专题05 函数的基本性质（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期

专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）函数的图象是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 将函数分段表示出，再直接判断即可. 【详解】 依题意， ，因此函数的图象为选项D. 故选：D 2．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）下列函数为奇函数且在上单调递减的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用熟悉函数的奇偶性和单调性来作出判断，对于C则举反例分析. 【详解】 由奇函数，结合绝对值的意义，可排除B， 由在上单调递减，结合二次函数性质可排除A，结合一次函数的性质可确定D， 对于C，当时，，当时，， 由于，所以不在上单调递减，故C错误； 故选：D 3．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】 依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 4．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断. 【详解】 因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故CD错误； 因为当时，，故A错误，B正确； 故选：B 5．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用定义域与奇偶性判断即可. 【详解】 因为函数的定义域为，又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称， 而选项B,C,D的定义域不是，故只有A选项符合条件. 故选：A 6．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）（多选）函数在以下哪些区间上单调递增（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 由二次函数图像性质即可得解. 【详解】 因为函数，图像开口向上，对称轴为直线 所以函数在上单调递增. 所以函数在和上均单调递增. 故选：BC 7．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为 A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 【答案】B 【详解】试题分析：由题意 ，所以，故选B． 考点：新定义问题，分段函数． 8．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）函数的图象大致为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】 由函数的解析式得：，则函数为偶函数，其图象关于坐标轴对称，B、D错误； 当时，， D错误. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立．若不等式在恒成立，则实数a的最大值是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【分析】 由题设可得为上的增函数，故可得到，求出左边最小值即可. 【详解】 不妨设，又， ，即，在上单调递增， 若不等式在恒成立， 则在恒成立，因为，等号成立 则. 故选：A. 10．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 对选项逐一分析函数的定义域、奇偶性和单调性，由此选出正确选项. 【详解】 对于A，函数在定义域R上单调递增，故A错误； 对于B，函数在和上单调递增，故B错误； 对于C，在定义域R上是奇函数且单调递减，故C正确； 对于D，在R上是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 11．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断的奇偶性可排除A和B，再分析时的符号可排除C，从而可得正确选项. 【详解】 由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 12．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】 对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 13．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】 若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 14．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）函数f(x)＝x2－2|x|的图像是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先对原函数式化成分段函数的形式，再利用二次函数的图像判断即可 【详解】 解：由f(x)＝x2－2|x|，得 ， 当时，开口向上，对称轴为直线，顶点为 当时，开口向上，对称轴为直线，顶点为 所以只有选项C满足， 故选：C. 【点睛】 此题考查了分段函数的图像，属于基础题. 15．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一函数且在定义域内单调的是（     ） A.  B.  C. ，（） D.  【答案】CD 【分析】 利用函数的三要素及单调性一一分析选项即可. 【详解】 对于A，两函数定义域为R，但显然不恒成立，即A不正确； 对于B，两函数定义域均为，且， 两函数均在和上单调递增，但非整个定义域内单调， 不符合题意，即B错误； 对于C，易知， 且定义域上单调递减，与的定义域和表达式均相同，故为同一函数，符合题意，即C正确； 对于D，由可得，即的定义域为， 而 可得，即的定义域为，两函数定义域相同， 可知，即两函数为同一函数， 易知在单调递增，所以与定义域内均单调，故D正确. 故选：CD 16．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）函数的值域为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数单调性和定义域，判断函数值域即可. 【详解】 由题意可知函数定义域为，即定义域， 可知在定义域上单调递增，可知，所以． 故选：B. 17．（2026·重庆名校联盟·一模）若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的定义域及其单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】 由题意 ，则 ，可得. 故选：C 18．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知函数 ，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】 因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 19．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）下列函数在区间上单调递增且为奇函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用奇偶的定义逐项判断每个函数的奇偶性，利用函数的解析式可判断每个函数的单调性. 【详解】 对于A，令，定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又在区间上单调递减，故A错误； 对于B，令，定义域为， 又，所以函数为偶函数， 又在区间上单调递增，故B错误； 对于C，令，定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又在区间上单调递减，故C错误； 对于D，令，定义域为， 又，所以函数为奇函数， 当时，，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合函数图像，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】 对于A，函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，故排除A； 对于B，函数的定义域为，故排除B； 对于D，恒成立，当且仅当时等号成立，故排除D. 故选：C. 21．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知是定义域在上的奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（       ） A. 当时， B.  C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BCD 【分析】 由得到，即可求得，判断A选项；由奇函数的定义即函数在上的解析式即可求得，判断B选项；由函数在上的解析式证明函数在的单调性，结合函数的奇偶性即可得到函数在的单调性，判断C选项；由定义可知，得到函数在上的值域，由函数的奇偶性得到函数在上的值域，判断D选项. 【详解】 ∵当时，，∴，A选项错误； ，B选项正确； ，当时，，所以函数在上单调递增， ∵函数为奇函数，∴函数在上单调递增， ∴函数在上单调递增，C选项正确； 由题意可知，∴，即当时，， ∴当时，， ∴的值域是，D选项正确. 故选：BCD. 22．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知定义在上的偶函数满足对且都有，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先得到的单调性，且，从而分和两种情况，解不等式，求出答案. 【详解】 对且，都有，故在上单调递减， 为定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，故， 当时，，故， 所以不等式的解集为. 故选：B 23．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由为偶函数，可得函数关于对称，再根据函数的单调性及列出不等式，解之即可. 【详解】 因为为偶函数，所以函数关于对称， 又因为函数在上单调递增，且， 则不等式，等价于，解得， 所以的解集是. 故选：B. 24．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（       ） A. 存在实数，使得是奇函数 B. ，当时，都有成立 C. ，当时， D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 当时，根据奇偶性的定义即可判断A；分和两种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的单调性，即可判断BC；令，结合函数的单调性和奇偶性，解不等式即可判断D. 【详解】 对于A，当时，， 则，所以是奇函数， 所以存在，使得是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上， 且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数在上单调递增， 所以，当时，都有成立，故B正确； 对于C，由B选项知，函数在上单调递增， 所以不存在，使得，所以C不正确； 对于D，令， 由A选项知，函数为奇函数， 由B选项知，函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 由， 得， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 25．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若函数 在上是单调递增函数，则的取值集合是（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分情况讨论函数在各段区间上的单调性，结合函数在上单调，列不等式，解不等式即可. 【详解】 由已知，当时，， 又函数在上是单调递增函数，则，即； 当，， 由函数在上单调递增可知， ，解得， 综上所述，， 故选：B. 26．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选） ，则下列结论正确的是 （       ） A. 是奇函数 B. 当 时， 恒成立 C. 值域为 D. 若 ，且 ，则 【答案】BCD 【分析】 应用奇偶性定义判断A；在上，利用作差法即可求解B，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断C；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断D. 【详解】 的定义域为，关于原点对称， ， 则，故不是奇函数，A错误， 当时，由，故，B正确， 令，则或，则， 由于对勾函数在单调递增，此时，在单调递增，此时，故，或， 故值域为 ，C正确， 由， 若且， 所以，故，当且仅当，时等号成立，故D正确， 故选：BCD 27．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】 因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或 或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 28．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 29．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据幂函数的定义和奇偶性确定函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】 因是幂函数，则，解得或， 当时，，其定义域为，且为奇函数，故舍去； 当时，是上的偶函数，符合题意. 则，其图象对称轴为直线， 由该函数在区间上单调递减，可得，解得. 故选：C. 30．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）（多选）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（       ） A.  B. 若，则 C. 若 D. ，使得 【答案】ACD 【分析】 由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】 由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增， 所以在上单调递减. 对于A，所以，故A对， 对于B，若，则，所以，解得，故B错， 对于C，若，则 或 ， 因为，所以 或 ， 解得或，故C正确， 对于D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以， 所以对，只需即可，故D正确. 故选：ACD. 31．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，根据奇偶性的定义，可得为奇函数，根据二次函数性质，可得的单调性，将条件变形为，根据的单调性，可得，设，分析可得或，化简计算，即可得答案. 【详解】 设，， 则，所以为奇函数， 当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，则在上也单调递增， 由， 可得， 即， 因为单调递增， 所以，即， 设，则存在，使成立， 所以只需或，即或， 解得，则实数的取值范围是. 故选：C 32．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数 ，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的单调性列不等式，求解的范围即可. 【详解】 由题意，在R上单调递增， 则 ，解得， 故选：B. 33．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）设是上的奇函数，且在上单调递增，又，则不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 由为上的奇函数，且在上单调递增，，可得在上单调递增，且，再分类讨论，根据单调性解不等式即可． 【详解】 因为为上的奇函数，且在上单调递增，， 所以在上单调递增，且， 时，，可得， 时，，可得， 综上，不等式的解集是或． 故选：B． 34．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 利用基本不等式可得，由条件可知即求. 【详解】 ∵， ∴， 当且仅当即取等号， 由恒成立， ∴， ∴. 故选：B. 35．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知函数是定义域在R上的偶函数，且在区间上单调递减，，则不等式的解为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得在上的单调性，再分类讨论与两种情况，结合的单调性即可求得答案. 【详解】 因为函数是定义域在R上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以在上单调递增， 又，则， 当时，不等式等价于，解得； 当时，不等式等价于，解得． 综上所述，不等式的解集为． 故选：D． 36．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据偶函数性质得，然后利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 因为为上的偶函数，，所以， 又当时，单调递减，所以当时，单调递增， 又，所以，即 ，解得或. 故选：B. 37．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，，则（       ） A.  B.  C. 为减函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【分析】 由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【详解】 因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 38．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知关于x的不等式的解集为，则的最小值为（       ） A. 6 B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】 利用不等式的解集可得，是方程的两个根，进而可得，进而利用对勾函数的单调性可求最小值. 【详解】 由题中条件可知，，是方程的两个根， 则，，所以， 设，令，可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，则的最小值为． 故选：C． 39．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）（多选）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 根据函数解析式判断其奇偶性与单调性，从而得解. 【详解】 对于A，的定义域是，定义域关于原点对称， ，故不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域是，定义域关于原点不对称，故不是奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 在区间上，单调递减，则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 当时，，在区间上单调递增，故D正确. 故选：CD. 40．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】 因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则 ，即： ，所以， 或 ，即： ，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 41．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先根据函数的奇偶性排除B、C选项，再根据当时，函数值的正负排除D选项，进而得到答案即可. 【详解】 已知函数的定义域为， 由于，可知为奇函数， 即得函数也为奇函数，因此图像应关于原点对称，故排除B、C选项； 又因当时，，得：，故排除D选项. 综上可得：A为正确选项. 故选：A 42．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）定义 .设函数，：记函数，且函数在区间上的值域为，则的最大值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据取大函数的定义，结合一次函数、二次函数的图象与性质，数形结合计算即可. 【详解】 令，解之得或，作出大致图象如下： 令或， 结合图象可知，若函数在区间上的值域为可知， 所以的最大值为. 故选：C 43．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）设函数的定义域为，则“是奇函数”是“对任意，都有”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 通过举反例证明充分性不成立，利用赋值法结合奇函数定义证明必要性成立. 【详解】 若，其为奇函数， 但， 故其充分性不成立； 若对任意，都有， 令，则； 令，则， 即是奇函数，故其必要性成立； 综上可知“是奇函数”是“对任意，都有”的必要不充分条件. 故选：B. 44．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）（多选）下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的有（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】 对于A选项，函数的定义域为， ，即为奇函数， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上单调递增，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 且该函数在上单调递增，B满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，，故函数在上单调递减，C不满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，，故函数在上单调递增，D满足要求. 故选：BD. 45．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）若函数是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由奇函数的性质可得出在上的单调性，及函数值的正负，然后分类求解即可． 【详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 在区间上单调递增，且， 故可知在区间上单调递增，且； 故：当时，， 当时，： 当时，或； 当时，或此情况无解． 综上， 故选：C. 46．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）对任意两个实数，定义 ，若，则下列关于函数的说法正确的有（       ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个不同的解 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】 根据函数新定义有 ，再应用奇偶性定义、方程法判断函数的奇偶性和零点个数，由解析式及二次函数的性质的判定区间单调性. 【详解】 当时，， 当或时，， 综上， ， 当，则，显然， 当，则，显然， 综上，为偶函数，A对， 令，则或时，时， 所以方程有三个不同的解，B对， 在上，显然不单调，C错， 在上，，时，又图象连续，显然单调递减，D对. 故选：ABD 47．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知函数 的值域为，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由函数值域和时，，得到时， ，求解即可. 【详解】 当时，，又函数的值域为， 可得当时，， 需满足单调递增，且，得到 ，解得， 即实数的取值范围是， 故选：D 48．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先判断函数的单调性和奇偶性，利用这些性质，将不等式等价转化成一元一次不等式求解即得. 【详解】 对于，定义域为，因函数和均为增函数， 所以在R上为增函数； 又，即函数为奇函数， 则由， 可得，解得. 故选：B. 49．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数的定义域为，且，当时，单调递增，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据条件判断函数图象关于直线对称，利用在上的单调性判断其在上的单调性，再根据函数单调性判断函数值大小即可. 【详解】 因函数的定义域为，且， 则函数关于直线对称，又当时，单调递增， 故时，单调递减，由对称性可知， 因，故， 即. 故选：C. 50．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数是偶函数，其中，，则的最大值是（     ） A. 0 B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 利用偶函数的定义推得，代入消元后，利用二次函数的单调性求其最大值即可. 【详解】 因函数是偶函数， 则，整理得， 因不恒为0，则，即， 则. 故当 时，的最大值是. 故选：B. 51．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图像的定义域、奇偶性进行判断即可. 【详解】 由图像可知函数为奇函数，而选项B的函数很显然是偶函数，所以B错误； 而选项A中，，所以A错误； 图像显示该函数的定义域为，而选项C中，所以C错误； 故选：D. 52．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】 由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增， 又对任意的恒成立 ，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A． 53．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知 ，若有最小值，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分情况讨论和两种情况时，函数的每段解析式的单调性与最值情况，即可求解 【详解】 ① 当时， 当时，单调递增，此时； 当单调递减；单调递增， 故时，的最小值为，故若有最小值，则； ② 当时， 当，单调递减，此时； 当时,单调递增，此时， 故若有最小值，则，解得, 综上实数a的取值范围是 故选：C. 54．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）（多选）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（       ） A.  B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】 由高斯函数的定义逐一判断即可. 【详解】 对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确； 对B，若，则，而表示不大于x的最大整数， 则，即，故B正确； 对C，函数，当时，，故C错误； 对D，函数 ， 即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 55．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）若函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，由已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 因为在上单调递减， 根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值， 可得 ， 解得. 故选：C. 56．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若，且，则（       ） A. -2 B. -1 C.  D. 0 【答案】A 【分析】 利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】 令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 57．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】 因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则 ，解得， 即实数a的取值范围为． 58．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（       ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 当时，有三个不同的值与之对应 D. 当时， 【答案】B 【分析】 结合图象根据函数基本性质，逐一判断定义域，值域，对应关系以及单调性即可. 【详解】 由题图可知，当时，；当时，； 故的定义域为，故A选项错误. 的值域为，故B选项正确. 当时，有2个不同的值与之对应， 故C选项错误. 因为函数在上单调递减， 所以时，不妨设， 则，则， 故D选项错误. 故选B. 59．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】 ，定义域为， 所以， 所以，所以为奇函数， 在上单调递增，在上单调递增， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 存在实数a，b（）同时满足，故，且. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故选：. 60．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知函数 是上的减函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分段函数的单调性需要分段分析，特别注意分段点处的衔接. 【详解】 因为函数 是上的减函数， 所以函数与均是减函数，且， 即 ，解得. 故选：C. 61．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，分析函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式. 【详解】 因为，且、，， 所以. 设，则，、且， 所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数，所以为偶函数，且定义域为. 所以在上单调递减. 因为，即，且. 由. 当时，即； 当时，即. 所以不等式的解集为. 故选：D 62．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）（多选）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（     ） A. 为奇函数 B. 当时， C. 在单调递减 D. 当时， 【答案】ACD 【分析】 利用赋值法结合抽象函数的性质一一分析选项即可. 【详解】 对于A，令，则， 令，则， 再令，则，即A正确； 对于B，令，则有，即时，， 结合奇函数性质知时，，即B错误； 对于C，取，令，则 由上知时，，则， 所以，则在单调递减，故C正确； 对于D，取，则有， 若，显然，故D正确； 故选：ACD 63．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知正数，满足，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 因正数，满足，故 ，解得：， 因为，设，则，且. 则， 由于，可得：，即. 故选：D 64．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）（多选）若函数的定义域为，且对任意，总存在，使得成立，则称具有性质．下列说法正确的有（　　） A. 函数不具有性质 B. 函数不具有性质 C. 函数一定具有性质 D. 函数一定具有性质 【答案】ACD 【分析】 选项A，直接利用定义求解即可；选项B，直接利用定义求解即可； 选项C，当时，作出的图象，根据定义判断即可；选项D，先将函数写出分段函数，分别按照，，三种情况讨论求解. 【详解】 选项A，且，不具有性质,故A错误. 函数具有性质的图象特征: 对于图象上任意一点，在这个点的左边的图象上存在函数值比这个点的函数值小的点； 或者在这个点的右边的图像上存在函数值比这个点函数值大的点. 选项B，观察的图象，易知它具有性质,故B错误. 选项C，当时，作出的图象，易知它具有性质，故C正确. 选项D， ，分离常数得 ， ① 当，在单调递增，在单调递增， 为连续函数，则在上单调递增，具有性质. ② 当， ，结合图象可知具有性质. ③ 当，在单调递减，当 在单调递增．当. 而成立． 对任意，若，由于函数在上单调递增，可取，则有 若，则，由于函数在上的值域为，且. 故总能找到使得，此时，亦有. 综上，此情况下函数具有性质．故D正确. 故选：ACD. 65．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】 由题意可得，， 故当或时，， 当时，， 故当或时，， 当时，， 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，， 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B. 66．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）（多选）已知函数满足：①的定义域为；②对，都有；③时，．则以下说法正确的是（     ） A.  B. 若，则 C. 在上单调递减 D. 若，且，则 【答案】ABD 【分析】 对于，取即可求得判断A项；先后赋值和即可判断B项；先利用条件证明对于，恒有，再利用函数的单调性定义，可证得在上单调递增排除C项；利用条件和单调性，放缩即可证得结论判断D. 【详解】 对于A，在中，取，则， 因为时，，则，故，即A正确； 对于B，在中，取，则， 再取，则，故B正确； 对于C，任取，则，，在中，取，可得， 即，即对于，恒有. 任取，且，则，， 因， 则，故在上单调递增，故C错误； 对于D，由可得，由上知在上单调递增，可得， 则，故，即D正确. 故选：ABD 67．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知函数的定义域为，对，满足，且有为奇函数，，那么的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先由得到函数的单调性，再由为奇函数得到函数的对称性，然后由单调性和对称性解抽象函数不等式可得. 【详解】 因为对，满足，即同号， 所以由单调性的定义可得在上为单调递增函数， 又为奇函数，则，即，即图象关于点对称，且， 所以在上也单调递增，则在R上单调递增， 因为，由对称性可得， 所以， 所以，解得. 故选：A. 68．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）（多选）设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（     ） A.  B. 为增函数 C.  D. 关于的不等式，的解集为 【答案】ACD 【分析】 利用赋值法求出判断A，根据函数单调性的定义及函数性质证明单调性判断B，令后，再利用赋值法求出即可判断C，根据C化简不等式后，换元解不等式，再由函数单调性求解即可判断D. 【详解】 令，可得，得，再令，可得，解得，故A正确； 设，因为，所以，令，则，因为，所以，因为当时，，所以，即，所以为减函数，故B错误； 令可得，令可得， 由，可得，所以，故C正确； 由C，可化为，令， 则不等式可化为，解得，即， 因为为减函数，，所以由 可得，即，解得，故D正确. 故选：ACD 69．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 观察可发现为奇函数，所以将变形为，然后结合函数单调性解不等式即可 【详解】 令，， 所以为奇函数，不等式， 等价于， 即，因为为奇函数， 所以， 因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数， 则，解得： 故选：B 【点睛】 题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题 70．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件: ①对任意的，都有恒成立 ② ③是偶函数 若，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的单调性，对称性及周期性综合判断函数值的大小可得. 【详解】 由①知，时，即，所以，所以在上单调递增； 由②知，函数的一个周期为3； 由③是偶函数，所以， 以代替得，，即函数的图象关于对称. 因，再由对称性得， 再由周期性，即. ，. 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 故选：C. 71．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 函数，若不等式对恒成立，则 D. 若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】 A，通过函数单调性和奇偶性得到，即可求解，B，通过换元，，结合一元二次函数即可求解，C，将不等式转换成，结合基本不等式即可求解，D，通过判别式和韦达定理即可求解. 【详解】 对于A，因为定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，所以在上单调递增，且， 所以当，则，， 又因为对恒成立，故 ，故A对； 对于B，， 因为时，令， 则，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以值域为，B正确， 对于C，当时，，所以， 又因为，所以 ， 故若不等式对恒成立对恒成立， 又 当且仅当即时等号成立， 所以即范围为，故C对； 对于D，首先， 设方程的两根为，则 ， 所以 ，又，解得或．D错， 故选：ABC 72．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（       ） A. 若为的“完美区间”，则 B. 函数存在“完美区间” C. 二次函数存在“2倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【分析】 分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误. 【详解】 对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增， 所以其值域为，又因为为的完美区间， 所以，解得或，因为，所以，A错误； 对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则 ，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确； 对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， ，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确. 对于D，的定义域为，假设函数 存在“完美区间”， 若，由函数在内单调递减，则 ，解得； 若，由函数在内单调递增，则 ，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】 抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组. 73．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）已知在上有意义，单调递增且满足. （1）求证：； （2）求的值； （3）求不等式的的解集. 【答案】（1） ∵,令， ∴＝． 即.     （2） 0     （3）       【分析】 (1) 令代入可得； (2) 令得可得； (3) 令，得，利用函数的单调性及定义域列出不等式组从而解得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ＝＝， ∴， (3) 小问详解： ∵，， 所以， 且函数 在上单调递增， ∴ ，解得. 所以不等式的解集为. 74．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）函数的单调减区间为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解. 【详解】 函数是由函数和组成的复合函数， ，解得或， 函数的定义域是或， 因为函数在单调递减，在单调递增， 而在上单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 故答案为：. 75．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    （1）求的值； （2）试补全其图像； （3）并比较与的大小． 【答案】（1）     （2）      （3）      【分析】 （1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. (1) 小问详解： 为定义在上的奇函数，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 76．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】函数有意义，则：， 求解关于实数的不等式可得函数的定义域为：， 二次函数开口向下，对称轴为， 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间是. 点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 77．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）函数的单调递减区间是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】 由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 78．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知 （1）求的最小值 （2）求的最小值. （3）设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用基本不等式直接求积的最大值即可； （2）利用消元思想，再转化为基本不等式求最小值； （3）利用消元思想，再转化基本不等式求最小值，然后利用题意分离参变量，再利用函数单调性求最小值，从而可得参数范围. (1) 小问详解： ， 当且仅当时取等号, 所以的最小值为； (2) 小问详解： 由，， 则 ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为； (3) 小问详解： 依题意，，由， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， ，总存在，使得， 即存在在的值， 而函数在区间上单调递减，上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围. 79．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【详解】试题分析：∵是定义在上的奇函数，∴当时，， 而，当些仅当时，“=”成立，∴当时，要使恒成立，只需或，又∵时，，∴， 综上，故实数的取值范围是. 考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法. 80．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1），     （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. (1) 小问详解： 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 81．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】. 【详解】 由题意得，当时，函数，满足题意， 当时，则 ，解得， 综合得所求实数的取值范围为. 故答案为：. 82．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数. 【答案】（1） ；     （2）证明：，且， 则 ， 因为，所以， 故，即， 所以函数在上单调递增.      【分析】 （1）设时，则，根据已知解析式和奇偶性可得时的解析式，再由奇函数性质可知，然后可得在上的解析式； （2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证. (1) 小问详解： 设时，则，所以， 因为为奇函数，所以， 又，所以函数在上的解析式为 . (2) 小问详解： 略. 83．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知偶函数，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用偶函数的定义计算即可. 【详解】 由题意知， 所以， 所以. 故答案为： 84．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）已知二次函数满足，． （1）求的解析式； （2），恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由待定系数法设，然后由题意可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. (1) 小问详解： 设，因，， 则，则. ，则； (2) 小问详解： ，恒成立. ， 当时取等号，故. 85．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）已知函数，且. （1）求解析式； （2）证明：函数在区间单调递增. 【答案】（1）     （2） 任取，且， .    所以，所以， 所以函数在单调递增.      【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）按单调性定义法去证明即可. (1) 小问详解： ， 且，解得. 所以函数的解析式为. (2) 小问详解： 略 86．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求a，b的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1），；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取， ， 因为，则， 则，所以，即， 故在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解； （2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可； （3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可. (1) 小问详解： ∵在为奇函数 ∴ 又∵，∴，此时， ，为奇函数满足题意. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵， ∴， 由（2）知在上单调递增， ∴ ，∴，则解集为. 87．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知二次函数的二次项系数为1，函数满足对任意，均有成立． （1）求的解析式； （2）已知函数，若对，使得成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，根据题意列方程组 即可求出，再检验即可； （2）令，求出的最大值，则问题转化为对，恒成立，再求解一元二次不等式即可求解. (1) 小问详解： 依题意可设， 则， 因，则 ，即 ，得 ， 则， 检验：， 则，符合题意， 故； (2) 小问详解： 令，则， 因在上单调递减，则， 因对，使得成立， 则对，， 即对，， 即，即，得， 则，则 ，得， 则实数t的取值范围为. 88．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）     （2） 函数为上的减函数，证明如下： 对于任意实数，令，则， 因， 则 又，则，即， 故为上的减函数；     （3）      【分析】 （1）根据求出，并利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用奇偶性和单调性求解. (1) 小问详解： 因为定义域内的奇函数，则，解得， 此时，， 又定义域为关于原点对称，则为奇函数，符合题意， 故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因是奇函数， 则可化为， 又是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为. 89．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.    （1）试求函数的解析式； （2）有同学发现，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数的图象关于点成中心对称图形. 【答案】（1）     （2） 当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则，    又，， 所以 综上所述 . 由题意只需证明为奇函数即可， 在中， 当时，，则； 当时，，则， 令 ， 所以对任意，， 即函数的图象关于点成中心对称图形.      【分析】 （1）在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论. （2）结合新定义利用奇函数的性质证明即可. (1) 小问详解： 当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，所以， 所以， 当时也符合； (2) 小问详解： 略 90．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】4050 【分析】 变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】 ， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 91．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. (1) 小问详解： ，， ，解得 ， . (2) 小问详解： 在上单调递减，证明略； (3) 小问详解： 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 92．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）画出下列函数的图象，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）      （2）      （3）      （4） 【分析】 （1）根据的图象由的图象在轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （2）根据的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （3）先画出在上的图象，再往左翻折，再根据图象可得单调区间； （4）化简，再根据的图象进行平移变换可得图象，再根据图象可得单调区间. (1) 小问详解： 的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 小问详解： 的图象由的图象轴上半部分图象不变， 轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. (3) 小问详解： 当时，，再往左翻折可得，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. (4) 小问详解： ，其图象可由图象往左平移3个单位得到的图象， 再横坐标不变纵坐标变为原来的5倍得到的图象， 再向下平移1个单位可得，可得如图： 故单调递减区间为和，无单调递增区间. 93．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知函数． （1）求的解析式； （2）试判断函数在上的单调性并利用定义给予证明． 【答案】（1）     （2） 任取， 则， ∵，则，，则， 即，∴函数在上单调递减．      【分析】 （1）根据列出方程组即可求出a、b； （2）根据函数单调性的定义判断并证明即可． (1) 小问详解： 由得 ， ∴； (2) 小问详解： 略 94．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数. （1）证明：的图象关于点成中心对称图形. （2）求图象的对称中心. （3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1） 因为， 所以， 所以的图象关于点成中心对称图形.     （2）图象的对称中心为.     （3） 8      【分析】 （1）根据题意化简即可证明. （2）化简，求出的值，即可得到该图象的对称中心. （3）先求出函数的图象关于点成中心对称图形，然后可得到，进而列出不等式，最后根据的 范围求出的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设图象的对称中心为，则 ， 所以，解得. 所以图象的对称中心为. (3) 小问详解： 由（1）（2）可知，的图象都关于点成中心对称图形， 易得函数的图象关于点成中心对称图形. 因为区间关于直线对称， 所以. 所以. 因为不等式对任意恒成立， 所以恒成立，因为，所以. 所以，即整数的最小值是8. 95．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数． （1）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围； （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （2）设，命题，”的充分不必要条件是“”；命题对；若为假命题且为真命题，求实数的取值范围 【答案】（1）选① ，；选② ，；     （2）.      【分析】 （1）选① ，分离参数得，再利用换元法并结合对勾函数单调性即可得到答案；选② ，分离参数后利用基本不等式即可得到答案； （2）首先求出当为真命题时的范围，再求其补集即可，若为真命题，则分离参数后，利用基本不等式求出右边值域，则得到的范围，最后两者取交集即可. (1) 小问详解： 选① ，若命题：“，”， 则在上能成立， 则，设，， 令，则，则，， 根据对勾函数单调性知在单调递增，在上单调递减， 又因为，，则， 则. 选② ，若命题：“，”， 则在上恒成立， 则， 因为，则 因为， 当且仅当，即时等号成立. 则. (2) 小问详解： 若命题为真命题，则集合是集合的真子集， 显然恒成立，则， 则 ，等号不能同时成立，解得， 则若命题为假命题，， 若命题对为真命题，则， 令 ， 当时，令，则，，， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 则， 综上，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为. 96．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数． （1）若函数满足关系式，求的值； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）利用得到关于直线对称，即二次函数的对称轴为，列等式即可得到答案； （2）对不等式因式分解，分为，和三种情况，结合一元二次不等式运算求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以关于直线对称， 所以，解得. 所以的值为. (2) 小问详解： 即，化简得， 当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为； 当时，，，此时不等式的解集为； 当时，，，此时不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 97．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. （2）设，解不等式：. 【答案】（1） 因为函数， 任取，设， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在上单调递减.     （2）      【分析】 （1）根据单调性的定义结合作差法分析证明即可； （2）根据函数单调性可得，解二次不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，则， 又因为在上单调递减，且， 则，解得， 所以的解集为. 98．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知函数，当时，恒成立，则的值为　　　　　　. 【答案】0 【分析】 分为与两种情况讨论，分离出参数，结合函数的单调性求解. 【详解】 当时， ，故恒成立，即恒成立， 令，因为在上均是增函数， 所以在上是增函数， 故时， ，所以， 当时，，故恒成立，即恒成立， 在上是增函数， 故时， ，（当时取等号），所以， 综上，． 故答案为：0． 100．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知函数，，其中若对任意的，存在，使得成立，则实数k的值等于　　　　　　. 【答案】 【分析】 不妨构造，可得，则原题可等价转化为的值域是的值域的子集，解不等式即可求解. 【详解】 由，令，则 而， 所以对任意的，存在，使得成立. 因为，所以在上的值域为， 函数在上的值域为， 依题意有， 故，可得，得 故答案为： 101．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知函数的定义域为． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）根据（1）（2）的结论，解不等式． 【答案】（1） 函数是定义在上的奇函数，理由如下： ，都有， 因为， 所以函数是定义在上的奇函数．     （2） 函数在上为增函数，证明如下： 设， ， 由，得， 则，即， 故函数在上为增函数．     （3）      【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可化为，即， 因为在上为增函数， 则 ，解得：， 故不等式的解集为． 102．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数．利用上述材料，则函数的对称中心为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设的对称中心为，由函数为奇函数，可得，构造方程组即可解得． 【详解】 根据题意，设的对称中心为， 由函数为奇函数，可得， 变形可得， 即， 整理得， 所以 ，解得， 所以的对称中心为． 故答案为：． 103．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 【答案】（1） 令， 则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以函数在区间上单调递减.     （2）.      【分析】 （1）令，可得，根据函数单调性定义证明即可； （2）由（1）知，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，可求得，当时，函数取得最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，函数在区间上单调递减， 又在区间上的最大值为， 即当时，函数取得最大值，即，所以， 解得， 当时，函数取得最小值，所以. 104．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据的单调性和对称性，解出不等式即可 【详解】 因为，定义域为关于原点对称，， 所以为偶函数，当时，为减函数，为减函数， 所以为减函数，所以在上单调递减， 在上单调递增； 则有不等式等价为, 即有 解得， 故答案为： 105．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数，给出下列四个结论:①函数是偶函数；②函数是增函数；③函数定义域为，区间，若任意，，都有，则在区间上单调递减；④定义域为，“对于任意，总有（为常数）”是“函数在区间上的最大值为”的必要不充分条件、其中正确结论的序号是　　　　　　. 【答案】③ ④. 【分析】 对于① ，根据函数奇偶性的定义可判断；对于② ，根据函数的单调性的定义可判断；对于③ ，根据函数的单调性的定义可判断；对于④ ，由函数的最值的定义和充分必要条件的定义可判断. 【详解】 对于① ，函数，定义域为,所以不是偶函数，故① 错误； 对于② ，函数在和上单调递减， 故② 错误； 对于③ ，任意，不妨设，因为，所以有，根据函数的单调性的定义得函数在区间上单调递减；正确， 对于④ ，“对于任意，总有 (为常数)”中，未指明“，有”，所以“函数 在区间上的最大值为”不成立，而函数 在区间上的最大值为  ，总有 (为常数) ，所以“对于任意，总有 (为常数)”是“函数 在区间上的最大值为”的必要不充分条件.故④ 正确， 故答案为：③ ④. 106．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数 ， （1）求函数的解析式； （2）若函数在R上单调，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）用换元法求解析式； （2）分析每段函数的单调性，根据的取值分类讨论可得． (1) 小问详解： 令，则， 当时，，； 当时， ，， 则 ， 故 ； (2) 小问详解： 当时， ，因时，函数为常函数， 故在R上不单调，不合题意； 当时，若，为增函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使 ，解得； 当时，若，为减函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使 ，解得. 综上，的取值范围为． 107．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为.     （2） 【分析】 （1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述， . 108．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数     （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数;     （3）      【分析】 （1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. (1) 小问详解： 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则 解得或 即实数的取值范围为. 109．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）求在上的值域． 【答案】（1）     （2） ， ． 任取，且， 则 ， ，，，，则，， ，即， 在上单调递增．     （3）．      【分析】 （1）对进行变形后换元即可； （2）先求出解析式，再运用单调性的定义证明； （3）根据函数的单调性求出在上的值域． (1) 小问详解： ，把替换为，则， 的解析式为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 在上的值域为． 110．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知为奇函数，为偶函数，且满足：． （1）求函数，的解析式； （2）判断函数在上的单调性，不需证明； （3），使得不等式成立，求m的取值范围． 【答案】（1），     （2）增函数     （3）      【分析】 （1）将换为，可得，然后结合奇偶性可解出答案； （2）利用初等函数单调性判断即可； （3）根据的单调性，原不等式等价于在有解，然后可化为，然后求出右边的最大值即可． (1) 小问详解： ∵① ∴即② 由① ② 得，； (2) 小问详解： 是增函数，是减函数， 故是上的增函数； (3) 小问详解： ∵，∴， 由（2）知在为增函数， ∴在有解，即， 令，，∴， ∴在单调递减，单调递增， ∴时最大值，∴． 111．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题目条件求出函数是周期为4的函数，再根据函数周期性和奇偶性求出的值. 【详解】 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 由为偶函数可得：， 令，则，即，函数关于直线对称， 由为奇函数可得： ， 结合，可得， 由，则，故的周期为4， 求，利用周期性， 由，令，得， 已知，则，解得，即， 求，利用周期性， 由为偶函数，令，得，故，即， 故. 故答案为： 112．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）定义 ， ． （1）用解析式表示并求的最小值； （2）证明： （3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围． 【答案】（1）1     （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边；     （3）      【分析】 （1）按，的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明即可； （3）令，，由第（2）小问知：，，然后把题意转化为，都大于等于2，对任意恒成立，可得答案. (1) 小问详解： 设，． 当或时，，故； 当时，，故． 因此， ， 的最小值为1； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意知：在[0，4]上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有． ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 113．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： （2）若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. （3）若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”；不是“H函数”，理由：对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，不满足， 故不是“H函数”.     （2）     （3）证明:由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以.      【分析】 （1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到，即可得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即， 所以实数m的取值范围为. (3) 小问详解： 略 114．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 . （1）求函数 的解析式： （2）若 ，求实数 的取值范围： （3）令 ，若对于任意的 ，以 ,, 为长度的线段都可以围成三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1）      （2）     （3）      【分析】 利用函数的奇偶性建立方程组求解即得； 利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即得； 利用两边之和大于第三边转化可得，借助于换元分类即可求得参数范围. (1) 小问详解： 因为 分别是定义在 上的奇函数和偶函数， 所以，，因 (*)， 所以，将其与(*)联立， 解得，. (2) 小问详解： 由（1）已得，令则是上的增函数， 则，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递减，上单调递增， 又因为是偶函数， 则 所以，解得. (3) 小问详解： 由题可知，， ， 为长度的线段都可以围成三角形， 则由两边之和大于第三边转化为，即， 因为， 令，因且该函数为增函数，则，， 所以，，函数的对称轴为直线， ① 当，即时，函数在上递增， 则，， 则由可得，解得，则得； ② 当，即时，函数在上递减， 则由可得，解得（与矛盾，舍）； ③ 当，即时，，此时， 而，此时，， 故显然不能恒成立. 综上可得. 115．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： （2）已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）函数图象的对称中心为，在的值域为；（ii）实数的取值范围为：，的取值范围为：．      【分析】 （1）根据函数的对称性得，赋值求得，从而得所求； （2）（i）设的对称中心为，根据对称性列方程，比较系数即可得解析式，根据复合函数单调性求解最值即可得在的值域；（ii）令，，，根据范围得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，从而得的取值范围. (1) 小问详解： 函数的定义域为，且图象关于点对称， 则函数为奇函数， 所以， 则令得，令得，即， 所以； (2) 小问详解： （i）设的对称中心为，函数为奇函数， 则恒成立， 所以 整理得，故 ，解得， 所以函数的对称中心为， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单增， 所以，故在的值域为； （ii）令，由（i）知， 令，因为在单调减，在单调递增， 且，又 则① 当时，方程有两个不等根且， 则，所以； ② 当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1， 又方程转化为 设， 由二次函数与的图象特征， 原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，， 且有两个不等根，只有一个根，则必有， 当时，结合二次函数的图象， 则有 ，解之得； 综上，实数的取值范围为：； 此时，则其根，故必有. 116．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）设，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据给定条件，按分类，结合二次函数在区间上的最小值列式求解. 【详解】 当时，对任意，，，则； 当时， ，，不符合题意； 当时，，而，恒成立， 因此 ，解得，则， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 117．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． （1）若，求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若时，，解不等式． 【答案】（1）     （2） 令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数.     （3）      【分析】 （1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. (1) 小问详解： 因为， 所以, , . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则 ， 解得. 118．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知一次函数为增函数，且满足，． （1）若函数在上最大值与最小值的差为6，求． （2）当和满足时． ①设，解关于的不等式：． ②求的最大值． 【答案】（1）     （2）① 答案见解析；②．      【分析】 （1）利用分类讨论一次函数的单调性求最值，即可得方程求解； （2）① 利用待定系数法，代入函数解析式，再利用恒等式可求解参数，然后分类讨论法来解含参的二次不等式即可； ② 利用先证明柯西不等式，再来运用柯西不等式来求最值即可. (1) 小问详解： 当时，由在上单调递增， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 当时，由在上单调递减， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 综上可得：； (2) 小问详解： ① 由一次函数为增函数，可设， 因为， 所以 ，解得 ，即， 又因为， 所以， ， 又因为，所以，此时， 则关于的不等式：， 当时，原不等式的解集为， 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， ② 由， 令，则， 先证明柯西不等式， 作差得： 即可证明恒成立，取等号条件是， 则， 由于，所以，取等号条件是，即， 此时有最大值，取最大值时的． 119．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4；     （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）.      【分析】 （1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. (1) 小问详解： 函数的图像关于点对称， 故， 令得； (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得 ，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得 ，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 120．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知函数的定义域为，对任意的a，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围. 【答案】（1） 令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时，     （2） 在上单调递减； 证明：由得， 任取，且，则， ， 由（1）可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）令，求出，当时，，根据得到即可证明； （2）由得，再根据函数单调性的定义进行判断； （3）根据函数的定义域和单调性求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，则在上单调递增，且， ， 所以原不等式可转化为，即， 由（2）可知在上单调递减， 所以， 解得或， 又，所以， 由，得， 因为在上均是减函数， 所以在上是减函数， 所以，所以. 121．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称； (ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2） (i)， ∵为奇函数，∴为奇函数， ∴函数的图象关于点对称. (ii).      【分析】 (1)根据题意∵为奇函数，∴，令x＝1即可求出； (2) (i)验证为奇函数即可； (ii))求出在区间上的值域为A，记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分，，三种情况讨论即可. (1) 小问详解： ∵为奇函数， ∴，得， 则令，得. (2) 小问详解： (i)略 (ii)在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 由对，总，使得成立知， ① 当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； ③ 当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 122．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知函数的定义域为，的定义域为.若对于任意，都存在，使得（为常数），则称是的“-伴随函数”. （1）若（），（），则是否为的“11-伴随函数”？说明理由； （2）若，. （ⅰ）当时，讨论的单调性； （ⅱ）当时，为的“-伴随函数”，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意可知是定义域上减函数， 即， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 即， 若是的“11-伴随函数”， 则，都，使得， 由上知，显然，即符合伴随函数的定义， 所以是的“11-伴随函数”；     （2）（ⅰ）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （ⅱ）      【分析】 （1）将问题化为两个函数的值域包含关系，根据反比例函数、对勾函数的性质计算即可； （2）（ⅰ）去绝对值符号，利用二次函数的性质分类讨论参数范围即可确定单调性； （ⅱ）结合（ⅰ）的讨论确定函数值域，再根据幂函数的性质，由值域的包含关系计算参数即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）易知 ， 若，即，此时在上单调递增，在上单调递减； 若，即， 此时在上单调递减，在上单调递增； 若，即， 此时在上单调递减，在上单调递增； 若，则， 此时在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （ⅱ）由幂函数性质可知（），定义域上单调递增，即其值域为， 由（）知， ①若，在上单调递减， 在上单调递增， 又， 显然，即， 则， 要满足题意需，则 ，结合 解得； ②若，由上知在上单调递减，在上单调递增， 而，则，， 要满足题意需，显然符合； ③若时，由上知在上单调递减， 在上单调递增， 而， 且， 因为，所以， 即，， 要满足题意需，即 ，结合， 解得； 综上所述要满足题意需. 123．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知奇函数满足：当时，.若对任意的成立，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先利用奇偶性求解当时的解析式并画出函数图像，根据题意，成立，可得：在上的最小值为，然后分、、、、五种情况分别讨论满足题意的条件，进而求出实数的取值范围. 【详解】 已知当时，， 设，则，， 又为奇函数，得：， 综上可得： ，画出的图像如下图： 由于，成立，， 所以在上的最小值为 ① 当时，在上单调递减，的最小值为，符合题意； ② 当且时，即时，的最小值为，不符合题意； ③ 当时，即时，若想的最小值为，则需满足，即：，解得：或， 又，得：； ④ 当时，即时，如图易知：的最小值为，符合题意； ⑤ 当，即时，在上单调递减，的最小值为，符合题意； 综上所述可得：. 故答案为： 124．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）我校重庆外国语学校是1963年由周恩来总理亲自倡导下成立的，2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一.我们学校的“四大节”大家都非常熟悉，即“体艺文化节”，“科技文化节”，“外语文化节”，“书香文化节”.10月18日，学校启动了第十八届书香文化节，分为“家风传承”，“书法展示”，“朗诵比赛”三个活动，其中“家风传承”展示是同学们最喜欢参观的活动.初一某班的张姓同学带来了曾祖父的军功章，军功章的表面已经比较模糊，金属材质的军功章在空气中会逐渐氧化，尤其是铜，铁等材质在潮湿的空气中容易与氧气，与水分发生化学反应，形成锈蚀.查询相关科技文章，我们发现，军功章的清晰度与时间大概会形成如图（1）所示的函数图象，请根据要求回答以下问题.    （1）如图，纵坐标表示军功章的清晰度，横坐标表示时间，现在我们准备用函数模型来模拟这个函数图象，现有两个函数解析式供选择，（）与（，）请问用那个函数模型来模拟更好一些，简要说明理由；    （2）设，判断函数的单调性，并求函数在上的最值； （3）若军功章的清晰度与时间之间满足当时间时：清晰度的取值集合为，我们则称该军功章为优质军功章.我们用函数来模拟张姓同学家的军功章的清晰度与时间的关系.若张姓同学家的军功章为优质军功章，求的取值范围. 【答案】（1）（，）模拟更好     （2）单调递减；最大值为，最小值为；     （3）      【分析】 （1）根据函数图象的变化趋势进行判断即可； （2）根据幂函数判断函数单调性，进而根据函数单调性求解函数最值即可； （3）首先根据“优质军功章”定义得到方程组 ，相减整理得：，通过换元，令得：，，代入中化简得：，最后根据二次函数的性质求解的取值范围. (1) 小问详解： 图象显示军功章清晰度随时间的增大而逐渐变小且减小的速度越来越慢， 二次函数（）为开口向下的抛物线，对称轴前为递增区间，对称轴后为递减区间，且递减速度越来越快，与已知图象变化趋势不符； 函数（，），由于随增大而变大，且增大速度越来越慢，因此随增大而减小且减小速度越来越慢，与图象变化趋势一致. 因此可以判断（，）模拟更好； (2) 小问详解： 已知在上单调递增，可得：在上单调递增， 进而可知：在上单调递减， 由此可得：当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为. (3) 小问详解： 已知函数单调递减，由“优质军功章”定义：当时，的取值集合为， 由此可得：当时，取最大值，即； 当时，取最小值，即. 联立方程： ，两式相减， 变形得：， 由于，，约分化简可得： ， 令，则， 因此，，因为，所以，解得：， 又，故. 又由，得：，化简得：，. 函数是开口向上的抛物线，对称轴为， 因此可得：函数在区间上单调递减， 由此可得，即的取值范围为. 125．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知定义在实数集的函数满足，且满足当时，恒成立，. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性并加以证明； （3）如函数的图象关于点成中心对称的充要条件为为奇函数，若函数是中心对称图形且关于点对称，求的值. 【答案】（1），     （2） 在上单调递增.证明如下： 设且，则，由题意可得， 利用函数方程， 故，即， 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用赋值法结合条件计算解得答案. （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的性质以及奇函数的定义求解的值. (1) 小问详解： 由，令， 代入函数方程得，解得. 令，代入函数方程得， 再令，代入函数方程得， 结合得，解得. 令，代入函数方程得， 代入，得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据题意，若函数是中心对称图形且关于点对称， 所以为奇函数，可得，即， 令，则，即，所以， 由（1）可知，所以. 126．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知定义在上的函数满足： ①； ②当时，； ③对于，都有． （1）求及， （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），     （2） 对于，不妨设，令， 则，即， ，，即． 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据题干等式，通过赋值求出函数值即可； （2）根据单调性的定义，以及条件等式，通过赋值法，用定义法证明函数单调递增即可； （3）根据题目条件，对不等式进行化简，根据 函数单调性，列出不等式，再根据指数函数与二次函数的性质，构造新函数，对参数进行分类讨论，求出参数范围. (1) 小问详解： 令，得， 故． 令，得， 故 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，得， 且， 因此对于恒成立， 即恒成立， 即恒成立． 又因为在上单调递增，故只需当时，恒成立即可． 令．则当时，． 令，函数开口朝上，对称轴为， ① 当时，函数在上单调递增， ，解得或，即． ② 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，此时无解． ③ 当时，函数在上单调递减， ，解得或，即． 综上：. 127．（2026·重庆名校联盟·一模）函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数     （2） 任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数.     （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为.      【分析】 （1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. (1) 小问详解： 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………① . （i）当时，不等式① 式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式① 式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式① 式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】 方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 128．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则　　　　　　，　　　　　　. 【答案】① .25    ② .5 【分析】 根据函数新定义，结合已知条件利用赋值法，即可求得结果. 【详解】 由① 和③ ，取，可得， 由② ，取，可得，再取，可得； 由③ 结合，取，可得，由② ，取，可得， 因，而函数在上为非减函数，故， 即，故， 于是. 故答案为：；. 129．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， （1）求的解析式; （2）求函数在上的2倍倒域区间; （3）若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）利用奇函数的定义即可求解； （2）利用的单调性求出a，b，由“倒域区间”的定义即可求解； （3）由题得函数图像与函数的图像有两个交点，对m讨论，利用根的分布求解即可. (1) 小问详解： 当时，，所以， 为奇函数，所以， 所以 . (2) 小问详解： 当时，在单调递减， 由题意在内的值域为，且在上单调递减， 所以 ， 所以a，b为方程的两个不等实根，，且， 所以，所以在上的2倍倒域区间为 (3) 小问详解： 由()得，， 所以 ，  由题得函数图像与函数的图像有两个交点， 当时，的图像开口向上，且过点所以的图像与函数的两段图像各有一个交点， 当时，由得，令，， 所以 得 又，所以， 当时，由得，令，， 所以 得 ，所以，所以 当时，时由得，时由得方程无解. 当时，的图像开口向下，对称轴， 由题的图像与函数在的图像有2个交点， 由得，令，， 所以 不等式组无解. 综上所述存在满足条件. 【点睛】 思路点睛：二次项函数的最高项系数含参，需要对参数进行分类讨论；研究函数在某个区间内交点个数可以转换为方程在对应范围内解的个数，在转换为二次项函数在对应期间内与轴交点个数. 130．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）设函数 （1）若为奇函数，求不等式的解集； （2）若为偶函数，证明：在单调递增； （3）在（2）的条件下，设函数，，若在的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）     （2） 由为偶函数，可得，整理得， 因不恒为0，则，即，函数解析式为， 任取，且，由 ， 因，则， 则，故，所以在单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义列出方程，求得，即得函数解析式，利用指数函数的单调性求解不等式即得； （2）根据偶函数的定义列出方程，求得，即得函数解析式，利用函数的单调性定义证明即可； （3）设，由函数单调性结合可得，将函数整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象性质，由题设条件建立方程，求解检验即得参数的值. (1) 小问详解： 由为奇函数，可得，整理得， 因，则，即，函数解析式为， 由，可得，则，解得，即不等式的解集为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得，该函数在上单调递增， 设，则，因， 则由可得， 其对称轴为直线，因，则， 当时，即时，由，解得，符合题意； 当时，即时，由，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 131．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 由， 因，则，， 所以， 即，故函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用和求得的值，并检验即可； （2）利用函数的单调性定义即可证明结论； （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，即可求得的取值范围. (1) 小问详解： 依题意，函数是定义在上的奇函数， 则，即，，由，解得， 则，经检验该函数为奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于对任意的，总存在，使得成立， 则.由（2）证明可得函数在上的最大值为. 对于，. 当时，在上单调递增，则， 则，解得，故； 当时，，显然满足； 当时，在上单调递减，则， 则，解得，故. 综上，可得，即实数的取值范围为. 132．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先对进行化简，然后利用单调性的定义判断是增函数，进而可求出其范围. 【详解】 .设， . 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以. 而，所以. 故答案为：. 133．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】 因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由， 所以 ， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时， ， 因此函数的图象如下图所示：    因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是， 故答案为： 134．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由的取值范围，结合题意，得的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】 ，当且仅当，即时，等号成立. 由，得. 若，则函数，显然不符合题意； 若，则. 由函数在区间上的最大值是5，得：当时，， 即，即. 所以， . 所以，所以. 检验： 当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意； 当，因为，所以， 所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案是：. 135．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）若定义在区间上的函数值域也为，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数单调性，确定，，转化为，换元后得到，由的范围求出m的取值范围. 【详解】 函数在定义域单调递减， 当的定义域为时，的值域也为， 故①，②， ②①得.， 因为，所以， 即，③ 将③代入②，， 令，得， 又，故， ∵，所以， ∴， 故实数k的取值范围为， 故答案为： 136．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知定义域都为的函数与满足:是偶函数，是奇函数， （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；.     （2）      【分析】 （1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）在上恒成立可转化为在上恒成立，再利用二次函数图象和性质求最值即可. (1) 小问详解： 因为，是偶函数，是奇函数， 则，可得， 联立方程组 ，解得，. (2) 小问详解： 因为在上恒成立， 即，即在上恒成立， 令，对称轴为. 当即时，函数在上单调递增， 故要使得在上恒成立， 即即可，，解得； 故； 当，即时，函数在上先减后增， 故当时，函数取得最小值， 故要使得在上恒成立， 即即可，，解得； 综上可得. 137．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若函数满足:，则称函数为阶对称函数，已知是2阶对称函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若，讨论关于的方程的解的个数. 【答案】（1）     （2）     （3） :当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4.      【分析】 （1）由阶对称函数的定义，通过整理函数解析式后建立等式，求得的值； （2）将的值代入函数解析式并整理，用换元将函数解析式简化为双勾函数，借助基本不等式求得双勾函数定义域，再由双勾函数的单调性求出函数值域； （3）将方程因式分解，由（2）中函数的值域求方程的根，讨论的不同取值，找到对应方程的解的个数. (1) 小问详解： 因为是2阶对称函数，所以当时，有， 又时，， 故， 所以 ， 又，则恒成立， 即恒成立，则，故实数的值为 2. (2) 小问详解： 由（1）知，即，定义域， 故， 令，则或，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，又， 时，时，， 故在或时的值域为， 即函数的值域是 . (3) 小问详解： 由已知，所以或， 因为，故，由（2）知的值域是， 故无解，下面讨论方程的解的个数： ① 当时，，由（2）知，的值域是， 故无解，所以当时，原方程的解的个数为0； ② 当时，，即有唯一解，又， 即，方程的解是， 故有2个解，所以当,时,原方程的解的个数为2 ; ③ 当时，， 解得有两根，且解得，又 ， 即，此方程有2解， ，此方程有2解，故有4个解, 所以当时,原方程有4个解； ④ 当时，，即有两解， 且，又 ， ，此方程有唯一解， ，此方程有2个解,故有3个解, 所以当时，原方程有3个解； ⑤ 当时， ， 解得有两根，且， 又 ，该方程无解，方程有 2 解， 故有2个解, 所以当时，原方程有2个解； 综上所述:当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4. 【点睛】 方法点睛，讨论方程的解的个数，可以转化为求函数的零点个数，也可以转化为两个函数交点个数.本题就是将方程解的个数转化为函数与直线和的交点个数，这个时候就需要根据函数的值域来进行讨论即可得出结果. 138．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）设命题：，使得不等式恒成立；命题：，不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. （3）设定义在上的函数满足：①对，都有；②时，；③不存在，使得.设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意可得，进而可得实数的取值范围； （2）命题为真时，，可得的取值范围，再根据命题、有且只有一个是真命题可得、一真一假，进而可得实数的取值范围； （3）先根据题设判断为奇函数，且在R上单调递增，再由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． (1) 小问详解： ，使得不等式恒成立为真， 则，又在上最大值为，故，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若为真，则，不等式成立，则， 即，解得. 由（1）可得，若为真，则，若为真，则. 故若命题、有且只有一个是真命题，则 或 . 解得或，则实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. 又时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. 又， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立 ，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 139．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数，具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数；③． （1）求函数与的解析式； （2）设函数，求解下列问题： ①的值；②在上的最小值； （3）试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），.     （2）①；②     （3）存在.理由如下: 假设存在正实数使得函数在区间上的值域为，则 由题可知函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为. 所以.所以是方程的两个正根，即与的图象有两个交点. 令， 当仅当时，等号成立. 因为单调递增，所以时，. 令，则，即，，解得. 当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增. 所以，的取值范围是. 此时，，即. 因为，所以，即. 所以，即， 所以， 所以，或. 因为，所以.      【分析】 （1）由奇、偶函数的对称特征确定是奇函数，则是偶函数，根据③联立与，求得函数与的解析式； （2）代入由（1）所得的解析式，利用指数的运算性质得的值；根据，得.分析在上的单调性，求得值域，利用复合函数的单调性，对进行讨论，可得； （3）假设存在正实数满足题意，利用的单调性获得方程的两个正根，构造函数，分析的单调性及值域，可得的取值范围；结合均值不等式，及二次不等式，可证得. (1) 小问详解： 因为偶函数关于轴对称，且在轴两侧的单调性不同，所以是奇函数，是偶函数. 所以. 因为， 所以． 所以，. (2) 小问详解： ①； ②由（1）知，，所以函数. ，当且仅当，即时，等号成立. 因为是增函数，结合对勾函数的单调性，可知在上单调递增. 所以当时，. 令，，对称轴为. 当，即时，在上单调递增，所以其最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以其最小值为； 当，即时，在上单调递减，所以其最小值为. 综上所述，在上的最小值 . (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．D 2．D 3．D 4．B 5．A 6．BC 7．B 8．A 9．A 10．C 11．D 12．D 13．A 14．C 15．CD 16．B 17．C 18．C 19．D 20．C 21．BCD 22．B 23．B 24．ABD 25．B 26．BCD 27．D 28．A 29．C 30．ACD 31．C 32．B 33．B 34．B 35．D 36．B 37．ABD 38．C 39．CD 40．A 41．A 42．C 43．B 44．BD 45．C 46．ABD 47．D 48．B 49．C 50．B 51．D 52．A 53．C 54．ABD 55．C 56．A 57．A 58．B 59．B 60．C 61．D 62．ACD 63．D 64．ACD 65．B 66．ABD 67．A 68．ACD 69．B 70．C 71．ABC 72．BCD 73．【答案】（1） ∵,令， ∴＝． 即.     （2） 0     （3）       【分析】 (1) 令代入可得； (2) 令得可得； (3) 令，得，利用函数的单调性及定义域列出不等式组从而解得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ＝＝， ∴， (3) 小问详解： ∵，， 所以， 且函数 在上单调递增， ∴ ，解得. 所以不等式的解集为. 74．【答案】 【分析】 优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解. 【详解】 函数是由函数和组成的复合函数， ，解得或， 函数的定义域是或， 因为函数在单调递减，在单调递增， 而在上单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 故答案为：. 75．【答案】（1）     （2）      （3）      【分析】 （1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. (1) 小问详解： 为定义在上的奇函数，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 76．【答案】 【详解】函数有意义，则：， 求解关于实数的不等式可得函数的定义域为：， 二次函数开口向下，对称轴为， 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间是. 点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 77．【答案】 【分析】 利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】 由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 78．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用基本不等式直接求积的最大值即可； （2）利用消元思想，再转化为基本不等式求最小值； （3）利用消元思想，再转化基本不等式求最小值，然后利用题意分离参变量，再利用函数单调性求最小值，从而可得参数范围. (1) 小问详解： ， 当且仅当时取等号, 所以的最小值为； (2) 小问详解： 由，， 则 ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为； (3) 小问详解： 依题意，，由， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， ，总存在，使得， 即存在在的值， 而函数在区间上单调递减，上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围. 79．【答案】 【详解】试题分析：∵是定义在上的奇函数，∴当时，， 而，当些仅当时，“=”成立，∴当时，要使恒成立，只需或，又∵时，，∴， 综上，故实数的取值范围是. 考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法. 80．【答案】（1），     （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. (1) 小问详解： 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 81．【答案】. 【详解】 由题意得，当时，函数，满足题意， 当时，则 ，解得， 综合得所求实数的取值范围为. 故答案为：. 82．【答案】（1） ；     （2）证明：，且， 则 ， 因为，所以， 故，即， 所以函数在上单调递增.      【分析】 （1）设时，则，根据已知解析式和奇偶性可得时的解析式，再由奇函数性质可知，然后可得在上的解析式； （2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证. (1) 小问详解： 设时，则，所以， 因为为奇函数，所以， 又，所以函数在上的解析式为 . (2) 小问详解： 略. 83．【答案】 【分析】 利用偶函数的定义计算即可. 【详解】 由题意知， 所以， 所以. 故答案为： 84．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由待定系数法设，然后由题意可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. (1) 小问详解： 设，因，， 则，则. ，则； (2) 小问详解： ，恒成立. ， 当时取等号，故. 85．【答案】（1）     （2） 任取，且， .    所以，所以， 所以函数在单调递增.      【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）按单调性定义法去证明即可. (1) 小问详解： ， 且，解得. 所以函数的解析式为. (2) 小问详解： 略 86．【答案】（1），；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取， ， 因为，则， 则，所以，即， 故在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解； （2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可； （3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可. (1) 小问详解： ∵在为奇函数 ∴ 又∵，∴，此时， ，为奇函数满足题意. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵， ∴， 由（2）知在上单调递增， ∴ ，∴，则解集为. 87．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，根据题意列方程组 即可求出，再检验即可； （2）令，求出的最大值，则问题转化为对，恒成立，再求解一元二次不等式即可求解. (1) 小问详解： 依题意可设， 则， 因，则 ，即 ，得 ， 则， 检验：， 则，符合题意， 故； (2) 小问详解： 令，则， 因在上单调递减，则， 因对，使得成立， 则对，， 即对，， 即，即，得， 则，则 ，得， 则实数t的取值范围为. 88．【答案】（1）     （2） 函数为上的减函数，证明如下： 对于任意实数，令，则， 因， 则 又，则，即， 故为上的减函数；     （3）      【分析】 （1）根据求出，并利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用奇偶性和单调性求解. (1) 小问详解： 因为定义域内的奇函数，则，解得， 此时，， 又定义域为关于原点对称，则为奇函数，符合题意， 故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因是奇函数， 则可化为， 又是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为. 89．【答案】（1）     （2） 当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则，    又，， 所以 综上所述 . 由题意只需证明为奇函数即可， 在中， 当时，，则； 当时，，则， 令 ， 所以对任意，， 即函数的图象关于点成中心对称图形.      【分析】 （1）在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论. （2）结合新定义利用奇函数的性质证明即可. (1) 小问详解： 当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，所以， 所以， 当时也符合； (2) 小问详解： 略 90．【答案】4050 【分析】 变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】 ， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 91．【答案】（1）     （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. (1) 小问详解： ，， ，解得 ， . (2) 小问详解： 在上单调递减，证明略； (3) 小问详解： 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 92．【答案】（1）      （2）      （3）      （4） 【分析】 （1）根据的图象由的图象在轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （2）根据的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （3）先画出在上的图象，再往左翻折，再根据图象可得单调区间； （4）化简，再根据的图象进行平移变换可得图象，再根据图象可得单调区间. (1) 小问详解： 的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 小问详解： 的图象由的图象轴上半部分图象不变， 轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. (3) 小问详解： 当时，，再往左翻折可得，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. (4) 小问详解： ，其图象可由图象往左平移3个单位得到的图象， 再横坐标不变纵坐标变为原来的5倍得到的图象， 再向下平移1个单位可得，可得如图： 故单调递减区间为和，无单调递增区间. 93．【答案】（1）     （2） 任取， 则， ∵，则，，则， 即，∴函数在上单调递减．      【分析】 （1）根据列出方程组即可求出a、b； （2）根据函数单调性的定义判断并证明即可． (1) 小问详解： 由得 ， ∴； (2) 小问详解： 略 94．【答案】（1） 因为， 所以， 所以的图象关于点成中心对称图形.     （2）图象的对称中心为.     （3） 8      【分析】 （1）根据题意化简即可证明. （2）化简，求出的值，即可得到该图象的对称中心. （3）先求出函数的图象关于点成中心对称图形，然后可得到，进而列出不等式，最后根据的 范围求出的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设图象的对称中心为，则 ， 所以，解得. 所以图象的对称中心为. (3) 小问详解： 由（1）（2）可知，的图象都关于点成中心对称图形， 易得函数的图象关于点成中心对称图形. 因为区间关于直线对称， 所以. 所以. 因为不等式对任意恒成立， 所以恒成立，因为，所以. 所以，即整数的最小值是8. 95．【答案】（1）选① ，；选② ，；     （2）.      【分析】 （1）选① ，分离参数得，再利用换元法并结合对勾函数单调性即可得到答案；选② ，分离参数后利用基本不等式即可得到答案； （2）首先求出当为真命题时的范围，再求其补集即可，若为真命题，则分离参数后，利用基本不等式求出右边值域，则得到的范围，最后两者取交集即可. (1) 小问详解： 选① ，若命题：“，”， 则在上能成立， 则，设，， 令，则，则，， 根据对勾函数单调性知在单调递增，在上单调递减， 又因为，，则， 则. 选② ，若命题：“，”， 则在上恒成立， 则， 因为，则 因为， 当且仅当，即时等号成立. 则. (2) 小问详解： 若命题为真命题，则集合是集合的真子集， 显然恒成立，则， 则 ，等号不能同时成立，解得， 则若命题为假命题，， 若命题对为真命题，则， 令 ， 当时，令，则，，， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 则， 综上，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为. 96．【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）利用得到关于直线对称，即二次函数的对称轴为，列等式即可得到答案； （2）对不等式因式分解，分为，和三种情况，结合一元二次不等式运算求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以关于直线对称， 所以，解得. 所以的值为. (2) 小问详解： 即，化简得， 当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为； 当时，，，此时不等式的解集为； 当时，，，此时不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 97．【答案】（1） 因为函数， 任取，设， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在上单调递减.     （2）      【分析】 （1）根据单调性的定义结合作差法分析证明即可； （2）根据函数单调性可得，解二次不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，则， 又因为在上单调递减，且， 则，解得， 所以的解集为. 98．【答案】0 【分析】 分为与两种情况讨论，分离出参数，结合函数的单调性求解. 【详解】 当时， ，故恒成立，即恒成立， 令，因为在上均是增函数， 所以在上是增函数， 故时， ，所以， 当时，，故恒成立，即恒成立， 在上是增函数， 故时， ，（当时取等号），所以， 综上，． 故答案为：0． 100．【答案】 【分析】 不妨构造，可得，则原题可等价转化为的值域是的值域的子集，解不等式即可求解. 【详解】 由，令，则 而， 所以对任意的，存在，使得成立. 因为，所以在上的值域为， 函数在上的值域为， 依题意有， 故，可得，得 故答案为： 101．【答案】（1） 函数是定义在上的奇函数，理由如下： ，都有， 因为， 所以函数是定义在上的奇函数．     （2） 函数在上为增函数，证明如下： 设， ， 由，得， 则，即， 故函数在上为增函数．     （3）      【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可化为，即， 因为在上为增函数， 则 ，解得：， 故不等式的解集为． 102．【答案】 【分析】 设的对称中心为，由函数为奇函数，可得，构造方程组即可解得． 【详解】 根据题意，设的对称中心为， 由函数为奇函数，可得， 变形可得， 即， 整理得， 所以 ，解得， 所以的对称中心为． 故答案为：． 103．【答案】（1） 令， 则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以函数在区间上单调递减.     （2）.      【分析】 （1）令，可得，根据函数单调性定义证明即可； （2）由（1）知，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，可求得，当时，函数取得最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，函数在区间上单调递减， 又在区间上的最大值为， 即当时，函数取得最大值，即，所以， 解得， 当时，函数取得最小值，所以. 104．【答案】 【分析】 根据的单调性和对称性，解出不等式即可 【详解】 因为，定义域为关于原点对称，， 所以为偶函数，当时，为减函数，为减函数， 所以为减函数，所以在上单调递减， 在上单调递增； 则有不等式等价为, 即有 解得， 故答案为： 105．【答案】③ ④. 【分析】 对于① ，根据函数奇偶性的定义可判断；对于② ，根据函数的单调性的定义可判断；对于③ ，根据函数的单调性的定义可判断；对于④ ，由函数的最值的定义和充分必要条件的定义可判断. 【详解】 对于① ，函数，定义域为,所以不是偶函数，故① 错误； 对于② ，函数在和上单调递减， 故② 错误； 对于③ ，任意，不妨设，因为，所以有，根据函数的单调性的定义得函数在区间上单调递减；正确， 对于④ ，“对于任意，总有 (为常数)”中，未指明“，有”，所以“函数 在区间上的最大值为”不成立，而函数 在区间上的最大值为  ，总有 (为常数) ，所以“对于任意，总有 (为常数)”是“函数 在区间上的最大值为”的必要不充分条件.故④ 正确， 故答案为：③ ④. 106．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）用换元法求解析式； （2）分析每段函数的单调性，根据的取值分类讨论可得． (1) 小问详解： 令，则， 当时，，； 当时， ，， 则 ， 故 ； (2) 小问详解： 当时， ，因时，函数为常函数， 故在R上不单调，不合题意； 当时，若，为增函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使 ，解得； 当时，若，为减函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使 ，解得. 综上，的取值范围为． 107．【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为.     （2） 【分析】 （1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述， . 108．【答案】（1），奇函数     （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数;     （3）      【分析】 （1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. (1) 小问详解： 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则 解得或 即实数的取值范围为. 109．【答案】（1）     （2） ， ． 任取，且， 则 ， ，，，，则，， ，即， 在上单调递增．     （3）．      【分析】 （1）对进行变形后换元即可； （2）先求出解析式，再运用单调性的定义证明； （3）根据函数的单调性求出在上的值域． (1) 小问详解： ，把替换为，则， 的解析式为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 在上的值域为． 110．【答案】（1），     （2）增函数     （3）      【分析】 （1）将换为，可得，然后结合奇偶性可解出答案； （2）利用初等函数单调性判断即可； （3）根据的单调性，原不等式等价于在有解，然后可化为，然后求出右边的最大值即可． (1) 小问详解： ∵① ∴即② 由① ② 得，； (2) 小问详解： 是增函数，是减函数， 故是上的增函数； (3) 小问详解： ∵，∴， 由（2）知在为增函数， ∴在有解，即， 令，，∴， ∴在单调递减，单调递增， ∴时最大值，∴． 111．【答案】 【分析】 根据题目条件求出函数是周期为4的函数，再根据函数周期性和奇偶性求出的值. 【详解】 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 由为偶函数可得：， 令，则，即，函数关于直线对称， 由为奇函数可得： ， 结合，可得， 由，则，故的周期为4， 求，利用周期性， 由，令，得， 已知，则，解得，即， 求，利用周期性， 由为偶函数，令，得，故，即， 故. 故答案为： 112．【答案】（1）1     （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边；     （3）      【分析】 （1）按，的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明即可； （3）令，，由第（2）小问知：，，然后把题意转化为，都大于等于2，对任意恒成立，可得答案. (1) 小问详解： 设，． 当或时，，故； 当时，，故． 因此， ， 的最小值为1； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意知：在[0，4]上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有． ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 113．【答案】（1）是“H函数”；不是“H函数”，理由：对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，不满足， 故不是“H函数”.     （2）     （3）证明:由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以.      【分析】 （1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到，即可得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即， 所以实数m的取值范围为. (3) 小问详解： 略 114．【答案】（1）      （2）     （3）      【分析】 利用函数的奇偶性建立方程组求解即得； 利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即得； 利用两边之和大于第三边转化可得，借助于换元分类即可求得参数范围. (1) 小问详解： 因为 分别是定义在 上的奇函数和偶函数， 所以，，因 (*)， 所以，将其与(*)联立， 解得，. (2) 小问详解： 由（1）已得，令则是上的增函数， 则，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递减，上单调递增， 又因为是偶函数， 则 所以，解得. (3) 小问详解： 由题可知，， ， 为长度的线段都可以围成三角形， 则由两边之和大于第三边转化为，即， 因为， 令，因且该函数为增函数，则，， 所以，，函数的对称轴为直线， ① 当，即时，函数在上递增， 则，， 则由可得，解得，则得； ② 当，即时，函数在上递减， 则由可得，解得（与矛盾，舍）； ③ 当，即时，，此时， 而，此时，， 故显然不能恒成立. 综上可得. 115．【答案】（1）     （2）（i）函数图象的对称中心为，在的值域为；（ii）实数的取值范围为：，的取值范围为：．      【分析】 （1）根据函数的对称性得，赋值求得，从而得所求； （2）（i）设的对称中心为，根据对称性列方程，比较系数即可得解析式，根据复合函数单调性求解最值即可得在的值域；（ii）令，，，根据范围得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，从而得的取值范围. (1) 小问详解： 函数的定义域为，且图象关于点对称， 则函数为奇函数， 所以， 则令得，令得，即， 所以； (2) 小问详解： （i）设的对称中心为，函数为奇函数， 则恒成立， 所以 整理得，故 ，解得， 所以函数的对称中心为， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单增， 所以，故在的值域为； （ii）令，由（i）知， 令，因为在单调减，在单调递增， 且，又 则① 当时，方程有两个不等根且， 则，所以； ② 当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1， 又方程转化为 设， 由二次函数与的图象特征， 原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，， 且有两个不等根，只有一个根，则必有， 当时，结合二次函数的图象， 则有 ，解之得； 综上，实数的取值范围为：； 此时，则其根，故必有. 116．【答案】或 【分析】 根据给定条件，按分类，结合二次函数在区间上的最小值列式求解. 【详解】 当时，对任意，，，则； 当时， ，，不符合题意； 当时，，而，恒成立， 因此 ，解得，则， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 117．【答案】（1）     （2） 令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数.     （3）      【分析】 （1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. (1) 小问详解： 因为， 所以, , . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则 ， 解得. 118．【答案】（1）     （2）① 答案见解析；②．      【分析】 （1）利用分类讨论一次函数的单调性求最值，即可得方程求解； （2）① 利用待定系数法，代入函数解析式，再利用恒等式可求解参数，然后分类讨论法来解含参的二次不等式即可； ② 利用先证明柯西不等式，再来运用柯西不等式来求最值即可. (1) 小问详解： 当时，由在上单调递增， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 当时，由在上单调递减， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 综上可得：； (2) 小问详解： ① 由一次函数为增函数，可设， 因为， 所以 ，解得 ，即， 又因为， 所以， ， 又因为，所以，此时， 则关于的不等式：， 当时，原不等式的解集为， 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， ② 由， 令，则， 先证明柯西不等式， 作差得： 即可证明恒成立，取等号条件是， 则， 由于，所以，取等号条件是，即， 此时有最大值，取最大值时的． 119．【答案】（1）4；     （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）.      【分析】 （1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. (1) 小问详解： 函数的图像关于点对称， 故， 令得； (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得 ，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得 ，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 120．【答案】（1） 令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时，     （2） 在上单调递减； 证明：由得， 任取，且，则， ， 由（1）可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）令，求出，当时，，根据得到即可证明； （2）由得，再根据函数单调性的定义进行判断； （3）根据函数的定义域和单调性求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，则在上单调递增，且， ， 所以原不等式可转化为，即， 由（2）可知在上单调递减， 所以， 解得或， 又，所以， 由，得， 因为在上均是减函数， 所以在上是减函数， 所以，所以. 121．【答案】（1）；     （2） (i)， ∵为奇函数，∴为奇函数， ∴函数的图象关于点对称. (ii).      【分析】 (1)根据题意∵为奇函数，∴，令x＝1即可求出； (2) (i)验证为奇函数即可； (ii))求出在区间上的值域为A，记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分，，三种情况讨论即可. (1) 小问详解： ∵为奇函数， ∴，得， 则令，得. (2) 小问详解： (i)略 (ii)在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 由对，总，使得成立知， ① 当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； ③ 当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 122．【答案】（1） 由题意可知是定义域上减函数， 即， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 即， 若是的“11-伴随函数”， 则，都，使得， 由上知，显然，即符合伴随函数的定义， 所以是的“11-伴随函数”；     （2）（ⅰ）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （ⅱ）      【分析】 （1）将问题化为两个函数的值域包含关系，根据反比例函数、对勾函数的性质计算即可； （2）（ⅰ）去绝对值符号，利用二次函数的性质分类讨论参数范围即可确定单调性； （ⅱ）结合（ⅰ）的讨论确定函数值域，再根据幂函数的性质，由值域的包含关系计算参数即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）易知 ， 若，即，此时在上单调递增，在上单调递减； 若，即， 此时在上单调递减，在上单调递增； 若，即， 此时在上单调递减，在上单调递增； 若，则， 此时在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （ⅱ）由幂函数性质可知（），定义域上单调递增，即其值域为， 由（）知， ①若，在上单调递减， 在上单调递增， 又， 显然，即， 则， 要满足题意需，则 ，结合 解得； ②若，由上知在上单调递减，在上单调递增， 而，则，， 要满足题意需，显然符合； ③若时，由上知在上单调递减， 在上单调递增， 而， 且， 因为，所以， 即，， 要满足题意需，即 ，结合， 解得； 综上所述要满足题意需. 123．【答案】 【分析】 首先利用奇偶性求解当时的解析式并画出函数图像，根据题意，成立，可得：在上的最小值为，然后分、、、、五种情况分别讨论满足题意的条件，进而求出实数的取值范围. 【详解】 已知当时，， 设，则，， 又为奇函数，得：， 综上可得： ，画出的图像如下图： 由于，成立，， 所以在上的最小值为 ① 当时，在上单调递减，的最小值为，符合题意； ② 当且时，即时，的最小值为，不符合题意； ③ 当时，即时，若想的最小值为，则需满足，即：，解得：或， 又，得：； ④ 当时，即时，如图易知：的最小值为，符合题意； ⑤ 当，即时，在上单调递减，的最小值为，符合题意； 综上所述可得：. 故答案为： 124．【答案】（1）（，）模拟更好     （2）单调递减；最大值为，最小值为；     （3）      【分析】 （1）根据函数图象的变化趋势进行判断即可； （2）根据幂函数判断函数单调性，进而根据函数单调性求解函数最值即可； （3）首先根据“优质军功章”定义得到方程组 ，相减整理得：，通过换元，令得：，，代入中化简得：，最后根据二次函数的性质求解的取值范围. (1) 小问详解： 图象显示军功章清晰度随时间的增大而逐渐变小且减小的速度越来越慢， 二次函数（）为开口向下的抛物线，对称轴前为递增区间，对称轴后为递减区间，且递减速度越来越快，与已知图象变化趋势不符； 函数（，），由于随增大而变大，且增大速度越来越慢，因此随增大而减小且减小速度越来越慢，与图象变化趋势一致. 因此可以判断（，）模拟更好； (2) 小问详解： 已知在上单调递增，可得：在上单调递增， 进而可知：在上单调递减， 由此可得：当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为. (3) 小问详解： 已知函数单调递减，由“优质军功章”定义：当时，的取值集合为， 由此可得：当时，取最大值，即； 当时，取最小值，即. 联立方程： ，两式相减， 变形得：， 由于，，约分化简可得： ， 令，则， 因此，，因为，所以，解得：， 又，故. 又由，得：，化简得：，. 函数是开口向上的抛物线，对称轴为， 因此可得：函数在区间上单调递减， 由此可得，即的取值范围为. 125．【答案】（1），     （2） 在上单调递增.证明如下： 设且，则，由题意可得， 利用函数方程， 故，即， 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用赋值法结合条件计算解得答案. （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的性质以及奇函数的定义求解的值. (1) 小问详解： 由，令， 代入函数方程得，解得. 令，代入函数方程得， 再令，代入函数方程得， 结合得，解得. 令，代入函数方程得， 代入，得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据题意，若函数是中心对称图形且关于点对称， 所以为奇函数，可得，即， 令，则，即，所以， 由（1）可知，所以. 126．【答案】（1），     （2） 对于，不妨设，令， 则，即， ，，即． 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据题干等式，通过赋值求出函数值即可； （2）根据单调性的定义，以及条件等式，通过赋值法，用定义法证明函数单调递增即可； （3）根据题目条件，对不等式进行化简，根据 函数单调性，列出不等式，再根据指数函数与二次函数的性质，构造新函数，对参数进行分类讨论，求出参数范围. (1) 小问详解： 令，得， 故． 令，得， 故 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，得， 且， 因此对于恒成立， 即恒成立， 即恒成立． 又因为在上单调递增，故只需当时，恒成立即可． 令．则当时，． 令，函数开口朝上，对称轴为， ① 当时，函数在上单调递增， ，解得或，即． ② 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，此时无解． ③ 当时，函数在上单调递减， ，解得或，即． 综上：. 127．【答案】（1）奇函数     （2） 任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数.     （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为.      【分析】 （1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. (1) 小问详解： 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………① . （i）当时，不等式① 式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式① 式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式① 式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】 方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 128．【答案】① .25    ② .5 【分析】 根据函数新定义，结合已知条件利用赋值法，即可求得结果. 【详解】 由① 和③ ，取，可得， 由② ，取，可得，再取，可得； 由③ 结合，取，可得，由② ，取，可得， 因，而函数在上为非减函数，故， 即，故， 于是. 故答案为：；. 129．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）利用奇函数的定义即可求解； （2）利用的单调性求出a，b，由“倒域区间”的定义即可求解； （3）由题得函数图像与函数的图像有两个交点，对m讨论，利用根的分布求解即可. (1) 小问详解： 当时，，所以， 为奇函数，所以， 所以 . (2) 小问详解： 当时，在单调递减， 由题意在内的值域为，且在上单调递减， 所以 ， 所以a，b为方程的两个不等实根，，且， 所以，所以在上的2倍倒域区间为 (3) 小问详解： 由()得，， 所以 ，  由题得函数图像与函数的图像有两个交点， 当时，的图像开口向上，且过点所以的图像与函数的两段图像各有一个交点， 当时，由得，令，， 所以 得 又，所以， 当时，由得，令，， 所以 得 ，所以，所以 当时，时由得，时由得方程无解. 当时，的图像开口向下，对称轴， 由题的图像与函数在的图像有2个交点， 由得，令，， 所以 不等式组无解. 综上所述存在满足条件. 【点睛】 思路点睛：二次项函数的最高项系数含参，需要对参数进行分类讨论；研究函数在某个区间内交点个数可以转换为方程在对应范围内解的个数，在转换为二次项函数在对应期间内与轴交点个数. 130．【答案】（1）     （2） 由为偶函数，可得，整理得， 因不恒为0，则，即，函数解析式为， 任取，且，由 ， 因，则， 则，故，所以在单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义列出方程，求得，即得函数解析式，利用指数函数的单调性求解不等式即得； （2）根据偶函数的定义列出方程，求得，即得函数解析式，利用函数的单调性定义证明即可； （3）设，由函数单调性结合可得，将函数整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象性质，由题设条件建立方程，求解检验即得参数的值. (1) 小问详解： 由为奇函数，可得，整理得， 因，则，即，函数解析式为， 由，可得，则，解得，即不等式的解集为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得，该函数在上单调递增， 设，则，因， 则由可得， 其对称轴为直线，因，则， 当时，即时，由，解得，符合题意； 当时，即时，由，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 131．【答案】（1），     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 由， 因，则，， 所以， 即，故函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用和求得的值，并检验即可； （2）利用函数的单调性定义即可证明结论； （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，即可求得的取值范围. (1) 小问详解： 依题意，函数是定义在上的奇函数， 则，即，，由，解得， 则，经检验该函数为奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由于对任意的，总存在，使得成立， 则.由（2）证明可得函数在上的最大值为. 对于，. 当时，在上单调递增，则， 则，解得，故； 当时，，显然满足； 当时，在上单调递减，则， 则，解得，故. 综上，可得，即实数的取值范围为. 132．【答案】 【分析】 先对进行化简，然后利用单调性的定义判断是增函数，进而可求出其范围. 【详解】 .设， . 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以. 而，所以. 故答案为：. 133．【答案】 【分析】 根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】 因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由， 所以 ， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时， ， 因此函数的图象如下图所示：    因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是， 故答案为： 134．【答案】 【分析】 由的取值范围，结合题意，得的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】 ，当且仅当，即时，等号成立. 由，得. 若，则函数，显然不符合题意； 若，则. 由函数在区间上的最大值是5，得：当时，， 即，即. 所以， . 所以，所以. 检验： 当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意； 当，因为，所以， 所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案是：. 135．【答案】 【分析】 由函数单调性，确定，，转化为，换元后得到，由的范围求出m的取值范围. 【详解】 函数在定义域单调递减， 当的定义域为时，的值域也为， 故①，②， ②①得.， 因为，所以， 即，③ 将③代入②，， 令，得， 又，故， ∵，所以， ∴， 故实数k的取值范围为， 故答案为： 136．【答案】（1）；.     （2）      【分析】 （1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）在上恒成立可转化为在上恒成立，再利用二次函数图象和性质求最值即可. (1) 小问详解： 因为，是偶函数，是奇函数， 则，可得， 联立方程组 ，解得，. (2) 小问详解： 因为在上恒成立， 即，即在上恒成立， 令，对称轴为. 当即时，函数在上单调递增， 故要使得在上恒成立， 即即可，，解得； 故； 当，即时，函数在上先减后增， 故当时，函数取得最小值， 故要使得在上恒成立， 即即可，，解得； 综上可得. 137．【答案】（1）     （2）     （3） :当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4.      【分析】 （1）由阶对称函数的定义，通过整理函数解析式后建立等式，求得的值； （2）将的值代入函数解析式并整理，用换元将函数解析式简化为双勾函数，借助基本不等式求得双勾函数定义域，再由双勾函数的单调性求出函数值域； （3）将方程因式分解，由（2）中函数的值域求方程的根，讨论的不同取值，找到对应方程的解的个数. (1) 小问详解： 因为是2阶对称函数，所以当时，有， 又时，， 故， 所以 ， 又，则恒成立， 即恒成立，则，故实数的值为 2. (2) 小问详解： 由（1）知，即，定义域， 故， 令，则或，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，又， 时，时，， 故在或时的值域为， 即函数的值域是 . (3) 小问详解： 由已知，所以或， 因为，故，由（2）知的值域是， 故无解，下面讨论方程的解的个数： ① 当时，，由（2）知，的值域是， 故无解，所以当时，原方程的解的个数为0； ② 当时，，即有唯一解，又， 即，方程的解是， 故有2个解，所以当,时,原方程的解的个数为2 ; ③ 当时，， 解得有两根，且解得，又 ， 即，此方程有2解， ，此方程有2解，故有4个解, 所以当时,原方程有4个解； ④ 当时，，即有两解， 且，又 ， ，此方程有唯一解， ，此方程有2个解,故有3个解, 所以当时，原方程有3个解； ⑤ 当时， ， 解得有两根，且， 又 ，该方程无解，方程有 2 解， 故有2个解, 所以当时，原方程有2个解； 综上所述:当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4. 【点睛】 方法点睛，讨论方程的解的个数，可以转化为求函数的零点个数，也可以转化为两个函数交点个数.本题就是将方程解的个数转化为函数与直线和的交点个数，这个时候就需要根据函数的值域来进行讨论即可得出结果. 138．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意可得，进而可得实数的取值范围； （2）命题为真时，，可得的取值范围，再根据命题、有且只有一个是真命题可得、一真一假，进而可得实数的取值范围； （3）先根据题设判断为奇函数，且在R上单调递增，再由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． (1) 小问详解： ，使得不等式恒成立为真， 则，又在上最大值为，故，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若为真，则，不等式成立，则， 即，解得. 由（1）可得，若为真，则，若为真，则. 故若命题、有且只有一个是真命题，则 或 . 解得或，则实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. 又时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. 又， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立 ，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 139．【答案】（1），.     （2）①；②     （3）存在.理由如下: 假设存在正实数使得函数在区间上的值域为，则 由题可知函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为. 所以.所以是方程的两个正根，即与的图象有两个交点. 令， 当仅当时，等号成立. 因为单调递增，所以时，. 令，则，即，，解得. 当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增. 所以，的取值范围是. 此时，，即. 因为，所以，即. 所以，即， 所以， 所以，或. 因为，所以.      【分析】 （1）由奇、偶函数的对称特征确定是奇函数，则是偶函数，根据③联立与，求得函数与的解析式； （2）代入由（1）所得的解析式，利用指数的运算性质得的值；根据，得.分析在上的单调性，求得值域，利用复合函数的单调性，对进行讨论，可得； （3）假设存在正实数满足题意，利用的单调性获得方程的两个正根，构造函数，分析的单调性及值域，可得的取值范围；结合均值不等式，及二次不等式，可证得. (1) 小问详解： 因为偶函数关于轴对称，且在轴两侧的单调性不同，所以是奇函数，是偶函数. 所以. 因为， 所以． 所以，. (2) 小问详解： ①； ②由（1）知，，所以函数. ，当且仅当，即时，等号成立. 因为是增函数，结合对勾函数的单调性，可知在上单调递增. 所以当时，. 令，，对称轴为. 当，即时，在上单调递增，所以其最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以其最小值为； 当，即时，在上单调递减，所以其最小值为. 综上所述，在上的最小值 . (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）函数的图象是（     ） A.      B.      C.      D.      2．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）下列函数为奇函数且在上单调递减的为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（     ） A.  B.  C.  D. 2 4．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）（多选）函数在以下哪些区间上单调递增（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为 A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 8．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）函数的图象大致为（       ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立．若不等式在恒成立，则实数a的最大值是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 3 10．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      13．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）函数f(x)＝x2－2|x|的图像是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一函数且在定义域内单调的是（     ） A.  B.  C. ，（） D.  16．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）函数的值域为（　　） A.  B.  C.  D.  17．（2026·重庆名校联盟·一模）若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知函数 ，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）下列函数在区间上单调递增且为奇函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知是定义域在上的奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（       ） A. 当时， B.  C. 在上是增函数 D. 的值域是 22．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知定义在上的偶函数满足对且都有，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（       ） A. 存在实数，使得是奇函数 B. ，当时，都有成立 C. ，当时， D. 若，则实数的取值范围为 25．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若函数 在上是单调递增函数，则的取值集合是（       ）. A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）（多选） ，则下列结论正确的是 （       ） A. 是奇函数 B. 当 时， 恒成立 C. 值域为 D. 若 ，且 ，则 27．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）（多选）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（       ） A.  B. 若，则 C. 若 D. ，使得 31．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数 ，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）设是上的奇函数，且在上单调递增，又，则不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 34．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 35．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知函数是定义域在R上的偶函数，且在区间上单调递减，，则不等式的解为（       ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，，则（       ） A.  B.  C. 为减函数 D. 为奇函数 38．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）已知关于x的不等式的解集为，则的最小值为（       ） A. 6 B. 4 C.  D.  39．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）（多选）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（     ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）定义 .设函数，：记函数，且函数在区间上的值域为，则的最大值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 43．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）设函数的定义域为，则“是奇函数”是“对任意，都有”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 44．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）（多选）下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的有（　　） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）若函数是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  46．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）对任意两个实数，定义 ，若，则下列关于函数的说法正确的有（       ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个不同的解 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 47．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知函数 的值域为，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  48．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数的定义域为，且，当时，单调递增，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  50．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数是偶函数，其中，，则的最大值是（     ） A. 0 B.  C.  D. 1 51．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（     ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  53．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知 ，若有最小值，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  54．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）（多选）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（       ） A.  B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增 55．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）若函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若，且，则（       ） A. -2 B. -1 C.  D. 0 57．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  58．（25-26学年高一上·重庆九校联盟·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（       ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 当时，有三个不同的值与之对应 D. 当时， 59．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  60．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知函数 是上的减函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  61．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  62．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）（多选）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（     ） A. 为奇函数 B. 当时， C. 在单调递减 D. 当时， 63．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知正数，满足，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  64．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）（多选）若函数的定义域为，且对任意，总存在，使得成立，则称具有性质．下列说法正确的有（　　） A. 函数不具有性质 B. 函数不具有性质 C. 函数一定具有性质 D. 函数一定具有性质 65．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A.  B.  C.  D.  66．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）（多选）已知函数满足：①的定义域为；②对，都有；③时，．则以下说法正确的是（     ） A.  B. 若，则 C. 在上单调递减 D. 若，且，则 67．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知函数的定义域为，对，满足，且有为奇函数，，那么的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  68．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）（多选）设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（     ） A.  B. 为增函数 C.  D. 关于的不等式，的解集为 69．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  70．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件: ①对任意的，都有恒成立 ② ③是偶函数 若，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  71．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 函数，若不等式对恒成立，则 D. 若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为 72．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（       ） A. 若为的“完美区间”，则 B. 函数存在“完美区间” C. 二次函数存在“2倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为 73．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）已知在上有意义，单调递增且满足. （1）求证：； （2）求的值； （3）求不等式的的解集. 74．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）函数的单调减区间为　　　　　　　　　　. 75．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    （1）求的值； （2）试补全其图像； （3）并比较与的大小． 76．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 77．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）函数的单调递减区间是　　　　　　　　． 78．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知 （1）求的最小值 （2）求的最小值. （3）设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 79．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是　　　　　. 80．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 81．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是　　　　　　． 82．（25-26学年高一上·重庆第三十二中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数. 83．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知偶函数，则　　　　　　. 84．（25-26学年高一上·重庆巴南区联考·期中）已知二次函数满足，． （1）求的解析式； （2），恒成立，求的取值范围． 85．（25-26学年高一上·重庆两江中学校·期中）已知函数，且. （1）求解析式； （2）证明：函数在区间单调递增. 86．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求a，b的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明； （3）解不等式． 87．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知二次函数的二次项系数为1，函数满足对任意，均有成立． （1）求的解析式； （2）已知函数，若对，使得成立，求实数t的取值范围． 88．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集. 89．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.    （1）试求函数的解析式； （2）有同学发现，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数的图象关于点成中心对称图形. 90．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则　　　　　　　　　　　　　　　　. 91．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 92．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）画出下列函数的图象，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 93．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知函数． （1）求的解析式； （2）试判断函数在上的单调性并利用定义给予证明． 94．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数. （1）证明：的图象关于点成中心对称图形. （2）求图象的对称中心. （3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值. 95．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数． （1）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围； （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （2）设，命题，”的充分不必要条件是“”；命题对；若为假命题且为真命题，求实数的取值范围 96．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数． （1）若函数满足关系式，求的值； （2）当时，解关于的不等式． 97．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. （2）设，解不等式：. 98．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知函数，当时，恒成立，则的值为　　　　　　. 100．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知函数，，其中若对任意的，存在，使得成立，则实数k的值等于　　　　　　. 101．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）已知函数的定义域为． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）根据（1）（2）的结论，解不等式． 102．（25-26学年高一上·重庆第二外国语学校·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数．利用上述材料，则函数的对称中心为　　　　　　　　　　　． 103．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 104．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为　　　　　　． 105．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数，给出下列四个结论:①函数是偶函数；②函数是增函数；③函数定义域为，区间，若任意，，都有，则在区间上单调递减；④定义域为，“对于任意，总有（为常数）”是“函数在区间上的最大值为”的必要不充分条件、其中正确结论的序号是　　　　　　. 106．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知函数 ， （1）求函数的解析式； （2）若函数在R上单调，求的取值范围. 107．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 108．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 109．（25-26学年高一上·西藏重庆西藏中学·期中）已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）求在上的值域． 110．（25-26学年高一上·重庆渝东九校·期中）已知为奇函数，为偶函数，且满足：． （1）求函数，的解析式； （2）判断函数在上的单调性，不需证明； （3），使得不等式成立，求m的取值范围． 111．（25-26学年高一上·重庆第一中学校·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则　　　　　　　　． 112．（25-26学年高一上·重庆杨家坪中学·期中）定义 ， ． （1）用解析式表示并求的最小值； （2）证明： （3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围． 113．（25-26学年高一上·重庆求精中学校·期中）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： （2）若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. （3）若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 114．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）已知函数 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 . （1）求函数 的解析式： （2）若 ，求实数 的取值范围： （3）令 ，若对于任意的 ，以 ,, 为长度的线段都可以围成三角形，求实数的取值范围. 115．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： （2）已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 116．（25-26学年高一上·重庆璧山中学·期中）设，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 117．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． （1）若，求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若时，，解不等式． 118．（25-26学年高一上·重庆第七中学校·期中）已知一次函数为增函数，且满足，． （1）若函数在上最大值与最小值的差为6，求． （2）当和满足时． ①设，解关于的不等式：． ②求的最大值． 119．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 120．（25-26学年高一上·重庆凤鸣山中学·期中）已知函数的定义域为，对任意的a，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围. 121．（25-26学年高一上·重庆第十八中学·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称； (ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 122．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知函数的定义域为，的定义域为.若对于任意，都存在，使得（为常数），则称是的“-伴随函数”. （1）若（），（），则是否为的“11-伴随函数”？说明理由； （2）若，. （ⅰ）当时，讨论的单调性； （ⅱ）当时，为的“-伴随函数”，求的取值范围. 123．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知奇函数满足：当时，.若对任意的成立，则实数的取值范围是　　　　　　. 124．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）我校重庆外国语学校是1963年由周恩来总理亲自倡导下成立的，2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一.我们学校的“四大节”大家都非常熟悉，即“体艺文化节”，“科技文化节”，“外语文化节”，“书香文化节”.10月18日，学校启动了第十八届书香文化节，分为“家风传承”，“书法展示”，“朗诵比赛”三个活动，其中“家风传承”展示是同学们最喜欢参观的活动.初一某班的张姓同学带来了曾祖父的军功章，军功章的表面已经比较模糊，金属材质的军功章在空气中会逐渐氧化，尤其是铜，铁等材质在潮湿的空气中容易与氧气，与水分发生化学反应，形成锈蚀.查询相关科技文章，我们发现，军功章的清晰度与时间大概会形成如图（1）所示的函数图象，请根据要求回答以下问题.    （1）如图，纵坐标表示军功章的清晰度，横坐标表示时间，现在我们准备用函数模型来模拟这个函数图象，现有两个函数解析式供选择，（）与（，）请问用那个函数模型来模拟更好一些，简要说明理由；    （2）设，判断函数的单调性，并求函数在上的最值； （3）若军功章的清晰度与时间之间满足当时间时：清晰度的取值集合为，我们则称该军功章为优质军功章.我们用函数来模拟张姓同学家的军功章的清晰度与时间的关系.若张姓同学家的军功章为优质军功章，求的取值范围. 125．（25-26学年高一上·四川重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知定义在实数集的函数满足，且满足当时，恒成立，. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性并加以证明； （3）如函数的图象关于点成中心对称的充要条件为为奇函数，若函数是中心对称图形且关于点对称，求的值. 126．（25-26学年高一上·重庆南开中学校·期中）已知定义在上的函数满足： ①； ②当时，； ③对于，都有． （1）求及， （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 127．（2026·重庆名校联盟·一模）函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 128．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则　　　　　　，　　　　　　. 129．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， （1）求的解析式; （2）求函数在上的2倍倒域区间; （3）若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 130．（25-26学年高一上·重庆第十一中学校·期中）设函数 （1）若为奇函数，求不等式的解集； （2）若为偶函数，证明：在单调递增； （3）在（2）的条件下，设函数，，若在的最小值为，求实数的值. 131．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 132．（25-26学年高一上·重庆礼嘉中学校·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　． 133．（25-26学年高一上·重庆长寿中学校·期中）记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 134．（25-26学年高一上·重庆第八中学校·期中）已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 135．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）若定义在区间上的函数值域也为，则实数的取值范围是　　　　　　. 136．（25-26学年高一上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知定义域都为的函数与满足:是偶函数，是奇函数， （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 137．（25-26学年高一上·重庆巴蜀中学·期中）若函数满足:，则称函数为阶对称函数，已知是2阶对称函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若，讨论关于的方程的解的个数. 138．（25-26学年高一上·重庆渝高中学校·期中）设命题：，使得不等式恒成立；命题：，不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. （3）设定义在上的函数满足：①对，都有；②时，；③不存在，使得.设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 139．（25-26学年高一上·重庆育才中学校·期中）已知函数，具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数；③． （1）求函数与的解析式； （2）设函数，求解下列问题： ①的值；②在上的最小值； （3）试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $