精品解析：重庆西藏中学2025-2026学年上学期期中考试高一数学试题

重庆西藏中学校2025-2026学年度上期半期考试 高一年级（ ） 数学试题卷 时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒙琳 审题人：曾刚 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“有意义”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 6. 用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为 A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 7. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 已知是一次函数，且,则 D. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正数满足，则的最小值为________，此时________． 13. 已知集合，且，则_________． 14. 函数的单调递增区间是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）求在上的值域． 17. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 18. 以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且．每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 19. 设． （1）当时，，使得，求实数a的取值范围； （2）若对于,恒成立，求实数m的取值范围． （3）解关于x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学校2025-2026学年度上期半期考试 高一年级（ ） 数学试题卷 时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒙琳 审题人：曾刚 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得集合，再求交集即得. 【详解】由可得，解得，即， 因故. 故选：D. 3. 若，则“”是“有意义”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解得，即可判断. 【详解】由有意义可知：， 故“”是“有意义”的充要条件， 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据范围代入解析式即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 5. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据图知阴影部分为，解一元二次不等式求集合，应用集合的并集、补集运算求集合，再根据其中元素个数求出其真子集个数即可. 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为， 所以，则， 所以其真子集的个数为. 故选：B 6. 用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为 A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意，所以，故选B． 考点：新定义问题，分段函数． 7. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知，满足，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，代入后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质可得AC正确；举反例可得BD错误； 【详解】选项，由不等式乘法性质知 正确，故A正确； 选项， 时不成立，故 错误； C选项，由不等式的平方性质知 正确，故C正确； 选项， 时不成立，故 错误； 故选： AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 已知是一次函数，且,则 D. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据函数有意义，求解分式不等式即得；对于B，利用抽象函数的定义域的求法即得；对于C，利用待定系数法即可求得函数解析式进行判断；对于D，利用三个二次的关系，先由条件求出参数之间的数量关系，代入所求不等式消参后求解一元二次不等式即得. 【详解】对于A，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，即， 要求的定义域，需使，解得， 即的定义域为，故B正确； 对于C，依题意，设，则， 即得，解得，故函数解析式为，故C正确； 对于D，由题意，关于x的方程有两根为和3，且， 则，即， 于是不等式等价于， 因，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正数满足，则的最小值为________，此时________． 【答案】 ①. 72 ②. 【解析】 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】根据题意可得， 当且仅当得，即，时，等号成立． 故答案为：72； 13. 已知集合，且，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果． 【详解】解：集合，，，且， 或， 解得，或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意． 综上，． 故答案为：. 14. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数有意义，则：， 求解关于实数的不等式可得函数的定义域为：， 二次函数开口向下，对称轴为， 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间是. 点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），，或，. （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：当时，，， 所以，， 或，或. 【小问2详解】 解：因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以 当时，,即，此不等式无解，故不成立； 当时，，解不等式得， 当时，此时有，不满足真包含于，舍去 综上，实数的取值范围 16. 已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）求在上的值域． 【答案】（1） （2） ， ． 任取，且， 则 ， ，，，，则，， ，即， 在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）对进行变形后换元即可； （2）先求出解析式，再运用单调性的定义证明； （3）根据函数的单调性求出在上的值域． 【小问1详解】 ，把替换为，则， 的解析式为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 在上的值域为． 17. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 【答案】（1） （2）当时，，； 当时，，； 当时，，； 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【小问1详解】 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 18. 以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且．每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合已知函数模型得出分段函数关系式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式，分析分段函数在每段的最大值，再比较函数在每段的最大值的大小关系得出函数最大值，从而求解． 【小问1详解】 固定成本万元，每百台高级设备售价为万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，， 当时，， 当时，， ． 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，即时取等号， ，， 当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 19. 设． （1）当时，，使得，求实数a的取值范围； （2）若对于,恒成立，求实数m的取值范围． （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题设条件可得，故只需利用二次函数的单调性求其最小值即可； （2）通过等价转化，将题设不等式转化成在上恒成立问题，通过二次函数在给定区间上的单调性可得，即得参数范围； （3）将不等式整理后分解因式得到，根据实数的取值进行分类，分别求解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，因，使得，则， 由，可得， 故实数a的取值范围是 【小问2详解】 由可得，因，故可得， 依题意，对于，恒成立，即恒成立， 因函数在上单调递增，则，，故可得. 即实数m的取值范围是. 【小问3详解】 由等价于，即（*） ① 当时，（*）等价于. 若，则，不等式的解为或； 若，不等式化为，不等式的解为； 若，则，不等式的解为或； ② 当时，不等式化为，不等式的解为； ③ 当时，（*）等价于，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $