专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）若，则下列正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合特殊值以及不等式的性质判断出正确答案. 【详解】 当时， ，所以ACD选项错误. 由于，所以，B选项正确. 故选：B 2．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 利用不等式的性质可判断ABC，作差法比较数的大小可判断D. 【详解】 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以. 所以， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，， 因为，所以，所以，所以，故D错误. 故选：ABC. 3．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【分析】 举特例判断AC的真假，利用不等式的基本性质判断B的真假，利用“糖水不等式”判断D的真假. 【详解】 对A：取，，则满足，但，所以不成立，故A错误； 对B：根据不等式的性质，，故B正确； 对C：若，当时，，此时不成立，故C错误； 对D：因为，，根据“糖水不等式”，，故D错误. 故选：B 4．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【分析】 对于AB，根据不等式的基本性质分析判断，对于CD，举例判断即可. 【详解】 对于A，因为，所以，因为，所以，即，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，若，则满足，此时，所以C错误， 对于D，若，则满足，此时，所以D错误. 故选：AB 5．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知可得，，，再结合不等式的性质即可作出判断. 【详解】 已知满足且， 可得，， 所以，， ，A、B、C成立， 但由于不能确定的正负，所以无法判断与的大小，故此时D不一定能成立， 综上，不一定能成立的是， 故选：D. 6．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知，则下列不等式成立的是（　　） A.  B.  C.  D. （） 【答案】D 【分析】 利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中， 当时，，此时，所以A错误； 对于B中， 当时，，所以B错误. 对于C中， 当时，，所以C错误. 对于D中，因为，可得，所以D正确. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟练不等式的基本性质，以及合理利用特殊值求解是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 7．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【详解】由可得，再利用不等式的性质判断四个选项的正误即可得答案. 【详解】 由可得，显然选项A不正确； 因为，所以，，所以，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C正确； 因为，所以，可得，即 ，故选项D不正确， 故选：BC 8．（2026·重庆名校联盟·一模）已知，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 直接由作差法逐一判断即可. 【分析】 对于A：， 因为，则，， 所以，当时，，当时，， 当时，，A错误； 对于B：因为，则，，， 则， 所以，B正确； 对于C，因为，则，，， 由题意， 即，故C错误； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）（多选）若，，，则下列不等式推理正确的是（     ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【分析】 对于A，利用不等式的性质求得的范围即可判断；对于B,C，通过作差比较即可判断；对于D，通过举反例即可排除. 【详解】 对于A，由可得，因，则得，故A错误； 对于B,   由，因，则，故B正确； 对于C，由，则，由，可得，故C正确； 对于D，当时，显然满足且，但，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）若，，，，则下列说法正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 利用不等式的相关性质可推理判断选项A,D，通过举反例判断选项B,C. 【详解】 对于A选项，由可得，因，故不能判断的值正负，故A项错误； 对于B选项，因时，，故B项错误； 对于C选项，取满足，， 但是有，故C项错误； 对于D选项，因，故，又因，故， 由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得：，故D项正确. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）（多选）若实数满足，则下列不等式一定成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 由不等式的性质可得AC正确；举反例可得BD错误； 【详解】 选项，由不等式乘法性质知 正确，故A正确； 选项， 时不成立，故 错误； C选项，由不等式的平方性质知 正确，故C正确； 选项， 时不成立，故 错误； 故选： AC. 12．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】 对于A： 因为，所以，A错误； 对于B： 因为，所以，所以B正确； 对于C： 因为，所以，C正确； 对于D： 因为，所以，所以，D错误. 故选：BC. 13．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（       ）更合算. A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 【答案】A 【分析】 由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【详解】 设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 14．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）（多选）设，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 通过赋值法和不等式的性质对逐个选项进行分析即可. 【详解】 对于选项，令，则，，故选项错误. 对于选项，，，又，根据不等式的性质可得，故选项正确. 对于选项，，，，，即，， ，，故选项正确. 对于选项，令，则，，，故选项错误. 故选：. 15．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知，则是的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 通过举反例证明充分性不成立，结合作差法比较代数式的大小关系说明必要性成立，进而判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得到答案. 【详解】 充分性： 当，，时，满足：，，但不满足. 说明充分性不成立； 必要性： 已知，， 则，即得：， 说明必要性成立. 因此可得：“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 16．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）（多选）已知，则下列不等关系一定成立的有（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 作差，然后消元得，然后由的范围得到的正负，从而判断A选项；由基本不等式得到，然后整理后利用不等式基本性质得到结论判断B选项；取特殊值判断C选项；由基本不等式求得的范围，判断D选项. 【详解】 ∵，即，且， 则，∵，， ∴，即，A选项正确； ∵，∴，即， ∵，∴，∴，B选项正确； 取，则，则，，此时，C选项错误. ，当且仅当时，即时取等号，D选项正确. 故选：ABD. 17．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知，以下选项能判断出的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由不等式的性质和举例说明，逐项判断即可. 【详解】 由，得， 对于A，因为，又，所以，正确； 对于B，因为，所以，又，所以，错误； 对于C，取，满足，故错误； 对于D，取，满足，故错误， 故选：A 18．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知实数满足，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，求出后由不等式性质求解即可. 【详解】 设， 则 ，解得， 因为，， 所以， 故答案为： 19．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1），     （2） 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”；     （3）4039      【分析】 （1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. (1) 小问详解： 由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以 所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）若，则（       ） A. 有最小值5 B. 有最大值5 C. 有最小值4 D. 有最大值4 【答案】A 【分析】 利用基本不等式可求最小值. 【详解】 ，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 2．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】 对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 3．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 【答案】AD 【分析】 利用基本不等式即可判断A；根据对数函数的单调性即可判断B；利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断C；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】 对于A，因为，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，故B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD. 4．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A.  有最小值为 B. 有最小值为 C.  有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【分析】 A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】 对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 5．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D. 5 【答案】B 【分析】 根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】 由是幂函数，可得，，即，， 又由点在一次函数的图像上，所以， 因为，，所以由基本不等式，得 ， 当且仅当时取等号，即当，时，， 故选：B. 6．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 A选项，① ， 但是无解，所以① 等号不成立，所以A选项错误. B选项，当时，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，当时，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，是正数， ， 当且仅当 时等号成立，所以D选项正确. 故选：BCD 7．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）当时，不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】将问题转变为，利用基本不等式求解出，从而得到结果. 【详解】不等式有解，即               当且仅当，即时取等号 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够将问题转变为与的最小值之间的比较，并通过配凑的方式得到符合基本不等式的形式. 8．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 9．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知，满足，则的最小值是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由已知得，代入后利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为，，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B. 10．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断C选项，运用“1”的代换结合基本不等式判断D. 【详解】 因为，， 对于A，，即当且仅当时取等号，故A选项正确； 对于B，， 故，当且仅当时取等号，故B选项错误； 对于C，∵，∴，∴在R上单调递增， ∵，∴，即，故C选项正确； 对于D，由得， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知，且，则的最小值是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【分析】 应用基本不等式中“1”的妙用，求的最小值即可． 【详解】 已知，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 故选：C． 12．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）（多选）设正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【分析】 利用基本不等式及二次函数的性质逐一计算选项即可. 【详解】 对于A，易知， 当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，易知， 当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当时取得等号，但与前提矛盾，故C错误； 对于D，由可得， 则，当且仅当时取得等号，故D正确； 故选：AD 13．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】 由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “且”是“”的充要条件 C. 某文具店搞活动，1个笔记本与2支圆珠笔价格之和大于6元，而2个笔记本与1支圆珠笔价格之和小于4元，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低 D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠 【答案】AC 【分析】 对于A，解出的范围，再去判断； 对于B，找一组特例，就可以分析出和且关系； 对于C，设笔记本价格为a，圆珠笔价格为b，根据条件判断正负； 对于D，用调和平均数和算术平均数的不等关系求解. 【详解】 对于A选项，，则， 则推出，推不出， 所以是的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，且能推出； （比如）推不出且， 所以且是的充分不必要条件，故B错误； 对于C选项，设1个笔记本价格a元，1支圆珠笔价格b元，则 ， 令，，得   ， 所以，由，所以， 则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低，故C正确； 对于D选项，设第一次价格为A1，第二次价格为A2，第三次价格为A3，， 第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格， 第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格， 由调和平均数算术平均数，可得第二种优惠，故D错误． 故选：AC． 15．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 举反例可判断A；由基本不等式可得B；作差可判断C，利用基本不等式结合换元法可得D. 【详解】 对于A，令，则 ，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 因为且，则，所以，故C正确； 对于D，若，则，当且仅当时取等号， 令，所以，解得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 16．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知正实数满足，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 ，进而根据的单调性得，再将所求式子转化为求的最小值，最后结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】 解：令，则， 因为函数均为单调递增函数，且当时， 所以等价于，即 所以， 所以 因为， 当且仅当，联立可得，，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 17．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）已知正数，则下列不等式中恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 对于AC，利用基本不等式即可判断；对于BD，利用特值法即可判断． 【详解】 ∵（当且仅当时取等号）， 又为正数，，∴，故A正确； 当时，，，此时，故B错误； ∵为正数，则（当且仅当时取等号）， 又，∴，故C正确； 当时，，此时，故D错误， 故选：AC. 18．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为2 【答案】ABD 【分析】 由基本不等式分析计算即可判断AB；由基本不等式结合举反例即可求解判断C；将函数化为结合基本不等式即可求解判断D. 【详解】 对于A：由于，所以，故， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由于若，则由均值不等式， 则，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：若，且， 则（当且仅当且时，即时等号成立）； 当时，如时满足，但，故C错误； 对于D：若，则，当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 19．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）（多选）如图所示，矩形ABCD（）的周长为12，把它沿BD翻折，翻折后交AD于点P，设，下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 面积的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由平面几何知识可得判断A；设，结合勾股定理可得，展开整理可判断B；展开计算可判断C；由题意可得，利用基本不等式计算可判断D. 【详解】 对于A，在矩形ABCD中，，所以，又， 所以，所以，故A正确； 对于B，设，则， 又，所以， 在直角三角形中，根据勾股定理得， 由矩形ABCD（）的周长为12，则， 所以，展开得， 所以，所以，故B正确； 对于C， 当且仅当，即时取等号，故面积的最大值为，故C错误； 对于D，由于，且，， 所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 20．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）若正数满足，则的最小值为　　　　　　　　，此时　　　　　　　　． 【答案】① 72    ② 【分析】 由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】 根据题意可得， 当且仅当得，即，时，等号成立． 故答案为：72； 21．（2026·重庆名校联盟·一模）已知，，则的最大值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】 因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 22．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计）    （1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？ 【答案】（1）每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为；     （2）每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为.      【分析】 （1）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值； （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. (1) 小问详解： 设每间长方形禽舍宽为，长为， 由题得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. (2) 小问详解： 由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 23．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）设函数. ① 当时，在区间上的最小值为　　　　　　； ② 若在区间上存在最小值，则满足条件的一个的值为　　　　　　. 【答案】①     ② 即可 【分析】① 当时，利用基本不等式求得最小值. ② 利用基本不等式，研究函数的最小值，并根据基本不等式等号成立的条件，求得的取值范围. 【详解】① 当时，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故最小值为.② 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故，即.填的任意一个都符合题意. 【点睛】本小题主要考查基本不等式的知识和应用，考查基本不等式“一正，二定，三相等”的要求，属于基础题.一正，即利用基本不等式，要确保为正数.二定是指基本不等式求得的结果为定值，不能含有变量.三相等是指等号成立的条件，也即当且仅当时，取得等号. 24．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）已知函数. （1）若，求的最小值. （2）若恒成立. ①求证：； ②若，且恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）2     （2） ① 证明：因为恒成立，即恒成立， 所以，              即，所以， 则，所以；      ②      【分析】 （1）由基本不等式计算即可求解；    （2）① 先由不等式恒成结合判别式得到，再计算即可得证；② 先化简，接着分和两种情况结合换元法分析即可求解. (1) 小问详解： 因为，则， 当且仅当即时取等号， 所以； (2) 小问详解： ① 略         ② 由题，又， 当时不等式恒成立， 当时，恒成立 令，则，则在上恒成立， 又，所以. 25．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若满足，则的最大值是　　　　　　，的最小值是　　　　　　. 【答案】① 2    ② 【分析】 将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】 因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 26．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于　　　　　　　　． 【答案】48 【分析】 利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】 因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 27．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）n元不等式：当时，，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立，特别地当时，即：称为基本不等式，结合以上信息，解决下列问题： （1）当且时，求最小值； （2）当时，求最大值； （3）当且时，证明：． 【答案】（1）25     （2）     （3） ∵，∴，，， ∵， 当且仅当即时等号成立， 同理： 当且仅当时等号成立； 当且仅当时等号成立； ∴， 即， 当且仅当时等号成立； 又∵当且仅当时等号成立； ∴， 即， 此时.      【分析】 （1）利用常数1的代换技巧与基本不等式可求得的最小值； （2）利用可求解； （3）利用三个数的算术平均数与几何平均数的关系即可证明结论. (1) 小问详解： ∵，∴， ，又， ∴， 当且仅当，即时等号成立； (2) 小问详解： ，当且仅当即时等号成立； (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是　　　　　. 【答案】 【分析】 先对已知条件变形因式分解，令，解出 然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】 对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组 ，解得 ，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 29．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为　　　　　　，若实数，则的最小值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】 对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即 时，即 时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当 时，取到最小值 故答案为：①；②. 30．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 将化为，利用基本不等式可求出时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案. 【详解】 由题意知正实数，，，满足， 即，则， 则， 当且仅当，即时取等号，故，即最大值为， 此时，故， 当，即时，取最大值， 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化为单变量问题解决. 31．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立. 【答案】（1），     （2）      （3） 证明：当时，左式，右式，且； 当时， ， 显然，所以等号不能取， 所以； 综上可知，恒成立.      【分析】 （1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解； （3）根据结论得到，然后化简变形可完成证明. (1) 小问详解： ， 当且仅当时，取等号， 所以最大值为， (2) 小问详解： 由题意， 长方体的体积为：， 当且仅当时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为. (3) 小问详解： 略 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求解一元二次不等式，判断. 【详解】 由，得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别讨论和的情况，可求得不等式恒成立的充要条件；依次判断各选项的推出关系即可得到结果. 【详解】 若不等式在上恒成立， 则当时，恒成立，满足题意； 当时， ，解得：； 若不等式在上恒成立，则； 对于A，，， 是不等式在上恒成立的充分不必要条件，A正确； 对于B，是不等式在上恒成立的充要条件，B错误； 对于C，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，D错误. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）“”是“”的（     ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】 求解出已知不等式的解集，利用充分条件、必要条件的定义进行判断. 【详解】 由，得；由，得， 因为可以推出，且不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化简集合，根据集合交集计算即可求解. 【详解】 集合， 所以. 故选：D 5．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　） A.  B. 0 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 由不等式与方程的关系转化为 ，从而解得． 【详解】 解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}， ∴ ， 解得，k＝﹣1，m＝﹣1， 故m+k＝﹣2， 故选：C． 6．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集是，则（       ） A.  B.  C.  D. 不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】 由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】 由题意可知，1，3是方程的两个根，且， ， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 7．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）“”是“函数在内单调递增”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】 根据给定的单调性求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】 函数的单调递增区间为， 由函数在内单调递增，得，解得 所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A 8．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  的解集为 D.  的最大值为 1 【答案】BCD 【分析】 根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D. 【详解】 对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得 ，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 9．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）不等式的解集是（       ） A. 或 B.  或 C.  或 D. 或 【答案】B 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式组，利用一元二次不等式的解法求不等式组的解再求并集即可. 【详解】 将分式不等式转化为整式不等式组 或 ； 不等式组 的解集为或 ， 不等式组 的解集为， 所以不等式的解集是或 . 故选：B 10．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求得关系，可判断AB；根据一元二次不等式的解法可判断C；根据一元一次不等式的解法可判断D. 【详解】 ∵一元二次不等式的解集为或， ∴是方程，且， ∴，且，故B正确； ∴，，，从而，故A正确； 不等式即为，可化为， 即，解得或， ∴不等式的解集为或，故C错误； 不等式即为，可化为，解得， ∴不等式的解集为，故D正确， 故选：ABD. 11．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用分式不等式转化为一元二次不等式，再分开口向上和开口向下来讨论另一个零点的分布区间即可求解. 【详解】 由不等式 由于中有且只有三个元素，则 或 ， 解得， 故选：A. 12．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 令，可知在上单调递减，且，由题意，只需函数在上单调递减，分类讨论，结合一次函数与二次函数的单调性求解． 【详解】 令，可知在上单调递减，且， 要使函数在上单调递增，只需函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，图象开口向上，对称轴，所以，即， 当时，图象开口向下，对称轴， 此时在上单调递减，符合题意， 综上，则的取值范围是． 故选：B． 13．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）函数，的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数的性质求解. 【详解】 函数的图象开口向下，对称轴为， 因为，所以 当时，， 当时，， 故函数的值域为. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】 A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B，由解集得到，，从而化为，求出解集； C选项，先确定，进而求出或时，，进而可求解；D选项，先求出，从而根据不等式有解得到，求出答案， 【详解】 因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 15．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 关于的不等式的解集为，根据韦达定理求得，，在关于的不等式的两边同除以，得，即可求得答案. 【详解】 关于的不等式的解集为， ，且1，3是方程的两根， 根据韦达定理可得：，， ，， 在关于的不等式的两边同除以， 得， 不等式变为， 解得： 不等式的解集为：. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了求解一元二次不等式，解题关键是掌握一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 16．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域是 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】 由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确； 【详解】 对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得 ，解得 ，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得 ，解得， 综上的取值范围是，故D正确； 故选：AC. 17．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则且 D. 若，则关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】 对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】 对于A，因为，则，且和是方程的两根， 则 ，得到，所以，故A正确； 对于B，若，则， 此时等价于，即， 显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误； 对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点， 所以且，故C正确； 对于D，因为，由选项A知，，且， 由，得到，即，解得或，所以D正确， 故选：ACD. 18．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（       ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】 由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，① 说法正确； 因为图象经过、两个点，所以 ，解得， 因为，，所以，② 说法正确； 由得，即，③ 说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④ 说法正确； 综上① ② ③ ④ 正确； 故选：D 19．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】 设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得 ，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 20．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 【答案】BC 【分析】 对于A：根据二次不等式的性质即可判断的正负； 对于B：结合和韦达定理，化简不等式，解不等式即可； 对于C：由，，化简，再结合二次函数的性质即可计算的取值范围； 对于D：在的条件下，利用基本不等式计算的最小值，令，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】 对于A：根据二次不等式的性质：不等式的解集为，所以；故选项错误； 对于B：由题意得：，，根据韦达定理： 得： ， 所以，，代入不等式得：，因为，所以，因为分解得，解集为；故选项正确； 对于C：由，，得：，，代入，，，因为上的值域为， 所以，由得，或，因为时，，所以当时，，此时；当时，，此时，所以的取值范围是；故选项正确； 对于：由题意得：，令，由对勾函数得：在上单调递增，所以，即，因为恒成立，所以，即，故，解集为：，故选项错误； 故选：. 21．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【分析】 由三个二次之间的关系以及韦达定理，得到间的关系，代入求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以得两个根为，且， 所以A正确； 由韦达定理 ，解得 因为，所以B错误； 由不等式，得，因为，所以解集为，所以C错误； 由不等式,得，因为，所以，解集为，所以D正确. 故选：AD 22．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若对任意成立，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令、得或，，进而有，讨论参数a的范围确定b的范围. 【详解】 令，则，故，则或， 令，得，解得，故，解得， 当时，， 当时，， 综上，. 故选：C 23．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 【答案】ACD 【分析】 A问题化为恒成立，求参数范围；B由根式型函数值域及二次函数性质求参数范围；C由题设有，结合一元二次不等式确定定义域和值域，由正方形性质得，即可判断；D利用配方法及放缩判断时不等式是否恒成立，即可判断. 【详解】 A：若，则恒成立， 显然时，成立， 时， ， 故，正确； ：由已知，则 ，错误； C：若表示一个正方形区域，则， 设的解集为， ， 又，所以， 解得， 此时，故该区域的面积为，正确； ：当时，，正确. 故选：ACD 24．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知二次函数满足：，． （1）求二次函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. (1) 小问详解： 设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此 ，解得，， 所以二次函数的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 25．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知集合 （1）求集合A； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）移项作差把分式不等式转化成一元二次不等式，解不等式即可； （2）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则计算即得答案. (1) 小问详解： 由移项得：， 通分：， 等价于：， 因此，不等式的解为：， 集合 . (2) 小问详解： 由因式分解得：， 不等式的解集为：， 所以集合 ； 由，得：； 所以. 26．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）若不等式的解集为，则　　　　；不等式的解集为　　　　 【答案】①     ② 【分析】 由题意确定的两根求得，即可求解. 【详解】 由题意方程，有两根， 所以 ，解得：，所以， 所以即为：， 即， 即， 所以解集为：， 故答案为：， 27．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 【答案】（1）     （2）当时，，； 当时，，； 当时，，；      【分析】 （1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. (1) 小问详解： 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 28．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）设． （1）当时，，使得，求实数a的取值范围； （2）若对于,恒成立，求实数m的取值范围． （3）解关于x的不等式． 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）由题设条件可得，故只需利用二次函数的单调性求其最小值即可； （2）通过等价转化，将题设不等式转化成在上恒成立问题，通过二次函数在给定区间上的单调性可得，即得参数范围； （3）将不等式整理后分解因式得到，根据实数的取值进行分类，分别求解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，因，使得，则， 由，可得， 故实数a的取值范围是 (2) 小问详解： 由可得，因，故可得， 依题意，对于，恒成立，即恒成立， 因函数在上单调递增，则，，故可得. 即实数m的取值范围是. (3) 小问详解： 由等价于，即（*） ① 当时，（*）等价于. 若，则，不等式的解为或； 若，不等式化为，不等式的解为； 若，则，不等式的解为或； ② 当时，不等式化为，不等式的解为； ③ 当时，（*）等价于，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 29．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知函数. （1）求该函数的单调性； （2）求该函数在区间上的最值（用表示）. 【答案】（1）减区间是，增区间     （2）最大值是，最小值是      【分析】 （1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）根据二次函数的对称轴求函数在区间上的最值即可. (1) 小问详解： ， 所以函数是开口向上的抛物线，对称轴是， 所以减区间是，增区间. (2) 小问详解： 因为函数是开口向上的抛物线且对称轴， 所以该函数在区间的最小值是， 又因为，所以， 所以函数在区间的最大值是， 综上，函数在区间的最大值是，最小值是. 30．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知集合，集合 （1）若，求集合. （2）若集合，求的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）由解出，求解一元二次不等式即可求解； （2）分和两种情况讨论，进而求解. (1) 小问详解： 由题意有：是方程的解，所以， 所以， 又由，解得或， 所以或； (2) 小问详解： 由，所以对任意实数都成立， 当时， 由，即，不满足任意实数都成立， 当时，由 ，解得， 综上所述的取值范围是. 31．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）命题：，使得恒成立. （1）写出. （2）若命题是真命题，求的取值范围. （3）若命题是假命题，求的最值. 【答案】（1），使得     （2）     （3）当时，取得最小值为，无最大值；当时，没有最值.      【分析】 （1）根据全称命题的否定是特称命题，直接书写即可； （2）根据命题是真命题，不等式恒成立求解参数范围； （3）根据命题是假命题，可知，根据基本不等式求解最值. (1) 小问详解： ，使得. (2) 小问详解： 因为不等式恒成立. 当时，，不满足不等式恒成立 当时，恒成立需满足 ，解得， 所以. (3) 小问详解： 若为假命题，则， 当时，由基本不等式，，当且仅当，即时， 取得最小值为 当或时，，故不存在最大值； 当时，由基本不等式，， 当且仅当等号成立，在范围内无解，故没有最大值. 当时，，故不存在最小值； 综上，当时，取得最小值为，无最大值；当时，没有最值. 32．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知集合（m为实数）. （1）求； （2）若，求的值； （3）若对于，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）解一元二次不等式求解集合； （2）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （3）先参数分离，再应用基本不等式取得最小值，进而得出参数范围. (1) 小问详解： 集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. (2) 小问详解： 由，且， 得n与6为方程的两根，且， 则 ，解得， 所以. (3) 小问详解： ， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 33．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知集合，. （1）求集合； （2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）集合元素代表是x，即求函数的定义域，求解不等式即可. （2）由是的充分不必要条件，知是的真子集，结合数轴表示集合关系，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】 （1） ，则，， . （2）由可得或，或 又是的充分不必要条件，所以是的真子集，由图像可知： 或，或， 实数的取值范围是. 【点睛】 结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，需转化为集合关系，一般根据如下规则： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 34．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知二次函数的图象经过三点. （1）求的解析式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将不等式转化为，令，将不等式恒成立转化为，求的最小值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. (1) 小问详解： 设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则 ，解得 ， 所以的解析式为. (2) 小问详解： ，即，可化为， 当时，恒成立，即，其中， 令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 当，即时，， 当时，函数在区间上单调递增，则， 综上 . 35．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若实数，解关于的不等式. 【答案】（1）；     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）分和两种情况结合二次函数性质即可求解； （2）分、和三种情况结合二次函数性质分析计算求解即可. (1) 小问详解： 不等式对一切实数恒成立，即恒成立. 当时，不等式为不恒成立，不符合； 当时，则 ，解得. 故满足题意的实数的取值范围为； (2) 小问详解： 若实数，解关于的不等式即解， 解或， 所以当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 36．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意计算可得，再利用分式不等式解法计算即可得. 【详解】 由关于的不等式的解集是， 则与是方程的两根， 即有， 故，则， 即，解得， 故关于的不等式的解集是. 故答案为：. 37．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）求解二次不等式解得集合，； （2）由题可得，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，求解即可. (1) 小问详解： 由题意可得或，当时，， 故， 故． (2) 小问详解： 因为，所以， 又易知，则或，解得或， 即的取值范围为或. 38．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值． 【答案】（1）不动点为和     （2）6      【分析】 （1）根据不动点的定义，解方程，可得答案； （2）根据题意，即为方程有两个不相等的正实数根，解得的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得的最小值. (1) 小问详解： 由题意知：， ， ， 解得，， 所以二次函数的不动点为和． (2) 小问详解： 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以 ，解得， 所以，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6． 39．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值构成的集合． 【答案】（1）;     （2）或；     （3）.      【分析】 (1)利用二次函数在区间上的单调性可判断最值； (2)解一元二次不等式即可； (3)利用二次不等式恒成立的条件来求解即可. (1) 小问详解： 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在上的最大值是和最小值是； (2) 小问详解： 当时，， 解得或， 所以不等式的解集为或； (3) 小问详解： 由， 当时，对任意实数不恒成立，故； 则由对任意实数恒成立， 可得 ， 解得， 即实数的取值构成的集合． 40．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为      【分析】 （1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． (1) 小问详解： 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. (2) 小问详解： 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足 ，即 ，解得， 所以的取值范围是． (3) 小问详解： 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为或； ③ 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 41．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）     （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为.      【分析】 （1）直接根据对勾函数的单调性计算值域即可； （2）含参数分类讨论计算一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 时，， 由对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，，时，， 即的值域为； (2) 小问详解： 由题意， 即， 若，易得， 若，则， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为；时，不等式解集为. 42．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别求出各个集合，再进行混合运算即可. （2）对集合是否为空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系求解参数即可. (1) 小问详解： 若，则，， 令，解得，则 得到 (2) 小问详解： ① 当时，得到，解得，符合题意， ② 当时，即时，令，解得， 可得，得到 ，解得， 综上可得，． 43．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知集合，. （1）求，； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）通过一元二次不等式和分式不等式求解，由交集、并集、补集运算即可求解； （2）由题意集合是集合的真子集，通过和两类情况讨论即可. (1) 小问详解： ， ， 所以，， 所以或； (2) 小问详解： 由题意集合是集合的真子集， 当时，即，得，符合题意， 当时，集合是集合的真子集， 需满足 且两等号不能同时成立， 解得： ， 综上：实数的取值范围是 44．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若是偶函数且，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意确定方程的两根为，结合韦达定理即可求解； （2）由函数为偶函数得到，再由，得，再结合二次函数单调性，求得最值即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知，且方程的两根为， 所以， 解得： 所以； (2) 小问详解： 由为偶函数可得：， 即， 又，得，即， 所以， 所以不等式恒成立， 即恒成立， ，对称轴为，开口向上，在上单调递减， 故当时，得到最小值， 由题意 解得：， 即实数的取值范围是. 45．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）已知函数，其中. （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. (1) 小问详解： 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． (2) 小问详解： 二次函数的图象开口向下，对称轴为， ① 当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③ 当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 46．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）已知是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若均为正根，求实数的取值范围； （2）求使的值为整数的的整数值； 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题可得，判别式和，运算得解； （2）利用韦达定理化简，结合题意求解. (1) 小问详解： 由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且 ，解得：. (2) 小问详解： 由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为. 47．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）若关于的不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的联系分析得的关系，从而求得的值. 【详解】 当时，由，得，不合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以函数的图象开口向下，且方程的两根为. 所以 ，化简得 ，解得. 故答案为：. 48．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知全集为，集合． （1）求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） ，.     （2）      【分析】 （1）求解一元二次不等式与分式不等式，再结合集合的交并补混合运算法则求解即可. （2）对是否是空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系建立不等式组，求解参数范围即可. (1) 小问详解： 令，解得， 则，， 令，化简得，解得，得到， 则，. (2) 小问详解： 当时，满足， 此时，解得， 当时，可得 ，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 49．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）解不等式. 【答案】（1）；     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）把代入，利用单调性求出值域. （2）分类讨论求解一元二次不等式. (1) 小问详解： 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 所以函数在上的值域为. (2) 小问详解： 不等式， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 50．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为或， ， 且，则 ，解得， 因此，实数的取值范围是. (2) 小问详解： 因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 51．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】 由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 52．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）；     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）设出二次函数的解析式，代入，计算求解； （2）将代入，得到，按照 ，，三种情况讨论求解. (1) 小问详解： （1）设， ， 即， ； (2) 小问详解： （2）． ① 当时，， ② 当时，， ③ 当时，． 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 53．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知，． （1）当时，不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围； （2）当时，讨论关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或.      【分析】 （1）分与讨论，结合二次函数性质即可求解； （2）根据二次不等式的解法讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，，即恒成立， 若，则不恒成立， 若，则 ， 解得. (2) 小问详解： 由题意，，即， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. 54．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数. （1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）当，时，求在上的值域； （3）当时，设，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）关于的不等式在上有解等价于在区间内的最小值，进而解不等式可得结果； （2）先去绝对值，进而结合二次函数的性质求解值域； （3）先去绝对值，进而由二次函数的对称轴对进行分类讨论，从而分情况求的最小值，并可得的最小值. (1) 小问详解： 关于的不等式在上有解，等价于在区间内的最小值. 是开口向下的二次函数，对称轴为. 在处取最大值：； 因为，， 所以，则在上的最小值为. 因此，即. 故. (2) 小问详解： 当时，，需分区间去绝对值： 当时，，故， 其图象开口向上，对称轴，最小值为； 端点值：，. 此区间内； 当时，，故. 其图象开口向上，对称轴，函数在上单调递增； 端点值：，， 此区间内. 综上所述， 在上的值域为. (3) 小问详解： 当时，，分区间去绝对值： 当时，，其图象开口向上，对称轴； 当时，其图象开口向上，对称轴. 分情况讨论的最小值： 情况1： 时，在取最小值：； 时，单调递减，. 因为，所以， 故，其最小值为； 情况2： 时，在取最小值：； 时，. 故，其最小值. 情况3： 时，在取最小值：； 时，在取最小值：. 因为，所以 故，其最小值为. 综上所述，的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．B 2．ABC 3．B 4．AB 5．D 6．D 7．BC 8．B 9．BC 10．D 11．AC 12．BC 13．A 14．BC 15．C 16．ABD 17．A 18．【答案】 【分析】 设，求出后由不等式性质求解即可. 【详解】 设， 则 ，解得， 因为，， 所以， 故答案为： 19．【答案】（1），     （2） 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”；     （3）4039      【分析】 （1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. (1) 小问详解： 由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以 所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 考点02 基本不等式 1．A 2．C 3．AD 4．BC 5．B 6．BCD 7．C 8．C 9．B 10．ACD 11．C 12．AD 13．D 14．AC 15．BCD 16．A 17．AC 18．ABD 19．ABD 20．【答案】① 72    ② 【分析】 由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】 根据题意可得， 当且仅当得，即，时，等号成立． 故答案为：72； 21．【答案】 【分析】 先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】 因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 22．【答案】（1）每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为；     （2）每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为.      【分析】 （1）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值； （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. (1) 小问详解： 设每间长方形禽舍宽为，长为， 由题得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. (2) 小问详解： 由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 23．【答案】①     ② 即可 【分析】① 当时，利用基本不等式求得最小值. ② 利用基本不等式，研究函数的最小值，并根据基本不等式等号成立的条件，求得的取值范围. 【详解】① 当时，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故最小值为.② 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故，即.填的任意一个都符合题意. 【点睛】本小题主要考查基本不等式的知识和应用，考查基本不等式“一正，二定，三相等”的要求，属于基础题.一正，即利用基本不等式，要确保为正数.二定是指基本不等式求得的结果为定值，不能含有变量.三相等是指等号成立的条件，也即当且仅当时，取得等号. 24．【答案】（1）2     （2） ① 证明：因为恒成立，即恒成立， 所以，              即，所以， 则，所以；      ②      【分析】 （1）由基本不等式计算即可求解；    （2）① 先由不等式恒成结合判别式得到，再计算即可得证；② 先化简，接着分和两种情况结合换元法分析即可求解. (1) 小问详解： 因为，则， 当且仅当即时取等号， 所以； (2) 小问详解： ① 略         ② 由题，又， 当时不等式恒成立， 当时，恒成立 令，则，则在上恒成立， 又，所以. 25．【答案】① 2    ② 【分析】 将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】 因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 26．【答案】48 【分析】 利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】 因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 27．【答案】（1）25     （2）     （3） ∵，∴，，， ∵， 当且仅当即时等号成立， 同理： 当且仅当时等号成立； 当且仅当时等号成立； ∴， 即， 当且仅当时等号成立； 又∵当且仅当时等号成立； ∴， 即， 此时.      【分析】 （1）利用常数1的代换技巧与基本不等式可求得的最小值； （2）利用可求解； （3）利用三个数的算术平均数与几何平均数的关系即可证明结论. (1) 小问详解： ∵，∴， ，又， ∴， 当且仅当，即时等号成立； (2) 小问详解： ，当且仅当即时等号成立； (3) 小问详解： 略 28．【答案】 【分析】 先对已知条件变形因式分解，令，解出 然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】 对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组 ，解得 ，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 29．【答案】①     ② 【分析】 对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】 对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即 时，即 时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当 时，取到最小值 故答案为：①；②. 30．【答案】 【分析】 将化为，利用基本不等式可求出时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案. 【详解】 由题意知正实数，，，满足， 即，则， 则， 当且仅当，即时取等号，故，即最大值为， 此时，故， 当，即时，取最大值， 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化为单变量问题解决. 31．【答案】（1），     （2）      （3） 证明：当时，左式，右式，且； 当时， ， 显然，所以等号不能取， 所以； 综上可知，恒成立.      【分析】 （1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解； （3）根据结论得到，然后化简变形可完成证明. (1) 小问详解： ， 当且仅当时，取等号， 所以最大值为， (2) 小问详解： 由题意， 长方体的体积为：， 当且仅当时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为. (3) 小问详解： 略 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．A 2．A 3．A 4．D 5．C 6．ABD 7．A 8．BCD 9．B 10．ABD 11．A 12．B 13．D 14．BC 15．B 16．AC 17．ACD 18．D 19．B 20．BC 21．AD 22．C 23．ACD 24．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. (1) 小问详解： 设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此 ，解得，， 所以二次函数的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）移项作差把分式不等式转化成一元二次不等式，解不等式即可； （2）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则计算即得答案. (1) 小问详解： 由移项得：， 通分：， 等价于：， 因此，不等式的解为：， 集合 . (2) 小问详解： 由因式分解得：， 不等式的解集为：， 所以集合 ； 由，得：； 所以. 26．【答案】①     ② 【分析】 由题意确定的两根求得，即可求解. 【详解】 由题意方程，有两根， 所以 ，解得：，所以， 所以即为：， 即， 即， 所以解集为：， 故答案为：， 27．【答案】（1）     （2）当时，，； 当时，，； 当时，，；      【分析】 （1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. (1) 小问详解： 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 28．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）由题设条件可得，故只需利用二次函数的单调性求其最小值即可； （2）通过等价转化，将题设不等式转化成在上恒成立问题，通过二次函数在给定区间上的单调性可得，即得参数范围； （3）将不等式整理后分解因式得到，根据实数的取值进行分类，分别求解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，因，使得，则， 由，可得， 故实数a的取值范围是 (2) 小问详解： 由可得，因，故可得， 依题意，对于，恒成立，即恒成立， 因函数在上单调递增，则，，故可得. 即实数m的取值范围是. (3) 小问详解： 由等价于，即（*） ① 当时，（*）等价于. 若，则，不等式的解为或； 若，不等式化为，不等式的解为； 若，则，不等式的解为或； ② 当时，不等式化为，不等式的解为； ③ 当时，（*）等价于，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 29．【答案】（1）减区间是，增区间     （2）最大值是，最小值是      【分析】 （1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）根据二次函数的对称轴求函数在区间上的最值即可. (1) 小问详解： ， 所以函数是开口向上的抛物线，对称轴是， 所以减区间是，增区间. (2) 小问详解： 因为函数是开口向上的抛物线且对称轴， 所以该函数在区间的最小值是， 又因为，所以， 所以函数在区间的最大值是， 综上，函数在区间的最大值是，最小值是. 30．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）由解出，求解一元二次不等式即可求解； （2）分和两种情况讨论，进而求解. (1) 小问详解： 由题意有：是方程的解，所以， 所以， 又由，解得或， 所以或； (2) 小问详解： 由，所以对任意实数都成立， 当时， 由，即，不满足任意实数都成立， 当时，由 ，解得， 综上所述的取值范围是. 31．【答案】（1），使得     （2）     （3）当时，取得最小值为，无最大值；当时，没有最值.      【分析】 （1）根据全称命题的否定是特称命题，直接书写即可； （2）根据命题是真命题，不等式恒成立求解参数范围； （3）根据命题是假命题，可知，根据基本不等式求解最值. (1) 小问详解： ，使得. (2) 小问详解： 因为不等式恒成立. 当时，，不满足不等式恒成立 当时，恒成立需满足 ，解得， 所以. (3) 小问详解： 若为假命题，则， 当时，由基本不等式，，当且仅当，即时， 取得最小值为 当或时，，故不存在最大值； 当时，由基本不等式，， 当且仅当等号成立，在范围内无解，故没有最大值. 当时，，故不存在最小值； 综上，当时，取得最小值为，无最大值；当时，没有最值. 32．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）解一元二次不等式求解集合； （2）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （3）先参数分离，再应用基本不等式取得最小值，进而得出参数范围. (1) 小问详解： 集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. (2) 小问详解： 由，且， 得n与6为方程的两根，且， 则 ，解得， 所以. (3) 小问详解： ， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 33．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）集合元素代表是x，即求函数的定义域，求解不等式即可. （2）由是的充分不必要条件，知是的真子集，结合数轴表示集合关系，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】 （1） ，则，， . （2）由可得或，或 又是的充分不必要条件，所以是的真子集，由图像可知： 或，或， 实数的取值范围是. 【点睛】 结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，需转化为集合关系，一般根据如下规则： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 34．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将不等式转化为，令，将不等式恒成立转化为，求的最小值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. (1) 小问详解： 设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则 ，解得 ， 所以的解析式为. (2) 小问详解： ，即，可化为， 当时，恒成立，即，其中， 令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 当，即时，， 当时，函数在区间上单调递增，则， 综上 . 35．【答案】（1）；     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）分和两种情况结合二次函数性质即可求解； （2）分、和三种情况结合二次函数性质分析计算求解即可. (1) 小问详解： 不等式对一切实数恒成立，即恒成立. 当时，不等式为不恒成立，不符合； 当时，则 ，解得. 故满足题意的实数的取值范围为； (2) 小问详解： 若实数，解关于的不等式即解， 解或， 所以当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 36．【答案】 【分析】 由题意计算可得，再利用分式不等式解法计算即可得. 【详解】 由关于的不等式的解集是， 则与是方程的两根， 即有， 故，则， 即，解得， 故关于的不等式的解集是. 故答案为：. 37．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）求解二次不等式解得集合，； （2）由题可得，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，求解即可. (1) 小问详解： 由题意可得或，当时，， 故， 故． (2) 小问详解： 因为，所以， 又易知，则或，解得或， 即的取值范围为或. 38．【答案】（1）不动点为和     （2）6      【分析】 （1）根据不动点的定义，解方程，可得答案； （2）根据题意，即为方程有两个不相等的正实数根，解得的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得的最小值. (1) 小问详解： 由题意知：， ， ， 解得，， 所以二次函数的不动点为和． (2) 小问详解： 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以 ，解得， 所以，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6． 39．【答案】（1）;     （2）或；     （3）.      【分析】 (1)利用二次函数在区间上的单调性可判断最值； (2)解一元二次不等式即可； (3)利用二次不等式恒成立的条件来求解即可. (1) 小问详解： 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在上的最大值是和最小值是； (2) 小问详解： 当时，， 解得或， 所以不等式的解集为或； (3) 小问详解： 由， 当时，对任意实数不恒成立，故； 则由对任意实数恒成立， 可得 ， 解得， 即实数的取值构成的集合． 40．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为      【分析】 （1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． (1) 小问详解： 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. (2) 小问详解： 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足 ，即 ，解得， 所以的取值范围是． (3) 小问详解： 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为或； ③ 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 41．【答案】（1）     （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为.      【分析】 （1）直接根据对勾函数的单调性计算值域即可； （2）含参数分类讨论计算一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 时，， 由对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，，时，， 即的值域为； (2) 小问详解： 由题意， 即， 若，易得， 若，则， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为；时，不等式解集为. 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别求出各个集合，再进行混合运算即可. （2）对集合是否为空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系求解参数即可. (1) 小问详解： 若，则，， 令，解得，则 得到 (2) 小问详解： ① 当时，得到，解得，符合题意， ② 当时，即时，令，解得， 可得，得到 ，解得， 综上可得，． 43．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）通过一元二次不等式和分式不等式求解，由交集、并集、补集运算即可求解； （2）由题意集合是集合的真子集，通过和两类情况讨论即可. (1) 小问详解： ， ， 所以，， 所以或； (2) 小问详解： 由题意集合是集合的真子集， 当时，即，得，符合题意， 当时，集合是集合的真子集， 需满足 且两等号不能同时成立， 解得： ， 综上：实数的取值范围是 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意确定方程的两根为，结合韦达定理即可求解； （2）由函数为偶函数得到，再由，得，再结合二次函数单调性，求得最值即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知，且方程的两根为， 所以， 解得： 所以； (2) 小问详解： 由为偶函数可得：， 即， 又，得，即， 所以， 所以不等式恒成立， 即恒成立， ，对称轴为，开口向上，在上单调递减， 故当时，得到最小值， 由题意 解得：， 即实数的取值范围是. 45．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. (1) 小问详解： 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． (2) 小问详解： 二次函数的图象开口向下，对称轴为， ① 当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③ 当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题可得，判别式和，运算得解； （2）利用韦达定理化简，结合题意求解. (1) 小问详解： 由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且 ，解得：. (2) 小问详解： 由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为. 47．【答案】 【分析】 由一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的联系分析得的关系，从而求得的值. 【详解】 当时，由，得，不合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以函数的图象开口向下，且方程的两根为. 所以 ，化简得 ，解得. 故答案为：. 48．【答案】（1） ，.     （2）      【分析】 （1）求解一元二次不等式与分式不等式，再结合集合的交并补混合运算法则求解即可. （2）对是否是空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系建立不等式组，求解参数范围即可. (1) 小问详解： 令，解得， 则，， 令，化简得，解得，得到， 则，. (2) 小问详解： 当时，满足， 此时，解得， 当时，可得 ，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 49．【答案】（1）；     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）把代入，利用单调性求出值域. （2）分类讨论求解一元二次不等式. (1) 小问详解： 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 所以函数在上的值域为. (2) 小问详解： 不等式， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 50．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为或， ， 且，则 ，解得， 因此，实数的取值范围是. (2) 小问详解： 因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 51．【答案】或 【分析】 当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】 由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 52．【答案】（1）；     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）设出二次函数的解析式，代入，计算求解； （2）将代入，得到，按照 ，，三种情况讨论求解. (1) 小问详解： （1）设， ， 即， ； (2) 小问详解： （2）． ① 当时，， ② 当时，， ③ 当时，． 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 53．【答案】（1）     （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或.      【分析】 （1）分与讨论，结合二次函数性质即可求解； （2）根据二次不等式的解法讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，，即恒成立， 若，则不恒成立， 若，则 ， 解得. (2) 小问详解： 由题意，，即， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. 54．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）关于的不等式在上有解等价于在区间内的最小值，进而解不等式可得结果； （2）先去绝对值，进而结合二次函数的性质求解值域； （3）先去绝对值，进而由二次函数的对称轴对进行分类讨论，从而分情况求的最小值，并可得的最小值. (1) 小问详解： 关于的不等式在上有解，等价于在区间内的最小值. 是开口向下的二次函数，对称轴为. 在处取最大值：； 因为，， 所以，则在上的最小值为. 因此，即. 故. (2) 小问详解： 当时，，需分区间去绝对值： 当时，，故， 其图象开口向上，对称轴，最小值为； 端点值：，. 此区间内； 当时，，故. 其图象开口向上，对称轴，函数在上单调递增； 端点值：，， 此区间内. 综上所述， 在上的值域为. (3) 小问详解： 当时，，分区间去绝对值： 当时，，其图象开口向上，对称轴； 当时，其图象开口向上，对称轴. 分情况讨论的最小值： 情况1： 时，在取最小值：； 时，单调递减，. 因为，所以， 故，其最小值为； 情况2： 时，在取最小值：； 时，. 故，其最小值. 情况3： 时，在取最小值：； 时，在取最小值：. 因为，所以 故，其最小值为. 综上所述，的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）若，则下列正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知，则下列不等式成立的是（　　） A.  B.  C.  D. （） 7．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·重庆名校联盟·一模）已知，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）（多选）若，，，则下列不等式推理正确的是（     ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）若，，，，则下列说法正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）（多选）若实数满足，则下列不等式一定成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（       ）更合算. A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 14．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）（多选）设，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知，则是的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）（多选）已知，则下列不等关系一定成立的有（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知，以下选项能判断出的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知实数满足，则的取值范围是　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）若，则（       ） A. 有最小值5 B. 有最大值5 C. 有最小值4 D. 有最大值4 2．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 4．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A.  有最小值为 B. 有最小值为 C.  有最小值为 D. 有最大值为 5．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D. 5 6．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 7．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）当时，不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 9．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知，满足，则的最小值是（    ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知，且，则的最小值是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 12．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）（多选）设正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 13．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “且”是“”的充要条件 C. 某文具店搞活动，1个笔记本与2支圆珠笔价格之和大于6元，而2个笔记本与1支圆珠笔价格之和小于4元，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低 D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠 15．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 16．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知正实数满足，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 17．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）已知正数，则下列不等式中恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为2 19．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）（多选）如图所示，矩形ABCD（）的周长为12，把它沿BD翻折，翻折后交AD于点P，设，下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 面积的最小值为 D. 的最大值为 20．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）若正数满足，则的最小值为　　　　　　　　，此时　　　　　　　　． 21．（2026·重庆名校联盟·一模）已知，，则的最大值是　　　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计）    （1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？ 23．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）设函数. ① 当时，在区间上的最小值为　　　　　　； ② 若在区间上存在最小值，则满足条件的一个的值为　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）已知函数. （1）若，求的最小值. （2）若恒成立. ①求证：； ②若，且恒成立，求的取值范围. 25．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若满足，则的最大值是　　　　　　，的最小值是　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于　　　　　　　　． 27．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）n元不等式：当时，，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立，特别地当时，即：称为基本不等式，结合以上信息，解决下列问题： （1）当且时，求最小值； （2）当时，求最大值； （3）当且时，证明：． 28．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是　　　　　. 29．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为　　　　　　，若实数，则的最小值为　　　　　　． 30．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 31．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）“”是“”的（     ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　） A.  B. 0 C.  D. 2 6．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集是，则（       ） A.  B.  C.  D. 不等式的解集是或 7．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）“”是“函数在内单调递增”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 8．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  的解集为 D.  的最大值为 1 9．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）不等式的解集是（       ） A. 或 B.  或 C.  或 D. 或 10．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）函数，的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 15．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 16．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域是 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 17．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则且 D. 若，则关于的不等式的解集为或 18．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（       ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 19．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 21．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 22．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若对任意成立，则（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 24．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知二次函数满足：，． （1）求二次函数的解析式； （2）求不等式的解集． 25．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知集合 （1）求集合A； （2）． 26．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）若不等式的解集为，则　　　　；不等式的解集为　　　　 27．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 28．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）设． （1）当时，，使得，求实数a的取值范围； （2）若对于,恒成立，求实数m的取值范围． （3）解关于x的不等式． 29．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知函数. （1）求该函数的单调性； （2）求该函数在区间上的最值（用表示）. 30．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知集合，集合 （1）若，求集合. （2）若集合，求的取值范围. 31．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）命题：，使得恒成立. （1）写出. （2）若命题是真命题，求的取值范围. （3）若命题是假命题，求的最值. 32．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）已知集合（m为实数）. （1）求； （2）若，求的值； （3）若对于，都有，求实数的取值范围. 33．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知集合，. （1）求集合； （2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 34．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知二次函数的图象经过三点. （1）求的解析式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值. 35．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若实数，解关于的不等式. 36．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　　　　　． 37．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 38．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值． 39．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值构成的集合． 40．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 41．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）当时，解关于的不等式. 42．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 43．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知集合，. （1）求，； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 44．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若是偶函数且，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 45．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）已知函数，其中. （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值. 46．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）已知是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若均为正根，求实数的取值范围； （2）求使的值为整数的的整数值； 47．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）若关于的不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知全集为，集合． （1）求和； （2）若，求的取值范围． 49．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）解不等式. 50．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 51．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为　　　　　　　　　　　. 52．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求关于的不等式的解集． 53．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知，． （1）当时，不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围； （2）当时，讨论关于的不等式的解集． 54．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数. （1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）当，时，求在上的值域； （3）当时，设，记的最小值为，求的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $