专题04 直线与圆、圆与圆（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题04 直线与圆、圆与圆 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．B 11．A 12．C 13．BD 14．BCD 15．A 16．D 17．C 18．ABD 19．CD 20．C 21．ABD 22．B 23．C 24．C 25．ACD 26．A 27．B 28．A 29．B 30．ABC 31．ABD 32．C 33．B 34．B 35．D 36．C 37．AC 38．A 39．ACD 40．C 41．BCD 42．A 43．A 44．B 45．ABD 46．B 47．AD 48．C 49．A 50．C 51．ABD 52．ACD 53．AB 54．ABC 55．ACD 56．【答案】 【分析】 求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于，列出不等式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆心，半径为， 如图所示，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 要使得圆上有4个点到直线的距离为，则满足， 又由圆心到直线的距离为， 可得，解答，即实数的取值范围是. 故答案为：. 57．【答案】（1）     （2）2或      【分析】 （1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. (1) 小问详解： 因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 58．【答案】 【分析】 首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长. 【详解】 两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 59．【答案】 【分析】 根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【详解】 圆方程：，即， 即圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则弦长为. 故答案为：. 60．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可. (1) 小问详解： 设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由圆，可得为圆，圆心，半径， 又由圆心，半径为3， 圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交， 所以， 解得. 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. (1) 小问详解： 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 62．【答案】 【分析】 分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 63．【答案】 【分析】 两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点的坐标，当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 【详解】 圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令 ，解得 ，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 64．【答案】 【分析】 先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可 【详解】 由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 65．【答案】（1）     （2）（i）直线方程可化为， 故 ， ∴直线过定点. （ii）或      【分析】 （1）将圆化为标准方程，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求半径，进而求出的值. （2）（i）将直线方程整理为含参数的形式，解方程组确定直线所过的定点坐标. （ii）分切线斜率存在与不存在两种情况，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解切线方程. (1) 小问详解： 的标准方程为，故圆心为， ，故， 故 (2) 小问详解： （i）略 （ii）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得， 故方程为， 综上所述切线方程为：或. 66．【答案】 【分析】 求出直线关于对称的直线的方程，根据直线与圆有公共点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】 点关于直线的对称点为，且点在直线上， ，所以直线的方程为， 即直线的方程为， 由题意可知，若直线关于对称的直线为直线， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 67．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）若弦被点平分，根据圆的性质，得到,求得，结合直线的点斜式方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线过点，可得直线的方程为， 即， 因为圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以. (2) 小问详解： 解：若弦被点平分，由圆的性质，可得, 因为圆心，，可得，可得， 所以直线的方程为，即. 68．【答案】 【分析】 两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用垂径定理计算即可得. 【详解】 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 有，，， 则，故两圆相交，两圆方程作差有： ， 即为公共弦所在直线方程，到该直线距离， 则公共弦长. 故答案为：. 69．【答案】（答案不唯一） 【分析】 与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】 由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 70．【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； (2) 小问详解： 由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 71．【答案】 【分析】 根据题意可先求的范围，再根据双勾函数得到范围即可． 【详解】 点为圆上的点，如图所示，设直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，即：， 据此可得：，又，所以， ． 故答案为：． 72．【答案】（1） 由题意得. 由 得 所以过定点.     （2） 或     （3）       【分析】 （1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. (3) 小问详解： 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 73．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心，由题意可得，求解即可； （2）设圆心到直线的距离为，由题意可求得，进而得，求解即可. (1) 小问详解： 设圆心，因为圆C过点，，所以， 解得，所以圆心，又因为， 所以圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为， 由，所以，解得， 所以，所以，解得. 74．【答案】（1）曲线是以点为圆心，以为半径的圆     （2）曲线的方程为     （3）      【分析】 （1）把方程化为圆的标准方程，可得结论； （2）由圆过坐标原点，且，可得圆心在的垂直平分线上，从而求出，再判断不合题意即可； （3）设，可得，又，即，可得，把两式转化为圆与圆有公共点问题，即可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：将曲线的方程化为 可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆． (2) 小问详解： 解：圆过坐标原点，且， 圆心在的垂直平分线上，，， 当时，圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，不合题意舍去， ，这时曲线的方程为． (3) 小问详解： 解：设，由于点在圆上，所以① 若，则，即②， 要满足① ②两式，即以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以，所以，又，解得. 75．【答案】（1）     （2）和      【分析】 （1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入点和点，再结合圆心在直线上，列方程解出圆心坐标与半径即可求得圆的标准方程； （2）设出切线斜率求得切线方程，利用点到直线的距离等于半径得到直线斜率，从而求得切线方程，当斜率只有一解时需研究斜率不存在的情形. (1) 小问详解： 解：设圆C的标准方程为， 圆心为，半径为， 依题意可得 ，解之得 ， 所以圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 解：切线斜率存在时，设切线l的斜率为， 则切线l的方程为，即， 所以，解得， 所以切线l的方程为， 又因为圆心到直线的距离为， 所以直线也为圆圆C的切线. 故切线l的方程为和. 76．【答案】 【分析】 转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】 由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：    当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则 ，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 77．【答案】，，，(写一条即可） 【分析】 设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即得答案. 【详解】 圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得： ， 解得： 或 或 或 ， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 78．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. (1) 小问详解： 设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则 ，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ① 当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ② 当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 79．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得，即可根据不等式的性质求解. (1) 小问详解： 解法一：设由题知，． ① 当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ② 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立 ，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ① 当直线的斜率不存在时，同法1． ② 当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立 ，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ (2) 小问详解： 由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立 ，消去得，∴点在直线上，如图所示， f ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 80．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. (3) 小问详解： 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 81．【答案】（1）和0     （2）     （3） 因为，，所以，，，四点都在以线段为直径的圆上. 设，因为， 所以以线段为直径的圆的方程为. 即，又圆， 两式作差，得直线的方程为. 令，得， 即直线经过定点.      【分析】 （1）设出切线方程，利用点到切线的距离等于半径可求答案； （2）利用四边形的面积把条件转化为取最小值时，求周长，结合图形可得答案； （3）利用四点共圆求出所在圆的方程，得出直线的方程，可得定点. (1) 小问详解： 由已知得圆的圆心为，半径为1， 则直线的方程为，令，得，所以. 设切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线的斜率分别为和0. (2) 小问详解： 由题意知与全等，所以， 又，所以. 所以当且仅当取最小值时，取最小值. 而，即要求的最小值. 当取时，取最小值3，此时， 此时四边形的周长为. (3) 小问详解： 略 82．【答案】（1）或；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）将圆的方程整理得，由 ，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. (1) 小问详解： ， 整理得， 由 ，解得 或 ， 即动圆恒过两定点的坐标为或. (2) 小问详解： 由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. (3) 小问详解： 设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得 ， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件. 83．【答案】（1）或     （2）有，      【分析】 （1）利用斜率是否存在进行讨论，然后再由点到直线的距离公式求解； （2）利用动点轨迹方程为圆，通过圆心距与半径关系可得两圆相交，即可得相交弦方程. (1) 小问详解： 由圆可得圆心为原点，半径为， 当切线的斜率不存在时，此时经过点的直线方程与圆相切，满足题意； 当切线的斜率存在时，可设经过点的直线方程， 即，由直线与圆相切可知： 圆心到直线的距离，解得， 所以切线的直线方程为， 整理为：， 综上可得切线的直线方程为或； (2) 小问详解： 由圆的方程可求得交点， 再设动点，根据可得： ，整理得： 即， 所以动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 两圆心距为， 因为，所以两圆相交有两个公共点， 即由两圆方程相减就可得公共弦直线方程： ， 则动点的轨迹与圆有两个公共点，该两公共点所在的直线为 84．【答案】（1）①或,     ②.     （2）.      【分析】 (1) ①联立两条直线方程求出交点，即为圆心，写出圆的标准方程为，分析斜率存在与不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径即可得到切线方程； ② 设直线方程为，求出圆心到直线的距离，求出弦长，即可表示出三角形面积，根据二次函数性质即可得到当面积最大时直线斜率。 (2)求出点的轨迹方程为：，根据点也在圆上，所以圆与圆有交点，根据圆心的距离与半径的关系可得. (1) 小问详解： ①圆心在直线上，在直线上，所以联立 ， 解得 ，所以圆心坐标为， 所以圆的标准方程为：， 若切线斜率存在，设过点的切线方程为，由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，即： ，化简得， 两边平方得： ， 因此，切线方程为： ，即. 若切线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为：，也符合； 因此，切线方程为： 或.    ②设直线方程为，圆心到直线的距离为：， 弦长为：， 所以面积为：， 根据函数性质可得当时，可取得最大值， 因此我们有： ，两边平方得： ，即， 解得. (2) 小问详解： 设点，则， 两边平方得： ，即， 所以点在圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 圆的圆心为，半径为， 所以，化简得， 平方得：，所以， 所以圆心的横坐标的取值范围为：. 85．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，利用切线性质求出圆心，再计算半径得到圆的方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理求出直线方程. (1) 小问详解： 因为圆的圆心在直线上，所以设圆C的圆心 ， 因为与直线相切于点， 所以CP垂直于直线，故有，解得， 所以圆心，圆C的半径为 ， 所以圆C的方程为. (2) 小问详解： 当直线斜率存在时，设直线l方程为，即， 由（1）知，圆C半径为，而直线l被圆C截得的弦AB长为6. 由勾股定理可得，圆心C到直线l的距离为2. 所以，解得， 此时直线l的方程为； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，符合题意； 故直线l的方程为或. 86．【答案】（1）[0,2)     （2）证明： 设，已知直线的方程为，将其代入圆的方程， 进行整理得 解得或，因为点不是原点，所以点横坐标为. 已知，设， 根据向量坐标运算，， 因为，所以，. 将代入蔓叶线方程的右边，得：， 而，即， 点的坐标满足蔓叶线方程，因此点在蔓叶线上.     （3）      【分析】 （1）将蔓叶线方程中的与分离，根据解得的范围； （2）依据向量相等的性质得到点的坐标，再将点的横坐标代入蔓叶线方程的右边，通过化简计算与进行比较，若相等则可证明点在蔓叶线上； （3）求的值，可先由直线与圆的交点表示，得到，再结合直线与蔓叶线交点的三次方程，利用韦达定理和已知的进行计算. (1) 小问详解： 点不在方程上，故该式可化为， 则且，则且，可得. 故蔓叶线的横坐标的取值范围为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 将直线方程与圆方程联立， 得，解得或（舍去）. 故，因此， 因此. 齐次化联立直线与蔓叶线方程 ， 得到整理得， 即， 根据方程联立的意义可知，所得的关于的一元三次方程的三个根即为， 结合韦达定理可知，. 又， =1. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）圆在点处的切线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）圆  被轴所截得的弦长为（       ） A.  B.  C. 4 D.  3．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知圆与圆相外切，则值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知圆与圆有三条公切线，则（       ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 49 6．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则不可能取值（       ） A.  B. 5 C.  D. 6 7．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切 8．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知圆与圆相交于、两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知圆，若圆与圆外切，实数（     ） A. 9 B.  C. 18 D.  11．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）直线与圆相切，则实数m等于（     ） A.  B.  C.  D. 1 13．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 圆心为 B. 半径为2 C. 圆与直线相离 D. 圆被直线所截弦长为 14．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）（多选）设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（       ） A. 直线l过定点 B.  C. 当时， D. 当时，的最小值为 15．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）下列说法正确的有（     ）个 ①若三点在一条直线上，，，，则. ②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为. ③圆，为圆上任意一点，的最大值为5. ④圆与圆外切，则实数的值为1. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（    ） A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交 17．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知直线与圆交于两点，则（       ） A.  B. 5 C.  D.  18．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）（多选）圆和圆的交点为、，则有（       ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 19．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在直线上，则直线与圆相交 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与圆相切 20．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知直线，圆，则下列结论正确的是（     ） A. 直线和圆总有公共点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 22．（2026·重庆渝北中学·质量监测）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 23．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 24．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）（多选）已知圆C：，直线l：，则（     ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 直线l被圆C截得的最小弦长为 D. 圆C与圆外切 26．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知直线与圆相交于A，B两点，且为等边三角形，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（       ）条. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 28．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，则圆的标准方程是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（       ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 30．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）已知直线与圆交于、两点，则（     ） A. 直线l过定点 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 使得弦长为整数的直线l有4条 31．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 32．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知实数满足，则的最大值是（       ） A.  B. 4 C.  D. 7 33．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（       ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 34．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）“圆截直线所得弦长为2”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 35．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）圆：与圆：公切线的条数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 37．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）（多选）已知直线，圆则下列说法正确的是（       ） A. 是直线的一个方向向量的坐标 B. 过点作圆的切线，切点为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 直线与圆相交于、两点，则 38．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）下列说法不正确的是（     ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 圆与圆有两条公切线 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 平面内与两个定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线 40．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知实数满足方程，则（     ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为-20 D. 的最大值为 41．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（       ） A. 4 B.  C.  D. 2 43．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  44．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（     ） A.  B.  C. 5 D.  45．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知圆C：，下列说法正确的是（     ） A. 的取值范围是 B. 若，圆与圆相交 C. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为 D. 若，直线恒过圆的圆心，则恒成立 46．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相交 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切 48．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（       ）． A. 5 B.  C.  D. 10 50．（2026·重庆名校联盟·一模）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 4 51．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（       ） A. 若，则直线过圆心． B. 若，，则直线与圆相交． C. 若直线与圆相离，则． D. 圆心到直线的距离为3，则直线与圆相切． 52．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）（多选）已知圆和直线，点为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（       ） A. 圆心到直线的距离为 B. 若直线与平行，且与圆相切，则直线与的距离为 C. 切线长的最小值为4 D. 的最大值为 53．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）（多选）以下四个命题表述正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为 C. 已知实数，满足，则的最小值为 D. 已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或 54．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（       ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为 55．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）2025年春晚上，机器人跳舞的节目赢得满堂喝彩，展示了我国在前沿科技上的强大实力．通常在规划复杂一些的机器人运动轨迹时，需要用到数学中的双纽线．已知一个双纽线的方程为．点为曲线上的动点，轴上两点，．下列说法正确的是（       ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线及曲线内部共有10个整点（横纵坐标均为整数的点） C. 记曲线与坐标轴围成图形面积为，则 D. 若点在第一象限，则 56．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为　　　　　　　　. 57．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 58．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知 与相交于点 ，则 　　　　　 59．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为　　　　　　　　　　　 60．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知点，，是平面内的一个动点，且， （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 61．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 62．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）过点作圆的切线，则直线的方程为　　　　　　　　　　. 63．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为　　　　　　　　　. 64．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有　　　　　　条. 65．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 66．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是　　　　　． 67．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）圆内一点，AB为过点P且倾斜角为的弦， （1）若时，求AB的弦长. （2）是否存在弦AB被点P平分？若存在，写出AB的方程；若不存在，请说明理由. 68．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）圆与圆的公共弦长为　　　　　　　　　　　 69．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：　　　　　　　　　　. 70．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 71．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）若点是圆上一动点，则的取值范围是　　　　　． 72．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 73．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知圆C的圆心在直线上，且圆C过点，. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l：与圆C相交于不同两点M、N，弦长，求实数a的值. 74．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知曲线C的方程为 （1）判断曲线C的形状； （2）设直线与曲线C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点），求曲线C的方程． （3）已知点，，若点P为（2）中所求曲线上一动点，且满足，求的取值范围． 75．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l. （1）求圆C的标准方程； （2）求切线l的方程. 76．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 　　　　　　　． 77．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程　　　　　　. 78．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 79．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. （1）记直线的斜率分别为，求的值； （2）设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 80．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 81．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知圆，过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）若直线的斜率为，求两条切线的斜率； （2）当取最小值时，求四边形的周长； （3）证明：直线过定点. 82．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 83．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知圆. （1）过点向圆引切线，求切线的方程； （2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出两公共点所在的直线；若无，说明理由. 84．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）在平面直角坐标系中，点，设圆的半径为1，圆心在直线上. （1）若圆心也在直线上， ①过点作圆的切线，求切线方程； ②斜率存在且过点的直线与圆交于A、B两点，当面积最大时，求直线斜率； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 85．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦AB长为6，求直线的方程. 86．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）公元前180年，古希腊数学家狄俄克利斯（Diocles）独立发明了蔓叶线，其方程为,如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，平面内给定圆和直线,从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线于点A、B,在射线上取一点M满足. （1）求蔓叶线的横坐标的取值范围； （2）求证：点M在蔓叶线上； （3）已知：直线与蔓叶线交于三点,记直线的斜率为,直线与圆C交于点,若,求的值. 参考公式：若是一元三次方程的三个根，则,,. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）圆在点处的切线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案. 【详解】 因为，所以在圆上， 的圆心为， 故， 设圆在点处的切线方程斜率为， 故，解得， 所以圆在点处的切线方程为， 变形得到，即. 故选：A 2．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）圆  被轴所截得的弦长为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】D 【分析】 根据圆的弦长公式即可求解. 【详解】 的圆心和半径分别为， ， 因此圆被轴所截得的弦长为 ， 故选：D 3．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意设圆的圆心坐标,再根据直线与圆相切,求出,进而得到圆的标准方程. 【详解】 设圆心坐标为，则圆心到直线的距离， 所以， 所以该圆的标准方程为． 故选:C． 4．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知圆与圆相外切，则值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据方程可得各圆的圆心和半径，再结合两圆外切列式求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 可得， 若圆与圆相外切，则， 即，解得. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知圆与圆有三条公切线，则（       ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 49 【答案】C 【分析】 根据两圆外切列方程求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由题意知，圆与圆外切，且， 所以，解得. 故选：C 6．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则不可能取值（       ） A.  B. 5 C.  D. 6 【答案】D 【分析】 求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1，即可满足题意，求出r的范围． 【详解】 ∵圆心到直线的距离， 圆上恰有相异两点到直线的距离等于1， ∴，即， ∴． 则不可能取值为6． 故选：D． 7．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切 【答案】C 【分析】 求出直线系经过的定点，即可判断直线与圆的位置关系 【详解】 直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上， 故直线与圆相切或相交． 故选：C 8．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知圆与圆相交于、两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 计算可得两圆相交，将两圆方程相减即可得解. 【详解】 由可得其圆心为、半径， 由可得， 则其圆心为、半径， 则，有， 故两圆相交，则两圆方程作差即为相交弦方程， 有， 化简得. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】 如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 10．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知圆，若圆与圆外切，实数（     ） A. 9 B.  C. 18 D.  【答案】B 【分析】 求出对应圆的圆心与半径，进而根据外切关系列式解方程即可. 【详解】 将圆的一般方程转化为标准方程得： 圆，故圆心为，半径为， 圆，故圆心为，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，即，解得， 所以实数. 故选：B 11．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选：A 12．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）直线与圆相切，则实数m等于（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】 由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 13．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 圆心为 B. 半径为2 C. 圆与直线相离 D. 圆被直线所截弦长为 【答案】BD 【分析】 把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确. 【详解】 将圆化为标准方程得， 可知圆心，半径，故A错误，B正确； 由圆心到直线的距离， 即，直线与圆相切，故C错误； 圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得，所以D正确. 故选：BD. 14．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）（多选）设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（       ） A. 直线l过定点 B.  C. 当时， D. 当时，的最小值为 【答案】BCD 【分析】 根据直线方程求得定点判断A，利用点在圆内求得的取值范围判断B，利用弦长公式求得判断C，利用数量积运算，结合直线与圆的关系判断D. 【详解】 选项A，直线l可化为，则l过定点，所以A错误； 选项B，因为直线l与圆总有两个公共点，且定点在圆内， 故，解得，所以B正确； 选项C，当时，圆：， 所以，又，则， 则的最小值为，最大值即为，所以C正确； 选项D，当时，圆：， 则， 当直线l过时，取得最小值，所以的最小值为，所以D正确． 故选：BCD. 15．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）下列说法正确的有（     ）个 ①若三点在一条直线上，，，，则. ②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为. ③圆，为圆上任意一点，的最大值为5. ④圆与圆外切，则实数的值为1. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 利用三点共线，斜率相等判断① ；分类讨论直线是否过原点，求出直线方程即可判断② ；将的最大值转化为，求解即可判断③ ；根据两圆外切求解实数即可判断④ . 【详解】 对于① ：若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，即，解得，故① 错误； 对于② ：若直线过原点，则方程为；若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意 ，解得 ，所以直线方程为，即，综上，直线的方程为或，故② 错误； 对于③ ：由知，所以的最大值为，故③ 错误； 对于④ ：由题知，且，即，解得或，故④ 错误. 故选：A 16．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（    ） A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交 【答案】D 【分析】 根据给定条件，求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. 【详解】 圆的圆心，半径； 将圆化为标准方程，得圆心，半径， 则，所以圆与圆相交. 故选：D 17．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知直线与圆交于两点，则（       ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线与圆相交弦长公式求解即可. 【详解】 解：圆的圆心为，半径为 又圆心到直线的距离为， 则直线与圆相交弦长． 故选：C. 18．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）（多选）圆和圆的交点为、，则有（       ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】 将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】 圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 19．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在直线上，则直线与圆相交 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与圆相切 【答案】CD 【分析】 由点在直线上，得.由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，判断A；由点在圆外，得，求圆心到直线的距离判断B；由点在圆内，得，求圆心到直线的距离判断C.由点在圆上，得，求圆心到直线的距离判断D. 【详解】 对于A，由点在直线上，得，即. 此时由圆心到直线的距离，所以直线与圆相切,所以A错误； 对于B，由点在圆外，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交.所以B错误； 对于C，点在圆内，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离.所以C正确； 对于D，由点在圆上，得，求圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切.所以D正确. 故选：CD. 20．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出点的轨迹圆的方程，求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径，即为点到直线距离的最大值. 【详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为是圆上的一条动弦，且，且中点为，则， 所以， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最大值. 故选：C. 21．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知直线，圆，则下列结论正确的是（     ） A. 直线和圆总有公共点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】 将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断B；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断C；结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断D. 【详解】 对于A，直线的方程为， 变形可得，令 ，解得 ， 所以直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内部， 则直线和圆总有公共点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆有且只有一条公切线，则两圆内切， 则有，解得，故C错误； 对于D，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，依题意需满足. 因为，，，满足， 故圆上恰有两个点到直线的距离等于1.故D正确. 故选：ABD. 22．（2026·重庆渝北中学·质量监测）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】 根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】 圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 23．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】 圆，即， 可知圆心为，半径，且， 圆心到直线的距离， 因为圆与相交于两点，且为正三角形， 所以，即，解得. 故选：C. 24．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】 圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：C 25．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）（多选）已知圆C：，直线l：，则（     ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 直线l被圆C截得的最小弦长为 D. 圆C与圆外切 【答案】ACD 【分析】 将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】 对于A，直线l的方程为，变形可得：，令 ，解得 ，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆C：，其圆心为，半径为，当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离为，由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点P在圆C内，则经过，两点的直线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时圆心C到直线l的距离为，所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即，其圆心为，半径为3，，则两圆外切，故D正确． 故选：ACD． 26．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知直线与圆相交于A，B两点，且为等边三角形，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知，只需保证圆心到直线的距离为，应用点线距离公式列方程求参数值. 【详解】 由题设，如下图示，圆心，半径，要使为等边三角形， 则圆心到直线的距离为， 所以，可得. 故选：A 27．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（       ）条. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量. 【详解】 将直线的方程整理为：， 令 ，解得 ，因此直线过定点， 因为圆：的圆心为，半径， 所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内）， 设圆心到直线的距离为，则弦长公式：， 由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离）， 因此：，代入弦长公式得： (时，；当时，). 因为为整数，结合范围，可能的整数值为、. 当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程： ，得，对应1条直线； 当时，由弦长公式，解得，即， 圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得： ，，， 此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线. 所以对应1条，对应2条，共条. 故选：B. 28．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，则圆的标准方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出圆心与切点连线的斜率，进而求出圆心，再利用两点间距离公式求出半径，进而得出圆的标准方程． 【详解】 已知圆的圆心在轴上，设圆心坐标为，圆心与切点的连线斜率为，半径为， 则，解得， ，解得，即圆心， 圆心到切点的距离即为圆的半径， ， 圆的标准方程为，故A正确． 故选：A． 29．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（       ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【分析】 先根据对称求出值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系. 【详解】 因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 30．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）已知直线与圆交于、两点，则（     ） A. 直线l过定点 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 使得弦长为整数的直线l有4条 【答案】ABC 【分析】 通过整理直线方程，即可求得定点坐标，判断A选项；直线与圆的交点弦中最长的是直径，判断B选项；当圆心与定点所在直线与直线垂直时，弦长最小，由弦长为求得最小值，判断C选项；由B、C选项可知弦长的取值范围，然后写出可能取到的整数集，分别求出对应直线即可判断D选项. 【详解】 直线，∴直线过定点，A选项正确； 当直线经过圆心时，的值最大，此时，B选项正确； 圆心，则，当时，圆心到直线的距离最大， 此时，即，C选项正确； ∴，∵弦长为整数，∴， 当时，直线经过点及，有且只有一条， 当时，圆心到直线的距离，又∵， ∴，∴，∴， ∵，即方程存在两个根， ∴这样的直线由2条，故使得弦长为整数的直线l有3条，D选项错误； 故选：ABC 31．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】 两圆方程相减即可得公共弦的方程即可判断A，求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，即可判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可判断D. 【详解】 对于A，因为圆，即，则圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径； 又，则，所以两圆相交， 将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于B，圆的圆心为，又， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 32．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知实数满足，则的最大值是（       ） A.  B. 4 C.  D. 7 【答案】C 【分析】 令得，将题设问题转化成直线与圆相切截距的解即可由点到直线距离公式计算求解. 【详解】 由化为， 则点为圆心为、半径为的圆上的点， 令，则， 则的最大值为直线在y轴上的截距的最小值， 点为直线与圆的交点， 则当直线与圆相切时截距取得最值， 令圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值是. 故选：C 33．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（       ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】 易知圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，结合圆的半径为，到直线的距离为的直线有两条，    可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于. 故选：B. 34．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）“圆截直线所得弦长为2”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据圆的方程确定圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求参数，结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【详解】 由的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 由，则或， 所以“圆截直线所得弦长为2”是“”的必要不充分条件. 故选：B 35．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由两点间距离公式结合求出点的轨迹，然后再利用圆与直线有公共点可解. 【详解】 设， 则， 因为，所以， 化简可得，即点在以为圆心，4为半径的圆上， 又直线上存在点，所以直线与圆有公共点， 所以，平方化简可得， 解得的取值范围为. 故选：D. 36．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）圆：与圆：公切线的条数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数. 【详解】 由圆，得圆心，半径； 由圆，得，即圆心，半径. 两圆圆心距， 所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条. 故选：C. 37．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）（多选）已知直线，圆则下列说法正确的是（       ） A. 是直线的一个方向向量的坐标 B. 过点作圆的切线，切点为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 直线与圆相交于、两点，则 【答案】AC 【分析】 由直线的斜率和方向向量可判断A；由两点间距离公式和勾股定理可判断B；利用两直线垂直系数关系可判断C；由几何法可得弦长进而可判断D. 【详解】 对于A，直线的斜率为2，所以是直线的一个方向向量的坐标，故A正确； 对于B，圆心，，所以，故B错误； 对于C，若直线与直线垂直，则，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 所以由弦长公式得，故D错误. 故选：AC. 38．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解． 【详解】 由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），    当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离，且， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 可得，则 结合图形可得实数的取值范围是． 故选：A． 39．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）下列说法不正确的是（     ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 圆与圆有两条公切线 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 平面内与两个定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线 【答案】ACD 【分析】 对于A，易知直线的斜率，则其倾斜角，即可判断；对于B，判断出两圆相交，从而得两圆有两条公切线，即可判断；对于C，求出满足条件的直线方程，即可判断；对于D，由双曲线的定义即可判断. 【详解】 对于A，因为直线的斜率， 所以其倾斜角，故A错误； 对于B，因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距， 则，所以两圆相交，故两圆只有两条公切线，故B正确； 对于C，因为所求直线过点，且在两坐标轴上截距互为相反数， 当所求直线过坐标原点时，其方程为，即；； 当所求直线不过原点时，设其方程为， 代入，解得， 所以所求直线方程为，即， 综上所述，所求直线的方程为或，故C错误； 对于D，由双曲线的定义得平面内与两个定点距离之差为常数(小于两定点之间的距离)的点的轨迹是双曲线，故D错误. 故选：ACD. 40．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知实数满足方程，则（     ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为-20 D. 的最大值为 【答案】C 【分析】 根据同角三角函数关系式，令，则.可求最小值，以判断A；将可看作是半圆上的点与点连线的斜率，以判断B；将可看作是半圆上的点到点 的距离，以判断C；可看作半圆上的点到直线的距离，以判断D. 【详解】 由，得 对于A，令，则. 因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为. 所以选项A不正确； 对于B，如图所示，表示以为圆心，3为半径的半圆，可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，所以的范围是. 所以选项B错误； 对于C，. 可看作是半圆上的点到点 的距离，如图所示，其最小值为. 所以的最小值为. 所以选项C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为. 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为. 所以，的最大值为. 所以的最大值为 所以选项D不正确. 故选：C. 41．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 42．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（       ） A. 4 B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 利用圆的弦长公式求解即可. 【详解】 由题意得圆心，半径 ， 圆心到的距离为， 所以. 故选：A 43．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】 由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 44．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（     ） A.  B.  C. 5 D.  【答案】B 【分析】 由题可知圆心及半径，结合条件可知直线经过圆心，进而得出点的坐标，然后根据圆的切线长公式即得. 【详解】 由题可得圆的标准方程为：， 可知圆心的坐标，半径为， 因为直线是圆的对称轴， 所以直线经过圆心，则， 解得，故， 由于过点作圆的一条切线，切点为， . 故选：B. 45．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）（多选）已知圆C：，下列说法正确的是（     ） A. 的取值范围是 B. 若，圆与圆相交 C. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为 D. 若，直线恒过圆的圆心，则恒成立 【答案】ABD 【分析】 由圆的一般方程得到的范围，再由得到圆的具体方程，利用圆与圆的位置关系，圆的弦长公式，基本不等式求解即可. 【详解】 方程表示圆则，，解得，选项A正确； 若，则圆C：，圆心为 ，半径为， 圆，圆心为 ，半径为，两圆心距为 大于两半径差的绝对值1，小于两半径之和3，则两圆相交，故选项B正确； 当直线为时，直线过点且与圆相交所得弦长为，故选项C错误； 将代入，得到，即，所以 ，当，即 取等号，故选项D正确. 故选：ABD 46．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设中点为，根据得到，利用圆内直角三角形得到；又由直线与圆相交得到，从而得到关于的不等式，求解即可. 【详解】 设中点为，则，因为，所以， 即，又，所以， 直线与圆交于两点，所以 所以，有，因为，所以 故选：B. 47．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相交 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】AD 【分析】 根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可． 【详解】 解：圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则， 所以， 则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以， 则直线与圆相离，故B错误； 若点在圆外，则， 所以， 则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即， 所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：AD． 48．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 确定直线经过定点已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】 直线，整理可得， 令 ，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 49．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（       ）． A. 5 B.  C.  D. 10 【答案】A 【分析】 由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】 ，，， 由 ，解得 ，或 ， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 50．（2026·重庆名校联盟·一模）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 利用等面积法，而当时，取得最小值，由此计算可得结论. 【详解】 由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，，， ，要使得最小，只要最小，由切线长公式知，只要最小. 当时，，此时, 所以的最小值是， 故选：C. C 51．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（       ） A. 若，则直线过圆心． B. 若，，则直线与圆相交． C. 若直线与圆相离，则． D. 圆心到直线的距离为3，则直线与圆相切． 【答案】ABD 【分析】 求得圆心和圆的半径，根据直线与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】 由圆，可知圆心，半径， 对于A，若，则直线，又，所以直线过圆心，故A正确． 对于B，若若，，则直线， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故B正确． 对于C，若直线与圆相离，则，所以，故C错误． 对于D，圆心到直线的距离为3，又，则直线与圆相切，故D正确． 故选：ABD. 52．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）（多选）已知圆和直线，点为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（       ） A. 圆心到直线的距离为 B. 若直线与平行，且与圆相切，则直线与的距离为 C. 切线长的最小值为4 D. 的最大值为 【答案】ACD 【分析】 利用点到直线的距离公式可判断A；根据与直线平行且与圆相切的直线有两条可判断B；根据，结合圆心到直线的距离可判断C；分析取最小值的条件，结合二倍角公式和数量积定义求解可判断D. 【详解】 对A，将圆化为标准方程得，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，正确； 对B，直线与平行，且与圆相切时，直线与的距离等于， 即或，错误； 对C，由切线定理可知，， 又的最小值即为圆心到直线的距离，所以，正确； 对D， 在中，， 由余弦函数单调性可知，当最小时，取得最小值，此时取得最小值， 此时，， 所以的最大值为，正确. 故选：ACD 53．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）（多选）以下四个命题表述正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为 C. 已知实数，满足，则的最小值为 D. 已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或 【答案】AB 【分析】 对于A，将直线化为求定点判断，对于B，由余弦定理及椭圆的定义可得，再应用三角形面积公式求面积判断，对于C，根据题设确定的几何意义，进而数形结合求其最小值，对于D，由两点式求线段与直线相交情况下直线的斜率范围，进而确定不相交对应的斜率范围判断. 【详解】 对于A：由题设，直线可化为，联立 ，则其恒过定点，所以A对； 对于B：由题意，且， 又，则， 所以，则，即， 所以的面积为，所以B对； 对于C：由的圆心为，半径为， 而表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示， 由图知，的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界， 即，故， 所以最小值为，所以C错； 对于D：由题设，， 由图知，过点的直线与线段相交，则直线斜率， 过点的直线与线段不相交，故，所以D错. 故选：AB 54．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（       ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为 【答案】ABC 【分析】 两圆方程相减可求出直线的方程，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，求出，再由可求得结果，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】 由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，由于,故两圆相交，则公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B正确， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：ABC. 55．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）2025年春晚上，机器人跳舞的节目赢得满堂喝彩，展示了我国在前沿科技上的强大实力．通常在规划复杂一些的机器人运动轨迹时，需要用到数学中的双纽线．已知一个双纽线的方程为．点为曲线上的动点，轴上两点，．下列说法正确的是（       ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线及曲线内部共有10个整点（横纵坐标均为整数的点） C. 记曲线与坐标轴围成图形面积为，则 D. 若点在第一象限，则 【答案】ACD 【分析】 对于上任意点，判断、、是否满足方程判断A；讨论、、、，结合对称性研究曲线及其内部整点个数判断B；根据方程得到，即可判断C；取椭圆上任意一点，且，结合方程判断与曲线的位置关系判断D. 【详解】 A：对于上任意点都有、、满足，即曲线是轴对称图形，也是中心对称图形，对； B：当，可得或，则在曲线上， 当，，可得，则在曲线内， 当，，则在曲线上，且时，方程无解， 结合曲线的对称性，也在曲线上或其内部， 综上，曲线及其内部共有11个整点，错； C：由，，所以， 即曲线面积在以原点为圆心，半径为2的圆与以原点为圆心，半径为1的圆之间部分， 所以曲线与坐标轴围成图形面积为，则，对； D：取椭圆上任意一点，且， 由， 所以椭圆上的点在曲线内部，故成立，对. 故选：ACD 56．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于，列出不等式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆心，半径为， 如图所示，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 要使得圆上有4个点到直线的距离为，则满足， 又由圆心到直线的距离为， 可得，解答，即实数的取值范围是. 故答案为：. 57．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】（1）     （2）2或      【分析】 （1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. (1) 小问详解： 因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 58．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知 与相交于点 ，则 　　　　　 【答案】 【分析】 首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长. 【详解】 两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 59．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【详解】 圆方程：，即， 即圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则弦长为. 故答案为：. 60．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知点，，是平面内的一个动点，且， （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可. (1) 小问详解： 设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由圆，可得为圆，圆心，半径， 又由圆心，半径为3， 圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交， 所以， 解得. 61．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. (1) 小问详解： 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 62．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）过点作圆的切线，则直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 63．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点的坐标，当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 【详解】 圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令 ，解得 ，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 64．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有　　　　　　条. 【答案】 【分析】 先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可 【详解】 由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 65．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）     （2）（i）直线方程可化为， 故 ， ∴直线过定点. （ii）或      【分析】 （1）将圆化为标准方程，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求半径，进而求出的值. （2）（i）将直线方程整理为含参数的形式，解方程组确定直线所过的定点坐标. （ii）分切线斜率存在与不存在两种情况，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解切线方程. (1) 小问详解： 的标准方程为，故圆心为， ，故， 故 (2) 小问详解： （i）略 （ii）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得， 故方程为， 综上所述切线方程为：或. 66．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 求出直线关于对称的直线的方程，根据直线与圆有公共点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】 点关于直线的对称点为，且点在直线上， ，所以直线的方程为， 即直线的方程为， 由题意可知，若直线关于对称的直线为直线， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 67．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）圆内一点，AB为过点P且倾斜角为的弦， （1）若时，求AB的弦长. （2）是否存在弦AB被点P平分？若存在，写出AB的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）若弦被点平分，根据圆的性质，得到,求得，结合直线的点斜式方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线过点，可得直线的方程为， 即， 因为圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以. (2) 小问详解： 解：若弦被点平分，由圆的性质，可得, 因为圆心，，可得，可得， 所以直线的方程为，即. 68．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）圆与圆的公共弦长为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用垂径定理计算即可得. 【详解】 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 有，，， 则，故两圆相交，两圆方程作差有： ， 即为公共弦所在直线方程，到该直线距离， 则公共弦长. 故答案为：. 69．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：　　　　　　　　　　. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】 由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 70．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； (2) 小问详解： 由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 71．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）若点是圆上一动点，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可先求的范围，再根据双勾函数得到范围即可． 【详解】 点为圆上的点，如图所示，设直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，即：， 据此可得：，又，所以， ． 故答案为：． 72．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得. 由 得 所以过定点.     （2） 或     （3）       【分析】 （1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. (3) 小问详解： 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 73．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知圆C的圆心在直线上，且圆C过点，. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l：与圆C相交于不同两点M、N，弦长，求实数a的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心，由题意可得，求解即可； （2）设圆心到直线的距离为，由题意可求得，进而得，求解即可. (1) 小问详解： 设圆心，因为圆C过点，，所以， 解得，所以圆心，又因为， 所以圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为， 由，所以，解得， 所以，所以，解得. 74．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知曲线C的方程为 （1）判断曲线C的形状； （2）设直线与曲线C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点），求曲线C的方程． （3）已知点，，若点P为（2）中所求曲线上一动点，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）曲线是以点为圆心，以为半径的圆     （2）曲线的方程为     （3）      【分析】 （1）把方程化为圆的标准方程，可得结论； （2）由圆过坐标原点，且，可得圆心在的垂直平分线上，从而求出，再判断不合题意即可； （3）设，可得，又，即，可得，把两式转化为圆与圆有公共点问题，即可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：将曲线的方程化为 可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆． (2) 小问详解： 解：圆过坐标原点，且， 圆心在的垂直平分线上，，， 当时，圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，不合题意舍去， ，这时曲线的方程为． (3) 小问详解： 解：设，由于点在圆上，所以① 若，则，即②， 要满足① ②两式，即以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以，所以，又，解得. 75．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l. （1）求圆C的标准方程； （2）求切线l的方程. 【答案】（1）     （2）和      【分析】 （1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入点和点，再结合圆心在直线上，列方程解出圆心坐标与半径即可求得圆的标准方程； （2）设出切线斜率求得切线方程，利用点到直线的距离等于半径得到直线斜率，从而求得切线方程，当斜率只有一解时需研究斜率不存在的情形. (1) 小问详解： 解：设圆C的标准方程为， 圆心为，半径为， 依题意可得 ，解之得 ， 所以圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 解：切线斜率存在时，设切线l的斜率为， 则切线l的方程为，即， 所以，解得， 所以切线l的方程为， 又因为圆心到直线的距离为， 所以直线也为圆圆C的切线. 故切线l的方程为和. 76．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】 由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：    当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则 ，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 77．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程　　　　　　. 【答案】，，，(写一条即可） 【分析】 设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即得答案. 【详解】 圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得： ， 解得： 或 或 或 ， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 78．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. (1) 小问详解： 设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则 ，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ① 当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ② 当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 79．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. （1）记直线的斜率分别为，求的值； （2）设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得，即可根据不等式的性质求解. (1) 小问详解： 解法一：设由题知，． ① 当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ② 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立 ，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ① 当直线的斜率不存在时，同法1． ② 当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立 ，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ (2) 小问详解： 由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立 ，消去得，∴点在直线上，如图所示， f ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 80．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. (3) 小问详解： 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 81．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知圆，过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）若直线的斜率为，求两条切线的斜率； （2）当取最小值时，求四边形的周长； （3）证明：直线过定点. 【答案】（1）和0     （2）     （3） 因为，，所以，，，四点都在以线段为直径的圆上. 设，因为， 所以以线段为直径的圆的方程为. 即，又圆， 两式作差，得直线的方程为. 令，得， 即直线经过定点.      【分析】 （1）设出切线方程，利用点到切线的距离等于半径可求答案； （2）利用四边形的面积把条件转化为取最小值时，求周长，结合图形可得答案； （3）利用四点共圆求出所在圆的方程，得出直线的方程，可得定点. (1) 小问详解： 由已知得圆的圆心为，半径为1， 则直线的方程为，令，得，所以. 设切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线的斜率分别为和0. (2) 小问详解： 由题意知与全等，所以， 又，所以. 所以当且仅当取最小值时，取最小值. 而，即要求的最小值. 当取时，取最小值3，此时， 此时四边形的周长为. (3) 小问详解： 略 82．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）将圆的方程整理得，由 ，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. (1) 小问详解： ， 整理得， 由 ，解得 或 ， 即动圆恒过两定点的坐标为或. (2) 小问详解： 由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. (3) 小问详解： 设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得 ， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件. 83．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知圆. （1）过点向圆引切线，求切线的方程； （2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出两公共点所在的直线；若无，说明理由. 【答案】（1）或     （2）有，      【分析】 （1）利用斜率是否存在进行讨论，然后再由点到直线的距离公式求解； （2）利用动点轨迹方程为圆，通过圆心距与半径关系可得两圆相交，即可得相交弦方程. (1) 小问详解： 由圆可得圆心为原点，半径为， 当切线的斜率不存在时，此时经过点的直线方程与圆相切，满足题意； 当切线的斜率存在时，可设经过点的直线方程， 即，由直线与圆相切可知： 圆心到直线的距离，解得， 所以切线的直线方程为， 整理为：， 综上可得切线的直线方程为或； (2) 小问详解： 由圆的方程可求得交点， 再设动点，根据可得： ，整理得： 即， 所以动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 两圆心距为， 因为，所以两圆相交有两个公共点， 即由两圆方程相减就可得公共弦直线方程： ， 则动点的轨迹与圆有两个公共点，该两公共点所在的直线为 84．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）在平面直角坐标系中，点，设圆的半径为1，圆心在直线上. （1）若圆心也在直线上， ①过点作圆的切线，求切线方程； ②斜率存在且过点的直线与圆交于A、B两点，当面积最大时，求直线斜率； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）①或,     ②.     （2）.      【分析】 (1) ①联立两条直线方程求出交点，即为圆心，写出圆的标准方程为，分析斜率存在与不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径即可得到切线方程； ② 设直线方程为，求出圆心到直线的距离，求出弦长，即可表示出三角形面积，根据二次函数性质即可得到当面积最大时直线斜率。 (2)求出点的轨迹方程为：，根据点也在圆上，所以圆与圆有交点，根据圆心的距离与半径的关系可得. (1) 小问详解： ①圆心在直线上，在直线上，所以联立 ， 解得 ，所以圆心坐标为， 所以圆的标准方程为：， 若切线斜率存在，设过点的切线方程为，由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，即： ，化简得， 两边平方得： ， 因此，切线方程为： ，即. 若切线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为：，也符合； 因此，切线方程为： 或.    ②设直线方程为，圆心到直线的距离为：， 弦长为：， 所以面积为：， 根据函数性质可得当时，可取得最大值， 因此我们有： ，两边平方得： ，即， 解得. (2) 小问详解： 设点，则， 两边平方得： ，即， 所以点在圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 圆的圆心为，半径为， 所以，化简得， 平方得：，所以， 所以圆心的横坐标的取值范围为：. 85．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦AB长为6，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，利用切线性质求出圆心，再计算半径得到圆的方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理求出直线方程. (1) 小问详解： 因为圆的圆心在直线上，所以设圆C的圆心 ， 因为与直线相切于点， 所以CP垂直于直线，故有，解得， 所以圆心，圆C的半径为 ， 所以圆C的方程为. (2) 小问详解： 当直线斜率存在时，设直线l方程为，即， 由（1）知，圆C半径为，而直线l被圆C截得的弦AB长为6. 由勾股定理可得，圆心C到直线l的距离为2. 所以，解得， 此时直线l的方程为； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，符合题意； 故直线l的方程为或. 86．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）公元前180年，古希腊数学家狄俄克利斯（Diocles）独立发明了蔓叶线，其方程为,如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，平面内给定圆和直线,从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线于点A、B,在射线上取一点M满足. （1）求蔓叶线的横坐标的取值范围； （2）求证：点M在蔓叶线上； （3）已知：直线与蔓叶线交于三点,记直线的斜率为,直线与圆C交于点,若,求的值. 参考公式：若是一元三次方程的三个根，则,,. 【答案】（1）[0,2)     （2）证明： 设，已知直线的方程为，将其代入圆的方程， 进行整理得 解得或，因为点不是原点，所以点横坐标为. 已知，设， 根据向量坐标运算，， 因为，所以，. 将代入蔓叶线方程的右边，得：， 而，即， 点的坐标满足蔓叶线方程，因此点在蔓叶线上.     （3）      【分析】 （1）将蔓叶线方程中的与分离，根据解得的范围； （2）依据向量相等的性质得到点的坐标，再将点的横坐标代入蔓叶线方程的右边，通过化简计算与进行比较，若相等则可证明点在蔓叶线上； （3）求的值，可先由直线与圆的交点表示，得到，再结合直线与蔓叶线交点的三次方程，利用韦达定理和已知的进行计算. (1) 小问详解： 点不在方程上，故该式可化为， 则且，则且，可得. 故蔓叶线的横坐标的取值范围为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 将直线方程与圆方程联立， 得，解得或（舍去）. 故，因此， 因此. 齐次化联立直线与蔓叶线方程 ， 得到整理得， 即， 根据方程联立的意义可知，所得的关于的一元三次方程的三个根即为， 结合韦达定理可知，. 又， =1. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $