专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．B 2．D 3．C 4．C 5．C 6．C 7．BC 8．B 9．D 10．B 11．D 12．C 13．A 14．B 15．B 16．B 17．B 18．D 19．D 20．C 21．D 22．A 23．AC 24．【答案】2 【分析】 根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】 因为，且， 所以，解得. 故答案为：2 25．【答案】 【分析】 根据l1⊥l2求解. 【详解】 因为直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，且l1⊥l2， 所以， 解得， 故答案为： 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. (1) 小问详解： 由题意联立 ，解得 ，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 (2) 小问详解： 由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 27．【答案】 【分析】 根据两直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】 因为，所以，解得. 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D 11．CD 12．D 13．C 14．ABD 15．A 16．【答案】（1）平行;     （2）      【分析】 （1）利用斜率相等，截距不相等来判断两直线平行即可； （2）利用垂直关系求中垂线的斜率，即可由点斜式求中垂线方程. (1) 小问详解： 因为； 所以直线的方程为：，即， 又因为直线，两直线的斜率都为，且截距不相等， 所以直线与直线平行； (2) 小问详解： 由线段中点坐标为，根据垂直关系可得中垂线斜率， 所以中垂线方程为，即. 17．【答案】 【分析】 原方程整理为，解方程组 得解. 【详解】 由可得， 联立 ，解得 ， 故直线恒过点, 故答案为： 18．【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】 （1）根据题意，得到，结合截距式的概念，即可求解； （2）设直线的方程为，将点的坐标代入求得的值，即可求解； （3）化简圆的方程为，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】 解：（1）由，可得， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为和. （2）依题意，可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，所以所求直线的方程为. （3）由，可得， 所以圆M的圆心坐标为，半径为. 19．【答案】1 【详解】直线方程中，令x=0，得 ，解得m=1. 20．【答案】（1）4x－3y－3＝0     （2）30      【分析】 （1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案； （2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案. (1) 小问详解： 由 ，求得 ，可得直线和的交点为P（－3，－5）． 由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为， 即4x－3y－3＝0． (2) 小问详解： 由题知：设直线m的斜率为k，则直线m的方程为， 故，，且，且，求得， 故、． 故△OAB的面积为． 21．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立方程组求得交点坐标，再由点斜式得直线方程，然后整理成斜截式； （2）根据截距是否为0分类讨论可得. (1) 小问详解： 联立 ，解得 ， 点的坐标为 直线经过点，且斜率为2， 直线的方程为，即. (2) 小问详解： 设所求直线为， ① 当直线在两坐标轴上的截距不为0时， 设直线方程为，由，解得， 直线的方程为，化简为； ② 当直线在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，由，解得， 直线的方程为，化简为， 综上，所求的直线方程为或. 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. (1) 小问详解： 联立直线方程得 解得： ，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. (2) 小问详解： ∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. (3) 小问详解： ∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 23．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）设直线的截距式方程为，根据已知列方程组求解即可； （2）求出的垂直平分线方程，联立直线的方程求出圆心坐标，然后求半径即可得到标准方程. (1) 小问详解： 因为直线不过原点，所以在两坐标轴上的截距不为0，设方程为， 由题知 ，解得， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 因为，所以的中点坐标为，， 所以的垂直平分线斜率为，方程为，即， 联立 ，解得，即圆心， 由两点间距离公式可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 24．【答案】（1）     （2）点的坐标为，所在直线方程为      【分析】 （1）解直线BD与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标. （2）求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出BC边所在直线方程. (1) 小问详解： 依题意，点B是直线BD与直线BE的交点， 由 解得 ， 所以点B的坐标是. (2) 小问详解： 因为，则设直线AC的方程为， 又点，则，解得， 直线AC：， 由 ，解得 ，所以边AC的中点， 由中点坐标公式，得点， 直线BC的方程为，即. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． (1) 小问详解： （1）直线可化为， 令 ，解得，，即直线恒过定点； 当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； (2) 小问详解： 设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．AC 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．C 8．BC 9．D 10．A 11．【答案】 【分析】 利用点到直线距离公式直接求解即可. 【详解】 点到直线的距离. 故答案为：. 12．【答案】 【分析】 由两平行线间距离公式求解即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以它们之间的距离是. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 14．【答案】（1）（2） 【分析】（1）先计算，过点，得到答案. （2）联立直线方程： 解得答案. 【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得， 则. 又∵，∴直线的方程为， 即（或）. （2）因为边上的中线过点，则联立直线方程： . 解得： ， 即点坐标为. 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 15．【答案】2或 【分析】 根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 由题意可得，解得或， 故答案为：2或 16．【答案】 【分析】 设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. 【详解】 设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为. 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 易知题中两直线平行，根据两条平行线间的距离公式可得直线与间的距离. 【详解】 由，得. 因为直线与直线平行， 所以直线与直线间的距离为. 即直线与间的距离为. 故答案为： 18．【答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)． 【分析】 (1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可； （2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可. 【详解】 因为AC⊥BH， 所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0. 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11. 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0. （2）设B(x0，y0)，则AB的中点为. 联立得方程组 ， 化简得 解得 ， 故B(－1，－3)． 【点睛】 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 19．【答案】 【分析】 利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】 因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. (1) 小问详解： 联立方程 ，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点为， 则 ，解得，即； 则, 故的最小值为. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用垂直关系和斜率定义式求出边上的垂直平分线所在直线的斜率，再求出中点，然后由点斜式可得； （2）由点斜式得到边直线方程，再求出点到的距离，然后由三角形面积公式可得. (1) 小问详解： ，所以边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 中点为， 由点斜式可得， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程. (2) 小问详解： 边直线方程为，即， 点到的距离， 又， 所以的面积为. 22．【答案】1 【分析】 点P到点Q的最短距离为这两条平行线间的距离，利用平行线间的距离公式求解即可． 【详解】 直线与直线平行，则，解得， 此时两直线为与． 点P到点Q的最短距离为这两条平行线间的距离． 故答案为：1． 23．【答案】（1）（2） 【分析】 （1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】 （1）法1：联立 ，解得 ， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 24．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心坐标，根据两点距离公式建立关于m的方程，解方程，求出半径即可求解； （2）如图，当切线的斜率存在时，设切线方程，利用点到直线的距离公式计算求出斜率即可；易知当切线的斜率不存在时切线方程为. (1) 小问详解： 由题意知，设， 则，解得， 所以，半径为， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： 如图所示，点在圆外，则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以切线方程为； 当切线的斜率不存在时，则与圆相切. 综上，切线方程为或. 考点04 圆的方程 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．BC 7．B 8．C 9．D 10．B 11．B 12．ACD 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到 ，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. (1) 小问详解： 解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则 ， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． (2) 小问详解： 解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 14．【答案】 【分析】 将圆的一般方程转化成标准方程即可得到答案 【详解】 由可得，所以圆心坐标为， 故答案为： 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）化圆的方程为标准方程，可得圆心为，半径为，根据所求直线与直线垂直可得所求直线的斜率为，进而结合点斜式求解即可； （2）先求得圆心到直线的距离为，再利用几何法求得弦长，进而求解的面积. (1) 小问详解： 由圆，即， 则圆心为，半径为， 直线的斜率为1， 则所求直线的斜率为， 所求直线的方程为，即. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 则， 所以的面积为. 16．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）求出的垂直平分线方程，利用圆的性质可得圆心在的垂直平分线上，求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式求解； （3）由题表示圆上的点到的距离的平方，根据圆的几何性质可以转化为求出圆心到点的距离减去半径即可，平方后得最小值. (1) 小问详解： 由题，的中点为，的斜率， 所以的垂直平分线方程为，又圆心在直线上， 联立 ，解得 ，所以圆心坐标为，半径为， ∴圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 当直线斜率不存在时，，即 经检验当的方程为时，验证可知与圆相切； ② 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为 即时，圆心到直线的距离为，解得， 所以的方程为，即. 所以直线的一般式方程为或. (3) 小问详解： 由（1）知圆心为，半径为2， 表示圆上的点到的距离的平方. 圆心到的距离，圆的半径，因为，所以在圆内部， 圆上点到的最小距离为，因此最小值为. 17．【答案】7 【分析】 利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得 得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 18．【答案】 【分析】 先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】 的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 19．【答案】 【分析】 求出点的轨迹方程，作出圆关于轴对称的圆，转化为求两圆上的动点之间的距离的最小值问题，结合图形分析即可. 【详解】 设点，因为，所以， 整理得，表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为，半径为. 记点关于轴的对称点为，则点在圆， 圆的圆心为，半径为， 则， 当且仅当五点共线，且在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 20．【答案】8 【分析】 作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则根据轴对称及两点之间线段最短的原则，知点与点的位置重合时，最小. 【详解】 将圆方程化为标准方程为：， 圆心，半径，如下图所示： 作点关于x轴的对称点， 连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则， 又，所以 最小值为8. 故答案为：8. 21．【答案】（1）     （2） 由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在， 在第一象限运动时，显然， 如下图，不妨设，则， 到的距离为，到的距离为， 令且，则，故， 所以，，则， 综上，，为定值. 【分析】 （1）根据定义法解得曲线的方程. （2）根据题设，分析出，应用点线距离公式求，并求出的坐标，得到关于的表达式，即可证结论. (1) 小问详解： 根据题意的中点坐标为，， 因为曲线E的轨迹是以为直径的圆的一部分， 所以曲线E的轨迹方程为 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知点，，则直线的倾斜角为（       ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 2．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）若直线与直线垂直，则实数 A. 3 B. 0 C.  D.  3．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）直线的倾斜角是 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知直线与直线平行，则实数（       ） A.  B. 1 C. 或1 D.  5．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知直线：，：，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 6．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C. 1 D.  7．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知直线和，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（        ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知直线，，若，则实数（       ） A. 或1 B. 0或1 C. 1 D.  10．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（       ） A.  B. 1或 C. 1 D. 或5 11．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知直线，则直线的倾斜角为（     ） A.  B. 60° C. 120° D.  12．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知直线与直线平行，则的值为（     ） A. 3 B.  C. 1或 D. 或3 15．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 16．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 17．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知两条直线平行，则（     ） A. 3 B.  C. 或3 D. 或2 18．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（       ） A. 2 B. -2 C.  D.  19．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 20．（2026·重庆名校联盟·一模）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）“”是“直线和直线平行”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 23．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为1，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 24．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）两直线，若，则实数　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，若l1⊥l2，则a=　　　　　． 26．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 27．（2026·重庆名校联盟·一模）已知直线，直线，当时，　　　　　　． 考点02 直线的方程 1．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）直线的斜率为（     ） A.  B. 1 C.  D.  3．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是　(　　) A. y=-2x+4 B. y=x+ C. y=-2x- D. y=x- 4．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）直线的斜率是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）直线在轴上的截距是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 8．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 10．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（       ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 12．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 15．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知点在直线上，则直线l的倾斜角为（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 16．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知两点和直线的方程. （1）判断直线与直线的位置关系； （2）求线段的垂直平分线的方程. 17．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）直线：恒过定点　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 19．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）设直线在轴上的截距是,则　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）． 21．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知直线与直线的交点为. （1）若直线经过点，且斜率为2，求直线的方程. （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 22．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： （1）倾斜角为的直线； （2）与直线平行的直线； （3）与直线垂直的直线． 23．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距之和等于0，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 24．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知的顶点边上的高BD所在直线方程为边上的中线BE所在直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求点的坐标及BC边所在直线方程. 25．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知直线. （1）求原点到直线l距离的最大值： （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（       ） A. 点在直线上 B. 在轴上的截距为 C. 与坐标轴围成的三角形的面积为 D. 直线到的距离为 2．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）直线，直线，若，则两直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中），函数的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）点到直线 的距离的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（       ） A. 4 B. 5 C.  D.  7．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）（多选）已知直线，则下列表述正确的是（     ） A. 当时，直线的倾斜角为135° B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 原点到直线的距离最大值为 D. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 9．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）曼哈顿距离（Manhattan Distance）是一种用于衡量两个点在空间中距离的度量方式.它的名称来源于纽约曼哈顿的网格状街道布局：在这种布局下，从一个点到另一个点需要沿着街道行走（只能沿水平或垂直方向移动），而不能走对角线，故曼哈顿距离又称城市街区距离.已知点，，定义，两点间的曼哈顿距离.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，动点满足，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）点到直线的距离为　　　　　． 12．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　　　　． 13．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标. 15．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为　　　　　　　　． 16．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）直线关于y轴对称的直线的方程为　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）直线与间的距离为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求（1）AC所在的直线的方程； （2）点B的坐标． 19．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 21．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知的三个顶点分别为，， （1）求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）求的面积． 22．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知点P是直线上一动点，点Q是直线：上一点，且两直线平行，则点P到点Q的最短距离是　　　　　. 23．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 24．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知圆经过点和原点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）若点在圆外，则的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·重庆名校联盟·一模）已知圆心为，半径为2的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·重庆渝北中学·质量监测）（多选）已知圆的半径为2，则下列选项正确的是（     ） A.  B. 点在圆的内部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 7．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 A.  B. 2 C. 3 D.  11．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）（多选）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（       ） A. 点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为4 C. 点到点的距离的最大值为6 D. 的最大值为18 13．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知点，，直线的方程为：． （1）求直线关于点对称的直线的方程； （2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 14．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知圆的方程为，则它的圆心坐标为　　　　　　　　　　． 15．（2026·重庆名校联盟·一模）已知圆，直线． （1）求过圆心且与直线垂直的直线方程． （2）直线与圆交于，两点，求的面积． 16．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程； （3）为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值． 17．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为　　　　　　　　　　　m． 18．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知两点，如果点满足，点为圆上一动点，点为轴上一动点，则的最小值为　　　　　　　　　　. 20．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知点，圆，点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知点，，动点在以为直径的圆上，记其轨迹为E，E与y轴交于C点，过P（异于C点）作直线的垂线l. （1）求曲线E的轨迹方程； （2）记A到l的距离为，B到l的距离为，证明：为定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知点，，则直线的倾斜角为（       ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】B 【分析】 求出直线的斜率即得解. 【详解】 解：由题得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以. 故选：B 2．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）若直线与直线垂直，则实数 A. 3 B. 0 C.  D.  【答案】D 【详解】∵直线与直线垂直， ∴， 整理得， 解得或．选D． 3．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）直线的倾斜角是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 4．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知直线与直线平行，则实数（       ） A.  B. 1 C. 或1 D.  【答案】C 【分析】 由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】 已知直线与直线平行， 则当且仅当 ，解得或. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知直线：，：，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 根据两直线垂直的公式计算即可. 【详解】 因为直线：，：，， 所以，解得. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】 由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 7．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）（多选）已知直线和，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 由两直线平行、垂直的条件计算可得答案. 【详解】 若，则且，解得，故A错误，C正确； 若，则，解得，故B正确，D错误. 故选：BC. 8．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】 由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 9．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知直线，，若，则实数（       ） A. 或1 B. 0或1 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 讨论，根据两条直线平行的条件列式可解得结果. 【详解】 当时，的斜率不存在，的斜率为0，此时，不合题意； 当时，由可得，解得， 故选：D 【点睛】 本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题. 10．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（       ） A.  B. 1或 C. 1 D. 或5 【答案】B 【分析】 根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】 由于，所以， 解得或. 故选：B 11．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知直线，则直线的倾斜角为（     ） A.  B. 60° C. 120° D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】 因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 12．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线经过的两点，先判断直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】 根据题意，直线过，两点，且，点的横坐标相同， 所以直线垂直于轴，所以直线的倾斜角的大小为. 故选：C 13．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据两直线平行系数满足的关系，列出方程，即可得到结果. 【详解】 由，且， 解得或， 故是直线与直线平行充分不必要条件， 故答案选:A 14．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知直线与直线平行，则的值为（     ） A. 3 B.  C. 1或 D. 或3 【答案】B 【分析】 根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 15．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】B 【分析】 先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】 直线可化简为，直线斜率为， 设直线倾斜角为，得， ， 故选：B. 16．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【分析】 根据直线倾斜角的概念并结合一次函数性质判断即可. 【详解】 因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 17．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知两条直线平行，则（     ） A. 3 B.  C. 或3 D. 或2 【答案】B 【分析】 利用两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】 由已知可得 ，解得. 故选：B. 18．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（       ） A. 2 B. -2 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线斜率与倾斜角关系即可求得. 【详解】 直线的斜率为2，两直线垂直， 故直线的斜率，即. 故选：D． 19．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【分析】 由一般方程得到直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出即可； 【详解】 由题意可得直线的斜率为，即， 又，所以， 故选：D. 20．（2026·重庆名校联盟·一模）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由直线方程可得直线的斜率为，进而得到倾斜角. 【详解】 直线的斜率为， 则直线的倾斜角为. 故选：C 21．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出直线的倾斜角，再利用已知条件结合倾斜角的取值范围求出的倾斜角． 【详解】 直线 ，设直线斜率为，倾斜角为， ，， 直线绕原点顺时针旋转得到直线， 又倾斜角的取值范围为， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 22．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）“”是“直线和直线平行”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】 当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 23．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为1，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【分析】 考查直线过定点和直线方程，根据选项依次求解即可. 【详解】 当 时，，所以直线恒过定点，选项A正确； 若直线与直线垂直，则 解得，选项B错误； 直线在轴上的截距为1，则，解得，选项C正确； 若，则，必有，选项D错误； 故选：AC 24．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）两直线，若，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】 因为，且， 所以，解得. 故答案为：2 25．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，若l1⊥l2，则a=　　　　　． 【答案】 【分析】 根据l1⊥l2求解. 【详解】 因为直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，且l1⊥l2， 所以， 解得， 故答案为： 26．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. (1) 小问详解： 由题意联立 ，解得 ，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 (2) 小问详解： 由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 27．（2026·重庆名校联盟·一模）已知直线，直线，当时，　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据两直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】 因为，所以，解得. 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出该直线的斜率，即可得出该直线的一个方向向量. 【详解】 直线方程可化为，该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量是， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）直线的斜率为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 将直线方程化为斜截式，即可得斜率. 【详解】 由，则，故其斜率为. 故选：D 3．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是　(　　) A. y=-2x+4 B. y=x+ C. y=-2x- D. y=x- 【答案】C 【详解】在方程中，令，得，所以直线与x轴的交点坐标为．故所求直线方程为，即．选C． 4．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）直线的斜率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线的一般方程可直接求得其斜率. 【详解】 由题意可得直线的斜率是． 故选：D 5．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线的方向向量可知直线的斜率，进而求出直线的倾斜角． 【详解】 由直线的方向向量可知直线的斜率， 设直线的倾斜角为，且， 可知，可得， 即． 故选：D． 6．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将直线的一般方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角. 【详解】 由，得. 所以直线的斜率为． 设该直线的倾斜角为，． 因为，所以． 因为，所以. 故选：A． 7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）直线在轴上的截距是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】A 【分析】 令并代入直线求对应的，即可得截距. 【详解】 令，则，故直线在轴上的截距为. 故选：A 8．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 计算出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，再根据向量共线可判断出结果. 【详解】 因为，所以斜率， 所以一个方向向量为，即， 选项中仅有与共线，所以是直线的一个方向向量， 故选：B. 9．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【分析】 将直线的一般式方程转化为斜截式方程，求得其斜率，进而得到其倾斜角. 【详解】 由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 直线的倾斜角为. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】 设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为. 故选：D 11．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（       ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【分析】 由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】 对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 12．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】 直线，即，令 ，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 13．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线的斜率确定方向向量. 【详解】 直线方程为，斜率为2， 选项A中，选项B中，选项D中， 选项C中斜率为. 所以该直线的一个方向向量为C. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 【答案】ABD 【分析】 A选项，变形得到直线方程为，得到方程组，求出直线恒过点；B选项，根据直线所过定点，得到点到直线的最大距离为，求出答案；C选项，变形得到直线的斜率不等于；D选项，得到直线与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到最值. 【详解】 A选项，变形得到， 令 ，解得 ，故直线恒过点，A正确； B选项，由于直线恒过点， 故点到直线的最大距离为，B正确； C选项，当时，此时直线的斜率为， 由于，故，C错误； D选项，当时，，， 中令得，令得， 故直线与坐标轴所围成的三角形面积为， 因为，所以当时，所围成的三角形面积最小，最小值为4，D正确. 故选：ABD 15．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知点在直线上，则直线l的倾斜角为（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】A 【分析】 先求出参数a得到直线斜率即可求倾斜角. 【详解】 由题可得， 所以直线即， 所以直线斜率为，设直线l的倾斜角为， 则. 故选：A 16．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知两点和直线的方程. （1）判断直线与直线的位置关系； （2）求线段的垂直平分线的方程. 【答案】（1）平行;     （2）      【分析】 （1）利用斜率相等，截距不相等来判断两直线平行即可； （2）利用垂直关系求中垂线的斜率，即可由点斜式求中垂线方程. (1) 小问详解： 因为； 所以直线的方程为：，即， 又因为直线，两直线的斜率都为，且截距不相等， 所以直线与直线平行； (2) 小问详解： 由线段中点坐标为，根据垂直关系可得中垂线斜率， 所以中垂线方程为，即. 17．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）直线：恒过定点　　　　　　． 【答案】 【分析】 原方程整理为，解方程组 得解. 【详解】 由可得， 联立 ，解得 ， 故直线恒过点, 故答案为： 18．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】 （1）根据题意，得到，结合截距式的概念，即可求解； （2）设直线的方程为，将点的坐标代入求得的值，即可求解； （3）化简圆的方程为，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】 解：（1）由，可得， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为和. （2）依题意，可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，所以所求直线的方程为. （3）由，可得， 所以圆M的圆心坐标为，半径为. 19．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）设直线在轴上的截距是,则　　　　　　　　. 【答案】1 【详解】直线方程中，令x=0，得 ，解得m=1. 20．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】（1）4x－3y－3＝0     （2）30      【分析】 （1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案； （2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案. (1) 小问详解： 由 ，求得 ，可得直线和的交点为P（－3，－5）． 由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为， 即4x－3y－3＝0． (2) 小问详解： 由题知：设直线m的斜率为k，则直线m的方程为， 故，，且，且，求得， 故、． 故△OAB的面积为． 21．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知直线与直线的交点为. （1）若直线经过点，且斜率为2，求直线的方程. （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立方程组求得交点坐标，再由点斜式得直线方程，然后整理成斜截式； （2）根据截距是否为0分类讨论可得. (1) 小问详解： 联立 ，解得 ， 点的坐标为 直线经过点，且斜率为2， 直线的方程为，即. (2) 小问详解： 设所求直线为， ① 当直线在两坐标轴上的截距不为0时， 设直线方程为，由，解得， 直线的方程为，化简为； ② 当直线在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，由，解得， 直线的方程为，化简为， 综上，所求的直线方程为或. 22．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： （1）倾斜角为的直线； （2）与直线平行的直线； （3）与直线垂直的直线． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. (1) 小问详解： 联立直线方程得 解得： ，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. (2) 小问详解： ∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. (3) 小问详解： ∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 23．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距之和等于0，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）设直线的截距式方程为，根据已知列方程组求解即可； （2）求出的垂直平分线方程，联立直线的方程求出圆心坐标，然后求半径即可得到标准方程. (1) 小问详解： 因为直线不过原点，所以在两坐标轴上的截距不为0，设方程为， 由题知 ，解得， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 因为，所以的中点坐标为，， 所以的垂直平分线斜率为，方程为，即， 联立 ，解得，即圆心， 由两点间距离公式可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 24．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知的顶点边上的高BD所在直线方程为边上的中线BE所在直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求点的坐标及BC边所在直线方程. 【答案】（1）     （2）点的坐标为，所在直线方程为      【分析】 （1）解直线BD与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标. （2）求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出BC边所在直线方程. (1) 小问详解： 依题意，点B是直线BD与直线BE的交点， 由 解得 ， 所以点B的坐标是. (2) 小问详解： 因为，则设直线AC的方程为， 又点，则，解得， 直线AC：， 由 ，解得 ，所以边AC的中点， 由中点坐标公式，得点， 直线BC的方程为，即. 25．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知直线. （1）求原点到直线l距离的最大值： （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． (1) 小问详解： （1）直线可化为， 令 ，解得，，即直线恒过定点； 当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； (2) 小问详解： 设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（       ） A. 点在直线上 B. 在轴上的截距为 C. 与坐标轴围成的三角形的面积为 D. 直线到的距离为 【答案】AC 【分析】 利用点与直线的位置关系可判断A选项；利用截距的定义可判断B选项；求出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项. 【详解】 对于A选项，因为直线的方程为，且， 故点在直线上   ，A对； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以在轴上的截距为，B错； 对于C选项，在直线的方程中，令，可得， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C对； 对于D选项，直线的方程可化为，则直线与直线平行， 所以，直线到的距离为，D错. 故选：AC. 2．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）直线，直线，若，则两直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两直线的位置关系，求得，得到与的直线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中），函数的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】 表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）点到直线 的距离的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】 直线， 即，由 ，解得 ， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 5．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】 由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 6．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（       ） A. 4 B. 5 C.  D.  【答案】D 【分析】 先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】 由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】 线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 8．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）（多选）已知直线，则下列表述正确的是（     ） A. 当时，直线的倾斜角为135° B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 原点到直线的距离最大值为 D. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 【答案】BC 【分析】 A求出直线斜率，即可判断；B、C将直线方程整理为，由此得直线所过定点，进而确定原点与直线距离的最大值判断；D由题可得，后由平行直线距离公式可判断. 【详解】 A：当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为45°，错误； B：由题可得，则直线过定点，正确； C：因为直线恒过点，故原点到直线的距离，当且仅当时取等号，正确； D：因直线与直线平行，则 ，得，则直线方程为，即. 则与直线之间的距离为，错误. 故选：BC 9．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】 因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：        当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 10．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）曼哈顿距离（Manhattan Distance）是一种用于衡量两个点在空间中距离的度量方式.它的名称来源于纽约曼哈顿的网格状街道布局：在这种布局下，从一个点到另一个点需要沿着街道行走（只能沿水平或垂直方向移动），而不能走对角线，故曼哈顿距离又称城市街区距离.已知点，，定义，两点间的曼哈顿距离.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，动点满足，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题设新定义分别确定、的轨迹，数形结合得到，进而有，分析对应的位置，即可得. 【详解】 令，且，则， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由 ，交点为， 由 ，交点为， 由 ，交点为， 由 ，交点为， 所以是正方形各边上运动的动点， 由满足，即在以原点为圆心，1为半径的圆上， 所以，则，如下图示， 由图知，与原点的距离最大时，一定在线段上， 又，且到直线的距离， 所以，故， 当且仅当重合，且共线，在的两侧时取得最大值. 故选：A 11．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）点到直线的距离为　　　　　． 【答案】 【分析】 利用点到直线距离公式直接求解即可. 【详解】 点到直线的距离. 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　　　　． 【答案】 【分析】 由两平行线间距离公式求解即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以它们之间的距离是. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先计算，过点，得到答案. （2）联立直线方程： 解得答案. 【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得， 则. 又∵，∴直线的方程为， 即（或）. （2）因为边上的中线过点，则联立直线方程： . 解得： ， 即点坐标为. 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 15．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为　　　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 由题意可得，解得或， 故答案为：2或 16．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）直线关于y轴对称的直线的方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. 【详解】 设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为. 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）直线与间的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 易知题中两直线平行，根据两条平行线间的距离公式可得直线与间的距离. 【详解】 由，得. 因为直线与直线平行， 所以直线与直线间的距离为. 即直线与间的距离为. 故答案为： 18．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求（1）AC所在的直线的方程； （2）点B的坐标． 【答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)． 【分析】 (1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可； （2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可. 【详解】 因为AC⊥BH， 所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0. 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11. 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0. （2）设B(x0，y0)，则AB的中点为. 联立得方程组 ， 化简得 解得 ， 故B(－1，－3)． 【点睛】 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 19．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】 因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 20．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. (1) 小问详解： 联立方程 ，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点为， 则 ，解得，即； 则, 故的最小值为. 21．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知的三个顶点分别为，， （1）求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用垂直关系和斜率定义式求出边上的垂直平分线所在直线的斜率，再求出中点，然后由点斜式可得； （2）由点斜式得到边直线方程，再求出点到的距离，然后由三角形面积公式可得. (1) 小问详解： ，所以边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 中点为， 由点斜式可得， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程. (2) 小问详解： 边直线方程为，即， 点到的距离， 又， 所以的面积为. 22．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知点P是直线上一动点，点Q是直线：上一点，且两直线平行，则点P到点Q的最短距离是　　　　　. 【答案】1 【分析】 点P到点Q的最短距离为这两条平行线间的距离，利用平行线间的距离公式求解即可． 【详解】 直线与直线平行，则，解得， 此时两直线为与． 点P到点Q的最短距离为这两条平行线间的距离． 故答案为：1． 23．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】 （1）法1：联立 ，解得 ， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 24．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知圆经过点和原点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心坐标，根据两点距离公式建立关于m的方程，解方程，求出半径即可求解； （2）如图，当切线的斜率存在时，设切线方程，利用点到直线的距离公式计算求出斜率即可；易知当切线的斜率不存在时切线方程为. (1) 小问详解： 由题意知，设， 则，解得， 所以，半径为， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： 如图所示，点在圆外，则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以切线方程为； 当切线的斜率不存在时，则与圆相切. 综上，切线方程为或. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）若点在圆外，则的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】 将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以 ，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】 因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】 已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 4．（2026·重庆名校联盟·一模）已知圆心为，半径为2的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程. 【详解】 因为圆心为，半径为2，所以该圆的标准方程为：. 故选：B 5．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以 ，解得 ，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 6．（2026·重庆渝北中学·质量监测）（多选）已知圆的半径为2，则下列选项正确的是（     ） A.  B. 点在圆的内部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】BC 【分析】 对于A：根据圆的半径可得，运算求解即可；对于B：把点代入方程，进而判断点与圆的位置关系；对于C：求圆心和半径，可得圆心距，进而判断两圆位置关系；对于D：可知直线过圆心，代入运算求解即可. 【详解】 对于选项A：因为圆的圆心为，半径，且， 由题意可得：，解得，故A错误； 对于选项B：可知圆的圆心为，半径， 因为，所以点在圆的内部，故B正确； 对于选项C：圆的圆心为，半径， 则，即， 所以圆与圆外切，故C正确； 对于选项D：若直线平分圆的周长， 则直线过圆心，则，解得，故D错误； 故选：BC. 7．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意知圆与圆的半径相等，求得点关于直线的对称点，即可得圆的方程. 【详解】 圆的圆心为半径. 由题意知，关于直线对称，设点的坐标为 则 ，解得 ， 所以圆的圆心坐标为 所以圆的方程为. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由 ，消去参数得， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为， ， ∴的最大值为． 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 9．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】 由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 10．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】B 【详解】设圆圆心为 , 圆圆心为,则 其中为A关于直线对称点,所以选B. 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1) 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2) 与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．① 形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；② 形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③ 形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 11．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先圆的圆心为，再求圆心关于对称的点，最后由直线方程的点斜式即可求解. 【详解】 由题意有：圆的圆心为， 所以反射光线经过圆心， 又因为点关于直线对称的点为， 即入射光线所在直线经过， 所以，所以， 所以入射光所在直线的方程为， 故选：B. 12．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）（多选）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（       ） A. 点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为4 C. 点到点的距离的最大值为6 D. 的最大值为18 【答案】ACD 【分析】 根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】 设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得：， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 13．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知点，，直线的方程为：． （1）求直线关于点对称的直线的方程； （2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到 ，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. (1) 小问详解： 解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则 ， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． (2) 小问详解： 解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 14．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知圆的方程为，则它的圆心坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将圆的一般方程转化成标准方程即可得到答案 【详解】 由可得，所以圆心坐标为， 故答案为： 15．（2026·重庆名校联盟·一模）已知圆，直线． （1）求过圆心且与直线垂直的直线方程． （2）直线与圆交于，两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）化圆的方程为标准方程，可得圆心为，半径为，根据所求直线与直线垂直可得所求直线的斜率为，进而结合点斜式求解即可； （2）先求得圆心到直线的距离为，再利用几何法求得弦长，进而求解的面积. (1) 小问详解： 由圆，即， 则圆心为，半径为， 直线的斜率为1， 则所求直线的斜率为， 所求直线的方程为，即. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 则， 所以的面积为. 16．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程； （3）为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）求出的垂直平分线方程，利用圆的性质可得圆心在的垂直平分线上，求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式求解； （3）由题表示圆上的点到的距离的平方，根据圆的几何性质可以转化为求出圆心到点的距离减去半径即可，平方后得最小值. (1) 小问详解： 由题，的中点为，的斜率， 所以的垂直平分线方程为，又圆心在直线上， 联立 ，解得 ，所以圆心坐标为，半径为， ∴圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 当直线斜率不存在时，，即 经检验当的方程为时，验证可知与圆相切； ② 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为 即时，圆心到直线的距离为，解得， 所以的方程为，即. 所以直线的一般式方程为或. (3) 小问详解： 由（1）知圆心为，半径为2， 表示圆上的点到的距离的平方. 圆心到的距离，圆的半径，因为，所以在圆内部， 圆上点到的最小距离为，因此最小值为. 17．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为　　　　　　　　　　　m． 【答案】7 【分析】 利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得 得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 18．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】 的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 19．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知两点，如果点满足，点为圆上一动点，点为轴上一动点，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出点的轨迹方程，作出圆关于轴对称的圆，转化为求两圆上的动点之间的距离的最小值问题，结合图形分析即可. 【详解】 设点，因为，所以， 整理得，表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为，半径为. 记点关于轴的对称点为，则点在圆， 圆的圆心为，半径为， 则， 当且仅当五点共线，且在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 20．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知点，圆，点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则根据轴对称及两点之间线段最短的原则，知点与点的位置重合时，最小. 【详解】 将圆方程化为标准方程为：， 圆心，半径，如下图所示： 作点关于x轴的对称点， 连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则， 又，所以 最小值为8. 故答案为：8. 21．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知点，，动点在以为直径的圆上，记其轨迹为E，E与y轴交于C点，过P（异于C点）作直线的垂线l. （1）求曲线E的轨迹方程； （2）记A到l的距离为，B到l的距离为，证明：为定值. 【答案】（1）     （2） 由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在， 在第一象限运动时，显然， 如下图，不妨设，则， 到的距离为，到的距离为， 令且，则，故， 所以，，则， 综上，，为定值. 【分析】 （1）根据定义法解得曲线的方程. （2）根据题设，分析出，应用点线距离公式求，并求出的坐标，得到关于的表达式，即可证结论. (1) 小问详解： 根据题意的中点坐标为，， 因为曲线E的轨迹是以为直径的圆的一部分， 所以曲线E的轨迹方程为 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $