专题03 数列（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题03 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知数列满足，，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】A 【分析】 整理可得，分析可知数列的一个周期为3，结合周期性运算求解. 【详解】 因为，即，且， 则，，， 可知数列的一个周期为3，且， 所以. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知数列满足，，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 根据题目条件可得数列是周期为3的周期数列，. 【详解】 由数列满足，，可得： ， ， ，， 故数列是周期为的周期数列，. 故选：A 3．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知数列满足，则（       ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 【答案】B 【分析】 根据递推公式逐项计算即可. 【详解】 因为， 所以. 故选：B 4．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【分析】 由可得数列为等差数列，则可得通项公式，从而可得，再利用裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得. 【详解】 由，则，即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，故； 则， 则， 令，解得，故正整数的最大值为. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知数列中，，，则（       ） A. 1 B.  C. －1 D. －2 【答案】D 【分析】 由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】 因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）（多选）下列四个选项中，正确的是（       ） A. 数列与数列是同一数列 B. 数列是递减数列 C. 数列的一个通项公式是 D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【分析】 由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D. 【详解】 对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（     ） A. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D. 数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【分析】 由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】 A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 8．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）数列满足，，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 根据递推关系得到是周期为3的数列，利用周期求项. 【详解】 由题设，，，，， 所以是周期为3的数列，则. 故选：D 9．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知数列满足，，则下列判断正确的是（       ） A. ，使得 B. ，使得 C.  D. ，使得数列的最小值为 【答案】C 【分析】 根据给定的递推公式得，利用反证法推理判断B；求出数列通项公式，确定的范围判断A；确定数列单调性判断CD. 【详解】 由，得， 对于B，假定，使得，而，则，， 于是，与矛盾，因此假定是错的，即，B错误； ，，而，， 数列是首项为，公比为2的等比数列，则 ，因此，， 对于A，，则，对，A错误； 对于CD，，而函数是减函数，又， 则，即，，因此数列是递增数列， ，且是数列的最小项，C正确，D错误. 故选：C 10．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由求出时的通项公式，验证时是否成立，若不成立，则要用分段函数形式来表示. 【详解】 当时，， 当时，， 所以，当时，不满足上式， 故数列的通项公式为 . 故答案为： . 11．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知数列的前项和为 （1）求的最小值，并求此时的值： （2）求出的通项公式 【答案】（1）最小值为，此时或8；     （2） .      【分析】 （1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应的值； （2）应用的关系求通项公式. (1) 小问详解： 由，， 故或时，取最小值为； (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 显然不满足上式，故 . 12．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】 若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则　　　　　　　　　　，设，数列的前项和为，则　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 ① 由，利用“阶对等递进数列”的定义，可知数列是以为周期的周期数列，由此可以算得； ② 由① 得，所以数列每个周期的和可以求得，易知数列也是以为周期的周期数列，由此可以算得前项即个周期的和. 【详解】 ① 由题干可知，又因为数列是“阶对等递进数列”， 所以，即，同理可得 所以数列是以为周期的周期数列，即，所以； ② 因为，所以， 又，所以数列也是以为周期的周期数列， 所以. 故答案为：；. 14．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】（1） 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故；     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 15．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. （1）记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； （2）若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 【答案】（1），且数列是公比为二级等比数列.     （2）存在，.      【分析】 （1）根据题意，求得，得到，进而求得，化简得到，得到数列为等比数列，求得其通项公式，得到是公比为二级等比数列. （2）设，得到，根据题意，求得，得到，利用累加法，求得，得到，由，得到，求得，得到，进而得到答案. (1) 小问详解： 解：由为数列的前项的和，满足，且，， 当时，可得； 当时，可得， 解得，所以， 当时，由，可得， 两式相减，可得，即， 所以，又， 故， 又由，则，符合上式， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 设，可得，即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 即数列是公比为的二级等比数列. (2) 小问详解： 解：因为数列是公比为3的二级等比数列，即是公比为3的等比数列， 设，则， 因为，可得， 则，解得，所以， 所以当， ， 所以当时，，又，也满足该式， 所以，故， 因为，即， 又因为，所以， 即，所以，代入可得， 即，即， 解不等式，可得， 因为函数为增函数， 经计算，满足该不等式，而，均不满足， 故， 所以，此时，即存在，使得成立. 16．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则　　　　　　． 【答案】8 【分析】 利用与的关系可得，进而可得，利用作差法找出数列的最大项即可求解. 【详解】 ，当时，， 当时，， 所以， 所以，时也适合， 所以，， 所以，， ，， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，最大， 即对任意，均有， 所以存在正整数，使得恒成立. 故答案为：8. 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 2．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 通过列方程组的方法来求得公差. 【详解】 设公差为， 依题意， ，解得. 故选：B 3．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）（多选）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（       ） A.  B.  C. 若存在n使得 ，则 D. 若存在n使得 ，则 【答案】AB 【分析】 根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确. 【详解】 对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确； 对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确； 对于C，取，可得，而，所以C错误； 对于D，取，可得，而，所以D错误. 故选：AB. 4．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）记为等差数列的前项和，若，则（       ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【分析】 设等差数列的公差为，根据题意，求得，即，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，可得，即， 则. 故选：D. 5．（2026·重庆渝北中学·质量监测）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（     ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. 当或11时，取得最大值 【答案】AC 【分析】 根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】 因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误； 故选：AC. 6．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（       ） A.  B.  C. 当时，的最大值为9 D. 当时，取得最大值 【答案】AD 【分析】 由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D. 【详解】 设数列的公差为， 对于A，由，得， 又，所以，故A正确； 对于B，由A知，则，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 又， 所以当时，， 且， 所以当时，的最大值为8，故C错误； 对于D，因为当时，，当时，， 所以当取得最大值时，，故D正确. 故选：AD. 7．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（       ） A.  B.  C. 使的n的最大值为25 D.  【答案】ABD 【分析】 利用的关系，可求得，进而求得数列的通项公式，进而逐项计算可判断正误. 【详解】 当时，， 当时，， 所以，因为数列为等差数列，所以， 所以，解得，故A正确； 所以，适合，故等差数列的通项公式为，故B正确； 由，得，解得， 又，所以时，， 所以使的n的最大值为26，故C错误； 令，则，解得，即数列为递增数列，且， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 8．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，则下列论断中正确的有（       ） A. 当或时，取得最大值 B.  C. 若， D. 若， 【答案】BCD 【分析】 根据知B正确；根据的二次函数性质可知A错误；利用等差数列下标和性质和通项公式可推导得到CD正误. 【详解】 对于B，，，即， ，B正确； 对于A，， 当时，，则，无最大值； 当时，由知图象的对称轴为，或时，取得最小值； 当时，或时，取得最大值； 的符号未知，最值无法确定，A错误； 对于C，若，则，C正确； 对于D，，，又， ，即，D正确. 故选：BCD. 9．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）设等差数列的前项和分别为．若，则（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】 由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【分析】 根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 11．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）（多选）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（       ） A. 常数列是等差数列 B. 若，则是等差数列 C. 若是等差数列，则数列为等差数列 D. 若是等差数列，，则 【答案】ACD 【分析】 根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项. 【详解】 A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确； B.，，，，所以不是等差数列，故B错误； C.若是等差数列，则，，则（常数），所以数列为等差数列，故C正确； D. 若是等差数列，，则，故D正确. 故选：ACD 12．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（       ） A. 51 B. 57 C. 63 D. 66 【答案】D 【分析】 根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】 等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， 则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 13．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】 由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 14．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和计算，再利用等差数列的通项公式求通项； （2）利用裂项相消求解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，则， 又，则， 则数列的通项公式为； (2) 小问详解： ， 则 15．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）数列 满足 . （1）求证:数列 是等差数列； （2）求数列 的通项公式． 【答案】（1） ∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列.     （2）．      【分析】 （1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 16．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）在数列中，，，且． （1）证明：是等差数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1） 因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列.     （2）       【分析】 （1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以. 17．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式. （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1），.     （2） ，.      【分析】 （1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. (1) 小问详解： 设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. (2) 小问详解： 由上可知 ， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上 ，. 18．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 　　　　　 【答案】 【分析】 首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解. 【详解】 由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. (1) 小问详解： 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； (2) 小问详解： 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 20．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）设为正项数列的前项和，且满足. （1）求的通项公式； （2）令，，若，有，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由得，两式相减得可得答案注意验证； （2）由，利用裂项相消然后讨论为偶数、奇数可得答案. 【详解】 （1）令，有，解得或（舍）， 当时，，也有， 两式相减得，，所以， 得，，，所以. （2）∵， ∴， ① 当为偶数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可， ∵，等号在时取得，∴， ② 当为奇数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可， ∵为增函数， ∴时，取得最小值，∴， 综上① ② 可得的取值范围是. 21．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）当n为多少时取得最大值，并求的最大值； （3）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）；     （2），取得最大值；     （3） .      【分析】 （1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项公式； （2）求得，根据二次函数的性质，即可求得结果； （3）对分类讨论，在不同情况下，借助，即可求得结果. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，， 可得，，解得，，所以. (2) 小问详解： 根据（1）中所求，， 是关于的二次函数，其对称轴； 又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36. (3) 小问详解： 因为，所以，， 当时，； 当时，， 综上 . 22．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. (1) 小问详解： 等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， (2) 小问详解： 记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上， . 23．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为　　　　　. 【答案】6 【分析】 首先由条件得到，再代入等差数列的前项和公式，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】 设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 24．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知数列满足，，数列． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式． （2）设的前项和为． （i）求； （ii）若，，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，则，即， 且，则， 可知数列是以首项，公差为1的等差数列， 则，即，所以.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）整理可得，即可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式求的通项公式； （2）（i）整理可得，利用裂项相消法求；（ii）整理可得对恒成立，列不等式求的最大值，即可得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为， 所以； （ii）因为，可得对恒成立， 设， 令 ，即 ，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知数列是公差为的等差数列，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 利用等差数列定义，结合对数运算求出等比数列的公比，进而求得答案. 【详解】 由数列是公差为的等差数列，得， 则，因此数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：A 2．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（     ） A.  B. 27 C. 81 D. 或81 【答案】C 【分析】 根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】 设等比数列的公比为， 由题意可得 ，解得 或 ， 又数列为递增等比数列，所以 ，所以. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）（多选）将数列所有项排成如下数阵： 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数，，，，…成等差数列，若，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 位于第45行第89列 D. 4048在数阵中出现1次 【答案】AB 【分析】 先分析数阵的行列项数规律，利用第一列的等差数列求出首项；再计算前9项和验证选项B；通过项数范围确定的位置；最后分解4048的形式判断其出现次数. 【详解】 首先分析数阵结构：第行有项， 前行项数和为， 故第行第1列的项为. 第一列成等差数列，记为，其中. 选项A，已知，，等差数列公差， 故，A正确. 选项B，前9项对应前3行（项数和）：第1行：； 第2行（等比数列，公比2）：，和为； 第3行（等比数列，公比2，首项）： ， 和为. 前9项和为，B正确. 选项C，前44行项数和为，第45行有项， 对应项数到.， 故位于第45行第88列，C错误. 选项D，当时，， 当时，数阵中第行第列的项为. 令： 当时，，得，，符合条件； 当时，，得，，符合条件. 故4048至少出现2次，D错误. 故选：AB 4．（2026·重庆渝北中学·质量监测）若数列的通项公式为，则其前项和　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】 因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 5．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则　　　　　　． 【答案】14 【分析】由等比数列的性质得：，，成等比数列，即2，4，成等比数列，由此能求出． 【详解】等比数列的前n项和为，，， 由等比数列的性质得：，，成等比数列， ，4，成等比数列， ， 解得． 故答案为14． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，已知数列为等比数列，则，，也成等比数列． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．A 2．A 3．B 4．D 5．D 6．BD 7．BCD 8．D 9．C 10．【答案】 【分析】 由求出时的通项公式，验证时是否成立，若不成立，则要用分段函数形式来表示. 【详解】 当时，， 当时，， 所以，当时，不满足上式， 故数列的通项公式为 . 故答案为： . 11．【答案】（1）最小值为，此时或8；     （2） .      【分析】 （1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应的值； （2）应用的关系求通项公式. (1) 小问详解： 由，， 故或时，取最小值为； (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 显然不满足上式，故 . 12．【答案】 【分析】 根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】 若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．【答案】①     ② 【分析】 ① 由，利用“阶对等递进数列”的定义，可知数列是以为周期的周期数列，由此可以算得； ② 由① 得，所以数列每个周期的和可以求得，易知数列也是以为周期的周期数列，由此可以算得前项即个周期的和. 【详解】 ① 由题干可知，又因为数列是“阶对等递进数列”， 所以，即，同理可得 所以数列是以为周期的周期数列，即，所以； ② 因为，所以， 又，所以数列也是以为周期的周期数列， 所以. 故答案为：；. 14．【答案】（1） 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故；     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 15．【答案】（1），且数列是公比为二级等比数列.     （2）存在，.      【分析】 （1）根据题意，求得，得到，进而求得，化简得到，得到数列为等比数列，求得其通项公式，得到是公比为二级等比数列. （2）设，得到，根据题意，求得，得到，利用累加法，求得，得到，由，得到，求得，得到，进而得到答案. (1) 小问详解： 解：由为数列的前项的和，满足，且，， 当时，可得； 当时，可得， 解得，所以， 当时，由，可得， 两式相减，可得，即， 所以，又， 故， 又由，则，符合上式， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 设，可得，即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 即数列是公比为的二级等比数列. (2) 小问详解： 解：因为数列是公比为3的二级等比数列，即是公比为3的等比数列， 设，则， 因为，可得， 则，解得，所以， 所以当， ， 所以当时，，又，也满足该式， 所以，故， 因为，即， 又因为，所以， 即，所以，代入可得， 即，即， 解不等式，可得， 因为函数为增函数， 经计算，满足该不等式，而，均不满足， 故， 所以，此时，即存在，使得成立. 16．【答案】8 【分析】 利用与的关系可得，进而可得，利用作差法找出数列的最大项即可求解. 【详解】 ，当时，， 当时，， 所以， 所以，时也适合， 所以，， 所以，， ，， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，最大， 即对任意，均有， 所以存在正整数，使得恒成立. 故答案为：8. 考点02 等差数列 1．B 2．B 3．AB 4．D 5．AC 6．AD 7．ABD 8．BCD 9．A 10．A 11．ACD 12．D 13．C 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和计算，再利用等差数列的通项公式求通项； （2）利用裂项相消求解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，则， 又，则， 则数列的通项公式为； (2) 小问详解： ， 则 15．【答案】（1） ∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列.     （2）．      【分析】 （1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 16．【答案】（1） 因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列.     （2）       【分析】 （1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以. 17．【答案】（1），.     （2） ，.      【分析】 （1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. (1) 小问详解： 设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. (2) 小问详解： 由上可知 ， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上 ，. 18．【答案】 【分析】 首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解. 【详解】 由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. (1) 小问详解： 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； (2) 小问详解： 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 20．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由得，两式相减得可得答案注意验证； （2）由，利用裂项相消然后讨论为偶数、奇数可得答案. 【详解】 （1）令，有，解得或（舍）， 当时，，也有， 两式相减得，，所以， 得，，，所以. （2）∵， ∴， ① 当为偶数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可， ∵，等号在时取得，∴， ② 当为奇数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可， ∵为增函数， ∴时，取得最小值，∴， 综上① ② 可得的取值范围是. 21．【答案】（1）；     （2），取得最大值；     （3） .      【分析】 （1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项公式； （2）求得，根据二次函数的性质，即可求得结果； （3）对分类讨论，在不同情况下，借助，即可求得结果. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，， 可得，，解得，，所以. (2) 小问详解： 根据（1）中所求，， 是关于的二次函数，其对称轴； 又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36. (3) 小问详解： 因为，所以，， 当时，； 当时，， 综上 . 22．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. (1) 小问详解： 等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， (2) 小问详解： 记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上， . 23．【答案】6 【分析】 首先由条件得到，再代入等差数列的前项和公式，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】 设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 24．【答案】（1） 因为，则，即， 且，则， 可知数列是以首项，公差为1的等差数列， 则，即，所以.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）整理可得，即可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式求的通项公式； （2）（i）整理可得，利用裂项相消法求；（ii）整理可得对恒成立，列不等式求的最大值，即可得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为， 所以； （ii）因为，可得对恒成立， 设， 令 ，即 ，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 考点03 等比数列 1．A 2．C 3．AB 4．【答案】 【分析】 利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】 因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 5．【答案】14 【分析】由等比数列的性质得：，，成等比数列，即2，4，成等比数列，由此能求出． 【详解】等比数列的前n项和为，，， 由等比数列的性质得：，，成等比数列， ，4，成等比数列， ， 解得． 故答案为14． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，已知数列为等比数列，则，，也成等比数列． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知数列满足，，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 2．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知数列满足，，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 3．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知数列满足，则（       ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 4．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知数列中，，，则（       ） A. 1 B.  C. －1 D. －2 6．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）（多选）下列四个选项中，正确的是（       ） A. 数列与数列是同一数列 B. 数列是递减数列 C. 数列的一个通项公式是 D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（     ） A. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D. 数列0，，4，，…的一个通项公式是 8．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）数列满足，，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 9．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知数列满足，，则下列判断正确的是（       ） A. ，使得 B. ，使得 C.  D. ，使得数列的最小值为 10．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为　　　　　　　　． 11．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知数列的前项和为 （1）求的最小值，并求此时的值： （2）求出的通项公式 12．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则　　　　　　　　　　，设，数列的前项和为，则　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 15．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. （1）记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； （2）若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 16．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则　　　　　　． 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）（多选）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（       ） A.  B.  C. 若存在n使得 ，则 D. 若存在n使得 ，则 4．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）记为等差数列的前项和，若，则（       ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 5．（2026·重庆渝北中学·质量监测）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（     ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. 当或11时，取得最大值 6．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（       ） A.  B.  C. 当时，的最大值为9 D. 当时，取得最大值 7．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（       ） A.  B.  C. 使的n的最大值为25 D.  8．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，则下列论断中正确的有（       ） A. 当或时，取得最大值 B.  C. 若， D. 若， 9．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）设等差数列的前项和分别为．若，则（     ） A.  B.  C.  D. 2 10．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 11．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）（多选）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（       ） A. 常数列是等差数列 B. 若，则是等差数列 C. 若是等差数列，则数列为等差数列 D. 若是等差数列，，则 12．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（       ） A. 51 B. 57 C. 63 D. 66 13．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 14．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 15．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）数列 满足 . （1）求证:数列 是等差数列； （2）求数列 的通项公式． 16．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）在数列中，，，且． （1）证明：是等差数列； （2）求的通项公式． 17．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式. （2）记，数列的前项和为，求. 18．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 　　　　　 19．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 20．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）设为正项数列的前项和，且满足. （1）求的通项公式； （2）令，，若，有，求实数的取值范围. 21．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）当n为多少时取得最大值，并求的最大值； （3）若，求数列的前n项和. 22．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和. 23．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为　　　　　. 24．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知数列满足，，数列． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式． （2）设的前项和为． （i）求； （ii）若，，求的取值范围． 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知数列是公差为的等差数列，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 2．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（     ） A.  B. 27 C. 81 D. 或81 3．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）（多选）将数列所有项排成如下数阵： 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数，，，，…成等差数列，若，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 位于第45行第89列 D. 4048在数阵中出现1次 4．（2026·重庆渝北中学·质量监测）若数列的通项公式为，则其前项和　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $