意可知，得，  故当时，的不动点为和3. (2) 小问详解： 因为恒有两个不动点， 所以，即恒有两个相异实根， 所以恒成立， 于是设，所以恒成立， 所以，解得， 故当，恒有两个相异的不动点时，的取值范围是． (3) 小问详解： 当，时， ，则， 则可化为下式： ， 令， 则， 两式相加可得：， 即， 当时，可得，解得或， 当时，可得：， 即，，无解， 所以的解为：或， 即不动点为和. 27．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若对于，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）设，当时，方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入即可求解； （2）由题意得恒成立，只需，换元后即可求解； （3）有两个不等实根，参变量分离后可等价化与有两个交点，其中.结合图象即可求解. (1) 小问详解： 由得，解得，所以 (2) 小问详解： 由得，恒成立， 只需，令 则， 当时取得最小值，故. (3) 小问详解： 由题意得， 有两个不等实根有两个不等实根有两个不等实根，其中. 与有两个交点，其中. 令，令，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在单调递减，，所以最多有一个根. 令，令，则，，当或时； 当时，，其图象如下： 当时，与有一个交点，有一个根，因为，所以无根，所以舍去； 当时，与有两个交点，有两个根，因为，所以无根，所以； 当时，与无交点，最多有一个根，故舍去； 当时，与无交点，无根，无根，所以舍去. 综上： 28．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知函数． （1）若关于的方程在区间内有解，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间内有两个不等实根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）     （2）（i）； （ii）①因为当时，， 所以当时，此时，且． 又， ，且． ． ②因为当时，；当时，. 所以当时，此时，且． ， ， . 综上所述，得证.      【分析】 （1）由方程，分离参数，构造函数通过分析的单调性，求得的值域，即的取值范围，从而得到的取值范围； （2）由关于的方程在区间内有两个不等实根，得即，构造函数令 ，通过分析的单调性，求得的值域，即的取值范围，从而得到的取值范围；（ii）分和两种情况，分析的关系，从而证得． (1) 小问详解： 由题可知，，即成立， 令 在上单调递减，在上单调递增，， ，解得 ． (2) 小问详解： （i）原方程即为，即， 令 要使原方程在内有两个不等实根， 只需与的图象在内恰有两个交点． 在上单调递减，在上单调递增． ， 作如图所示的的图象：    由图可知，，解得 所以的取值范围是. （ii）略 29．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知函数 ，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】 函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，，， 有且只有一个整数解可知解集非空，则，因为， 可知当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为； 当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为， 综上．的取值范围为． 30．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）对于二次函数，若实数满足，则叫做函数的零点． （1）若“二次函数不存在零点”为假命题，求实数的最大值； （2）若二次函数有两个不同的零点，，且，大于零，求的最小值； （3）若函数的最小值为0，求满足条件的所有实数构成的集合． 【答案】（1）1；     （2）；     （3）      【分析】 （1）根据题意，二次函数存在零点，通过判别式即可求解； （2）通过二次函数根的分布得到a的范围，然后利用韦达定理将化成关于a的不等式，然后利用基本不等式即可求解； （3）令，分类讨论满足函数的最小值为0的条件即可求解. (1) 小问详解： 依题，二次函数存在零点，即方程有解， 所以判别式为，解得， 故a的最大值为1； (2) 小问详解： 因为二次函数有两个不同零点且，大于零， 所以二次方程有两个不同根且，大于零， 所以由韦达定理得，， 所以 ，解得， 所以=， 因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值是； (3) 小问详解： 令， 则， 当时，，且当时，，但需，即，所以， 当，即时，恒成立， 综上：满足条件的所有实数a构成的集合. 31．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”． （1）判断函数与是否关于“1维交换”，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值； （3）设 ，若与关于“3维交换”，求实数的值． 【答案】（1） 函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，， 令，即，解得， 得到与关于“维交换”.     （2）     （3）      【分析】 （1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒等式求解参数即得. （3）根据给定条件可得，再按、讨论分段函数零点即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 依题意，对任意，恒有成立， 而， 由题意可得，对于，一定不含x的奇次项， 得到，而，解得，即的值为， (3) 小问详解： 令， 依题意，函数在上有个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，， 即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，，函数在时只有个零点，不符合题意， 因此，① 当时，， 显然函数的图象恒过点，， 则当时，函数的图象开口向上， 在时仅有一个零点， 当时，，在时没有零点， ② 当时，， 显然函数的图象恒过点、， ，当，即时，在时仅有一个零点， 当，即时，在时有个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点、， 当时，在时无零点，当时，在时有个零点， 综上所述，当时，有个零点， 所以当与关于“维交换”时，， 故实数的值是. 32．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数 ，若有四个不同的解，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 画出函数的图像，结合图像得到，，，计算得到，将和代入得到，利用此函数的单调性即可得到所求的最小值. 【详解】 ，对称轴为， 的图像为： 有四个不同的解，且， ，，， ，，，， ， ，是单调递减函数，是单调递减函数， 在范围内是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．A 2．BD 3．ABC 4．A 5．C 6．A 7．D 8．BD 9．【答案】 【分析】 利用指数幂的运算公式求解. 【详解】 由题意得. 故答案为：. 10．【答案】 【分析】 应用有理数指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】 由. 故答案为： 11．【答案】 【分析】 利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 由题意得， 因为，，所以，可得. 故答案为： 12．【答案】（1）证明： .     （2）     （3）      【分析】 （1）由指数幂的运算可得； （2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得； （3）先由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的单调性得到的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到的表达式，最后结合二次函数的性质分析可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得， 所以， 因为， 由复合函数的单调性可得在定义域上为递增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值. ， 由指数函数的性质可得在上单调递减， 时，；时，. 所以的值域为. 所以 令，所以， 由指数函数的性质可得是单调增函数， 当时，，当时，所以在上的取值范围是， 设对称轴为，开口向上， 当时，，解得； 当时，， 综上，实数的取值范围为. 考点02 指数函数 1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D 11．A 12．ACD 13．BC 14．【答案】 【分析】 先求出，分析可得，根据分析计算得到答案. 【详解】 由题，则， 因为，所以. 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】 函数在R上单调递减，而，因此， 所以两个数的大小关系是. 故答案为： 16．【答案】（或） 【分析】 根据指数函数单调性结合复合函数单调性分析求解. 【详解】 因为的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 17．【答案】 【分析】 先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】 令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 18．【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性，结合指数函数、二次函数单调性列出不等式求解即可. 【详解】 因为函数 是上的减函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19．【答案】（1）2；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据函数奇偶性的性质，利用定义结合等式性质进行求解即可；（2）先判定函数单调性，然后根据单调性即可确定最值；（3）利用不等式成立将不等式进行转化分离参数求最值即可． (1) 小问详解： ∵是上的奇函数，∴， 即. 当时，有 解得：；经检验满足题意. (2) 小问详解： 由（1）可得. 因为在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增， 即函数在上单调递增. 又， ∴， ∴． ∴函数的值域为． (3) 小问详解： 当时， ． 由题意，存在，成立， 即存在，成立． 令， 则有. 因为在上为增函数，在上为增函数， 所以当时函数为增函数， ∴. ∴. 故实数的取值范围为． 20．【答案】（1），.     （2）或      【分析】 （1）先求出集合、集合，以及集合的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出结果； （2）由，得到，按照集合是否为空集分类讨论，即可求出结果. (1) 小问详解： ，解得或，则或， . 又由 ，即，解得，则， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 当时，则有，即； 当时，则有 ，解得， 综上，实数的取值范围为或. 21．【答案】9 【分析】 根据过定点，推得，进而推得，结合条件推出，利用“1”的妙用和基本不等式计算即得的最小值. 【详解】 由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 故答案为：9. 22．【答案】 【分析】 由复合函数的单调性可求出最小值，列式即可求. 【详解】 令，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数的单调减区间即为的减区间，为； 函数的单调增区间即为的增区间，为， 所以在上先减后增， 当时，，解得． 故答案为： 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值. （2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. (2) 小问详解： 依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知 ，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得 无解， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况. 考点03 对数 1．B 2．ABD 3．AD 4．D 5．【答案】 【分析】 根据对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用根式的性质和指数运算公式计算. （2）利用对数运算公式和对数的性质计算. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用对数运算性质进行计算即可； (2)利用指数运算性质进行计算即可. (1) 小问详解： ; (2) 小问详解： 8．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先对进行平方，得到的值，再进行平方得到的值即可求出； （2）利用换底公式，结合对数运算性质运算求解即可. 【详解】 解：（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以 9．【答案】 【分析】 根据对数运算法则和对数恒等式计算即可. 【详解】 故答案为：. 10．【答案】（1）1000     （2）0      【分析】 （1）根据题意结合指数幂运算求解即可； （2）根据题意结合对数运算求解即可. (1) 小问详解： 原式. (2) 小问详解： 原式. 11．【答案】（1）；     （2）；     （3） 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为.      【分析】 （1）由可得二次函数关于直线对称，设其解析式为，由，列式计算即可求解； （2）令，，代入计算可得，当时，列式计算可解； （3）分，两种情况，根据一元二次不等式解法分类求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以二次函数关于直线对称， 设二次函数， 由题意可得 ，解得 ， 所以，即； (2) 小问详解： 令，， 则，即，解得或（舍去）， 所以，即， 当时，有，解得； (3) 小问详解： 当时，函数在定义域R内单调递增， 若，则， 即，解得或； 当时，函数在定义域R内单调递减， 若，则， 即，解得； 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数幂的运算法则求解即可； （2）利用对数的运算法则求解即可. (1) 小问详解： ， (2) 小问详解： , 13．【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. (1) 小问详解： (2) 小问详解： 考点04 对数函数 1．BCD 2．D 3．D 4．D 5．AC 6．C 7．C 8．C 9．D 10．A 11．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的真数大于0求出集合，再根据对数函数的值域求出集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】 （1） ； （2）令，解得， 所以， ，则， 所以，即， 所以. 12．【答案】 【分析】 首先求函数，再求，利用复合函数单调性的判断方法求函数的单调递增区间. 【详解】 由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 13．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）先求出，再根据对数函数的单调性解不等式即可； （2）① 易得，再根据对数函数的性质即可得解； ② 根据对数函数的值域结合整体思想求解即可. (1) 小问详解： 因为过， 所以，解得， 所以， 由，得， 所以 ，解得， 所以不等式的解集为； (2) 小问详解： ①， 因为，的最大值为， 所以 ，解得， 经检验，符合题意，所以； ② 由① 得， 则 ， 当时，， 所以， 即的值域为. 14．【答案】 【分析】 函数的值域为，需要满足二次函数的值域包含所有正实数，由判别式求解即可. 【详解】 ，，解得. 故答案为：. 15．【答案】（1）；     （2）；     （3） 假设存在正实数m，，，使得在上的值域， 由（2）可知在上单调递增，则 ， 即 ，整理得 ， 即，是关于的方程的两个实数根， 因为，， 所以 ， 即 所以，所以， 故不存在正实数m，，，使得在上的值域．      【分析】 （1）根据奇函数的定义可得参数值，解分式不等式即可. （2）根据复合函数定义域及复合函数单调性列不等式，解不等式组即可； （3）根据函数单调性与值域列方程，可转化为方程在内有两个不等实根，可转化为二次方程问题，列不等式，解不等式即可判断. (1) 小问详解： 因为是奇函数，所以，则， 即，则，因为，所以， 且当时，的定义域为，且，满足题意， 由，得，则，即，解得，则不等式的解集为； (2) 小问详解： 由（1）可知， 易知函数在和上单调递增， 则在和上单调递增． 因为在上单调递增，所以 ， 解得，则的取值范围为； (3) 小问详解： 略 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．D 3．C 4．ACD 5．A 6．BCD 7．A 8．D 9．C 10．ABD 11．A 12．BCD 13．A 14．BCD 15．【答案】（1）当时，取得最大值280．     （2）第7至第13小时.      【分析】 （1）分和，利用单调性求解最值； （2）分和，解不等式求解范围. (1) 小问详解： ① 当时，单调递增， 此时． ② 当时，．故单调递减． 此时． 所以，当时，取得最大值280． (2) 小问详解： ① 当时，令， 即， 解得或 ： ② 当时，令， 即，解得， ; 综上，霸榜时段为第7至第13小时. 16．【答案】（1）万元     （2）万元      【分析】 （1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可. (1) 小问详解： 小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. (1) 小问详解： 由题意知，， 即，解得； (2) 小问详解： 由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则 ，解得 ， 所以； (3) 小问详解： ， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 18．【答案】（1）；     （2）当时，利润最大，最大净利润为(亿元)      【分析】 （1）直接由题意得芯片利润的解析式，将，代入，确定芯片利润的解析式； （2）先求出的表达式，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解. (1) 小问详解： 设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入， 将，代入，得 ，解得 ， 故生产芯片的毛收入； (2) 小问详解： 由题意， 令，则， 则， 当时，， 即当时，利润最大，最大净利润为(亿元). 19．【答案】（1） ;     （2）当万部时，利润取得最大值为3680万元.      【分析】 （1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． (1) 小问详解： 因为当生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上 ． (2) 小问详解： ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合① ②知，当万部时，取得最大值为3680万元． 20．【答案】（1）为定值，定值为     （2） ， ，得证.     （3）证明: 依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得.       【分析】 （1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. (1) 小问详解： ∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 证明略. 由上可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 21．【答案】15 【分析】 根据指数型函数的性质，以及对数的运算法则，列出方程，求出参数值，进而求出结果 【详解】 由题意可知，化简得，解得，则， 可得，化简得，解得. 故答案为： 22．【答案】（1）答案见解析     （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元      【分析】 （1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 23．【答案】（1） ,发车时间间隔为6分钟时列车的载客量为1320人.     （2）当列车发车时间间隔为8分钟时，该线路每分钟的收益最大.      【分析】 （1）当时， 设，由可求得的值，结合已知条件可得出函数的解析式，进而可求得的值； （2）分、两种情况讨论，求出关于的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得的最大值及其对应的值，即可得出结论. (1) 小问详解： 当时，设， 则，解得， 由题意得 ， 所以，发车时间间隔为6分钟时列车的载客量为人. (2) 小问详解： 当时， 元，当且仅当时等号成立； 当时，，该函数在上单调递减， 则，当且仅当时，等号成立. 因，故当列车发车时间间隔为8分钟时，该线路每分钟的收益最大. 24．【答案】（1）     （2）当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据题意，结合已知函数模型得出分段函数关系式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式，分析分段函数在每段的最大值，再比较函数在每段的最大值的大小关系得出函数最大值，从而求解． (1) 小问详解： 固定成本万元，每百台高级设备售价为万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元， ， 当时，， 当时，， ． (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，即时取等号， ，， 当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 25．【答案】（1），函数在上单调递减，在单调递增.     （2）①；②      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可求出； （2）① 通过令，把题目化成二次函数有两个不等的实数根即可求出； ② 利用得到，，再利用单调性即可求出. (1) 小问详解： 函数为奇函数，，即，解得， 又，，解得， ， 设，， 当，则，，，即函数在是单调递增函数； 当，则，，，即函数在是单调递减函数， 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. (2) 小问详解： ① 令，则方程化为， 为奇函数，故图象关于原点对称， 又方程有四个不等实根， 有两个不等的实根，则， 又当时，，当且仅当，即时等号成立，， 为奇函数，故图象关于原点对称，当时，， ， 设，则 ，解得， 故实数m的取值范围为. ② 结合① 可知是的两个根，同时注意到， ，，其中， 同时，， 同理，由，可得， 原式 ，显然关于在上单调递增， . 26．【答案】（1）和3.     （2）     （3）和.      【分析】 （1）解方程即可求解； （2）恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围； （3）由条件确定，令，得到，两方程相加得到，由或求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 由题意可知，得，  故当时，的不动点为和3. (2) 小问详解： 因为恒有两个不动点， 所以，即恒有两个相异实根， 所以恒成立， 于是设，所以恒成立， 所以，解得， 故当，恒有两个相异的不动点时，的取值范围是． (3) 小问详解： 当，时， ，则， 则可化为下式： ， 令， 则， 两式相加可得：， 即， 当时，可得，解得或， 当时，可得：， 即，，无解， 所以的解为：或， 即不动点为和. 27．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入即可求解； （2）由题意得恒成立，只需，换元后即可求解； （3）有两个不等实根，参变量分离后可等价化与有两个交点，其中.结合图象即可求解. (1) 小问详解： 由得，解得，所以 (2) 小问详解： 由得，恒成立， 只需，令 则， 当时取得最小值，故. (3) 小问详解： 由题意得， 有两个不等实根有两个不等实根有两个不等实根，其中. 与有两个交点，其中. 令，令，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在单调递减，，所以最多有一个根. 令，令，则，，当或时； 当时，，其图象如下： 当时，与有一个交点，有一个根，因为，所以无根，所以舍去； 当时，与有两个交点，有两个根，因为，所以无根，所以； 当时，与无交点，最多有一个根，故舍去； 当时，与无交点，无根，无根，所以舍去. 综上： 28．【答案】（1）     （2）（i）； （ii）①因为当时，， 所以当时，此时，且． 又， ，且． ． ②因为当时，；当时，. 所以当时，此时，且． ， ， . 综上所述，得证.      【分析】 （1）由方程，分离参数，构造函数通过分析的单调性，求得的值域，即的取值范围，从而得到的取值范围； （2）由关于的方程在区间内有两个不等实根，得即，构造函数令 ，通过分析的单调性，求得的值域，即的取值范围，从而得到的取值范围；（ii）分和两种情况，分析的关系，从而证得． (1) 小问详解： 由题可知，，即成立， 令 在上单调递减，在上单调递增，， ，解得 ． (2) 小问详解： （i）原方程即为，即， 令 要使原方程在内有两个不等实根， 只需与的图象在内恰有两个交点． 在上单调递减，在上单调递增． ， 作如图所示的的图象：    由图可知，，解得 所以的取值范围是. （ii）略 29．【答案】 【分析】 根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】 函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，，， 有且只有一个整数解可知解集非空，则，因为， 可知当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为； 当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为， 综上．的取值范围为． 30．【答案】（1）1；     （2）；     （3）      【分析】 （1）根据题意，二次函数存在零点，通过判别式即可求解； （2）通过二次函数根的分布得到a的范围，然后利用韦达定理将化成关于a的不等式，然后利用基本不等式即可求解； （3）令，分类讨论满足函数的最小值为0的条件即可求解. (1) 小问详解： 依题，二次函数存在零点，即方程有解， 所以判别式为，解得， 故a的最大值为1； (2) 小问详解： 因为二次函数有两个不同零点且，大于零， 所以二次方程有两个不同根且，大于零， 所以由韦达定理得，， 所以 ，解得， 所以=， 因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值是； (3) 小问详解： 令， 则， 当时，，且当时，，但需，即，所以， 当，即时，恒成立， 综上：满足条件的所有实数a构成的集合. 31．【答案】（1） 函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，， 令，即，解得， 得到与关于“维交换”.     （2）     （3）      【分析】 （1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒等式求解参数即得. （3）根据给定条件可得，再按、讨论分段函数零点即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 依题意，对任意，恒有成立， 而， 由题意可得，对于，一定不含x的奇次项， 得到，而，解得，即的值为， (3) 小问详解： 令， 依题意，函数在上有个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，， 即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，，函数在时只有个零点，不符合题意， 因此，① 当时，， 显然函数的图象恒过点，， 则当时，函数的图象开口向上， 在时仅有一个零点， 当时，，在时没有零点， ② 当时，， 显然函数的图象恒过点、， ，当，即时，在时仅有一个零点， 当，即时，在时有个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点、， 当时，在时无零点，当时，在时有个零点， 综上所述，当时，有个零点， 所以当与关于“维交换”时，， 故实数的值是. 32．【答案】 【分析】 画出函数的图像，结合图像得到，，，计算得到，将和代入得到，利用此函数的单调性即可得到所求的最小值. 【详解】 ，对称轴为， 的图像为： 有四个不同的解，且， ，，， ，，，， ， ，是单调递减函数，是单调递减函数， 在范围内是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）（       ） A. 8 B. 4 C.  D.  2．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）（多选）若，则下列各式一定有意义的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）（多选）下列各式错误的是（       ） A.  B.  C. （） D.  4．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）式子的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 5．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）（     ） A. 4 B.  C. 2 D.  6．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）下列命题中正确的个数为（       ） ①②，则，③，④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（       ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 8．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 设， D. 若，则 9．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）　　　　　　　　． 10．（2026·重庆名校联盟·一模）计算：　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）若，，则　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知函数． （1）证明：； （2）解关于的不等式：； （3）若，，对，，使得，求实数的取值范围． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（2026·重庆名校联盟·一模）函数的图像可能是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知，，，则的大小关系（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知集合 ，则 （       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）设，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（     ） A. －18 B. －15 C. 15 D. 18 12．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）（多选）下列命题中是真命题的是（     ） A. 函数在上单调递增 B. 命题“”的否定是“” C. 函数的图象过定点 D. 函数与是同一个函数 13．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）（多选）下列幂值比大的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知函数，则　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知，则两个数的大小关系是　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）的单调递增区间为　　　　　. 17．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 18．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）函数 是上的减函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知函数（，且）是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）求函数的值域； （3）存在，使得成立，求实数的取值范围. 20．（2026·重庆名校联盟·一模）已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 21．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为　　　　　　. 22．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）若函数的最小值为，则　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）已知函数. （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若，总存在，使得，求实数的取值范围. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知，，则可用表示为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）（多选）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）（多选）下列运算中正确的是（       ） A. 当时， B.  C. 若，则 D.  4．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（     ） A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B. 时，浮萍面积就会超过 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 5．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）　　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）计算下列各式的值： （1）计算 （2）计算 7．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）计算： （1）； （2）． 8．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）（1）已知：，求； （2）已知，试用表示. 9．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）计算：　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）计算 （1） ； （2） 11．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知二次函数同时满足以下条件：①；②；③.函数且. （1）求的解析式； （2）当时，解方程； （3）解不等式. 12．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）计算下列式子： （1） （2） 13．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）计算： （1）； （2）． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）（多选）关于函数有以下4个结论，其中正确的有（     ） A. 函数的定义域为 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的最小值为1 D. 函数的图象恒在轴的上方 2．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）设，，，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数且过定点，则函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）设，，，则，，的大小关系是 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 命题：“”的否定是“” B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的值域为 6．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）“函数在区间上单调递增”是“函数在区间上单调递增”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）设，，，则、、的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）已知，“”是“函数 在上为增函数”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知 ， ， ，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数，设集合 ，集合 ，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 11．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（1）计算：； （2）已知函数的定义域是集合，值域是集合，求. 12．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为　　　　　　　　． 13．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知. （1）若过，解不等式； （2）已知的最大值为. ①求的值； ②求的值域. 14．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是　　　　　. 15．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）已知函数是奇函数. （1）求不等式的解集. （2）若函数在上单调递增，求b的取值范围. （3）是否存在正实数m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）若为函数的零点，则所在区间为（     ） A.  B. （1，2） C.  D.  2．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知函数 ，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）函数的零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）（多选）已知 ，若存在，使得，则下列结论正确的有（     ） A. 实数m的取值范围为 B. 的最大值为1 C.  D. 取值范围为 5．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量(单位：毫克/升)与过滤时间(单位：小时)之间的函数关系为： (为正常数，为原污染物数量)，若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（     ） A. 5小时 B. 10小时 C. 15小时 D. 小时 6．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）（多选）函数 ，则下列说法正确的是（     ） A. 的单调递减区间是 B. 的值域是 C. 不等式的解集是 D. 若方程有3个解，则 7．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知 若，且，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知函数为偶函数，当时，，那么函数的零点个数为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为2米，要让该植物的高度超过3.8米，至少需要（     ）年． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知关于x的方程（，）恰有三个不同的实数解，，，其中，则下列选项中一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数且，若对，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）（多选），用表示不超过的最大整数，称为取整函数，也称为高斯函数.例如：，.设，则下列命题中正确的是（     ） A. ， B. 函数的值域为 C. 方程的解集为 D. 函数的所有零点之和为 13．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数 ，若存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（       ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 15．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）作为重庆本土最高级别足球赛事，渝超某焦点赛事凭借激烈对抗与精彩进球，点燃了重庆民众的观赛热情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值（单位：万次点击）与时间（单位：小时）呈现阶段性变化：①当时，受重庆民众自发传播、二次创作赛事内容的推动，热度持续增长，函数关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为 （1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值； （2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”． 16．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． （1）如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； （2）请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 17．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足 ，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 18．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示. （1）试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式： （2）现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金) 19．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能．根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且 当该公司一年内共生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元；当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 20．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 21．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减．刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：．已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为（）．则生物体死亡　　　　　　　　　　　天后，它机体内该元素含量变为（）． 22．（2026·重庆名校联盟·一模）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 23．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）重庆的轻轨交通越来越方便，已知环线通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为1500人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为4分钟时的载客量为1180人，记地铁的载客量为. （1）求的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时列车的载客量； （2）若该线路每分钟的收益为（元）.问当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的收益最大？ 24．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ．每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 25．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数为奇函数，且． （1）求，并指出函数在的单调性（不用证明）； （2）若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 26．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）对于函数，若存在使得成立，则称为的不动点．若（）， （1）若，，求的不动点； （2）若对任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若，，求函数的不动点． 27．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若对于，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）设，当时，方程有两个不等实根，求的取值范围. 28．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知函数． （1）若关于的方程在区间内有解，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间内有两个不等实根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 29．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知函数 ，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）对于二次函数，若实数满足，则叫做函数的零点． （1）若“二次函数不存在零点”为假命题，求实数的最大值； （2）若二次函数有两个不同的零点，，且，大于零，求的最小值； （3）若函数的最小值为0，求满足条件的所有实数构成的集合． 31．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”． （1）判断函数与是否关于“1维交换”，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值； （3）设 ，若与关于“3维交换”，求实数的值． 32．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知函数 ，若有四个不同的解，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $