精品解析：重庆市为明学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市为明学校高2027届高二（上）半期考试 数学试题 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请妥善保管本试卷. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 不存在 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率不存在可得. 【详解】直线的斜率不存在，故倾斜角是. 故选：D 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 90 B. 100 C. 180 D. 200 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求的值. 【详解】因为为等差数列，故， 故， 而， 故选：C. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的方程求出圆心和半径，判断两圆的位置关系，即得公切线条数. 【详解】由可得，则其圆心为，半径为； 由可得其圆心为，半径为， 因，由可知两圆外离， 故圆与圆的公切线有4条. 故选：A. 4. 已知数列满足，则数列的前13项和为（ ）． A. 2 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推式判断数列的周期性，进而求和即可. 【详解】因为，所以， 则，， ，， 可得数列是周期为3的周期数列，且设前项和为， 则，故B正确. 故选：B 5. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弦长公式可得，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为， 解得， ， 解得． 故选：C． 6. 已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ） A. 49 B. 48 C. 25 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程得到的值，由椭圆的定义得到的值，联立求得的值，再证明，求得面积. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 8. 双曲线的左､右焦点为､，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是的平分线，过点作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定，随P点位置变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】 先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果. 【详解】解：过点作PQ的垂线，垂足为Q，交的延长线于M，由三角形为等腰三角形，可得Q为的中点，由双曲线的定义可得， 由三角形的中位线定理可得 故选：A 【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可判断A选项；根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式即可判断BCD. 【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，；  当​时，； 当​时，；  可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确； 由题意得，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 选项C，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 选项D，令，则解得， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在两个点，使得 D. 的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 11. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 圆上的点到直线的距离的最大值为 C. 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则这样的直线有2条 D. 若，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则中点到点的距离的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】整理直线的方程，列出方程组可求直线经过定点，即可判断A；圆上的点到直线的距离的最大值为，即可判断B；由题意，到直线的距离等于3，利用点到直线的距离求解可判断C；设直线上一点，点在以为直径的圆上，与圆相减可得方程，可得直线经过定点，点轨迹是以为直径的圆（点除外），其半径为，根据圆的性质求解中点到点的距离的范围，即可判断D． 【详解】直线，整理得， 由，解得，即直线经过定点，故A正确； 圆的圆心，半径为2， 点到直线的距离的最大值为，此时， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为，故B正确； 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则到直线的距离等于3， 所以，解得， 则满足条件的直线只有1条，故C错误； 若，则直线， 设直线上一点，所以， 因为分别为过点所作的圆的两条切线，所以， 所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 整理可得：， 与已知圆相减可得， 又，消去可得，即， 即直线的方程为， 由，可得，所以直线经过定点， 设的中点为，则， 故点轨迹是以为直径的圆（点除外）， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 设点，则， 从而点在圆外， 则中点到点的距离， 当且仅当点与重合时取等号， 由于点轨迹是以为直径的圆（点除外），所以等号取不到， 故，故D错误． 故选：AB. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 抛物线：的准线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由给定的抛物线方程直接求出准线方程即可. 【详解】抛物线的标准方程为，所以C的准线方程为. 故答案为：. 13. 若数列满足，则数列的通项公式__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，直线与轴交于点，且，，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，又，根据题意可得： ，，再根据双曲线的定义及性质可得：，，联立消去，解方程即可得解. 【详解】依题意， 设，，则，又， 所以 消去，整理得，因为， 所以，解得，或（舍去）. 故答案为： 【点睛】本题考查了利用双曲线的焦点三角形求离心率，考查了双曲线的定义及性质和平面几何的结合，考查了计算能力，属于较难题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【小问1详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 16. 在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. 【小问1详解】 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，平面，，. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，进而求出平面的法向量，再由向量法求二面角的余弦值，进而求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，则， 故，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，可取， 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. （1）求E的标准方程； （2）若的内切圆半径为，求的方程； （3）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率以及过点建立方程组求解即可； （2）由等面积法求出到直线的距离，设，由点到直线距离公式求解即可； （3）将与椭圆联立，先证明直线过定点，再写出的表达式，代入韦达定理，结合基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 由题意，解得， 则E的标准方程为. 【小问2详解】 由，且， 可得（其中为到直线的距离）. ，设，由，解得， 故或. 【小问3详解】 设，则， 将代入椭圆方程得， 所以， 直线的方程为， 令，得， 代入直线方程以及韦达定理可得， 即直线过定点， 面积， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 19. 已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点分别为，且四边形的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积； （3）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）渐近线方程为，距离之积为 （3） 【解析】 【分析】（1）计算菱形的面积，再结合离心率可求； （2）设，根据点到直线的距离公式以及化简； （3）设线段中点，联立方程组利用韦达定理得出，再根据得出，再结合可求. 【小问1详解】 由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且， 则四边形的面积为， 又离心率为，可得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 渐近线方程为， 设到两条渐近线的距离分别为， 则，则， 因，则， 所以到双曲线两条渐近线距离之积为； 【小问3详解】 设，线段中点，, 联立，消去整理可得， 则且， 即且①， 因，则， 因，则， 则，得， 因且，得且， 因，得或， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市为明学校高2027届高二（上）半期考试 数学试题 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请妥善保管本试卷. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 不存在 B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 90 B. 100 C. 180 D. 200 3. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 4. 已知数列满足，则数列的前13项和为（ ）． A. 2 B. 8 C. 12 D. 14 5. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ） A. 49 B. 48 C. 25 D. 24 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 8. 双曲线的左､右焦点为､，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是的平分线，过点作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定，随P点位置变化而变化 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在两个点，使得 D. 的最小值为1 11. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 圆上的点到直线的距离的最大值为 C. 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则这样的直线有2条 D. 若，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则中点到点的距离的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 抛物线：的准线方程为_____. 13. 若数列满足，则数列的通项公式__________. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，直线与轴交于点，且，，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，平面，，. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. （1）求E的标准方程； （2）若的内切圆半径为，求的方程； （3）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 19. 已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点分别为，且四边形的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积； （3）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $