专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（       ） A. 共线的单位向量都相等 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 相反向量指方向相反的两个向量 D. 任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】 根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】 对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）四面体OABC中，M为OA中点，，则=（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合图形和题设条件，利用向量的线性运算即可求得. 【详解】 如图，连接，因M为OA中点，，且 则 . 故选：A. 3．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 4．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知向量，，若，则实数λ=（       ） A.  B. 3 C. 5 D.  【答案】D 【分析】 利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】 向量，，则， 由，得，所以. 故选：D 5．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】 依题意有. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）如图，在平行六面体中，，，则（       ） A. 1 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】 由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 在平行六面体中中，利用空间向量的加法运算得到，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，由求解. 【详解】 在平行六面体中中， 因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°， 所以， 所以， 所以， ， ， 所以， 故选：B 【点睛】 本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）（多选）如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】 A：根据，通过空间向量的加减以及数乘运算将表示为的线性组合；B：记，，，用的线性组合表示出，再通过数量积的定义求解出；C：用的线性组合表示出，根据求解出结果；D：先计算出，然后根据求解出结果. 【详解】 对于A：由题意知 ，故A错误； 对于B：记，，，所以， 所以，故B正确； 对于C：， 所以 ，故C正确； 对于D：由，， 所以， 所以， 又 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，结合向量的共面定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】 对于A，由，所以向量共面，所以A不符合题意； 对于B，设，可得 ，此时方程组无解， 所以不共面，符合题意； 对于C，由，所以共面，所以C不符合题意； 对于D，由，所以共面，所以D不符合题意. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）（多选）如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（       ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 【答案】BCD 【分析】 以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假. 【详解】 以为基底，则，，,. 对A：因为. 所以，故A错误； 对B：当是靠近的三等分点，即时， ， 又，所以.故，，共面.故B正确； 对C：因为， 所以：， 所以，故，故C正确； 对D：设，. 因为：. 所以，. 当时，有最小值，为：，故D正确. 故选：BCD 11．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】 因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）（多选）如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（       ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为45° C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 【答案】ACD 【分析】 对于A：当点为中点时，利用向量证明即可；对于B：当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C：当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D：先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】 对于选项A：当点为中点时， ， 所以，故A正确； 对于选项B：当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于选项C：当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例， 此时，故C正确； 对于选项D：若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则， 则点的轨迹由圆弧构成， 且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为， 圆弧的长分别为， 故点的轨迹的长为，故D正确； 故选：ACD. 13．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点的轨迹即可. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，， 所以，， 由，得，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】 过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D 15．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】 对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 16．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知正方体的棱长为是的三等分点（靠近点），则　　　　　　. 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，写出与，即可得解. 【详解】 以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，故，， 因此. 故答案为： 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】 对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 2．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）在平行六面体中，,,则的值为（       ） A.  B. 3 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 由空间向量线性运算，可得,再利用数量积运算性质即可得出. 【详解】 故选：D. 3．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（       ） A. 9 B.  C.  D. 6 【答案】C 【分析】 由，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出的值，进而可得答案． 【详解】 由，得到， 因为底面是矩形，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， ，故． 故选：C． 4．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】 由题意可知，即，则， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 故. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（     ） A.  B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【分析】 以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】 由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，然后解方程组即可. 【详解】 设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有 ， 所以. 故答案为： 7．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． （1）记用表示； （2）求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； (2) 小问详解： 因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 8．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN=　　　　　　. 【答案】 【分析】 用表示,平方求模即可. 【详解】 根据题意， 所以即为二面角的平面角，即， 因为为为对角线DF的中点， 所以, 又M为对角线AC靠近点A的三等分点， 则 所以, 所以 , 所以 . 所以所以线段 故答案为： 9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在三棱柱中，的外心为,则的长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合三角形的外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题. 【详解】 设,由题意知,则 ,得 ,得 , 因为, 所以 . 故答案为：. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用中点坐标公式可得答案. 【详解】 因为点、，则线段的中点坐标为， 即. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 根据空间点的坐标定义直接可得. 【详解】 根据空间点的坐标定义可知，点到平面的距离等于其纵坐标的绝对值， 所以点到平面的距离为2. 故选：A 3．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）空间中，若，，则，两点间的距离为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 由空间两点间距离公式可得. 【详解】 由题意可得. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在空间直角坐标系中，到Oxy平面的距离为2的点的坐标可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间直角坐标的定义即可求解. 【详解】 点到平面的距离为2， 点，到平面的距离均为1， 点到平面的距离为0. 故选：A 5．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）若平面的法向量为，则下列各向量与垂直的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【详解】 对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（       ） A.  B. 若，则 C.  D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】 借助模长公式可得A；借助向量平行的充要条件计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D. 【详解】 对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即 ， ，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）设，，向量，且，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】 设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 8．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间直角坐标系中点关于坐标平面对称的特征确定对称点坐标. 【详解】 由空间直角坐标系的特征，点关于平面的对称点为. 故选：A 9．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长. 【详解】 由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系 ， 则，，因为是的中点，所以， 因为，所以，所以，即线段的长为，故选B. 【点睛】 本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题. 10．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）在空间直角坐标系中，点到y轴的距离为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 问题转化为空间两点间的距离求解. 【详解】 过向轴做垂线，垂足为. 则点到轴的距离为：. 故选：C 11．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案. 【详解】 根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为， 故选：C. 12．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标. 【详解】 由题意知：； 设向量在基底下的坐标为， 则， 即， ，解得： ， 向量在基底下的坐标为. 故选：C. 13．（2026·重庆名校联盟·一模）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果. 【详解】 点关于轴对称的点的坐标是. 故选：B 14．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）（多选）下列说法正确的为（     ） A.  为空间任意一点，若 ，若 四点共面，则实数 等于 B. 若 为空间的一个基底，则 能构成基底 C. 向量 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 D. 圆 与圆 的公切线有 3 条 【答案】ACD 【分析】 选项A利用空间四点共面的向量系数和条件求解；选项B通过假设线性组合判断向量是否线性相关；选项C结合数量积与模长计算投影向量；选项D通过判断两圆的位置关系，判断公切线的条数. 【详解】 选项A:由，代入， 得：. 因四点共面，故的系数和为1，即，解得，A正确. 选项B:设，整理得：， 列方程 ，解得，即三向量线性相关，不能构成基底，B错误. 选项C: ，， 投影向量为，C正确. 选项D:圆：圆心，半径； 圆配方得，圆心，半径. 两圆心距，而， 故两圆外切，公切线有3条，D正确. 故选：ACD 15．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）向量，若与垂直，则的值为（     ） A.  B. 1 C. 5 D. 0 【答案】A 【分析】 根据空间向量线性运算及两向量垂直的坐标表示，列出关于k的方程，求得k的值. 【详解】 由向量，得. 若与垂直，则，所以， 解得. 故选：A. 16．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 【详解】 对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以 ，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 17．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（       ） A.  B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】 根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】 对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 18．（2026·重庆名校联盟·一模）已知，，，若，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 因为，，所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． (1) 小问详解： 由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． (2) 小问详解： ， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即 ，解得，∵与不共线，∴② ， 由① ② 得. 20．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知空间中的三个点，，，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知及向量数量积的坐标运算易得，从而有点到直线的距离为，即可得. 【详解】 由题设，则， 所以，则点到直线的距离为. 故答案为： 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】 由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【分析】 根据空间中，直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 A项：若，，则或，故选项A不正确； B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确； C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确； D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（     ） A.  B. 异面直线与所成角的余弦值为 C.  D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】 根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】 对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则 ，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】 由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 5．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）（多选）已知空间中三点，，，则正确的有（       ） A. 与是共线向量 B. 是直线的一个单位方向向量 C. 与夹角的余弦值是 D. 是平面的一个法向量 【答案】CD 【分析】 根据点的坐标，分别表示出，根据共线向量与方向向量的定义即可判断AB，C选项，代入两向量夹角的余弦公式即可求得，D选项，设法向量，列方程组即可计算. 【详解】 A选项，，，所以与不是是共线向量,故A选项错误； B选项，由所以是直线的一个方向向量，但不是单位方向向量，故B选项错误； C选项，因为，所以， 故C选项正确； D选项，设平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，故D选项正确. 故选：CD 6．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】 因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 7．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 连接，易得，则是直线与所成角，进而求解即可. 【详解】 连接， 根据正方体的性质可知， 所以是直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 即直线与所成的角的大小为. 故选：C 8．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（       ） A. 3 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】 直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以. 故选：C 9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】 设直线与平面所成的角为， 所以， 又，所以， 故选：C. 10．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】 解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（       ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C.  D. 的面积为 【答案】AC 【分析】 根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】 依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 12．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）（多选）正方体中，下列结论正确的是（       ） A. 直线与直线所成角为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面所成角为 D. 平面平面 【答案】AB 【分析】 根据异面直线所成角的定义可判断A；由二面角的定义，找到二面角的平面角，判断B；由线面角的定义作出并求得直线与平面所成角，判断C；设正方体的棱长为a，棱的中点，连接，求得平面与平面所成的角，判断D. 【详解】 对于A，连接，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以为直线与直线所成的角， 连接，则，所以是正三角形， 所以，所以A正确； 对于B，由正方体的性质知，平面， 因为平面，所以； 因为，平面， 所以是二面角的平面角， 易知， 所以二面角的大小为，所以B正确； 对于C，由正方体的性质知，平面， 所以是直线与平面所成的角， 易知， 所以直线与平面所成角为，所以C错误； 对于D，设正方体的棱长为a， 易知与均为边长为的正三角形， 如图，取棱的中点，连接， 则， 则为平面与平面所成角的平面角， 且， 又，所以， 所以，所以D错误. 故选：AB. 13．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 选择恰当的基底，求得向量与夹角的余弦值，其绝对值即为与所成角的余弦值. 【详解】 直三棱柱中，平面.又，所以两两垂直. . . 所以， . . . 所以与所成角的余弦值是. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）（多选）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合， 这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 点到直线的距离是 C. 直线与平面的夹角正弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】 应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，构建合适的空间直角坐标系并标注出相关点坐标，应用向量法求点线距离、线面角、线线角判断B、C、D. 【详解】 ， 即，A错误； 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则 所以， 设， 则点到直线的距离，B正确； 设面的法向量为， 则 ，取，则， 则， 即直线与平面的夹角正弦值为，C正确； 所以， 则， 即异面直线与所成角的正切值为，D正确. 故选：BCD 15．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）（多选）在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（       ） A. 线段中点 B. 线段中点 C. 线段中点 D. 线段中点 【答案】ABD 【分析】 建立空间坐标系，求出平面的法向量，由线面平行的向量求法依次判断选项即可. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设的中点分别为， 不妨设棱长为2，则， ，设平面的法向量，则 ， 令，则，又， 则， ， 又平面，则都平行于平面，即若直线平面， 则点F的位置可能是线段中点，线段中点或线段中点. 故选：ABD. 16．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）（多选）正方体的棱长为分别是棱的中点，则（       ） A.  B.  C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】BC 【分析】 建立空间直角坐标系，根据空间向量法向量的垂直即可证明判断A，B，C，根据空间向量的点面距公式即可求D. 【详解】    建立如图所示的空间直角坐标系：正方体棱长为2， 则, 所以， 因为，所以不成立，A选项错误； ，所以，B选项正确； ， ， 所以平面的一个法向量为 ， 又因为，所以平面，所以平面，C选项正确； ，则 , 设平面的法向量为 ， 所以 ，取，则，故； 由, 设点到平面的距离为，则，D选项错误； 故选：BC. 17．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 建立恰当的空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的向量求法求解. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则 ，所以 . 令，则. . 所以直线与平面所成的角的正弦值是. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）若正方体外接球的半径为，球心为O，E，F分别是AB，BC的中点，则（       ） A.  B. 直线OE与所成的角为 C. 点O到平面的距离为 D. 平面截球O所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】 设正方体的棱长为，根据正方体外接球的性质，列出方程求得，可判定A正确；以D为原点，建立空间直角坐标系，求得的夹角，可判定B正确；求得平面的法向量和，结合向量的距离公式，可判定C错误；设截面圆的半径为r，根据截面圆的性质，求得圆的半径，可判定D正确. 【详解】 对于A中，设正方体的棱长为，可得对角线长为， 因为正方体外接球的半径为，所以，解得，所以，所以A正确. 对于B，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，    所以，，则， 所以直线OE与所成的角为，所以B正确； 对于C，设平面的法向量为，则 ， 令，可得，，所以， 又由向量，所以点O到平面的距离为，所以C错误； 对于D，平面截球O所得的截面是一个圆， 设该圆的半径为r，则， 所以平面截球O所得截面的面积为，所以D正确. 故选：ABD 19．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）（多选）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（       ） A. 若建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴的空间直角坐标系，则点关于平面对称的点坐标为 B. 点到的距离是 C. 不存在点，使得直线平面 D. 直线与所成角余弦值的取值范围是 【答案】BD 【分析】 根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示可判定A，由空间向量研究线面关系可判定C，由空间向量计算线线夹角可判定D，根据线面关系可判定B. 【详解】 因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，故可以以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系， 则， ，所以， 所以点关于平面对称的点坐标为，故A错误； 设，则， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，即， 若直线平面，则， 显然存在点，使得直线平面，故C错误； 设直线与所成角为，则， 若，则， 若，则， 易知单调递增，即，故D正确； 易知平面，平面，则，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 则点到的距离为，故B正确. 故选：BD 20．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（       ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】C 【分析】 直接利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】 定点，， 故，所以； 故：， 所以， 所以点到直线的距离． 故选：C． 21．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）在长方体中，，，点E，F分别是线段上的动点（不包括端点），且线段EF始终平行于平面，则四面体的体积的最大值是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用线面平行的性质及线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式列式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】 在长方体中，连接，由平面平面， 平面，平面，得，连接，过作交于， 由平面，得平面，设，则， 由，得，四面体的体积 ，当且仅当时取等号， 所以四面体的体积的最大值是。 故选：B 22．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）（多选）如图，正方体的棱长为是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（       ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点的运动轨迹长度 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 【答案】BCD 【分析】 对A，把正方形、正方形展开在同一平面内计算判断A；对B，过作与垂直的正方体的截面计算判断B；对C，求出点的轨迹计算判断C；对D，作出平面截正方体所得截面计算判断D作答. 【详解】 对于A，在棱长为4的正方体中，将正方形、正方形展开置于同一平面，如图，     连接，则，A错误； 对于B，在棱上分别取点，使，连接，如图，   由，得平行四边形，即，由，得，同理， 于是，而平面，平面，，又， ，平面 ，则平面 ，平面 ，有， 同理，从而，又平面， 因此平面，而平面平面，则的运动轨迹为线段， 此时与始终垂直，，B正确； 对于C，在棱上取点，使，连接，则，如图，   而平面，则有平面，平面，则， 而，于是，点在以为圆心，2为半径的圆弧上， 此时圆心角为，点的运动轨迹长度，C正确； 对于D，在棱上取点，使，连接，如图，   由，得，正方体的对角面为矩形， 则，于是平面截正方体所得截面为梯形. 又，，从而为等腰梯形.故D正确. 故选：BCD 23．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）二面角的棱上有两个点A､B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直与棱，若，则二面角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查利用向量法求二面角的余弦值，解题的关键思路是通过建立向量关系，利用向量的模长公式和数量积公式来求解二面角的余弦值. 【详解】 因为而且 ， 所以， 即，得到 因为 ， 设二面角为，则， 故二面角的余弦值为. 故选：A 24．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（     ） A.  B. 相交但不垂直 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知条件分别确定平面和直线的法向量和方向向量，结合已知点，再判断它们的位置关系. 【详解】 由题设，平面的方程可写为， 所以平面经过点，且一个法向量为， 又直线的一个方向向量为， 所以，即，则或， 由于点在直线上，显然不在平面内，故，即. 故选：A 25．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）（多选）如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（       ） A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 【答案】ACD 【分析】 以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得A、B，由墙角模型可得C，利用球面上点到平面的最大距离等于球心到平面的距离加上半径可得D. 【详解】 在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ，由是线段上的动点，设 对于A，，，A正确； 对于B，则，， 由，则不存在点，使得，B不正确； 对于C，由题意易得三棱锥的外接球为球即为墙角模型的的外接球球心，其球心位于正方体的体对角线的中点，所以， 同理三棱锥的外接球为球， 由可得，，三点共线，故C正确； 对于D，球心在以为顶点为棱的正方体的中心，其半径为， 又，易得平面的法向量为，且 所以到平面距离为，所以球球面上点到平面距离最大值是，故D正确. 故选：ACD 26．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）（多选）四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（     ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】 对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿剪开得到平面图，最小值即为，根据已知求出各边边长，进而计算即可得出答案；对于C项，假设存在点，建立空间直角坐标系，表示出的坐标.进而根据，得出，列出方程解出的值，即可得出判断；对于D项，表示出，进而根据向量法表示出点到直线的距离.结合二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】 对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确；    对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为.故B正确；    对于C项，假设存在点，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为， 所以，解得. 故存在点，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点到直线的距离， ， ， 所以，当时，点到直线的距离的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 27．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（     ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】 运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度. 【详解】 对于A，因为动点在正方体内及其边界上运动， 且，，则动点的运动轨迹为线段. 由于，平面，所以平面. 故三棱锥的体积为定值，A正确. 对于B，在正方形中，. 在正方体中，因为平面，又平面，所以. 因为，，，且，平面，所以平面. 动点在正方体内及其边界上运动，且， 所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确. 对于C，设边上的高为，则. 由正弦定理可得，所以，故. 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，. 设，，，，则，. 又，则有，整理得， 所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面. 又，所以，故C错误. 对于D，由，设，，，则， 即，化简得，表示以为球心，半径为的球. 又，，则，即， 化简得，表示以为球心，半径为的球. 两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为， 则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确. 故选：ABD 28．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　） A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】 根据题意和正方体的性质、空间点到直线的距离、圆的定义等，逐项分析即可解出. 【详解】 选项A，如图1所示，连接，在上任取一点，连接， 过在侧面作，与的交点为，连接，得四点共面， 在上都有类似结果，在其它棱上时，截面都是正方体的对角面， 所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，所以A正确； 选项B，如图2所示，取中点，根据分别为中点，易得，所以四点共面，该截面为四边形且为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高， 所以截面的面积为，所以B错误； 选项C，如图3所示，建立空间直角坐标系，可得，所以. 设点，所以， 则点到直线的距离， 所以时，距离最小，最小为，所以C正确； 选项D，如图4所示，取的中点，连接，易得平面且， 又平面，所以， 所以， 则点在侧面内的运动轨迹为以点为圆心，以2为半径的劣弧，其圆心角为， 所以点的轨迹长度为，所以D正确. 故选：ACD. 29．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（     ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 若平面，则是上靠近的四等分点 C. 点到平面的距离为 D. 若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【分析】 利用面面平行证明线面平行，判断A.；建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断B，利用等体积法求得点到直线的距离C，利用向量法求得点到直线的距离判断D. 【详解】 对于A，如图，取的中点，连接、， 因为点、是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，且，所以， 因为平面，平面，所以平面， 且，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B，若是上靠近的四等分点， 以为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，， 所以，，且，、平面， 所以平面，且过点只有条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故B正确； 对于C，因为是棱的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 由题意可得是等边三角形，且，设点到平面的距离为， 由，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为，C错； 对于D，若点在棱上运动，设，， ，， 则点到的距离， 当时，的最小值为，D对. 故选：ABD 30．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由面面平行的性质定理得到，再利用相似比求AB的长度. 【详解】 因为平面平面，由面面平行的性质定理得， 所以，所以，即，解得， 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． （1）求证：EF平面BDD1B1； （2）设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1． 【答案】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图， 因E，F分别是BC，CM的中点， 则有EFBM， 又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1， 所以EF平面BDD1B1．     （2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图， 而E是BC的中点， 于是得EGBD， 而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1， 从而得EG平面BDD1B1， 由（1）知EF平面BDD1B1， EFEG＝E，且EF、EG平面GEF， 因此，平面GEF平面BDD1B1， 所以当G是DC的中点时， 平面GEF平面BDD1B1．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理求证即可； （2）根据面面平行的判定定理证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面， 所以如图建系， 可得， 则， 设平面法向量， ，令，则，所以， 则可得，所以，故直线平面PCD；     （2）      【分析】 （1）利用空间向量法来证明线向量与法向量共线，即可得线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题，， 设BM与平面PCB夹角为，设平面PBC法向量 ，令，则，所以， 则， 故与平面夹角正弦值为. 33．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则 ，取， 所以，所以， 又直线平面，所以直线平面；      （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可得到，从而得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，所以平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 34．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求点A到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式进行求解. (1) 小问详解： 因为平面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 故， ，， 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，故， 所以点A到平面的距离； (2) 小问详解： ， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ， 令，则，故， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 35．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，长方体中，，，． （1）求证：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明:是长方体， ，，， ， 为平行四边形 又平面，平面 平面； ，，， ，，为平行四边形 平面，平面 平面 ，平面，平面 平面平面.     （2）10      【分析】 （1）由是长方体，得到，从而得到平面；由是长方体，得到，从而得到平面；根据平面与平面平行的判定定理得到平面平面 （2）转换三棱锥的顶点和底面，等体积法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， . 36．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥.    （1）当时，求的长； （2）当平面平面时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）要求，可考虑解三角形，因已知，故想到求，结合条件可证即得； （2）利用面面垂直构建平面的垂线，从而建系，求相关量，得各点坐标，分别求出两个平面的法向量，运用两空间向量的夹角公式计算即得. (1) 小问详解： 由，，且，平面， 可得平面，又平面，则， 在中，根据勾股定理，. (2) 小问详解：    如图，过点作于点， 由代值易得：. 由平面平面，平面平面，平面， 可知平面. 在平面中，过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 有，，，. 设平面的法向量，则 ， 令，解得其中一个法向量； 设平面的法向量，则 ， 令，解得其中一个法向量. 于是，， 故平面和平面夹角的余弦值为. 37．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【答案】（1） 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，       则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则 ， 令得 ，则，∴， 又∵平面，∴平面.     （2）     （3） 不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则 ，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面．      【分析】 （1）建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该法向量垂直，证明线面平行； （2）由线面角的向量求法求得直线与平面所成角的余弦值； （3）设存在点，使得平面，根据线面垂直的向量证法求得参数的值，从而判断不存在点，使得平面. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． (3) 小问详解： 略 38．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，. （1）求点B到平面PCD的距离； （2）若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，然后利用点面距的向量公式求解即可； （2）先求出平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. (1) 小问详解： 以为坐标原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    由，，得， 故，，，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为，则 ， 取，可得平面PCD的一个法向量为，又， 所以点B到平面PCD的距离为； (2) 小问详解： 由E为PB的中点，得. ，，， 设平面PBC的一个法向量为，则 ， 取，可得平面PBC的一个法向量为. 设直线DE与平面PBC所成角为，则， 故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为. 39．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E点在AD上，且．    （1）求证：平面平面PAC； （2）若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角的余弦值． 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面.     （2）      【分析】 （1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）由题意可得以A为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，且，∴， ∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴，取BC中点G，连接AG， ∴，即， 由（1）可得， 以A为坐标原点，AG为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示的坐标系    由（1）可得，平面， ∴为直线PC与平面所成角，即 设平面的法向量为 ∵， ∵，， ∴ ，令，则，，∴ ∵x轴⊥平面，∴平面的法向量， 设为二面角的平面角，且为锐角， ∴. 40．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）如图多边形 中，四边形 是矩形， ，沿直线 将 进行翻折，使得点 至点 的位置使得 是正三角形. （1）求证：平面 平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为 是正三角形， 所以， 又， 所以， 即，又,为平面内两条相交直线， 所以平面， 又在平面内， 所以平面平面 ；     （2）      【分析】 （1）由勾股定理确定，再结合，即可求证； （2）建系求得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点，的中点， ，又在平面内，为平面，平面 的交线， 由（1）可知平面 ，连接， 在平面内，可知两两垂直， 如图建系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则 ， 设，得， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 41．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，D为棱的中点，则点C到平面ABD的距离是　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用等体积计算即可. 【详解】 因几何体为直三棱柱，则平面， 因平面，则， 则由题意在中得， 同理可得，， 又在中，， 则等腰三角形底边上的高为，则， 因，则点C到平面ABD的距离是. 故答案为： 42．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，    （1）证明：直线平面； （2）求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． （3）求点N到平面OCD的距离． 【答案】（1） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由为的中点，为的中点，得， 即， 设平面的法向量为，则 ，取，得， 则平面，所以直线平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，先求出面的一个法向量，进而得到，再应用线面平行的判定证明结论； （2）应用向量法求线面角的正弦值，进而求其余弦值； （3）应用向量法求点面距离即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，，且平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以，故直线与平面所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（1）知，，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 43．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）如图，棱长为1的正方体中，，. （1）若时， （i）求证：面； （ii）求与面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） （i）证明：连接，交于， 因为正方形，所以是中点. 又因为是中点，所以， 又面，面，面； （ii）     （2）      【分析】 （1）（i）连接，交于,证明，再由线面平行判定定理得证，（ii）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦； （2）利用向量法得出二面角的余弦的表达式，求取值范围即可. (1) 小问详解： （i）略 （ii）以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如图的空间直角坐标系，得，，，，，，，，， 设平面法向量， 则 ，取得， 所以所求角的正弦值为. (2) 小问详解： ，，， 设平面法向量， 则 ，取得， 设平面法向量， 则 ，取得， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， ， 当时，； 当时，， 令，得； 综上二面角的平面角的余弦值范围为. 44．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】（1）证明如下： 如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即.     （2）      【分析】 （1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以当时，故、为、上的中点， 所以，，，故，， 若为平面的法向量，则 ，令，故， 又面的法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为. 45．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平面，平面， ∴平面．     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则 ，取，得， 又，所以到平面的距离. (3) 小问详解： 令， ，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 46．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）在四棱锥中，平面ABCD，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，取中点，    因为且， 又因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面.     （2）     （3） 存在，，理由如下： 设，， 所以，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得 ，解得 ，（舍）， 所以存在满足条件的点，，则.      【分析】 （1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面，所以， 因为，所以，又， 又因为，，所以， 如图2，以为原点，，，所在方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设点坐标为，则，， 由得，则，所以，， 设平面的一个法向量为， 由 ， 令，得 ， 设平面的一个法向量为，由 ， 令，得 ， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 略 47．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，.    （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （i）如图，取的中点，连接，    因为为的中点，所以，且， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面； （ii）     （2）      【分析】 （1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求. (1) 小问详解： （i）略 （ii）取中点，连接， 因为，所以， 因为， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，可得， 从而，所以， 设平面的一个法向量为， 由 ，取，则，，所以， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为. (2) 小问详解： 由条件知，设， 所以， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为. 48．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知长方体中，，，是与的交点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析     （2）      【分析】 （1）连接交于点，连接，由几何关系得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入空间线面角公式计算可得. (1) 小问详解： 连接交于点，连接， 在长方体中，四边形为矩形， 且为中点，为中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 小问详解： 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则 ， 取，则，所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 49．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，．    （1）求的长； （2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 (1)利用空间垂直关系转换可证明线线垂直，再利用等腰三角形三线合一可计算长度； (2)利用空间向量法来求面面角余弦值即可. (1) 小问详解：    因为为底面半圆周上一点，所以， 又由为圆柱的轴截面，所以底面， 又因为底面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为中点，， 又因为，所以； (2) 小问详解： 依题意如图建立空间直角坐标系，    由，，可得： ， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 即平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 即平面的法向量为， 则 即平面与平面所成夹角的余弦值为． 50．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）直接写出C，D，E，F的坐标. （2）证明：平面ABC. （3）求点E到直线CD的距离. 【答案】（1），，，     （2） 证明：由（1）得， 直三棱柱中，可得平面， 所以平面的一个法向量为，可得，所以， 又因为平面，所以平面.     （3）      【分析】 （1）根据题意，求得的坐标，结合中点公式和，求得的坐标，即可得到答案. （2）由（1）得和平面的一个法向量为，求得，得到，结合项目平行的判定定理，即可得证； （3）由（1）得，向量，，结合距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：根据题设中的空间直角坐标系，可得，， 因为为的中点，可得，即， 又因为点在线段上，且，可得， 设，可得， 可得，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）得，向量，， 所以点E到直线CD的距离为. 51．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，等边三角形所在的平面垂直于底面．    （1）求证：平面． （2）若，求二面角的夹角余弦值． 【答案】（1） 如图所示：取中点，连接， 是等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， ， 又平面， 平面.         （2）      【分析】 （1）取中点，连接，根据是等边三角形和平面平面，得到平面，进而有，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）构造二面角的平面角后利用等面积法可求，从而可求二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，故. 如图，连接，在平面内过点作， 垂足为， 平面， 平面， ， 又∵平面， 平面，平面， ， 为二面角的平面角. 在直角梯形中，， ，故， 故，故， 所以，即二面角的夹角余弦值为. 52．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，平面，，M是的中点，P是的中点，点Q在棱上，且.    （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，分别在上取点，使，，连接，    因为分别是的中点，,， 在中，，，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以，.     （2）.      【分析】 （1）分别在上取点，使，，连接，根据中位线以及相似比得为平行四边形，进而线线平行，即可证； （2）根据已知，建立合适的空间直角坐标系，求解相关平面的法向量，利用向量法求夹角余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由是边长为3的等边三角形，平面，， 取的中点，连接，则，过点作，则平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，则，而平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 53．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.    （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. （3）是否存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设 ， 所以，所以即；     （2）；     （3）存在，为线段的中点，理由如下： 由（2）平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 则， 假设存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为， 则（舍去）或， 所以存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，为线段的中点.      【分析】 （1）由坐标运算即可求证； （2）先求出平面的一个法向量为，利用求出t，再由距离公式计算即可得解； （3）求出平面的一个法向量为，接着求出，假设存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，再利用求出t有符合的解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为， 则 ，所以 ，取，则， 由（1），又直线与平面所成角为，， 所以， 所以，又由（1）可得， 所以点到平面的距离为. (3) 小问详解： 略 54．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求的最小值； （2）当M移动到中点时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式，借助二次函数，求出最小值； （2）求出二面角中两个平面的法向量，借助向量夹角公式计算求解即可. (1) 小问详解： 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 因为,所以, 所以. ,当时,最小， 此时. (2) 小问详解： 若是的中点，则此时也为的中点,则, 取的中点,连接, 则,因为,所以, 所以是平面与平面的夹角或其补角, 因为, 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值是. 55．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图，，，都是等边三角形，点分别在平面的上方和下方，点为中点. （1）求证：四点共面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 连接， 因为，，都是等边三角形， 所以， 又在平面内交于点，在平面内交于点， 所以平面，平面， 因为过只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点， 所以平面与平面是同一平面， 即四点共面；     （2）      【分析】 （1）由已知，证得平面，平面，可得四点共面； （2）以为坐标原点，以分别为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，列方程解出点坐标，利用线面角的向量公式可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， 以分别为轴， 以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，所以， 又，则， 设， 所以 ，解得 ， 所以，. 由于轴垂直平面，所以平面的一个法向量可取， 设直线与平面所成角为， 则. 所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. 56．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】 依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 57．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，由为中点，则且. 由已知有，又由于为中点，从而，故四边形为平行四边形，所以. 又平面，而平面，则平面 （2）. 【分析】 （1）取中点，证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）证明平面，从而求出，再由，得出点到平面的距离. 【详解】 （1）略 （2）. ，同理， 又平面 平面. 连接为中点， 又. 设点到平面的距离为 由，解得 ∴点到平面的距离为. 【点睛】 关键点睛：在求点到平面的距离时，关键是利用等体积法建立等量关系，从而得出点到平面的距离. 58．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以，均为等边三角形， 故，，且， 因为，所以， 由勾股定理的逆定理得， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面；     （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，，， 即，解得，，， 故， 设平面的法向量为， 则，，则 ， 令，则，，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时.     （3）      【分析】 （1）根据菱形性质及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点面距离的向量公式列式求解即可； （3）直接利用线面角的向量公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可得：， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 59．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，在四棱锥中，面，，四边形满足，，，点为中点，点为边上的点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直. 以为坐标原点, 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 点为的中点，故，， 平面的一个法向量为， ，则， 又平面，所以平面．     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，证明即可； （2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式求二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，则，， 依题意可知平面的一个法向量为， ， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 设二面角的夹角为， 所以， 所以二面角的夹角的余弦值为． 60．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】 （1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【详解】【整体点评】 （2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 61．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.    （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以.     （2）     （3）      【分析】 （1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，    则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，，    ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 62．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面交线为， ①求证； ②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由勾股定理计算得，所以， 故三角形为等腰直角三角形，可得. 因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面.     （2） ① 因为，而平面， 所以平面， 面与平面交线为，所以， 而，所以. ② 存在，      【分析】 （1）先分析底面四边形里的几何关系，得出，再根据线面平面推得线线，则可证平面，最终证平面平面； （2）① 先由证明平面，再根据线面平行的性质，得出交线，结合，得出；② 建立空间直角坐标系，设出点M坐标，求出平面的法向量，利用二面角的向量公式建立方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 依题意，建立空间直角坐标系， 可得， 设平面的一个法向量为， 则 即 取，则， 因为点在上，所以设点，设平面的一个法向量为， 则 可得 即 取，则. 因为， 所以，解得，故. 63．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且．    （1）若点E满足，求证：平面； （2）点M在线段上，且，动点Q在平面内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）    以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标：，，，，， 由，，得， 故 设平面的法向量为，，， 则 ，取，得，即， 又因为，则，故. 因为平面，所以平面.     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）用空间向量 “线面的法向量→线面”；先建坐标系写坐标，再求平面的法向量，最后看直线的向量和法向量垂直，就证出线面平行. （2）（i）先找的轨迹（圆），再用体积公式找最值；由算出在一个圆上，三棱锥体积由Q到的距离决定，圆上这个距离最大是 2，代入体积公式就算出最大值.（ii）先求平面的法向量，把Q用三角函数表示（圆的参数式），代入线面角公式，再用三角函数的性质求出范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解：    （i）由，得(在x轴上，)， 设（在平面ABCD内），由，得：， 平方化简得，即的轨迹是以原点为圆心、半径为 2 的圆. 因为（平面，为高）， 所以(，是Q到的距离). 所以三棱锥的体积： 由Q的轨迹，得，故的最大值为4，因此： . 故：三棱锥的体积最大值为. （ii）由图知平面的两个向量：， 设平面的法向量为，由法向量与平面内向量垂直得： ，则 ，取 ，得法向量 . 设(由参数化)，则， 则，， 因为正弦函数的有界性 ， ， 所以线面角α的正弦值为： ，代入化简得：. 故：直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 64．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）如图，在矩形中，分别是的中点.将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的平面角为､连接，点分别在线段（不含端点）上移动，且    （1）若点为线段的中点时，证明：平面； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 因为为矩形，分别是的中点，所以， 所以，所以为二面角的平面角， 所以，又，所以为正三角形，故为正三角形， 因为，平面，， 所以平面，所以为正三棱柱， 记的中点分别为，连接，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设， 则， 若点为线段的中点，即时，， 易知是平面的一个法向量， 因为，且直线在平面外，所以平面.      （2）      （3）      【分析】 （1）记的中点分别为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量关系证明即可； （2）根据向量的模长公式求出的长度最小时的，确定的坐标，然后求出平面法向量，根据向量夹角公式求解可得； （3）求出直线的方向向量和平面的法向量，表示出线面角的正弦值，结合二次函数性质求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： , 所以，当时，的长度取得最小值，此时， 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则 ， ， 令，则， 即， 记平面与平面的夹角为，则. (3) 小问详解： 设为平面的法向量， 则 ， 令，得，即， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当，即时，取得最大值. 65．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，.    （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 由题可得、，， 则，故、， 又，则、、两两垂直， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 取，则、， 则，故， 故平面平面；     （2）     （3） 假设存在，且，则， 则， 设平面的法向量为， 则 ， 取，则，，即， 由轴平面，故是平面的法向量， 则， 整理得，解得， 由，则， 故存在，且. 【分析】 （1）由勾股定理逆定理可得、，再利用正方形性质可得，则可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后计算即可得； （2）借助空间中点到直线的距离公式计算即可得； （3）假设存在并设，借助可表示出平面的法向量，再求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， 则点到直线的距离； (3) 小问详解： 略 66．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）如图，在四棱锥-中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．面底面分别是的中点．    （1）证明：平面． （2）求平面与底面夹角的余弦值． （3）若分别是直线上的一个动点，求长度的最小值． 【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）长度的最小值为      【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （3）由点在直线上，设，点在直线上，设，计算，当时，最小，即 ，解出，进而得的坐标，利用求模公式即可求解. (1) 小问详解： 由为正三角形，为的中点， 所以， 又因为底面是正方形， 所以， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面， 所以平面； (2) 小问详解： 取中点为，连接，取的中点为，连接，则， 又平面，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图，由，所以，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 由，， 因为点在直线上，设，即， 又点在直线上，设，即， 所以， 当时，最小， 所以 ， 所以， 故， 所以长度的最小值为. 67．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面.     （2）      （3） 存在，线段的长为      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. (3) 小问详解： 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 68．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面；     （2）；     （3）存在，当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为.      【分析】 （1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则 ，则有 ， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则 ， 所以 ，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（       ） A. 共线的单位向量都相等 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 相反向量指方向相反的两个向量 D. 任意两个空间向量一定共面 2．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）四面体OABC中，M为OA中点，，则=（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）已知向量，，若，则实数λ=（       ） A.  B. 3 C. 5 D.  5．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）如图，在平行六面体中，，，则（       ） A. 1 B. 3 C.  D.  7．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 8．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）（多选）如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 直线与所成角的余弦值为 9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）（多选）如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（       ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 11．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）（多选）如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（       ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为45° C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 13．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知正方体的棱长为是的三等分点（靠近点），则　　　　　　. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）在平行六面体中，,,则的值为（       ） A.  B. 3 C. 6 D. 8 3．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（       ） A. 9 B.  C.  D. 6 4．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（     ） A.  B. 3 C. 6 D. 7 6．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量　　　　　　. 7．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． （1）记用表示； （2）求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 8．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN=　　　　　　. 9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在三棱柱中，的外心为,则的长为　　　　　　　　　　. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）空间中，若，，则，两点间的距离为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 4．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在空间直角坐标系中，到Oxy平面的距离为2的点的坐标可能为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）若平面的法向量为，则下列各向量与垂直的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（       ） A.  B. 若，则 C.  D. 向量在向量上的投影向量为 7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）设，，向量，且，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）在空间直角坐标系中，点到y轴的距离为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  11．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（          ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·重庆名校联盟·一模）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）（多选）下列说法正确的为（     ） A.  为空间任意一点，若 ，若 四点共面，则实数 等于 B. 若 为空间的一个基底，则 能构成基底 C. 向量 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 D. 圆 与圆 的公切线有 3 条 15．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）向量，若与垂直，则的值为（     ） A.  B. 1 C. 5 D. 0 16．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 17．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（       ） A.  B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 18．（2026·重庆名校联盟·一模）已知，，，若，则的值为　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 20．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）已知空间中的三个点，，，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（     ） A.  B. 异面直线与所成角的余弦值为 C.  D. 点到平面的距离为 4．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）（多选）已知空间中三点，，，则正确的有（       ） A. 与是共线向量 B. 是直线的一个单位方向向量 C. 与夹角的余弦值是 D. 是平面的一个法向量 6．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（       ） A. 3 B.  C. 1 D.  9．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 11．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（       ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C.  D. 的面积为 12．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）（多选）正方体中，下列结论正确的是（       ） A. 直线与直线所成角为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面所成角为 D. 平面平面 13．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）（多选）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合， 这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 点到直线的距离是 C. 直线与平面的夹角正弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为 15．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）（多选）在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（       ） A. 线段中点 B. 线段中点 C. 线段中点 D. 线段中点 16．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）（多选）正方体的棱长为分别是棱的中点，则（       ） A.  B.  C. 平面 D. 点到平面的距离为 17．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）若正方体外接球的半径为，球心为O，E，F分别是AB，BC的中点，则（       ） A.  B. 直线OE与所成的角为 C. 点O到平面的距离为 D. 平面截球O所得截面的面积为 19．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）（多选）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（       ） A. 若建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴的空间直角坐标系，则点关于平面对称的点坐标为 B. 点到的距离是 C. 不存在点，使得直线平面 D. 直线与所成角余弦值的取值范围是 20．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（       ） A.  B.  C. 3 D.  21．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）在长方体中，，，点E，F分别是线段上的动点（不包括端点），且线段EF始终平行于平面，则四面体的体积的最大值是（   ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）（多选）如图，正方体的棱长为是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（       ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点的运动轨迹长度 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 23．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）二面角的棱上有两个点A､B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直与棱，若，则二面角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（     ） A.  B. 相交但不垂直 C.  D.  25．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）（多选）如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（       ） A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 26．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）（多选）四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（     ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 27．（2026·重庆名校联盟·一模）（多选）如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（     ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 28．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　） A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 29．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（     ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 若平面，则是上靠近的四等分点 C. 点到平面的距离为 D. 若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 30．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）（多选）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． （1）求证：EF平面BDD1B1； （2）设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1． 32．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 33．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 34．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求点A到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 35．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，长方体中，，，． （1）求证：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 36．（25-26学年高二上·西藏重庆西藏中学校）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥.    （1）当时，求的长； （2）当平面平面时，求平面和平面的夹角的余弦值. 37．（25-26学年高二上·重庆九校联盟·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 38．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，. （1）求点B到平面PCD的距离； （2）若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 39．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E点在AD上，且．    （1）求证：平面平面PAC； （2）若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角的余弦值． 40．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）如图多边形 中，四边形 是矩形， ，沿直线 将 进行翻折，使得点 至点 的位置使得 是正三角形. （1）求证：平面 平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 41．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，D为棱的中点，则点C到平面ABD的距离是　　　　　　． 42．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，    （1）证明：直线平面； （2）求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． （3）求点N到平面OCD的距离． 43．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）如图，棱长为1的正方体中，，. （1）若时， （i）求证：面； （ii）求与面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值的取值范围. 44．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 45．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 46．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）在四棱锥中，平面ABCD，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 47．（25-26学年高二上·重庆复旦中学·期中）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，.    （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 48．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）已知长方体中，，，是与的交点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 49．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，．    （1）求的长； （2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 50．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）直接写出C，D，E，F的坐标. （2）证明：平面ABC. （3）求点E到直线CD的距离. 51．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，等边三角形所在的平面垂直于底面．    （1）求证：平面． （2）若，求二面角的夹角余弦值． 52．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，平面，，M是的中点，P是的中点，点Q在棱上，且.    （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 53．（25-26学年高二上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.    （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. （3）是否存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 54．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求的最小值； （2）当M移动到中点时，求平面与平面夹角的余弦值. 55．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图，，，都是等边三角形，点分别在平面的上方和下方，点为中点. （1）求证：四点共面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 56．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为　　　　　　. 57．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 58．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 59．（25-26学年高二上·重庆南坪中学校·期中）如图，在四棱锥中，面，，四边形满足，，，点为中点，点为边上的点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的夹角的余弦值. 60．（2026·重庆名校联盟·一模）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 61．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.    （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 62．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面交线为， ①求证； ②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由. 63．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且．    （1）若点E满足，求证：平面； （2）点M在线段上，且，动点Q在平面内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 64．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）如图，在矩形中，分别是的中点.将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的平面角为､连接，点分别在线段（不含端点）上移动，且    （1）若点为线段的中点时，证明：平面； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 65．（25-26学年高二上·重庆黔江新华中学校·期中）如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，.    （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 66．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）如图，在四棱锥-中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．面底面分别是的中点．    （1）证明：平面． （2）求平面与底面夹角的余弦值． （3）若分别是直线上的一个动点，求长度的最小值． 67．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 68．（25-26学年高二上·重庆铁路中学校·期中）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．BCD 9．B 10．BCD 11．B 12．ACD 13．D 14．D 15．BC 16．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，写出与，即可得解. 【详解】 以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，故，， 因此. 故答案为： 考点02 空间向量基本定理 1．CD 2．D 3．C 4．D 5．D 6．【答案】 【分析】 设，然后解方程组即可. 【详解】 设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有 ， 所以. 故答案为： 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； (2) 小问详解： 因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 8．【答案】 【分析】 用表示,平方求模即可. 【详解】 根据题意， 所以即为二面角的平面角，即， 因为为为对角线DF的中点， 所以, 又M为对角线AC靠近点A的三等分点， 则 所以, 所以 , 所以 . 所以所以线段 故答案为： 9．【答案】 【分析】 结合三角形的外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题. 【详解】 设,由题意知,则 ,得 ,得 , 因为, 所以 . 故答案为：. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．ABD 7．C 8．A 9．B 10．C 11．C 12．C 13．B 14．ACD 15．A 16．AC 17．BCD 18．【答案】 【分析】 利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 因为，，所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． (1) 小问详解： 由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． (2) 小问详解： ， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即 ，解得，∵与不共线，∴② ， 由① ② 得. 20．【答案】 【分析】 根据已知及向量数量积的坐标运算易得，从而有点到直线的距离为，即可得. 【详解】 由题设，则， 所以，则点到直线的距离为. 故答案为： 考点04 空间向量的应用 1．A 2．C 3．ABD 4．C 5．CD 6．B 7．C 8．C 9．C 10．B 11．AC 12．AB 13．B 14．BCD 15．ABD 16．BC 17．C 18．ABD 19．BD 20．C 21．B 22．BCD 23．A 24．A 25．ACD 26．ABD 27．ABD 28．ACD 29．ABD 30．【答案】 【分析】 由面面平行的性质定理得到，再利用相似比求AB的长度. 【详解】 因为平面平面，由面面平行的性质定理得， 所以，所以，即，解得， 故答案为：. 31．【答案】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图， 因E，F分别是BC，CM的中点， 则有EFBM， 又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1， 所以EF平面BDD1B1．     （2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图， 而E是BC的中点， 于是得EGBD， 而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1， 从而得EG平面BDD1B1， 由（1）知EF平面BDD1B1， EFEG＝E，且EF、EG平面GEF， 因此，平面GEF平面BDD1B1， 所以当G是DC的中点时， 平面GEF平面BDD1B1．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理求证即可； （2）根据面面平行的判定定理证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．【答案】（1）因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面， 所以如图建系， 可得， 则， 设平面法向量， ，令，则，所以， 则可得，所以，故直线平面PCD；     （2）      【分析】 （1）利用空间向量法来证明线向量与法向量共线，即可得线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题，， 设BM与平面PCB夹角为，设平面PBC法向量 ，令，则，所以， 则， 故与平面夹角正弦值为. 33．【答案】（1） 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则 ，取， 所以，所以， 又直线平面，所以直线平面；      （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可得到，从而得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，所以平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式进行求解. (1) 小问详解： 因为平面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 故， ，， 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，故， 所以点A到平面的距离； (2) 小问详解： ， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ， 令，则，故， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 35．【答案】（1）证明:是长方体， ，，， ， 为平行四边形 又平面，平面 平面； ，，， ，，为平行四边形 平面，平面 平面 ，平面，平面 平面平面.     （2）10      【分析】 （1）由是长方体，得到，从而得到平面；由是长方体，得到，从而得到平面；根据平面与平面平行的判定定理得到平面平面 （2）转换三棱锥的顶点和底面，等体积法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， . 36．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）要求，可考虑解三角形，因已知，故想到求，结合条件可证即得； （2）利用面面垂直构建平面的垂线，从而建系，求相关量，得各点坐标，分别求出两个平面的法向量，运用两空间向量的夹角公式计算即得. (1) 小问详解： 由，，且，平面， 可得平面，又平面，则， 在中，根据勾股定理，. (2) 小问详解：    如图，过点作于点， 由代值易得：. 由平面平面，平面平面，平面， 可知平面. 在平面中，过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 有，，，. 设平面的法向量，则 ， 令，解得其中一个法向量； 设平面的法向量，则 ， 令，解得其中一个法向量. 于是，， 故平面和平面夹角的余弦值为. 37．【答案】（1） 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，       则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则 ， 令得 ，则，∴， 又∵平面，∴平面.     （2）     （3） 不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则 ，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面．      【分析】 （1）建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该法向量垂直，证明线面平行； （2）由线面角的向量求法求得直线与平面所成角的余弦值； （3）设存在点，使得平面，根据线面垂直的向量证法求得参数的值，从而判断不存在点，使得平面. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． (3) 小问详解： 略 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，然后利用点面距的向量公式求解即可； （2）先求出平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. (1) 小问详解： 以为坐标原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    由，，得， 故，，，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为，则 ， 取，可得平面PCD的一个法向量为，又， 所以点B到平面PCD的距离为； (2) 小问详解： 由E为PB的中点，得. ，，， 设平面PBC的一个法向量为，则 ， 取，可得平面PBC的一个法向量为. 设直线DE与平面PBC所成角为，则， 故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为. 39．【答案】（1） ∵平面，平面，∴， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面.     （2）      【分析】 （1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）由题意可得以A为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，且，∴， ∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴，取BC中点G，连接AG， ∴，即， 由（1）可得， 以A为坐标原点，AG为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示的坐标系    由（1）可得，平面， ∴为直线PC与平面所成角，即 设平面的法向量为 ∵， ∵，， ∴ ，令，则，，∴ ∵x轴⊥平面，∴平面的法向量， 设为二面角的平面角，且为锐角， ∴. 40．【答案】（1） 因为 是正三角形， 所以， 又， 所以， 即，又,为平面内两条相交直线， 所以平面， 又在平面内， 所以平面平面 ；     （2）      【分析】 （1）由勾股定理确定，再结合，即可求证； （2）建系求得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点，的中点， ，又在平面内，为平面，平面 的交线， 由（1）可知平面 ，连接， 在平面内，可知两两垂直， 如图建系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则 ， 设，得， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 41．【答案】 【分析】 利用等体积计算即可. 【详解】 因几何体为直三棱柱，则平面， 因平面，则， 则由题意在中得， 同理可得，， 又在中，， 则等腰三角形底边上的高为，则， 因，则点C到平面ABD的距离是. 故答案为： 42．【答案】（1） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由为的中点，为的中点，得， 即， 设平面的法向量为，则 ，取，得， 则平面，所以直线平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，先求出面的一个法向量，进而得到，再应用线面平行的判定证明结论； （2）应用向量法求线面角的正弦值，进而求其余弦值； （3）应用向量法求点面距离即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，，且平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以，故直线与平面所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（1）知，，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 43．【答案】（1） （i）证明：连接，交于， 因为正方形，所以是中点. 又因为是中点，所以， 又面，面，面； （ii）     （2）      【分析】 （1）（i）连接，交于,证明，再由线面平行判定定理得证，（ii）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦； （2）利用向量法得出二面角的余弦的表达式，求取值范围即可. (1) 小问详解： （i）略 （ii）以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如图的空间直角坐标系，得，，，，，，，，， 设平面法向量， 则 ，取得， 所以所求角的正弦值为. (2) 小问详解： ，，， 设平面法向量， 则 ，取得， 设平面法向量， 则 ，取得， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， ， 当时，； 当时，， 令，得； 综上二面角的平面角的余弦值范围为. 44．【答案】（1）证明如下： 如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即.     （2）      【分析】 （1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以当时，故、为、上的中点， 所以，，，故，， 若为平面的法向量，则 ，令，故， 又面的法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为. 45．【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平面，平面， ∴平面．     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则 ，取，得， 又，所以到平面的距离. (3) 小问详解： 令， ，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 46．【答案】（1） 如图，取中点，    因为且， 又因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面.     （2）     （3） 存在，，理由如下： 设，， 所以，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得 ，解得 ，（舍）， 所以存在满足条件的点，，则.      【分析】 （1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面，所以， 因为，所以，又， 又因为，，所以， 如图2，以为原点，，，所在方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设点坐标为，则，， 由得，则，所以，， 设平面的一个法向量为， 由 ， 令，得 ， 设平面的一个法向量为，由 ， 令，得 ， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 略 47．【答案】（1） （i）如图，取的中点，连接，    因为为的中点，所以，且， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面； （ii）     （2）      【分析】 （1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求. (1) 小问详解： （i）略 （ii）取中点，连接， 因为，所以， 因为， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，可得， 从而，所以， 设平面的一个法向量为， 由 ，取，则，，所以， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为. (2) 小问详解： 由条件知，设， 所以， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为. 48．【答案】（1）证明见解析     （2）      【分析】 （1）连接交于点，连接，由几何关系得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入空间线面角公式计算可得. (1) 小问详解： 连接交于点，连接， 在长方体中，四边形为矩形， 且为中点，为中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 小问详解： 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则 ， 取，则，所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 49．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 (1)利用空间垂直关系转换可证明线线垂直，再利用等腰三角形三线合一可计算长度； (2)利用空间向量法来求面面角余弦值即可. (1) 小问详解：    因为为底面半圆周上一点，所以， 又由为圆柱的轴截面，所以底面， 又因为底面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为中点，， 又因为，所以； (2) 小问详解： 依题意如图建立空间直角坐标系，    由，，可得： ， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 即平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 即平面的法向量为， 则 即平面与平面所成夹角的余弦值为． 50．【答案】（1），，，     （2） 证明：由（1）得， 直三棱柱中，可得平面， 所以平面的一个法向量为，可得，所以， 又因为平面，所以平面.     （3）      【分析】 （1）根据题意，求得的坐标，结合中点公式和，求得的坐标，即可得到答案. （2）由（1）得和平面的一个法向量为，求得，得到，结合项目平行的判定定理，即可得证； （3）由（1）得，向量，，结合距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：根据题设中的空间直角坐标系，可得，， 因为为的中点，可得，即， 又因为点在线段上，且，可得， 设，可得， 可得，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）得，向量，， 所以点E到直线CD的距离为. 51．【答案】（1） 如图所示：取中点，连接， 是等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， ， 又平面， 平面.         （2）      【分析】 （1）取中点，连接，根据是等边三角形和平面平面，得到平面，进而有，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）构造二面角的平面角后利用等面积法可求，从而可求二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，故. 如图，连接，在平面内过点作， 垂足为， 平面， 平面， ， 又∵平面， 平面，平面， ， 为二面角的平面角. 在直角梯形中，， ，故， 故，故， 所以，即二面角的夹角余弦值为. 52．【答案】（1） 如图，分别在上取点，使，，连接，    因为分别是的中点，,， 在中，，，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以，.     （2）.      【分析】 （1）分别在上取点，使，，连接，根据中位线以及相似比得为平行四边形，进而线线平行，即可证； （2）根据已知，建立合适的空间直角坐标系，求解相关平面的法向量，利用向量法求夹角余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由是边长为3的等边三角形，平面，， 取的中点，连接，则，过点作，则平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，则，而平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 53．【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设 ， 所以，所以即；     （2）；     （3）存在，为线段的中点，理由如下： 由（2）平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 则， 假设存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为， 则（舍去）或， 所以存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，为线段的中点.      【分析】 （1）由坐标运算即可求证； （2）先求出平面的一个法向量为，利用求出t，再由距离公式计算即可得解； （3）求出平面的一个法向量为，接着求出，假设存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，再利用求出t有符合的解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为， 则 ，所以 ，取，则， 由（1），又直线与平面所成角为，， 所以， 所以，又由（1）可得， 所以点到平面的距离为. (3) 小问详解： 略 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式，借助二次函数，求出最小值； （2）求出二面角中两个平面的法向量，借助向量夹角公式计算求解即可. (1) 小问详解： 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 因为,所以, 所以. ,当时,最小， 此时. (2) 小问详解： 若是的中点，则此时也为的中点,则, 取的中点,连接, 则,因为,所以, 所以是平面与平面的夹角或其补角, 因为, 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值是. 55．【答案】（1） 连接， 因为，，都是等边三角形， 所以， 又在平面内交于点，在平面内交于点， 所以平面，平面， 因为过只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点， 所以平面与平面是同一平面， 即四点共面；     （2）      【分析】 （1）由已知，证得平面，平面，可得四点共面； （2）以为坐标原点，以分别为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，列方程解出点坐标，利用线面角的向量公式可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， 以分别为轴， 以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，所以， 又，则， 设， 所以 ，解得 ， 所以，. 由于轴垂直平面，所以平面的一个法向量可取， 设直线与平面所成角为， 则. 所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. 56．【答案】 【分析】 依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】 依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 57．【答案】（1）证明：取中点，连接，由为中点，则且. 由已知有，又由于为中点，从而，故四边形为平行四边形，所以. 又平面，而平面，则平面 （2）. 【分析】 （1）取中点，证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）证明平面，从而求出，再由，得出点到平面的距离. 【详解】 （1）略 （2）. ，同理， 又平面 平面. 连接为中点， 又. 设点到平面的距离为 由，解得 ∴点到平面的距离为. 【点睛】 关键点睛：在求点到平面的距离时，关键是利用等体积法建立等量关系，从而得出点到平面的距离. 58．【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以，均为等边三角形， 故，，且， 因为，所以， 由勾股定理的逆定理得， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面；     （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，，， 即，解得，，， 故， 设平面的法向量为， 则，，则 ， 令，则，，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时.     （3）      【分析】 （1）根据菱形性质及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点面距离的向量公式列式求解即可； （3）直接利用线面角的向量公式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可得：， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 59．【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直. 以为坐标原点, 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 点为的中点，故，， 平面的一个法向量为， ，则， 又平面，所以平面．     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，证明即可； （2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式求二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，则，， 依题意可知平面的一个法向量为， ， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 设二面角的夹角为， 所以， 所以二面角的夹角的余弦值为． 60．【答案】（1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】 （1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【详解】【整体点评】 （2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 61．【答案】（1）在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以.     （2）     （3）      【分析】 （1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，    则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，，    ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 62．【答案】（1） 由勾股定理计算得，所以， 故三角形为等腰直角三角形，可得. 因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面.     （2） ① 因为，而平面， 所以平面， 面与平面交线为，所以， 而，所以. ② 存在，      【分析】 （1）先分析底面四边形里的几何关系，得出，再根据线面平面推得线线，则可证平面，最终证平面平面； （2）① 先由证明平面，再根据线面平行的性质，得出交线，结合，得出；② 建立空间直角坐标系，设出点M坐标，求出平面的法向量，利用二面角的向量公式建立方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 依题意，建立空间直角坐标系， 可得， 设平面的一个法向量为， 则 即 取，则， 因为点在上，所以设点，设平面的一个法向量为， 则 可得 即 取，则. 因为， 所以，解得，故. 63．【答案】（1）    以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标：，，，，， 由，，得， 故 设平面的法向量为，，， 则 ，取，得，即， 又因为，则，故. 因为平面，所以平面.     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）用空间向量 “线面的法向量→线面”；先建坐标系写坐标，再求平面的法向量，最后看直线的向量和法向量垂直，就证出线面平行. （2）（i）先找的轨迹（圆），再用体积公式找最值；由算出在一个圆上，三棱锥体积由Q到的距离决定，圆上这个距离最大是 2，代入体积公式就算出最大值.（ii）先求平面的法向量，把Q用三角函数表示（圆的参数式），代入线面角公式，再用三角函数的性质求出范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解：    （i）由，得(在x轴上，)， 设（在平面ABCD内），由，得：， 平方化简得，即的轨迹是以原点为圆心、半径为 2 的圆. 因为（平面，为高）， 所以(，是Q到的距离). 所以三棱锥的体积： 由Q的轨迹，得，故的最大值为4，因此： . 故：三棱锥的体积最大值为. （ii）由图知平面的两个向量：， 设平面的法向量为，由法向量与平面内向量垂直得： ，则 ，取 ，得法向量 . 设(由参数化)，则， 则，， 因为正弦函数的有界性 ， ， 所以线面角α的正弦值为： ，代入化简得：. 故：直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 64．【答案】（1） 因为为矩形，分别是的中点，所以， 所以，所以为二面角的平面角， 所以，又，所以为正三角形，故为正三角形， 因为，平面，， 所以平面，所以为正三棱柱， 记的中点分别为，连接，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设， 则， 若点为线段的中点，即时，， 易知是平面的一个法向量， 因为，且直线在平面外，所以平面.      （2）      （3）      【分析】 （1）记的中点分别为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量关系证明即可； （2）根据向量的模长公式求出的长度最小时的，确定的坐标，然后求出平面法向量，根据向量夹角公式求解可得； （3）求出直线的方向向量和平面的法向量，表示出线面角的正弦值，结合二次函数性质求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： , 所以，当时，的长度取得最小值，此时， 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则 ， ， 令，则， 即， 记平面与平面的夹角为，则. (3) 小问详解： 设为平面的法向量， 则 ， 令，得，即， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当，即时，取得最大值. 65．【答案】（1） 由题可得、，， 则，故、， 又，则、、两两垂直， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 取，则、， 则，故， 故平面平面；     （2）     （3） 假设存在，且，则， 则， 设平面的法向量为， 则 ， 取，则，，即， 由轴平面，故是平面的法向量， 则， 整理得，解得， 由，则， 故存在，且. 【分析】 （1）由勾股定理逆定理可得、，再利用正方形性质可得，则可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后计算即可得； （2）借助空间中点到直线的距离公式计算即可得； （3）假设存在并设，借助可表示出平面的法向量，再求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， 则点到直线的距离； (3) 小问详解： 略 66．【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）长度的最小值为      【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （3）由点在直线上，设，点在直线上，设，计算，当时，最小，即 ，解出，进而得的坐标，利用求模公式即可求解. (1) 小问详解： 由为正三角形，为的中点， 所以， 又因为底面是正方形， 所以， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面， 所以平面； (2) 小问详解： 取中点为，连接，取的中点为，连接，则， 又平面，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图，由，所以，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 由，， 因为点在直线上，设，即， 又点在直线上，设，即， 所以， 当时，最小， 所以 ， 所以， 故， 所以长度的最小值为. 67．【答案】（1） 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面.     （2）      （3） 存在，线段的长为      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. (3) 小问详解： 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 68．【答案】（1）证明：取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面；     （2）；     （3）存在，当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为.      【分析】 （1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则 ，则有 ， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则 ， 所以 ，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $