专题05 椭圆（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】 由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）椭圆的长轴长为（       ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】D 【分析】 利用椭圆的标准方程求得，从而求得长轴长. 【详解】 因为椭圆的标准方程，所以该椭圆的焦点在轴上，且，则， 所以椭圆的长轴长为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（     ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆方程，判断焦点位置，求得的值，继而写出顶点，焦点,离心率，长短轴，根据选项逐一判断即可. 【详解】 由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 椭圆有四个顶点，分别为， 焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 故A错误；B,C,D均正确. 故选：BCD. 4．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（       ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【分析】 设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】 设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）方程表示的曲线为（     ） A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形 【答案】B 【分析】 表示点到点，的距离之和为，结合椭圆的定义即可进行判断. 【详解】 表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆. 故选：B. 6．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为曲线上的动点，，且，则（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得，进而可得. 【详解】 因为，且， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆标准方程的特点，对分母和进行分类讨论即可得的范围. 【详解】 由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知： ，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【详解】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】 由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是（       ） A.  B. ＋＝1 C.  D.  【答案】D 【分析】 【详解】由 ＋ ＝1可知， 所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确； 再将点(4 ，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意． 11．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）已知椭圆：，下列选项正确的是（     ） A. 当时，的焦点在轴上 B. 的长轴长为 C. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 D. 当时，的焦点在轴上 【答案】AC 【分析】 根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可． 【详解】 对于A，时，，的焦点在轴上，故A正确； 对于B，若，则椭圆焦点在轴上， ，长轴长为：，B错误； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，椭圆的焦点在轴上的充分必要条件是 ，解得， 所以当时得不出椭圆的焦点在轴上，故D错误； 故选：AC． 12．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意求出，再代入通径公式运算求解即可. 【详解】 由题意可知：，，解得，， 可得，所以. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（     ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围. 【详解】 由题意 . 故选：C 14．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）椭圆的焦距是（       ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 根据椭圆的方程，求得的值，结合，即可求解. 【详解】 由椭圆，可得，则， 所以椭圆的焦距为. 故答案为：C. 15．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似北京鸟巢体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为8cm，则小椭圆的长轴长为（     ） A. 20cm B. 16cm C. 12cm D. 10cm 【答案】B 【分析】 由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解. 【详解】 因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的长轴长为：． 故选：B． 16．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为 【答案】B 【分析】 根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得BD错误. 【详解】 对于A，由椭圆方程知：，，则， 椭圆的离心率，A正确； 对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：， 正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径， 正方形的边长为，B错误，C正确； 对于D，设长方形的长和宽分别为， 长方形的对角线长为圆的直径，， 长方形的面积（当且仅当时取等号）， 即长方形的面积的最大值为，D正确. 故选：B. 17．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率. 【详解】 因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义求解即可. 【详解】 椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 19．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【分析】 根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】 由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 20．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 21．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出，进而求出离心率. 【详解】 椭圆的左顶点，设点，则， 且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 所以椭圆的离心率. 故选：A 22．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（     ） A. 12 B.  C.  D. 6 【答案】B 【分析】 由题意可得，则可得，再利用三角形面积公式与勾股定理计算即可得解. 【详解】 ，又，故， 则，故，即， 且有， 故， 即，故的周长为. 故选：B. 23．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】 设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B 24．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（     ） A. 10120 B. 10110 C. 10115 D. 10110 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义和对称性，即可求解. 【详解】 因为把椭圆的长轴分成2024等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，. 如图，设椭圆的右焦点为，且. 由椭圆的定义及椭圆的对称性得：，，…，. 所以 . 故选：C 25．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】 由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 26．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案. 【详解】 由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以. 故选：C 27．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）（多选）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（     ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【答案】BC 【分析】 利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断D，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解C即可. 【详解】 对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A错误； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于D，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故D错误； 对于C，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故C正确． 故选：BC． 28．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得. 【详解】 因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得 ， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D 29．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知椭圆C：，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝（       ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【分析】 根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出． 【详解】 设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，， 如图，连接，， 是的中点，是的中点， 是的中位线； ，同理； ， 在椭圆上， 根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知： ，． 故选：． 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是利用三角形中位线定理得到，然后再利用椭圆的定义解答. 30．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】 如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B 31．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（       ） A.  B.  C. 3 D. -3 【答案】A 【分析】 设切线方程为，联立方程结合可得，可知为关于的方程的两根，根据垂直关系结合韦达定理运算求解. 【详解】 由题意可知：过点与椭圆E相切直线的斜率存在， 设切线方程为，直线，的斜率分别为， 联立方程 ，消去y可得， 则，整理可得， 因为，则，可知为关于的方程的两根， 若，则，解得， 且，所以. 故选：A. 32．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【详解】 令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立 ，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B 33．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，右顶点为，直线与交于点，两点，则（       ） A. 直线恒过点 B. 当直线时， C. 的周长为40 D. 点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】 将直线转化为，求定点，即可判断A；利用，求出，即可判断B；利用椭圆的定义求出的周长即可判断C；利用当时点到直线的最大距离可判断D. 【详解】 由椭圆，得，，， 可知左右焦点，，上顶点为，右顶点为， 对于选项A，将直线转化为，所以直线l恒过点，故选项A正确； 对于选项B，当直线时，因为，则直线的斜率为，故选项B正确； 对于选项C，由椭圆的定义及直线过椭圆右焦点，可知的周长为， 故选项C错误； 对于选项D，因为直线l过椭圆右焦点，且与椭圆C交于点M，N， 当时点到直线的距离最大，最大距离为，故选项D正确. 故选：ABD. 34．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得为直角三角形，利用余弦定理求得，由同角三角函数关系式求得，即的值. 【详解】 设椭圆的左焦点为，由椭圆及直线的对称性，知. 若点B在第一象限，因为，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以. 所以，所以. 由椭圆及直线的对称性，. 故选：D. 35．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（     ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【分析】 利用椭圆的定义可判断A选项；分析可知当点为短轴顶点时，的面积最大，求其最大值，可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算并结合椭圆的范围可判断C选项；求得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】 由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 36．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】    设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以 所以，所以. 故选:C. 37．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【详解】 由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则 ， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则 ， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A 38．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据方程可得，结合椭圆定义可得，再利用余弦定理以及几何性质分析求解. 【详解】 由椭圆方程可知：，即， 因为，且，可得， 在中，， 由椭圆性质可知：，即四边形为平行四边形， 所以. 故选：A. 39．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】 设  和  为直线与椭圆的交点，且  为  中点，因此： ， 点  和  满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2) ：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故选：B 40．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（       ） A. 椭圆轨道的离心率为 B. 圆形轨道的周长为 C. 火星半径为 D. 近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】 建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】 如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 41．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）（多选）已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（     ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】 A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确.    故选：BCD 42．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（     ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】C 【分析】 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，依题意可得，，从而求出，再一一判断即可. 【详解】 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面所成锐二面角得，解得，故A错误； 显然，则，离心率，故B错误； 当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 椭圆的标准方程为，故C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：C 43．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图，设,分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若,该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用给定条件得到,再建立方程，得到参数之间的关系，最后结合勾股定理求解离心率即可. 【详解】 如图，连接,由于线段是圆的直径,所以, 设,所以, 在直角三角形中, ①, 在直角三角形中, ,整理得,代入① 得： 得即. 故选：A. 44．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知P为曲线上的动点，，，且，则（     ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 根据椭圆的定义即可求解. 【详解】 因为，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 由题意可知该椭圆即为曲线 C ，焦点在轴上，所以，且，即，. 故选：D 45．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】 由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 46．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）（多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（       ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】 对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】 由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 47．（2026·重庆名校联盟·一模）已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果. 【详解】 因为，圆心，半径为1，则， 可得， 由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点， 则，所以. 故选：A. 48．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（       ） A.  B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 【答案】AC 【分析】 先利用椭圆的几何性质，求得，得到，由椭圆的定义，可判定A正确；由椭圆的焦距为，可判定B不正确；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，设点，求得，得到，结合二次函数的性质和圆的性质，可判定C正确，D不正确. 【详解】 由椭圆：的离心率为，可得， 解得，所以，则， 对于A中，由椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，椭圆的焦距为，所以B不正确； 对于C中，如图所示，圆，则圆心为，半径， 设点，其中，则满足，可得， 则， 当时，取得最小值，，此时，所以C正确； 当时，取得最大值，，此时，所以D不正确. 故选：AC. 49．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得解. 【详解】 由题设， 可得，又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 故选：A. 50．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角､直角､钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角､直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆､抛物线和双曲线.如图，四面体中，两两垂直，，，点为底面内的一个动点. ①若，则点的轨迹是椭圆的一部分； ②若，则点的轨迹是抛物线的一部分； ③若，则点的轨迹是双曲线的一部分. 以上几个命题中，真命题的个数为（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 根据梅内克缪斯理论，求出圆锥顶角为锐角，直角还是钝角，进而判断轨迹类型即可. 【详解】 对于① ：两两垂直，平面， 平面， 点在以为轴的圆锥面上， ， 设圆锥顶角为，则， 所以顶角为锐角，即点的轨迹是椭圆的一部分，故① 正确； 对于② ：当时，点在以为轴的圆锥面上， ，故， 此时圆锥顶角，为直角， 所以的轨迹是抛物线的一部分，故② 正确； 对于③ ：当时，点在以为轴的圆锥面上， ， ， 所以顶角为钝角，即点的轨迹是双曲线的一部分，故③ 正确； 综上，真命题的个数为， 故选：D. 51．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）（多选）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（       ） A.  B. 的最大值为 C. 当点横坐标为1时，的内切圆半径 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 由面积的最大值为，求得，得到，可判定A正确；由椭圆的定义，转化为，可判定B正确；取点的坐标为，结合面积相等法，求得的内切圆的半径为，可判定C不正确；由椭圆的光学性质，过点与垂直的直线为的角平分线，设，分别求得，结合，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】 对于A，由椭圆，可得， 因为面积的最大值为，可得，解得， 所以，即椭圆的方程为，所以A正确； 对于B，由椭圆，可得，且 由椭圆的定义，可得，所以， 则， 当且仅当共线，且位于的延长线上时，等号成立，所以B正确； 对于C，当的横坐标为时，代入椭圆的方程，可得， 不妨取点的坐标为，则面积为， 又由的周长为， 设的内切圆的半径为，可得，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由椭圆的光学性质，可得点与垂直的直线为的角平分线， 则， 设，则且， 因为且， 所以，且, 又由， 可得， 整理得，解得或， 当时，，此时与点重合，不符合题意，舍去； 所以，所以，所以D正确. 故选：ABD. 52．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先将曲线放入平面直角坐标系中，确定的坐标，再利用判别式法求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可. 【详解】 如图，设为原点，我们可以把放入平面直角坐标系中， 连接，再利用曲线的对称性，我们不妨设， 因为，所以， 我们把视为以为主元的一元二次方程， 故 ，解得， 即，代入，解得，此时， 此时由两点间距离公式得，故D正确. 故选：D. 53．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）（多选）已知，，若平面上的动点满足，则以下关于的说法正确的有（       ） A. 的轨迹关于原点对称 B. 恒成立 C. 当不在坐标轴上时，恒成立 D. 恒成立 【答案】ABD 【分析】 设，，将条件进行转化，再利用相关定理和性质来判断各个选项的正确性. 【详解】 设，， 则关于原点的对称点有，，，也满足条件，从而A正确； 由得；所以在椭圆内部（含边界），B正确； 由余弦定理，从而C不成立.（，因为不在轴上，所以）. 设原点为，从而D成立. 故选：ABD. 54．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（       ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 【答案】C 【分析】 由为圆N：的任一直径，得到 ，且，求出，设，代入椭圆方程得到，又，求出，根据，解出 ，结合二次函数的图像求出最大值. 【详解】 为圆N：的任一直径，，且，，设，则有，解得，又，，，，当时，取得最大值20，此时，的最大值为19. 故选：C. 55．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）（多选）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆C交于P， Q两点，则下列结论正确的有（       ） A. 椭圆离心率为 B. 椭圆长轴长为 C. 若点M是线段PQ中点，则MO的斜率为 D. 的面积最大值为 【答案】BD 【分析】 由标准方程得到的值可直接得到离心率和长轴的长，再设出直线方程与椭圆联立可求出线段PQ中点坐标，进而求出MO的斜率，最后利用弦长公式、点到直线的距离公式表示出的面积，利用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】 由椭圆的方程，得到 ，所以 ，所以离心率，选项A错误； 长轴长为，选项B正确； 设不过原点且斜率为1的直线为， 联立椭圆的方程得到 ， ，得到 所以 ，所以， 所以线段PQ中点M坐标为 ，所以MO的斜率为，选项C错误； ； 点到直线的距离为 ，所以 当且仅当，即 时等号成立，选项D正确； 故选：BD 56．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用面积相等，得到由此得到消去整理化简求出离心率的取值范围. 【详解】 的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以 解得因为所以 两边平方得：又因为 整理得： 因为不等式两边同时除以，得：； 解得： 故选：A 57．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B.  C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和的斜率乘积为定值 【答案】ABD 【分析】 A由椭圆的离心率求解；B由椭圆的对称性知：，从而，借助基本不等式可得的最小值；表示出周长和面积分析可得；D设，则，，由点 在椭圆上，即可化得的值. 【详解】 由题易知，解得，故椭圆方程为，故A正确； 连接，由椭圆对称性知为平行四边形， ， ， 当且仅当，时等号成立，故正确； 对C：由B知：， 设，则， 的面积为， 由对称性，不妨设在第一象限及正半轴上， 故随的增大而减小，的面积为随的增大而增大， 即的面积随周长变大而变小，C错误； 对D：设，则， 又，所以， 点 在椭圆上，结合C，， 所以，故D正确； 故选：ABD. 58．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（     ） A. 的周长为定值8 B. 若为中点，则 C. 最大值为3 D. 若，则的最大值为3 【答案】AC 【分析】 对于A，根据椭圆的定义即可确定三角形的周长；对于B，设，然后用坐标表示向量的数量积，根据二次函数的性质求出值域即可；对于C，设，然后在中运用余弦定理解得的值，进而可求出最值；对于D，设，然后根据向量的线性关系列出等式，然后根据椭圆方程求出的关系式，进而根据横坐标的范围确定的范围，从而根据的单调性确定最大值. 【详解】 对于A： 根据椭圆的定义可知，， 所以. 而的周长为， 所以其周长为定值8，所以A正确； 对于 B： 因为为的中点，所以直线与轴垂直， 则，设， 则， 所以. 因为，结合二次函数的图像和性质可得，所以B错误； 对于C： 设，则由椭圆的定义，. 在中，由余弦定理得 ，解得 所以，又， 所以，所以最大值为3，C正确； 对于D： 设，所以. 因为，所以 得到 ， 因为都在椭圆上，所以满足 ，消去， 解得，因为， 所以，解得，令， 求导得，当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以的最大值为，所以D错误； 故选：AC. 59．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由可得出，求出点的坐标，结合平面向量的坐标运算得出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】 由，可得，故，且， 不妨设点在第二象限，将代入椭圆方程得，解得，即点， 设点，由得， 即 ，解得 ，即点， 将点的坐标代入椭圆方程得， 因为，故有，解得. 故选：D. 60．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据切线，三角形中位线结合椭圆定义，可以求出，，再用勾股定理找到，进而将化简为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 由题意，根据切线的性质可得，， 又为的中点，为线段的中点， 所以，所以； 所以，， 在中，，即， 则，整理得，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：D. 61．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（     ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABD 【分析】 设点，则，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】 对于A选项，设点，则，且，、， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故A正确； 对于B选项，设，，其中， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，可得， 所以，，故C错误； 对于D选项，由题意可知，则，故D正确. 故选：ABD. 62．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】 由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则① ，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立① ② ，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】 方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 63．（2026·重庆名校联盟·一模）已知点，椭圆上两点，满足，当（       ）时，点横坐标绝对值最大． A. －2 B. 4 C. －3 D. 5 【答案】D 【分析】 设，，先根据条件得到A，B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】 设，， 由可知：， 因为，则 ，整理得 ， 因为A,B在椭圆上，所以， 则，即， 与相减，整理得：， 所以， 即当时，的最大值为4，即的最大值为2． 所以当时，点横坐标的绝对值最大． 故选：D 64．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 65．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】由椭圆焦点在轴上，可知，利用长轴长为短轴长的两倍可构造方程，解方程求得结果. 【详解】椭圆方程可化为： 椭圆焦点在轴上       ， ，即       ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据椭圆方程和几何性质求解参数值的问题，易错点是忽略焦点所在轴，造成求解错误，属于基础题. 66．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）椭圆的长轴长为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆的标准方程结合长轴长定义进行求解即可. 【详解】 因为椭圆的焦点在纵轴上 所以，因此椭圆的长轴长为， 故答案为： 67．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， （1）若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. （2）若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. (1) 小问详解： 若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. (2) 小问详解： 设，则满足 ，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 68．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】 设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 69．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）点是椭圆与圆的一个交点，且，其中，分别为椭圆的左､右焦点，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出椭圆的两个焦点，判断三角形的形状，利用椭圆的定义得到关系式，进而可以求出离心率． 【详解】 如图： ∵椭圆的焦点，，， 而圆的半径，因此△为直角三角形， 又，∴，，，，， 由椭圆的定义可知，椭圆的离心率． 故答案为：． 70．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【详解】 由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 71．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）点在曲线上运动，则的最大值为　　　　　　 【答案】 【分析】 结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 72．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 73．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）若椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为　　　　　　　　. 【答案】7 【分析】 先求出，再应用椭圆定义计算求解. 【详解】 因为椭圆，所以， 因为椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为. 故答案为：7. 74．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知椭圆的右顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程. （2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可. (1) 小问详解： 由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. (2) 小问详解： 如图：    联立 ，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 75．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆的方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）是，      【分析】 （1）根据题意可得，再结合双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，从而可得，即可求解； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论：当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，再与椭圆联立及结合韦达定理，从而可求得，即得以为直径的圆经过定点；当直线的斜率不存在时，可得圆的方程为，也过原点，从而可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆的离心率，所以，即. 因为双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以， 所以.所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 若直线的斜率存在，故设直线的方程为， 由 ，消去，得， 所以设， 则， 所以. 所以.① 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，② 将② 代入① ，得，显然以为直径的圆经过定点； 若直线斜率不存在，故其切线为，在这先讨论， 则 ，可得，， 所以可得此时以为直径的圆为， 即，显然也过原点； 同理可得当时也过原点； 综上可知，以为直径的圆过定点. 76．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据短轴长可得，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）不妨设，，，结合两点间距离公式解得，进而可得点的坐标和直线的方程. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为2，则，即， 又因为离心率，则，解得， 所以椭圆C的方程为. (2) 小问详解： 因为点为椭圆的上顶点，不妨设，，， 则， 整理可得，解得，则， 即，则直线的斜率， 所以直线的方程为. 77．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知椭圆的短轴长为，右焦点为． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线与椭圆交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得出、、的值，即可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可得出，结合韦达定理可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 由题意可得，则，，所以， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： 直线的方程为，设点、 联立 可得， 由韦达定理① ，② ， 因为，所以，所以③ ， 由① ② ③ 可得关于的方程为， 解之得，即， 综上所述，直线的方程为． 78．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，则的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 先确定椭圆基本参数，再分直线斜率存在与不存在两种情况，利用椭圆性质、弦长公式或几何意义求的取值范围. 【详解】 依题意得：，，，左焦点的坐标为， 过焦点的弦的长度有两个极端情况： 最长弦：当直线与椭圆的长轴重合时，此时弦长等于长轴长， 最短弦：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程： 此时弦长， 当直线绕焦点旋转时，弦长会在“最短弦（3）”和“最长弦（4）”之间变化，因此的取值范围是. 故答案为：. 79．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再由基本不等式计算可得. (1) 小问详解： 由题可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题可知直线的斜率不为，又由（1）知：， 故可设，，，联立整理得：， 从而有，则，， 所以， 所以， 令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当，即时， 取得最大值，此时直线的方程为：. 80．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线方程求出倾斜角，然后求出焦点三角形的内角，利用余弦定理建立关于的齐次式即可得解. 【详解】 将代入得，所以直线过左焦点， 由题知，，所以， 所以，所以，故， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，即，解得（负值已舍去）. 故答案为： 81．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左、右焦点.是上的动点，点，若的最大值为6，动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则椭圆的离心率为　　　　　　；的取值范围为　　　　　　. 【答案】① .5    ② 【分析】 根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可. 【详解】 根据椭圆定义得：， 所以， 因为的最大值为6，，所以，即， 解得，所以离心率为； 右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的5倍， 则，即. 故答案为：①；②. 82．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知分别是椭圆的左､右焦点，直线同时过的右焦点和下顶点. （1）求的标准方程； （2）若点在上，且，求的面积. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）利用椭圆的定义求得，结合勾股定理以及三角形的面积公式求得的面积. (1) 小问详解： 因为直线过点和， 可得且，则， 所以所求椭圆的方程为. (2) 小问详解： 若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得， 因为，可得， 又因为，可得， 则，即， 则的面积， 所以的面积为.     83．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知椭圆E：离心率为，且过点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可． (1) 小问详解： 由题可知，又因为，故. 又点在椭圆上，故有，解得，则， 故椭圆的标准方程：. (2) 小问详解： 联立直线与椭圆方程，有 ，整理得： . 根据韦达定理，有： ，解得. 弦长 点到弦的距离 ，当且仅当时，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 84．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 设，得到且，，在中，利用余弦定理列出方程，求得，再由，得到,在直角中，求得，得到，再由椭圆的定义，得到，即可求得椭圆的离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆的定义，可得，， 在中，由余弦定理得， 可得， 整理得，解得， 所以，，则，所以, 在直角中，可得， 即，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 85．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用点差法得到，再由离心率公式计算可得； （2）依题意可得为线段的中点，求出直线与坐标轴的交点，即可得到点坐标，从而求出，由求出，即可得到直线方程，由（1）得椭圆，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可得到椭圆方程. (1) 小问详解： 依题意得，设，， 直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则 ， ， ，，， 又直线与直线的斜率乘积为， ，则离心率． (2) 小问详解： 因为直线与轴，轴分别相交于，两点，且， 为线段的中点，所以为线段的中点， 直线与轴，轴的交点为，， 所以，所以， 又，所以或（舍去）， 所以直线，又椭圆， 由 ，消去整理得， 由得，又，， 所以， 所以，则， 所以椭圆的方程为. 86．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】 ∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 87．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知，点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线过点，且与曲线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）     （2），或      【分析】 （1）根据条件列得关于的方程，化简可得曲线的方程； （2）由（1）知，曲线E是圆，根据弦长可求得圆心到直线的距离，进而求得直线的方程 (1) 小问详解： 由题可知，,化简得. 所以曲线的方程为：. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线的方程为：. 所以点的轨迹为圆，设圆心，半径. 因为弦长，所以圆心C到直线的距离为. 因为直线过点，所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为,即. 所以，解得. 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为，或. 88．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】35 【分析】 根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得. 【详解】 由题可知，. 所以 ， 化简得，所以. 故答案为：35. 89．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为，所以，所以． 又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组 ，整理得到， 可得， 设，，则， 所以的面积 ， 平方化简得，解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 90．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆的左右焦点分别为和，上下顶点分别为和，坐标原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）依据条件到直线的距离为，根据等面积法得到，即可求得椭圆方程； （2）利用点差法结合中点求得直线的斜率，进而求出直线的方程，再将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果. (1) 小问详解： 由题意得， 因为，即， 所以. 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设因为线段AB的中点为，所以， 由 ，得， 即 ， 所以直线的方程为，即. 联立 得， 则，，， ∴， 又∵点O到直线AB的距离， ∴ ， 即△OAB的面积为. 91．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）记椭圆C：（）的离心率为，一个顶点坐标为，则直线被椭圆截得的弦长　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由已知条件可得椭圆方程，与直线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】 由题可得： 解得： ，所以椭圆方程为：, 设直线与椭圆的交点为, 联立 ，可得：, 所以 ,则； 故答案为： 92．（2026·重庆名校联盟·一模）已知椭圆：过点，且离心率． （1）椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据离心率以及焦距即可求解方程， （2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解. (1) 小问详解： 椭圆过点， ，又，， 解得：， 椭圆的方程为； (2) 小问详解： 设直线的方程为， 由 得， 设， 则.， 四边形为平行四边形. 设，则， 所以，， 因为点在椭圆上， 所以得，解得， 当直线的斜率不存在时，显然不成立 所以，直线的方程为或 93．（2026·重庆名校联盟·一模）设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆的定义，结合三角形角平分线的性质与比例的性质，可求的值. 【详解】 如图：连接 因为为的内切圆圆心，所以平分， 根据三角形角平分线的性质，可得. 又平分，所以. 所以. 故答案为： 94．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知和为椭圆上两点. （1）求的离心率； （2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程； （3）设过点的动直线与椭圆有两个交点、，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）或     （3）存在，      【分析】 （1）根据题目条件，以及待定系数法，求出参数值，进而求出椭圆离心率； （2）根据直线和椭圆的位置关系，以及韦达定理，列出方程组，根据三角形面积，求出参数值，进而求出直线方程； （3）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，根据向量数量积得坐标表示，列出不等式组，求出参数范围，求出结果. (1) 小问详解： 由题意 ，解得 ， 所以. (2) 小问详解：    当的斜率不存在时，，，，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设，设，， ，消可得， 当时， ，又，所以， ， 又点到直线的距离， 所以， 整理可得或（无解），即， 解得或，此时代入检验，均满足， 或，即或. (3) 小问详解：    椭圆方程为：.若过的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为：，设，，， 联立椭圆方程可得， 故，，， 而，， 故 因为恒成立，故 ，解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，综上，可得. 故点纵坐标的取值范围为. 95．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】 设椭圆，，则． 设椭圆，，则． 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，此时为． 故答案为：． 96．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点. （1）求的方程； （2）（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由； （ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2. 【答案】（1）；     （2）（i）不存在，理由如下： 若存在上的点，使得，则， 由题意，设， 由 ，得， 则， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 即，令，则， 由 ，得， 因此，， 当点在线段上时，，又， 所以线段上不存在点，使得. （ii）由（i）知，， 直线的方程， 由 消去得， 由，得， ，由在轴上方，得， 因此，设直线与交于点， 所以四边形的面积 . 【分析】 （1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）利用中点弦问题求出直线的斜率，进而求出线段中垂线方程，并求出与轴交点的横坐标即可判断得解；（ii）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出四边形面积关系，借助基本不等式求出范围即可. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆长轴长与短轴长之积为8，得，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 97．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点． （1）求的方程； （2）若点是上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）若点是上不同于左､右顶点的一点，点是的重心，点是圆上的一点，求的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据椭圆定义求出的值，根据，求解即得椭圆方程； （2）利用点差法求出中点弦所在直线方程； （3）依题意，设，，根据，求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意知， 所以，所以， 所以的方程为． (2) 小问详解： 设，又线段的中点为，且在椭圆内部， 所以，即， 又点是上的两点，所以， 两式相减得， 所以， 即直线的斜率为 所以直线的方程为，即． (3) 小问详解： 设，因为点是的重心，所以 ， 所以，又点是上的一点，所以， 所以，即， 所以． 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最大值为． 98．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②      【分析】 （1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. (1) 小问详解： 由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由① 知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是. 99．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2） （i）设直线方程为：， 由 得：， ， 因为， 所以，即 所以，整理， 代入韦达定理，化简得， 所以直线方程为：，恒过定点；经检验. （ii）存在，为.      【分析】 （1）由离心率及的最小值为列出方程求，即可求； （2）（i）设直线方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得即可求证；（ii）设，由，得到直线的方程为：，直线的方程为：，联立求得，结合点，点在椭圆上，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，即，线段的最小值为， 所以，又， 则，故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）设，显然，则直线斜率为，直线的斜率为. 因为，所以直线斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，且四点共圆，结合对称性， 所以，即或， 又点在椭圆上，，联立 无解， 联立 ，解得， 所以符合条件的点得坐标为. 100．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”.已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示. （1）如图1，求证：平面； （2）如图1，若，，求平面与平面所成角的大小； （3）如图2，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于，两点，为平面下方一点，若四面体为等腰四面体，求实数的取值范围. 【答案】（1） 连接，，，，如图1， 则，， 所以，则四边形为平行四边形， 又，，所以， 所以四边形为菱形，连接，则， 连接，同理得，且四边形为菱形， ，交于一点且都在平面内，所以平面；     （2）；     （3） .      【分析】 （1）连接，，，，证得四边形为菱形，连接，则，连接，得，且四边形为菱形，应用线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，应用向量法求面面角的大小； （3）设，，结合题设有，联立直线与椭圆方程，根据已知有中角为锐角，再应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图2，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则 ，令，得， 设平面的法向量为， 则 ，令，得， 所以， 由图知，二面角为锐角，所以二面角的大小为； (3) 小问详解： 设，，因直线过椭圆焦点，所以， 联立 ，得，则， 所以 ，则 ， 由，，为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中，为锐角， 所以，只需角为锐角，即，得. 101．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆的方程为，过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆的右焦点，M，N是椭圆上的两点且直线MN与曲线相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是. 【答案】（1）     （2） 由（1）得，，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，M，N，F三点不共线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立 ，得，所以， 所以，所以必要性成立； 充分性： 设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立 可得， 所以， 所以， 由直线与曲线相切可得，所以， 所以， 由，得， 化简得，所以， 所以 或 ，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是．      【分析】 （1）由椭圆过已知点和离心率列方程组，求解即得； （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解. (1) 小问详解： 由题意， 解得 ， 所以椭圆方程为； (2) 小问详解： 略 102．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用圆的切点的性质得出圆心到点的距离，利用椭圆的性质得出点到点距离的取值范围，根据已知条件列不等式得出的范围，最后利用离心率公式求出离心率的取值范围． 【详解】    为圆的切线，， ，， ， ， 点到原点的距离为， 若存在满足条件，则，即， ， ， ，又，． 故答案为：． 103．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知椭圆的左右两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②求面积的最大值． 【答案】（1）     （2）① 由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设过点的直线方程为， 联立方程 得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. ②      【分析】 （1）由题知，，进而解方程即可得答案； （2）① 分直线斜率为0和直线斜率不为0两种情况讨论求解，当斜率不为0时，设方程为，进而结合韦达定理求解即可证明； ② 由① 先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 解：∵椭圆的左右两个焦点分别为， ∴， ∵过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴，即，解得或（舍） ∴，即椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 104．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点是椭圆C上异于A，B的点，直线DA与直线DB的斜率之积为，的周长为. （1）求椭圆C的方程； （2）求证：过D与椭圆C相切的直线方程是； （3）设直线l的方程为，过l上任一点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，当四边形AMBN的面积最大时，求的正切值. 【答案】（1）     （2） 设切线的方程为， 联立 ，整理得， 由，得， 所以， 所以，所以， 因为在椭圆上，所以，则， 所以 ， 所以切线方程为，所以， 所以，即.     （3）      【分析】 （1）应用斜率公式结合椭圆方程解出即可； （2）设切线的方程为，与椭圆联立，由得，在上，知道，计算可得切线方程； （3）与椭圆联立，借助韦达定理将四边形面积表示出来，即，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可. (1) 小问详解： 由题意知，， 因为，所以，所以，所以， 所以，， 所以，解得，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，， 由（2）可知，切线的方程为，切线的方程为， 所以，， 故直线的方程为. 联立 ，得，整理得， 所以， 又， ， 又 . 因为，令，由对勾函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 则，所以， 所以，所以时，四边形的面积最大，最大面积为. 此时直线的方程为，所以， 则，所以， 所以. . 105．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆方程； （2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0. ①求证：直线经过定点，并求出定点坐标； ②求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）① 设点，. 联立 得， ∴， 化简得① ，② ，③ 设直线，，的斜率分别为 直线，，的斜率之和为0，∴， 即 ， ∴，又，∴. 综上可得，直线经过定点. ②1 【分析】 (1)由条件有，将点代入椭圆方程结合，可求解椭圆方程. (2) ① 设点，，设直线，，的斜率分别为，由条件有，将直线方程与椭圆方程联立，将，代入化简可得，得到直线过定点. ② 由① 利用弦长公式可求出，再求出原点到直线的距离，则的面积可表示出来，从而可求其最大值. 【详解】 解：（1）由题意可得，又由点在椭圆上，故得， ∵，解得，. ∴椭圆的方程为； （2）① 略 ② 由① 知. ∴， 原点到直线的距离. ∴， ∵， 当且仅当，即取“”. ∴，即面积的最大值为1. 【点睛】 本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题. 106．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可. 【详解】 设椭圆的左焦点为，连接，，，，    由直线交椭圆于两点﹐及， 结合椭圆的对称性可得， 所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，，， 所以在直角中，即① ， 在直角中，即② ， 由② 解得， 将代入① 得，即， 所以， 故答案为： 107．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. （1）求椭圆的方程； （2）求点Q的坐标； （3）过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 【答案】（1）     （2）     （3）在定直线上      【分析】 （1）由题中所给的半焦距与半通径，可解得进而确定椭圆方程； （2）设出过点的直线，与椭圆联立后使得判别式，解出直线，再求其与轴的交点即可； （3）设出过的直线，设出，与椭圆联立后，计算出的中点坐标，结合韦达定理计算推理即可. (1) 小问详解： 由题可知，，又，可得. 因此椭圆的方程为. (2) 小问详解： 易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线为. 联立直线与椭圆 整理得， 再令，整理得，解得. 则过点的切线方程为：，再令，得. 因此点的坐标为. (3) 小问详解：    设过的直线方程，设点，线段的中点为， 联立 ，得， 令，得，即或. 根据韦达定理，由，， 直线的方程为. 则. 于是， . ， 因此点在直线上， 即线段中点在定直线上. 108．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由结合可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）列出韦达定理，根据直线、、的斜率成等比数列，可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得. 又因为，所以， 则，所以，，， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 解：联立 得，① 所以，所以. 又，所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 解：设、，由① 式得，， 设直线、的斜率分别为、， 因为直线、、的斜率成等比数列， 所以，即， 整理可得，即， 因为 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以的面积的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 109．（2026·重庆名校联盟·一模）设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程，并说明该方程表示的曲线形状． （2）已知，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且（为坐标原点），并求出该圆的方程． （3）已知，设直线与圆相切于，且与轨迹只有一个公共点，当为何值时，取得最大值？并求最大值． 【答案】（1） 当时，方程表示两直线，方程为； 当时， 方程表示的是圆； 当且时，方程表示的是椭圆.     （2）证明：当时， 轨迹的方程为， 设圆心在原点的圆的一条切线为， 由 ，得， 要使切线与轨迹恒有两个交点，，设，， 则， 即，即， 且，， 则， 由，则， 即，所以， 即且， 即恒成立. 又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为，， 所求的圆的方程为. 当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或，也满足. 综上所述， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且. 该圆的方程为      （3）当时，取得最大值，最大值为1      【分析】 （1）根据平面向量的数量积的坐标表示结合题设可得轨迹的方程为，进而分，，且三种情况讨论求解即可； （2）由题意得轨迹的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，联立直线与椭圆方程，结合题意及韦达定理可得，即可验证，再结合直线与圆相切求得直线方程； （3）由题意得轨迹的方程为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合题意及韦达定理可得，，进而得到，可得，再结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为，，， 所以， 即. 当时，方程表示两直线，方程为； 当时， 方程表示的是圆； 当且时，方程表示的是椭圆. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，轨迹的方程为， 设直线的方程为， 因为直线 与圆相切于， 则， 即①， 因为与轨迹只有一个公共点， 联立 ，得， 则， 即， ② 由① ②得 ， 设点， 则， 又点在椭圆上，则，即， 所以， 在直角三角形中，， 因为当且仅当时取等号， 所以， 当时，取得最大值，最大值为1. 110．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值； （3）在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 【答案】（1）     （2） 设，，，， 设关于原点的对称点，如下图所示：    由对称性可知三点共线，且. 设代入椭圆方程整理可得， 易知， 且，； 所以， 又， 所以.     （3）      【分析】 （1）根据椭圆长轴以及直线的倾斜角即可得椭圆方程； （2）找出点关于原点的对称点，利用对称性联立直线和椭圆方程整理表达式可得结果； （3）将四边形面积等价转化为三角形面积，求得面积表达式利用基本不等式计算可得结果. (1) 小问详解： 由长轴长为，可得，. 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则， 又，则.    椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 四边形为梯形，由对称性可知四边形的面积与的面积相等， 点到直线的距离为， 易知， 所以， 令，则 所以，当且仅当，即时等号成立； 四边形的的面积的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据平行关系充分利用对称性，将四边形面积转化为三角形面积，得出面积表达式再利用基本不等式求得面积取值范围. 111．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 112．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线的方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，求出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解； （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，并应用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. (1) 小问详解： 根据题意可知 ，所以 ， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 设直线与曲线的两交点的坐标分别为 联立 ，可得， 所以 ， 所以弦长为 ， 化简得， 即，得，所以的值为. (3) 小问详解： 设，直线的方程为， 联立 得， 所以 ， 设点，因为，可得， 则，得，故， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 113．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知点P为圆上的动点，过点P作y轴的垂线，垂足为H，若． （1）求动点Q的轨迹的方程； （2）若圆O与x轴的左、右交点分别为M、N，过M的直线与轨迹交于A、B两点，求的内切圆面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点坐标为，借助构造方程组，利用代入法求点的轨迹的方程； （2）由题意知直线不垂直轴，设过的直线为，联立方程组，借助韦达定理和三角形面积公式以及换元法结合基本不等式计算即可. (1) 小问详解： 设，圆上动点， 过作轴垂线，垂足的坐标为(坐标与相同，坐标为). 由，向量坐标满足： 即： ，解得. 因为在圆上，代入得： 即， 故：此为动点的轨迹的方程. (2) 小问详解： 由题知圆与轴的交点为（长度为 4）， 设过的直线为，与椭圆联立，整理得： 由韦达定理得，， 因为，， 所以， 令，则，面积， 由基本不等式（当且仅当时取等号），得， 所以当（即）时，面积最大为， 因为直线为，代入椭圆得， 所以，所以周长， 由三角形面积公式(为周长，为内切圆半径)， 因此，所以， 所以内切圆面积最大值为. 114．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，且为垂足. （i）证明：点的轨迹为圆，并求该圆的方程； （ii）记点的轨迹为圆，对上任意一点，是否存在以为顶点，与外切且与内接的平行四边形？若存在，求出该平行四边形的面积的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，, 则，， 因为，所以， 则，解得， 可得，此时点的轨迹为圆，方程为， 如图，作出符合题意的图形，当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立 ，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得， 解得，而， 则由点到直线的距离公式得. 此时点的轨迹为圆，方程为， 综上可得，点的轨迹为圆，方程为. （ii）如图，作出符合题意的图形， 由题意得平行四边形即为符合题意的平行四边形，设其面积为 由平行四边形性质结合圆的对称性得 ， 由（i）可知：当直线的斜率不存在时，， 而，则， 此时， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立， 而，则，即， 则，此时，故， 综上可得，，即该平行四边形的面积的取值范围是.      【分析】 （1）由题目所给条件与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式可得长度为定值，进而得到轨迹是圆，求解轨迹方程；（ii）根据圆的对称性将平行四边形面积转化为三角形面积，分情况利用基本不等式求弦长范围，进而得到面积范围，求出答案即可. (1) 小问详解： 由题意得椭圆的离心率为，长轴长为4， 可得 ，解得 ， 则可得椭圆. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 115．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知焦点在轴上的椭圆，长轴长为4，离心率为，点，，是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆上顶点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若的斜率存在，且，求的面积． 【答案】（1）     （2） 设， 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由 得，， ； 当斜率存在时，设方程为， 由 得，， 则， 则 ， 所以直线方程为， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点．     （3）      【分析】 （1）设椭圆方程为，由椭圆的长轴长和根据离心率即可求解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线方程为，联立方程组，结合得出直线过定点横坐标为；当斜率存在时，设方程为，联立方程组，由韦达定理及已知得出，代入直线方程即可证明； （3）设，分类讨论，当直线的斜率不存在时得出面积表达式，当直线斜率存在，设直线方程为，由表示出点坐标，代入椭圆方程得，再根据椭圆弦长公式和点到直线距离公式即可计算面积． (1) 小问详解： 设椭圆方程为， 由题可知，又离心率为， 所以， 所以椭圆方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设， ① 当直线斜率不存在，此时点关于轴对称， 又点是椭圆上不同的三个点，所以点必在长轴顶点处， 不妨设，且， 由得，，即， 将代入，得，则， 点到的距离为，则； ② 当直线斜率存在，如图：    由（2）知，,，， 进而，. 由得，， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 代入韦达定理得，， 线段， 点到直线的距离 ， 所以 ， 综上所述，的面积为． 116．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．已知． （1）求“椭圆”的方程； （2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围（的取值范围）、对称性，并说明理由； （3）设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 【答案】（1）     （2） 因为“椭圆”的方程为，所以 ， 去掉绝对值，解得 . 若关于轴对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于轴对称； 若关于轴对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于轴对称； 若关于原点对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于原点对称；     （3） 因为原“椭圆”的顶点为， 所以外接椭圆的方程为，则， 设直线的斜率为（），则该直线方程为，代入椭圆方程中化简得 .设， 则根据韦达定理得，所以. 设的中点的坐标为，垂直平分线的斜率为， 所以，垂直平分线的方程为，即① . 因为，的中点坐标为，的中点坐标为. 所以垂直平分线的斜率分别为， 所以垂直平分线的方程为和， 两式相加得， ② 联立① ② 得，所以. 所以，故为定值. 【分析】 （1）先求出“椭圆”上任一点到定点的“距离”，然后根据“椭圆”的定义列出方程，并讨论不同范围时方程的化简，最后形成“椭圆”的方程. （2）根据（1）中求出的“椭圆”方程辨析的范围和对称性. （3）先求出外接椭圆的方程，然后求出直线的方程，然后求出三条线段垂直平分线的方程，进而求出外心坐标，从而证明直线的斜率之积为定值. (1) 小问详解： 设“椭圆”上的点，根据“距离”的定义可得， ， 根据“椭圆”的定义可得，又， 所以，即. 当时，方程变为，轨迹为线段； 当时，方程变为；当时，方程变为； 所以“椭圆”的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 117．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与向量共线，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　，设M为椭圆上任意一点，且（t，），则的最大值等于　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 第一空：设点，将直线的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出的坐标，利用与共线，可得出关于的齐次等式，进而可解得椭圆的离心率；第二空：设，由可得出 ，由点在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再结合重要不等式可求得最大值. 【详解】 第一空：设椭圆方程为，，则直线的方程为， 联立 ，消去并整理得， 设点，由韦达定理可得， 由，， 由与向量共线，得， 又，，， 所以，即，可得，所以， 所以，所以，所以，椭圆的离心率为； 第二空：因为，所以椭圆方程可化为． 设，由， 得，所以 . 在椭圆上，所以， 所以① ． 因为，，，则，所以． ． 又，， 代入① 式，得，所以， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值等于. 故答案为：①；②. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）椭圆的长轴长为（       ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 3．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（     ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 4．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（       ） A. （） B. （） C. （） D. （） 5．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）方程表示的曲线为（     ） A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形 6．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为曲线上的动点，，且，则（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（     ）. A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是（       ） A.  B. ＋＝1 C.  D.  11．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）已知椭圆：，下列选项正确的是（     ） A. 当时，的焦点在轴上 B. 的长轴长为 C. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 D. 当时，的焦点在轴上 12．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（     ） A.  B. 且 C.  D.  14．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）椭圆的焦距是（       ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 15．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似北京鸟巢体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为8cm，则小椭圆的长轴长为（     ） A. 20cm B. 16cm C. 12cm D. 10cm 16．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为 17．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 19．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 20．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（     ） A. 12 B.  C.  D. 6 23．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（     ） A. 10120 B. 10110 C. 10115 D. 10110 25．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 27．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）（多选）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（     ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 28．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知椭圆C：，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝（       ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 30．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（       ） A.  B.  C. 3 D. -3 32．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，右顶点为，直线与交于点，两点，则（       ） A. 直线恒过点 B. 当直线时， C. 的周长为40 D. 点到直线的最大距离是 34．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（     ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 36．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（       ） A. 椭圆轨道的离心率为 B. 圆形轨道的周长为 C. 火星半径为 D. 近火星点与远火星点的距离为 41．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）（多选）已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（     ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 42．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（     ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 43．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图，设,分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若,该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知P为曲线上的动点，，，且，则（     ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 45．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  46．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）（多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（       ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 47．（2026·重庆名校联盟·一模）已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  48．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（       ） A.  B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 49．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  50．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角､直角､钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角､直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆､抛物线和双曲线.如图，四面体中，两两垂直，，，点为底面内的一个动点. ①若，则点的轨迹是椭圆的一部分； ②若，则点的轨迹是抛物线的一部分； ③若，则点的轨迹是双曲线的一部分. 以上几个命题中，真命题的个数为（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 51．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）（多选）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（       ） A.  B. 的最大值为 C. 当点横坐标为1时，的内切圆半径 D. 若，则 52．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（       ） A.  B.  C.  D.  53．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）（多选）已知，，若平面上的动点满足，则以下关于的说法正确的有（       ） A. 的轨迹关于原点对称 B. 恒成立 C. 当不在坐标轴上时，恒成立 D. 恒成立 54．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（       ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 55．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）（多选）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆C交于P， Q两点，则下列结论正确的有（       ） A. 椭圆离心率为 B. 椭圆长轴长为 C. 若点M是线段PQ中点，则MO的斜率为 D. 的面积最大值为 56．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  57．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B.  C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和的斜率乘积为定值 58．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（     ） A. 的周长为定值8 B. 若为中点，则 C. 最大值为3 D. 若，则的最大值为3 59．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率（     ） A.  B.  C.  D.  60．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（     ）. A.  B.  C.  D.  61．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（     ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 62．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（       ） A.  B.  C.  D.  63．（2026·重庆名校联盟·一模）已知点，椭圆上两点，满足，当（       ）时，点横坐标绝对值最大． A. －2 B. 4 C. －3 D. 5 64．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  65．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为　　　　　　　　. 66．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）椭圆的长轴长为　　　　　　　　　　　. 67．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， （1）若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. （2）若 为线段 的中点，求直线 的方程. 68．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为　　　　　　　　　　. 69．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）点是椭圆与圆的一个交点，且，其中，分别为椭圆的左､右焦点，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　. 70．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为　　　　　　. 71．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）点在曲线上运动，则的最大值为　　　　　　 72．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 73．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）若椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为　　　　　　　　. 74．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知椭圆的右顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 75．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆的方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 76．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程． 77．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知椭圆的短轴长为，右焦点为． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线与椭圆交于、两点，且，求直线的方程． 78．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，则的取值范围为　　　　　. 79．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程. 80．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为　　　　　　　　　　. 81．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左、右焦点.是上的动点，点，若的最大值为6，动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则椭圆的离心率为　　　　　　；的取值范围为　　　　　　. 82．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知分别是椭圆的左､右焦点，直线同时过的右焦点和下顶点. （1）求的标准方程； （2）若点在上，且，求的面积. 83．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知椭圆E：离心率为，且过点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 84．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为　　　　　　　　　　　 85．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程. 86．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是　　　　　　　　　　. 87．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知，点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线过点，且与曲线交于两点，若，求直线的方程． 88．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则　　　　　　　　　　　． 89．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．若的面积为，求直线的方程． 90．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆的左右焦点分别为和，上下顶点分别为和，坐标原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为，求的面积. 91．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）记椭圆C：（）的离心率为，一个顶点坐标为，则直线被椭圆截得的弦长　　　　　　　　　　. 92．（2026·重庆名校联盟·一模）已知椭圆：过点，且离心率． （1）椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 93．（2026·重庆名校联盟·一模）设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为　　　　　　． 94．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知和为椭圆上两点. （1）求的离心率； （2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程； （3）设过点的动直线与椭圆有两个交点、，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 95．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为　　　　　　　　． 96．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点. （1）求的方程； （2）（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由； （ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2. 97．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点． （1）求的方程； （2）若点是上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）若点是上不同于左､右顶点的一点，点是的重心，点是圆上的一点，求的最大值． 98．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 99．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 100．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”.已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示. （1）如图1，求证：平面； （2）如图1，若，，求平面与平面所成角的大小； （3）如图2，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于，两点，为平面下方一点，若四面体为等腰四面体，求实数的取值范围. 101．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆的方程为，过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆的右焦点，M，N是椭圆上的两点且直线MN与曲线相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是. 102．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　． 103．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知椭圆的左右两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②求面积的最大值． 104．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点是椭圆C上异于A，B的点，直线DA与直线DB的斜率之积为，的周长为. （1）求椭圆C的方程； （2）求证：过D与椭圆C相切的直线方程是； （3）设直线l的方程为，过l上任一点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，当四边形AMBN的面积最大时，求的正切值. 105．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆方程； （2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0. ①求证：直线经过定点，并求出定点坐标； ②求面积的最大值. 106．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　． 107．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. （1）求椭圆的方程； （2）求点Q的坐标； （3）过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 108．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 109．（2026·重庆名校联盟·一模）设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程，并说明该方程表示的曲线形状． （2）已知，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且（为坐标原点），并求出该圆的方程． （3）已知，设直线与圆相切于，且与轨迹只有一个公共点，当为何值时，取得最大值？并求最大值． 110．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值； （3）在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 111．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为　　　　　　　　． 112．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线的方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 113．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知点P为圆上的动点，过点P作y轴的垂线，垂足为H，若． （1）求动点Q的轨迹的方程； （2）若圆O与x轴的左、右交点分别为M、N，过M的直线与轨迹交于A、B两点，求的内切圆面积的最大值． 114．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，且为垂足. （i）证明：点的轨迹为圆，并求该圆的方程； （ii）记点的轨迹为圆，对上任意一点，是否存在以为顶点，与外切且与内接的平行四边形？若存在，求出该平行四边形的面积的取值范围；若不存在，请说明理由. 115．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知焦点在轴上的椭圆，长轴长为4，离心率为，点，，是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆上顶点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若的斜率存在，且，求的面积． 116．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．已知． （1）求“椭圆”的方程； （2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围（的取值范围）、对称性，并说明理由； （3）设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 117．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与向量共线，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　，设M为椭圆上任意一点，且（t，），则的最大值等于　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．A 2．D 3．BCD 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．D 11．AC 12．C 13．C 14．C 15．B 16．B 17．C 18．A 19．BD 20．B 21．A 22．B 23．B 24．C 25．B 26．C 27．BC 28．D 29．B 30．B 31．A 32．B 33．ABD 34．D 35．BCD 36．C 37．A 38．A 39．B 40．C 41．BCD 42．C 43．A 44．D 45．A 46．ACD 47．A 48．AC 49．A 50．D 51．ABD 52．D 53．ABD 54．C 55．BD 56．A 57．ABD 58．AC 59．D 60．D 61．ABD 62．B 63．D 64．C 65．【答案】 【分析】由椭圆焦点在轴上，可知，利用长轴长为短轴长的两倍可构造方程，解方程求得结果. 【详解】椭圆方程可化为： 椭圆焦点在轴上       ， ，即       ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据椭圆方程和几何性质求解参数值的问题，易错点是忽略焦点所在轴，造成求解错误，属于基础题. 66．【答案】 【分析】 根据椭圆的标准方程结合长轴长定义进行求解即可. 【详解】 因为椭圆的焦点在纵轴上 所以，因此椭圆的长轴长为， 故答案为： 67．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. (1) 小问详解： 若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. (2) 小问详解： 设，则满足 ，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 68．【答案】 【分析】 设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】 设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 69．【答案】 【分析】 求出椭圆的两个焦点，判断三角形的形状，利用椭圆的定义得到关系式，进而可以求出离心率． 【详解】 如图： ∵椭圆的焦点，，， 而圆的半径，因此△为直角三角形， 又，∴，，，，， 由椭圆的定义可知，椭圆的离心率． 故答案为：． 70．【答案】 【分析】 根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【详解】 由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 71．【答案】 【分析】 结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 72．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 73．【答案】7 【分析】 先求出，再应用椭圆定义计算求解. 【详解】 因为椭圆，所以， 因为椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为. 故答案为：7. 74．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程. （2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可. (1) 小问详解： 由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. (2) 小问详解： 如图：    联立 ，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 75．【答案】（1）     （2）是，      【分析】 （1）根据题意可得，再结合双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，从而可得，即可求解； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论：当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，再与椭圆联立及结合韦达定理，从而可求得，即得以为直径的圆经过定点；当直线的斜率不存在时，可得圆的方程为，也过原点，从而可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆的离心率，所以，即. 因为双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以， 所以.所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 若直线的斜率存在，故设直线的方程为， 由 ，消去，得， 所以设， 则， 所以. 所以.① 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，② 将② 代入① ，得，显然以为直径的圆经过定点； 若直线斜率不存在，故其切线为，在这先讨论， 则 ，可得，， 所以可得此时以为直径的圆为， 即，显然也过原点； 同理可得当时也过原点； 综上可知，以为直径的圆过定点. 76．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据短轴长可得，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）不妨设，，，结合两点间距离公式解得，进而可得点的坐标和直线的方程. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为2，则，即， 又因为离心率，则，解得， 所以椭圆C的方程为. (2) 小问详解： 因为点为椭圆的上顶点，不妨设，，， 则， 整理可得，解得，则， 即，则直线的斜率， 所以直线的方程为. 77．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得出、、的值，即可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可得出，结合韦达定理可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 由题意可得，则，，所以， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： 直线的方程为，设点、 联立 可得， 由韦达定理① ，② ， 因为，所以，所以③ ， 由① ② ③ 可得关于的方程为， 解之得，即， 综上所述，直线的方程为． 78．【答案】 【分析】 先确定椭圆基本参数，再分直线斜率存在与不存在两种情况，利用椭圆性质、弦长公式或几何意义求的取值范围. 【详解】 依题意得：，，，左焦点的坐标为， 过焦点的弦的长度有两个极端情况： 最长弦：当直线与椭圆的长轴重合时，此时弦长等于长轴长， 最短弦：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程： 此时弦长， 当直线绕焦点旋转时，弦长会在“最短弦（3）”和“最长弦（4）”之间变化，因此的取值范围是. 故答案为：. 79．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再由基本不等式计算可得. (1) 小问详解： 由题可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题可知直线的斜率不为，又由（1）知：， 故可设，，，联立整理得：， 从而有，则，， 所以， 所以， 令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当，即时， 取得最大值，此时直线的方程为：. 80．【答案】 【分析】 根据直线方程求出倾斜角，然后求出焦点三角形的内角，利用余弦定理建立关于的齐次式即可得解. 【详解】 将代入得，所以直线过左焦点， 由题知，，所以， 所以，所以，故， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，即，解得（负值已舍去）. 故答案为： 81．【答案】① .5    ② 【分析】 根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可. 【详解】 根据椭圆定义得：， 所以， 因为的最大值为6，，所以，即， 解得，所以离心率为； 右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的5倍， 则，即. 故答案为：①；②. 82．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）利用椭圆的定义求得，结合勾股定理以及三角形的面积公式求得的面积. (1) 小问详解： 因为直线过点和， 可得且，则， 所以所求椭圆的方程为. (2) 小问详解： 若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得， 因为，可得， 又因为，可得， 则，即， 则的面积， 所以的面积为.     83．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可． (1) 小问详解： 由题可知，又因为，故. 又点在椭圆上，故有，解得，则， 故椭圆的标准方程：. (2) 小问详解： 联立直线与椭圆方程，有 ，整理得： . 根据韦达定理，有： ，解得. 弦长 点到弦的距离 ，当且仅当时，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 84．【答案】 【分析】 设，得到且，，在中，利用余弦定理列出方程，求得，再由，得到,在直角中，求得，得到，再由椭圆的定义，得到，即可求得椭圆的离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆的定义，可得，， 在中，由余弦定理得， 可得， 整理得，解得， 所以，，则，所以, 在直角中，可得， 即，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 85．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用点差法得到，再由离心率公式计算可得； （2）依题意可得为线段的中点，求出直线与坐标轴的交点，即可得到点坐标，从而求出，由求出，即可得到直线方程，由（1）得椭圆，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可得到椭圆方程. (1) 小问详解： 依题意得，设，， 直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则 ， ， ，，， 又直线与直线的斜率乘积为， ，则离心率． (2) 小问详解： 因为直线与轴，轴分别相交于，两点，且， 为线段的中点，所以为线段的中点， 直线与轴，轴的交点为，， 所以，所以， 又，所以或（舍去）， 所以直线，又椭圆， 由 ，消去整理得， 由得，又，， 所以， 所以，则， 所以椭圆的方程为. 86．【答案】 【分析】 由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】 ∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 87．【答案】（1）     （2），或      【分析】 （1）根据条件列得关于的方程，化简可得曲线的方程； （2）由（1）知，曲线E是圆，根据弦长可求得圆心到直线的距离，进而求得直线的方程 (1) 小问详解： 由题可知，,化简得. 所以曲线的方程为：. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线的方程为：. 所以点的轨迹为圆，设圆心，半径. 因为弦长，所以圆心C到直线的距离为. 因为直线过点，所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为,即. 所以，解得. 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为，或. 88．【答案】35 【分析】 根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得. 【详解】 由题可知，. 所以 ， 化简得，所以. 故答案为：35. 89．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为，所以，所以． 又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组 ，整理得到， 可得， 设，，则， 所以的面积 ， 平方化简得，解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 90．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）依据条件到直线的距离为，根据等面积法得到，即可求得椭圆方程； （2）利用点差法结合中点求得直线的斜率，进而求出直线的方程，再将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果. (1) 小问详解： 由题意得， 因为，即， 所以. 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设因为线段AB的中点为，所以， 由 ，得， 即 ， 所以直线的方程为，即. 联立 得， 则，，， ∴， 又∵点O到直线AB的距离， ∴ ， 即△OAB的面积为. 91．【答案】 【分析】 由已知条件可得椭圆方程，与直线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】 由题可得： 解得： ，所以椭圆方程为：, 设直线与椭圆的交点为, 联立 ，可得：, 所以 ,则； 故答案为： 92．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据离心率以及焦距即可求解方程， （2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解. (1) 小问详解： 椭圆过点， ，又，， 解得：， 椭圆的方程为； (2) 小问详解： 设直线的方程为， 由 得， 设， 则.， 四边形为平行四边形. 设，则， 所以，， 因为点在椭圆上， 所以得，解得， 当直线的斜率不存在时，显然不成立 所以，直线的方程为或 93．【答案】 【分析】 利用椭圆的定义，结合三角形角平分线的性质与比例的性质，可求的值. 【详解】 如图：连接 因为为的内切圆圆心，所以平分， 根据三角形角平分线的性质，可得. 又平分，所以. 所以. 故答案为： 94．【答案】（1）     （2）或     （3）存在，      【分析】 （1）根据题目条件，以及待定系数法，求出参数值，进而求出椭圆离心率； （2）根据直线和椭圆的位置关系，以及韦达定理，列出方程组，根据三角形面积，求出参数值，进而求出直线方程； （3）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，根据向量数量积得坐标表示，列出不等式组，求出参数范围，求出结果. (1) 小问详解： 由题意 ，解得 ， 所以. (2) 小问详解：    当的斜率不存在时，，，，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设，设，， ，消可得， 当时， ，又，所以， ， 又点到直线的距离， 所以， 整理可得或（无解），即， 解得或，此时代入检验，均满足， 或，即或. (3) 小问详解：    椭圆方程为：.若过的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为：，设，，， 联立椭圆方程可得， 故，，， 而，， 故 因为恒成立，故 ，解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，综上，可得. 故点纵坐标的取值范围为. 95．【答案】 【分析】 利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】 设椭圆，，则． 设椭圆，，则． 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，此时为． 故答案为：． 96．【答案】（1）；     （2）（i）不存在，理由如下： 若存在上的点，使得，则， 由题意，设， 由 ，得， 则， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 即，令，则， 由 ，得， 因此，， 当点在线段上时，，又， 所以线段上不存在点，使得. （ii）由（i）知，， 直线的方程， 由 消去得， 由，得， ，由在轴上方，得， 因此，设直线与交于点， 所以四边形的面积 . 【分析】 （1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）利用中点弦问题求出直线的斜率，进而求出线段中垂线方程，并求出与轴交点的横坐标即可判断得解；（ii）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出四边形面积关系，借助基本不等式求出范围即可. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆长轴长与短轴长之积为8，得，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 97．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据椭圆定义求出的值，根据，求解即得椭圆方程； （2）利用点差法求出中点弦所在直线方程； （3）依题意，设，，根据，求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意知， 所以，所以， 所以的方程为． (2) 小问详解： 设，又线段的中点为，且在椭圆内部， 所以，即， 又点是上的两点，所以， 两式相减得， 所以， 即直线的斜率为 所以直线的方程为，即． (3) 小问详解： 设，因为点是的重心，所以 ， 所以，又点是上的一点，所以， 所以，即， 所以． 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最大值为． 98．【答案】（1）     （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②      【分析】 （1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. (1) 小问详解： 由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由① 知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是. 99．【答案】（1）；     （2） （i）设直线方程为：， 由 得：， ， 因为， 所以，即 所以，整理， 代入韦达定理，化简得， 所以直线方程为：，恒过定点；经检验. （ii）存在，为.      【分析】 （1）由离心率及的最小值为列出方程求，即可求； （2）（i）设直线方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得即可求证；（ii）设，由，得到直线的方程为：，直线的方程为：，联立求得，结合点，点在椭圆上，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，即，线段的最小值为， 所以，又， 则，故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）设，显然，则直线斜率为，直线的斜率为. 因为，所以直线斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，且四点共圆，结合对称性， 所以，即或， 又点在椭圆上，，联立 无解， 联立 ，解得， 所以符合条件的点得坐标为. 100．【答案】（1） 连接，，，，如图1， 则，， 所以，则四边形为平行四边形， 又，，所以， 所以四边形为菱形，连接，则， 连接，同理得，且四边形为菱形， ，交于一点且都在平面内，所以平面；     （2）；     （3） .      【分析】 （1）连接，，，，证得四边形为菱形，连接，则，连接，得，且四边形为菱形，应用线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，应用向量法求面面角的大小； （3）设，，结合题设有，联立直线与椭圆方程，根据已知有中角为锐角，再应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图2，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则 ，令，得， 设平面的法向量为， 则 ，令，得， 所以， 由图知，二面角为锐角，所以二面角的大小为； (3) 小问详解： 设，，因直线过椭圆焦点，所以， 联立 ，得，则， 所以 ，则 ， 由，，为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中，为锐角， 所以，只需角为锐角，即，得. 101．【答案】（1）     （2） 由（1）得，，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，M，N，F三点不共线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立 ，得，所以， 所以，所以必要性成立； 充分性： 设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立 可得， 所以， 所以， 由直线与曲线相切可得，所以， 所以， 由，得， 化简得，所以， 所以 或 ，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是．      【分析】 （1）由椭圆过已知点和离心率列方程组，求解即得； （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解. (1) 小问详解： 由题意， 解得 ， 所以椭圆方程为； (2) 小问详解： 略 102．【答案】 【分析】 利用圆的切点的性质得出圆心到点的距离，利用椭圆的性质得出点到点距离的取值范围，根据已知条件列不等式得出的范围，最后利用离心率公式求出离心率的取值范围． 【详解】    为圆的切线，， ，， ， ， 点到原点的距离为， 若存在满足条件，则，即， ， ， ，又，． 故答案为：． 103．【答案】（1）     （2）① 由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设过点的直线方程为， 联立方程 得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. ②      【分析】 （1）由题知，，进而解方程即可得答案； （2）① 分直线斜率为0和直线斜率不为0两种情况讨论求解，当斜率不为0时，设方程为，进而结合韦达定理求解即可证明； ② 由① 先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 解：∵椭圆的左右两个焦点分别为， ∴， ∵过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴，即，解得或（舍） ∴，即椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 104．【答案】（1）     （2） 设切线的方程为， 联立 ，整理得， 由，得， 所以， 所以，所以， 因为在椭圆上，所以，则， 所以 ， 所以切线方程为，所以， 所以，即.     （3）      【分析】 （1）应用斜率公式结合椭圆方程解出即可； （2）设切线的方程为，与椭圆联立，由得，在上，知道，计算可得切线方程； （3）与椭圆联立，借助韦达定理将四边形面积表示出来，即，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可. (1) 小问详解： 由题意知，， 因为，所以，所以，所以， 所以，， 所以，解得，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，， 由（2）可知，切线的方程为，切线的方程为， 所以，， 故直线的方程为. 联立 ，得，整理得， 所以， 又， ， 又 . 因为，令，由对勾函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 则，所以， 所以，所以时，四边形的面积最大，最大面积为. 此时直线的方程为，所以， 则，所以， 所以. . 105．【答案】（1）； （2）① 设点，. 联立 得， ∴， 化简得① ，② ，③ 设直线，，的斜率分别为 直线，，的斜率之和为0，∴， 即 ， ∴，又，∴. 综上可得，直线经过定点. ②1 【分析】 (1)由条件有，将点代入椭圆方程结合，可求解椭圆方程. (2) ① 设点，，设直线，，的斜率分别为，由条件有，将直线方程与椭圆方程联立，将，代入化简可得，得到直线过定点. ② 由① 利用弦长公式可求出，再求出原点到直线的距离，则的面积可表示出来，从而可求其最大值. 【详解】 解：（1）由题意可得，又由点在椭圆上，故得， ∵，解得，. ∴椭圆的方程为； （2）① 略 ② 由① 知. ∴， 原点到直线的距离. ∴， ∵， 当且仅当，即取“”. ∴，即面积的最大值为1. 【点睛】 本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题. 106．【答案】 【分析】 设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可. 【详解】 设椭圆的左焦点为，连接，，，，    由直线交椭圆于两点﹐及， 结合椭圆的对称性可得， 所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，，， 所以在直角中，即① ， 在直角中，即② ， 由② 解得， 将代入① 得，即， 所以， 故答案为： 107．【答案】（1）     （2）     （3）在定直线上      【分析】 （1）由题中所给的半焦距与半通径，可解得进而确定椭圆方程； （2）设出过点的直线，与椭圆联立后使得判别式，解出直线，再求其与轴的交点即可； （3）设出过的直线，设出，与椭圆联立后，计算出的中点坐标，结合韦达定理计算推理即可. (1) 小问详解： 由题可知，，又，可得. 因此椭圆的方程为. (2) 小问详解： 易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线为. 联立直线与椭圆 整理得， 再令，整理得，解得. 则过点的切线方程为：，再令，得. 因此点的坐标为. (3) 小问详解：    设过的直线方程，设点，线段的中点为， 联立 ，得， 令，得，即或. 根据韦达定理，由，， 直线的方程为. 则. 于是， . ， 因此点在直线上， 即线段中点在定直线上. 108．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由结合可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）列出韦达定理，根据直线、、的斜率成等比数列，可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得. 又因为，所以， 则，所以，，， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 解：联立 得，① 所以，所以. 又，所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 解：设、，由① 式得，， 设直线、的斜率分别为、， 因为直线、、的斜率成等比数列， 所以，即， 整理可得，即， 因为 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以的面积的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 109．【答案】（1） 当时，方程表示两直线，方程为； 当时， 方程表示的是圆； 当且时，方程表示的是椭圆.     （2）证明：当时， 轨迹的方程为， 设圆心在原点的圆的一条切线为， 由 ，得， 要使切线与轨迹恒有两个交点，，设，， 则， 即，即， 且，， 则， 由，则， 即，所以， 即且， 即恒成立. 又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为，， 所求的圆的方程为. 当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或，也满足. 综上所述， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且. 该圆的方程为      （3）当时，取得最大值，最大值为1      【分析】 （1）根据平面向量的数量积的坐标表示结合题设可得轨迹的方程为，进而分，，且三种情况讨论求解即可； （2）由题意得轨迹的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，联立直线与椭圆方程，结合题意及韦达定理可得，即可验证，再结合直线与圆相切求得直线方程； （3）由题意得轨迹的方程为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合题意及韦达定理可得，，进而得到，可得，再结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为，，， 所以， 即. 当时，方程表示两直线，方程为； 当时， 方程表示的是圆； 当且时，方程表示的是椭圆. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，轨迹的方程为， 设直线的方程为， 因为直线 与圆相切于， 则， 即①， 因为与轨迹只有一个公共点， 联立 ，得， 则， 即， ② 由① ②得 ， 设点， 则， 又点在椭圆上，则，即， 所以， 在直角三角形中，， 因为当且仅当时取等号， 所以， 当时，取得最大值，最大值为1. 110．【答案】（1）     （2） 设，，，， 设关于原点的对称点，如下图所示：    由对称性可知三点共线，且. 设代入椭圆方程整理可得， 易知， 且，； 所以， 又， 所以.     （3）      【分析】 （1）根据椭圆长轴以及直线的倾斜角即可得椭圆方程； （2）找出点关于原点的对称点，利用对称性联立直线和椭圆方程整理表达式可得结果； （3）将四边形面积等价转化为三角形面积，求得面积表达式利用基本不等式计算可得结果. (1) 小问详解： 由长轴长为，可得，. 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则， 又，则.    椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 四边形为梯形，由对称性可知四边形的面积与的面积相等， 点到直线的距离为， 易知， 所以， 令，则 所以，当且仅当，即时等号成立； 四边形的的面积的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据平行关系充分利用对称性，将四边形面积转化为三角形面积，得出面积表达式再利用基本不等式求得面积取值范围. 111．【答案】 【分析】 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 112．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，求出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解； （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，并应用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. (1) 小问详解： 根据题意可知 ，所以 ， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 设直线与曲线的两交点的坐标分别为 联立 ，可得， 所以 ， 所以弦长为 ， 化简得， 即，得，所以的值为. (3) 小问详解： 设，直线的方程为， 联立 得， 所以 ， 设点，因为，可得， 则，得，故， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 113．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点坐标为，借助构造方程组，利用代入法求点的轨迹的方程； （2）由题意知直线不垂直轴，设过的直线为，联立方程组，借助韦达定理和三角形面积公式以及换元法结合基本不等式计算即可. (1) 小问详解： 设，圆上动点， 过作轴垂线，垂足的坐标为(坐标与相同，坐标为). 由，向量坐标满足： 即： ，解得. 因为在圆上，代入得： 即， 故：此为动点的轨迹的方程. (2) 小问详解： 由题知圆与轴的交点为（长度为 4）， 设过的直线为，与椭圆联立，整理得： 由韦达定理得，， 因为，， 所以， 令，则，面积， 由基本不等式（当且仅当时取等号），得， 所以当（即）时，面积最大为， 因为直线为，代入椭圆得， 所以，所以周长， 由三角形面积公式(为周长，为内切圆半径)， 因此，所以， 所以内切圆面积最大值为. 114．【答案】（1）     （2）（i）当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，, 则，， 因为，所以， 则，解得， 可得，此时点的轨迹为圆，方程为， 如图，作出符合题意的图形，当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立 ，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得， 解得，而， 则由点到直线的距离公式得. 此时点的轨迹为圆，方程为， 综上可得，点的轨迹为圆，方程为. （ii）如图，作出符合题意的图形， 由题意得平行四边形即为符合题意的平行四边形，设其面积为 由平行四边形性质结合圆的对称性得 ， 由（i）可知：当直线的斜率不存在时，， 而，则， 此时， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立， 而，则，即， 则，此时，故， 综上可得，，即该平行四边形的面积的取值范围是.      【分析】 （1）由题目所给条件与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式可得长度为定值，进而得到轨迹是圆，求解轨迹方程；（ii）根据圆的对称性将平行四边形面积转化为三角形面积，分情况利用基本不等式求弦长范围，进而得到面积范围，求出答案即可. (1) 小问详解： 由题意得椭圆的离心率为，长轴长为4， 可得 ，解得 ， 则可得椭圆. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 115．【答案】（1）     （2） 设， 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由 得，， ； 当斜率存在时，设方程为， 由 得，， 则， 则 ， 所以直线方程为， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点．     （3）      【分析】 （1）设椭圆方程为，由椭圆的长轴长和根据离心率即可求解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线方程为，联立方程组，结合得出直线过定点横坐标为；当斜率存在时，设方程为，联立方程组，由韦达定理及已知得出，代入直线方程即可证明； （3）设，分类讨论，当直线的斜率不存在时得出面积表达式，当直线斜率存在，设直线方程为，由表示出点坐标，代入椭圆方程得，再根据椭圆弦长公式和点到直线距离公式即可计算面积． (1) 小问详解： 设椭圆方程为， 由题可知，又离心率为， 所以， 所以椭圆方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设， ① 当直线斜率不存在，此时点关于轴对称， 又点是椭圆上不同的三个点，所以点必在长轴顶点处， 不妨设，且， 由得，，即， 将代入，得，则， 点到的距离为，则； ② 当直线斜率存在，如图：    由（2）知，,，， 进而，. 由得，， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 代入韦达定理得，， 线段， 点到直线的距离 ， 所以 ， 综上所述，的面积为． 116．【答案】（1）     （2） 因为“椭圆”的方程为，所以 ， 去掉绝对值，解得 . 若关于轴对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于轴对称； 若关于轴对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于轴对称； 若关于原点对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于原点对称；     （3） 因为原“椭圆”的顶点为， 所以外接椭圆的方程为，则， 设直线的斜率为（），则该直线方程为，代入椭圆方程中化简得 .设， 则根据韦达定理得，所以. 设的中点的坐标为，垂直平分线的斜率为， 所以，垂直平分线的方程为，即① . 因为，的中点坐标为，的中点坐标为. 所以垂直平分线的斜率分别为， 所以垂直平分线的方程为和， 两式相加得， ② 联立① ② 得，所以. 所以，故为定值. 【分析】 （1）先求出“椭圆”上任一点到定点的“距离”，然后根据“椭圆”的定义列出方程，并讨论不同范围时方程的化简，最后形成“椭圆”的方程. （2）根据（1）中求出的“椭圆”方程辨析的范围和对称性. （3）先求出外接椭圆的方程，然后求出直线的方程，然后求出三条线段垂直平分线的方程，进而求出外心坐标，从而证明直线的斜率之积为定值. (1) 小问详解： 设“椭圆”上的点，根据“距离”的定义可得， ， 根据“椭圆”的定义可得，又， 所以，即. 当时，方程变为，轨迹为线段； 当时，方程变为；当时，方程变为； 所以“椭圆”的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 117．【答案】①     ② 【分析】 第一空：设点，将直线的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出的坐标，利用与共线，可得出关于的齐次等式，进而可解得椭圆的离心率；第二空：设，由可得出 ，由点在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再结合重要不等式可求得最大值. 【详解】 第一空：设椭圆方程为，，则直线的方程为， 联立 ，消去并整理得， 设点，由韦达定理可得， 由，， 由与向量共线，得， 又，，， 所以，即，可得，所以， 所以，所以，所以，椭圆的离心率为； 第二空：因为，所以椭圆方程可化为． 设，由， 得，所以 . 在椭圆上，所以， 所以① ． 因为，，，则，所以． ． 又，， 代入① 式，得，所以， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值等于. 故答案为：①；②. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $