专题07 抛物线（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题07 抛物线 1大高频考点概览 考点01 抛物线 考点01 抛物线 1．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  2．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）抛物线的焦点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 4．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）抛物线的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）抛物线的准线方程为 A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．（2026·重庆渝北中学·质量监测）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若恰好为为中点，则等于（     ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）（多选）已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（       ） A. 若直线过点，则的最小值为2 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 11．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）（多选）已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值是4 B. 的最大值是4 C.  取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 12．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（       ） A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 13．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）（多选）抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（       ） A. 为中点 B. 一定为等腰三角形 C. 若，则的斜率为 D. 若在准线上，则 14．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）（多选）已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（     ） A. 准线与圆相切 B. 过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C. 当，，三点共线时， D. 满足的点有且仅有2个 15．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A. 若直线过焦点，则为钝角 B. 若，则直线的斜率为 C. 若，则直线过定点 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 16．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（     ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 17．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）（多选）已知抛物线：的通径长为2，焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法中正确的有（     ） A. 点的坐标为 B.  C. 若点在第一象限，且直线倾斜角为，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 19．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）（多选）已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为45°或135° C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 20．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）抛物线的准线方程为　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 22．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为，若. （1）求的值以及抛物线的方程； （2）过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 23．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为　　　　　. 24．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于两点，且，求的值. 25．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知F为抛物线的焦点，斜率为2不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，A在B的上方，且（其中O为坐标原点）. （1）求直线l的方程； （2）设△AOB和△AOF的面积分别是，，求的值. 26．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上两点，若，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 27．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）求的最大值． 28．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点. （1）已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程. （2）求线段的最小值. （3）求四边形面积S的取值范围. (注: （1） 若点是抛物线 上一点，则过的抛物线的切线方程为 （2） 若点 是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为) 29．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知抛物线E:的焦点为F，点在E上，． （1）求E的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线，与曲线E相交于,两点，与曲线E相交于,两点，线段，的中点分别为M，N． (i)试问直线是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由： (ii)已知，求面积的最小值． 30．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，，记动点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交曲线于，两点，曲线在，两点处的切线交于点. （i）求证：在定直线上： （ii）过点作斜率和为常数的两直线，和曲线相交，交点分别为，和，，弦的中点为，的中点为，若直线过定点，求定点坐标及的取值范围. 31．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知抛物线的方程为， 为坐标原点， ， 为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为　　　　　　　　　　；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线 1大高频考点概览 考点01 抛物线 考点01 抛物线 1．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】 由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 2．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）抛物线的焦点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 化抛物线方程为标准形式，再求出其焦点坐标. 【详解】 抛物线化为：，其焦点坐标为. 故选：C 3．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 根据抛物线的方程，求出焦点，即可得出焦点到轴的距离. 【详解】 因为抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以焦点到轴的距离为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）抛物线的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可. 【详解】 根据，可得， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 所以，即，则焦点坐标为， 故选：C. 5．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）抛物线的准线方程为 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 【详解】， 抛物线的准线方程为， 即，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题. 6．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题可得，，将代入抛物线方程可得答案. 【详解】 由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C 7．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】 抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 8．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】 对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 9．（2026·重庆渝北中学·质量监测）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若恰好为为中点，则等于（     ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 设，，根据中点可得，设直线，联立方程利用韦达定理可得，再结合抛物线定义运算求解即可. 【详解】 由题意可知：抛物线的焦点，准线为，直线与抛物线必相交， 设，， 因为恰好为为中点，则，可得， 则直线的斜率存在，设为，则直线， 联立方程 ，消去y可得，不为0，且， 则，即，可得， 所以. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）（多选）已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（       ） A. 若直线过点，则的最小值为2 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 【答案】BCD 【分析】 设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得到轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确. 【详解】 由抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，根据抛物线的定义，可得， 则， 设，联立方程组 ，整理得， 则，所以， 所以，所以的最小值为，所以A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则. 因为点在第一象限，可得，即，所以， 设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确； 对于C，当直线过抛物线的焦点时，则， 可得，因为是线段的中点，所以， 所以到轴的距离为； 当直线不过抛物线的焦点时，可得， 所以，解得. 因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于， 综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确； 对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为， 根据抛物线的定义，可得，且 在过点作，垂足为，可得， 所以以为直径的圆与准线相切. （几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内. （代数证明）设，由A可知，，， ，， ，所以， 故原点在以为直径的圆的圆内，所以D正确. 故选：BCD. 11．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）（多选）已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值是4 B. 的最大值是4 C.  取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 【答案】ACD 【分析】 根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得. 【详解】 由，得，即.如图： 对于A：由椭圆的定义得，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B：因为，所以， 又因为，所以，又因为， 所以，当且仅当时等号成立.所以B错误； 对于C：由，所以，即， 当且仅当，即代入，解得 或 ， 所以当时，有最小值，故C正确； 对于D：因为点在抛物线 上，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义，到点的距离等于P点到准线的距离. 因为，所以，得， 所以到点的距离， 当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.故D正确. 12．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（       ） A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 【答案】A 【分析】 设，根据得，再根据抛物线定义得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】 根据题意，设， 因为，所以，所以， 因为A、B是抛物线上异于原点O的两点，所以， 又因为抛物线的准线方程为， 根据抛物线定义可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：A 13．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）（多选）抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（       ） A. 为中点 B. 一定为等腰三角形 C. 若，则的斜率为 D. 若在准线上，则 【答案】ABC 【分析】 求出切线的方程，进而可求出点、的坐标，可判断A选项；利用斜率关系证明出，可判断B选项；利用抛物线的定义求出点的坐标，结合斜率关系可判断C选项；求出点的坐标，可得出点的坐标，结合两点间的距离公式，可判断D选项. 【详解】 由题意可知，点不与原点重合. 设，设切线的方程为，其中. 联立 可得，即. 由题意可得，解得. 此时直线的方程为，即. 对于A选项，在直线的方程中令可得，即点， 在直线的方程中令可得，即点， 故点为线段的中点，A对； 对于B选项，易知点，，， 所以，故， 又因为为的中点，所以，即为等腰三角形，B对； 对于C选项，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得，则点坐标为,且，故， 当点时， 当点时， 综上所述，若，则的斜率为，C对； 对于D选项，当点在准线上时，点，则， 此时，D错. 故选：ABC. 14．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）（多选）已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（     ） A. 准线与圆相切 B. 过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C. 当，，三点共线时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】BD 【分析】 对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得，弦长为，B正确； 对于C．当时，，C错误； 对于D，由抛物线的定义得，直线的垂直平分线方程为，代入得，点P有且仅有2个，D正确． 故选：BD. 15．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）（多选）已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A. 若直线过焦点，则为钝角 B. 若，则直线的斜率为 C. 若，则直线过定点 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ACD 【分析】 根据条件写出，，选项A,证明，可得，所以为钝角，选项B,由 ，求出的值，即可得到直线的斜率；选项C,先设直线方程为 ，因为得到，代入直线方程得到，所以直线恒过定点；选项D,根据条件设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径. 【详解】 由题可知 ，设 ， 直线过焦点，则设直线方程为， 联立方程 得到 ，即 则 所以，所以为钝角，选项A正确； 直线的斜率为 因为，所以 即 得 或者，所以，选项B错误； 设直线方程为 ，因为，所以，所以，代入直线方程得到，所以直线恒过定点，选项C正确；的顶点为，其外接圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径，选项D正确； 故选：ACD 16．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（     ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 【答案】A 【分析】 根据抛物线方程写出焦点坐标和准线方程，设出动直线方程为，与抛物线方程联立并利用韦达定理和抛物线定义计算可得结果. 【详解】 由抛物线 可得，其准线方程为, 作垂直于准线，垂足为，如下图所示：    设过的直线方程为，； 联立直线与抛物线方程可得； 因此可得，所以, 可得， 由抛物线定义可知 ， 当三点共线时， 的最小值为， 此时，即动直线垂直于轴时， 的最小值为6. 故选：A 17．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 对于A，根据抛物线定义判断即可；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，所以，正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 因为（证明见后）， 所以，即， 因为抛物线的焦点弦中通径最短，且直线的斜率不存在时取得最小值， 所以直线的斜率不存在时，的面积最小， 又，所以此时取得最小值， 所以，正确； 对于D，当直线的斜率不存在时，， 满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立 ，消去，得， ，则， 因为，， 所以，所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， ，，所以， 所以， 因为，，所以， 因为，所以， ，所以， 同理， 令，则， 因为，所以， 所以， 所以， 其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 18．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）（多选）已知抛物线：的通径长为2，焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法中正确的有（     ） A. 点的坐标为 B.  C. 若点在第一象限，且直线倾斜角为，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由抛物线的通径长求出的值，可判断A；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及向量数量积的坐标运算可判断B；根据已知求坐标，利用抛物线的定义判断C；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式判断D. 【详解】 抛物线的焦点为，联立 ，解得 ， 所以，抛物线的通径长为，可得，故焦点为，A对， 所以抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立 ，得，则， 由韦达定理可得，则， 所以，B对， 由直线倾斜角为，即，故， 所以，又点在第一象限，则， 所以，则，即，C错， 设点、，先证抛物线在点处的切线方程为， 联立 可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为，同理，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则 ， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立 可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立 可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD 19．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）（多选）已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为45°或135° C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【分析】 A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】 A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 20．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）抛物线的准线方程为　　　　　　. 【答案】 【详解】试题分析：抛物线的标准方程是 ，所以准线方程是 考点：抛物线方程 21．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1）；     （2）8     （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程： ，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点．      【分析】 （1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； (2) 小问详解： 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程： ， 得．，设， 由韦达定理得， 故. (3) 小问详解： 略 22．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为，若. （1）求的值以及抛物线的方程； （2）过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 【答案】（1）的值为，抛物线的方程为     （2）      【分析】 （1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果； （2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可. (1) 小问详解： 由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 且点在抛物线（）上，则，即， 联立方程 ，解得，即， 所以的值为，抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：，，抛物线的方程为， 由题意可设：直线，，，且， 联立方程 ，消去x可得， 则，可得，， 则， 又因为点到直线的距离， 则面积， 构造函数， 显然在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 所以面积的取值范围为. 23．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 设直线的倾斜角为，根据抛物线的性质，得到，再由，进而求得线段长度的取值范围. 【详解】 设直线的倾斜角为，其中， 由抛物线的性质，可得，，， 所以， 则， 因为，所以， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于两点，且，求的值. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据抛物线定义列方程求出可得方程； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去，根据向量关系和韦达定理求出，然后代入数量积计算可得. (1) 小问详解： 由抛物线定义可得，，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，点，点， 联立 得， 则，， 因为，所以，所以， 联立 解得或， 所以， 所以， 又， 所以. 25．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知F为抛物线的焦点，斜率为2不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，A在B的上方，且（其中O为坐标原点）. （1）求直线l的方程； （2）设△AOB和△AOF的面积分别是，，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出直线方程，直线和抛物线联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程； （2）计算出的坐标，由三角形面积公式结合韦达定理求解. (1) 小问详解： 在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程 ，得， 整理得， 因为 ，所以，即， 所以，又因为，所以， 所以，解得（舍去）或. 所以直线方程为. (2) 小问详解： 直线方程为，令，可得， 所以， 由，得，因为A在B的上方， 所以，所以， 所以. 26．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上两点，若，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，根据直线垂直可得，再根据抛物线的定义结合基本不等式运算求解即可. 【详解】 由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，且直线的斜率存在， 设，，    则，， 若，则，可得， 因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 27．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）求的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合题中条件和抛物线的定义计算参数，进而得到抛物线方程； （2）设过点的直线的方程为，，联立方程组，消元，化简，结合韦达定理得到，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数性质解得最大值. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为，准线方程为， 已知为上的一点，代入抛物线方程得， 因为抛物线的定义，，将代入得，解得， 因此抛物线的方程为 (2) 小问详解： 由上分析可知，则，即, 设过点的直线的方程为，， 联立 消元得，由韦达定理得， ，， 将代入： 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴 将代入得最大值 28．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点. （1）已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程. （2）求线段的最小值. （3）求四边形面积S的取值范围. (注: （1） 若点是抛物线 上一点，则过的抛物线的切线方程为 （2） 若点 是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为) 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用抛物线的切点弦方程结合同解方程计算即可； （2）利用两直线垂直得出，结合两点间距离公式及基本不等式计算即可； （3）联立与抛物线方程结合弦长公式得出，同理计算，根据的关系结合二次函数的性质计算即可. (1) 小问详解： 设，由题意可知， 又交于，即， 即都是方程的解，所以都在直线上， 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 易知斜率都存在且不为0，由上可知，则， 又 ， 当且仅当时取得等号，所以； (3) 小问详解： 由（1）知，与抛物线方程联立有 ， 可得，所以 ， 则， 同理可得，因为， 所以 易知，当且仅当时取得等号， 可设，则. 所以. 29．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）已知抛物线E:的焦点为F，点在E上，． （1）求E的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线，与曲线E相交于,两点，与曲线E相交于,两点，线段，的中点分别为M，N． (i)试问直线是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由： (ii)已知，求面积的最小值． 【答案】（1）     （2）(i)直线过定点；(ii)18      【分析】 (1)根据抛物线的定义可以得到答案. (2) (i)联立抛物线和直线,计算出M点和N点，算出的方程,计算出定点.        (ii)将M点和N点的坐标代入计算，然后用基本不等式计算面积最值. (1) 小问详解： 抛物线的准线方程为， 因为点在上且， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． (2) 小问详解： (i) 由题意有直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以 ，联立得 所以， 设， 所以， 又， 所以， 同理得， 所以， 所以直线的方程为：， 化简整理有：，令， 得，即， 所以直线过定点；    (ii)由(i)有可得 由基本不等式可得:,当且仅当,即时等号成立. 所以的面积最小值为18. 30．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，，记动点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交曲线于，两点，曲线在，两点处的切线交于点. （i）求证：在定直线上： （ii）过点作斜率和为常数的两直线，和曲线相交，交点分别为，和，，弦的中点为，的中点为，若直线过定点，求定点坐标及的取值范围. 【答案】（1）     （2） （i）由题可知直线斜率不为0，故可设，，， 联立直线和曲线的方程可整理得：， 故有：，，. 设点处切线方程为：，联立曲线整理得： ，由相切知该方程有两个等根，故有， 代入方程可整理得：，同理可得处切线， 联立，方程可解得：，， 从而在定直线上. （ii），      【分析】 （1）设动圆圆心为，半径为，由题可知，由，将坐标代入化简即可得出答案； （2）（i）可设，点处切线方程为，分别与曲线的方程联立可求出点，处的切线方程，由此可证得在定直线上.（ii）设直线方程为：，联立抛物线的方程，利用根与系数的关系经过一系列化简求出直线方程，即可求出直线过的定点；联立和曲线整理可将问题转化为含参的一元二次不等式解的问题，分类讨论即可求出的取值范围. (1) 小问详解： 设动圆圆心为，半径为，则由题意可知， 故，将坐标代入可得：，整理得：， 故曲线的方程为：. (2) 小问详解： （i）略 （ii）法一：设，，，由过点 可得：，联立和曲线的方程整理得：， 则有，， 所以 设直线，则由在直线上可得： 设，则同理可得：， 由此可得，为方程两不等实根， 从而有： ，， 由为常数可知：， 所以直线方程为：恒过定点，为常数2. 法二：与法一同理，得，， 由题知过定点，不妨设过定点，则， 记， 则有，即， 同理； ，是方程的两根， ，， 又为常数， 对应系数成比例，常数为2， ，， 令，，，， 故过定点，此时. 法三：设，，，， 则，， 设，斜率分别为，，由，在曲线上可得：，， 两式相减整理得：， 同理可得：从而可知，在曲线上， 设直线方程为：， 代入上面曲线方程整理得：， 从而有，， 由题：为常数， 故有， 所以直线方程为：， 故直线恒过定点，且. 下求取值范围： 法一：联立和曲线整理得： ， 由题可知： 将代入上式得： 同理可得：， 又由前面的分析知：. 故问题转化为：不等式有两个和为2的不同解，求参数范围问题. 1）当时，不等式解为：，显然不存在两个和为2的不同解，不合题意； 2）当时，不等式对应二次函数开口向上，恒成立， 则不等式解集形如，由图可知存在两个和为2的不同解，符合题意. （可在左边区间取个较小的负数，只需让落在右边区间，则这两个数即为满足题意的解） 3）当时，不等式对应二次函数开口向下，恒成立. 则不等式解集形如，要存在两个和为2的不同解，则必有，此时，必然存在， 使得，则只需取，， （否则两根都大于等于1，或两根都小于等于1，均不合题意）， 从而有. 综上，. 法二：设，与联立，得， 由题可知：，即，① 又，故有，② 1）当时，设不等式① 解集为， 不等式② 解集为， 只需取小于或者取大于的数，即符合题意； 2）当时，不等式① 解为：，不等式② 解为：，无交集，不合题意； 3）当时，设不等式① 解集为，则② 式解集为，， 两个解集区间关于对称，若有交集，则必有， 则，所以. 综上，. 31．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知抛物线的方程为， 为坐标原点， ， 为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【详解】设，， ∵， ∴． 又，， ∴，即． 又、与同号， ∴． ∴，即． 根据抛物线对称性可知点，关于轴对称， 由为等边三角形，不妨设直线的方程为， 由 ，解得， ∴． ∵的面积为， ∴， 解得，∴． 答案：2 点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B关于x轴对称，然后在此基础上得到直线直线（或）的方程，通过解方程组得到点（或A）的坐标，求得等边三角形的边长后，根据面积可得． 32．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为　　　　　　　　　　；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 设点的坐标为，进而结合距离公式化简整理得点的轨迹方程为，再结合抛物线的定义，转化求解即可. 【详解】 设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线 考点01 抛物线 考点01 抛物线 1．B 2．C 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．A 10．BCD 11．ACD 12．A 13．ABC 14．BD 15．ACD 16．A 17．ACD 18．ABD 19．AD 20．【答案】 【详解】试题分析：抛物线的标准方程是 ，所以准线方程是 考点：抛物线方程 21．【答案】（1）；     （2）8     （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程： ，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点．      【分析】 （1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； (2) 小问详解： 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程： ， 得．，设， 由韦达定理得， 故. (3) 小问详解： 略 22．【答案】（1）的值为，抛物线的方程为     （2）      【分析】 （1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果； （2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可. (1) 小问详解： 由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 且点在抛物线（）上，则，即， 联立方程 ，解得，即， 所以的值为，抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：，，抛物线的方程为， 由题意可设：直线，，，且， 联立方程 ，消去x可得， 则，可得，， 则， 又因为点到直线的距离， 则面积， 构造函数， 显然在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 所以面积的取值范围为. 23．【答案】 【分析】 设直线的倾斜角为，根据抛物线的性质，得到，再由，进而求得线段长度的取值范围. 【详解】 设直线的倾斜角为，其中， 由抛物线的性质，可得，，， 所以， 则， 因为，所以， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：. 24．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据抛物线定义列方程求出可得方程； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去，根据向量关系和韦达定理求出，然后代入数量积计算可得. (1) 小问详解： 由抛物线定义可得，，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，点，点， 联立 得， 则，， 因为，所以，所以， 联立 解得或， 所以， 所以， 又， 所以. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出直线方程，直线和抛物线联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程； （2）计算出的坐标，由三角形面积公式结合韦达定理求解. (1) 小问详解： 在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程 ，得， 整理得， 因为 ，所以，即， 所以，又因为，所以， 所以，解得（舍去）或. 所以直线方程为. (2) 小问详解： 直线方程为，令，可得， 所以， 由，得，因为A在B的上方， 所以，所以， 所以. 26．【答案】 【分析】 设，根据直线垂直可得，再根据抛物线的定义结合基本不等式运算求解即可. 【详解】 由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，且直线的斜率存在， 设，，    则，， 若，则，可得， 因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合题中条件和抛物线的定义计算参数，进而得到抛物线方程； （2）设过点的直线的方程为，，联立方程组，消元，化简，结合韦达定理得到，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数性质解得最大值. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为，准线方程为， 已知为上的一点，代入抛物线方程得， 因为抛物线的定义，，将代入得，解得， 因此抛物线的方程为 (2) 小问详解： 由上分析可知，则，即, 设过点的直线的方程为，， 联立 消元得，由韦达定理得， ，， 将代入： 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴 将代入得最大值 28．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用抛物线的切点弦方程结合同解方程计算即可； （2）利用两直线垂直得出，结合两点间距离公式及基本不等式计算即可； （3）联立与抛物线方程结合弦长公式得出，同理计算，根据的关系结合二次函数的性质计算即可. (1) 小问详解： 设，由题意可知， 又交于，即， 即都是方程的解，所以都在直线上， 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 易知斜率都存在且不为0，由上可知，则， 又 ， 当且仅当时取得等号，所以； (3) 小问详解： 由（1）知，与抛物线方程联立有 ， 可得，所以 ， 则， 同理可得，因为， 所以 易知，当且仅当时取得等号， 可设，则. 所以. 29．【答案】（1）     （2）(i)直线过定点；(ii)18      【分析】 (1)根据抛物线的定义可以得到答案. (2) (i)联立抛物线和直线,计算出M点和N点，算出的方程,计算出定点.        (ii)将M点和N点的坐标代入计算，然后用基本不等式计算面积最值. (1) 小问详解： 抛物线的准线方程为， 因为点在上且， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． (2) 小问详解： (i) 由题意有直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以 ，联立得 所以， 设， 所以， 又， 所以， 同理得， 所以， 所以直线的方程为：， 化简整理有：，令， 得，即， 所以直线过定点；    (ii)由(i)有可得 由基本不等式可得:,当且仅当,即时等号成立. 所以的面积最小值为18. 30．【答案】（1）     （2） （i）由题可知直线斜率不为0，故可设，，， 联立直线和曲线的方程可整理得：， 故有：，，. 设点处切线方程为：，联立曲线整理得： ，由相切知该方程有两个等根，故有， 代入方程可整理得：，同理可得处切线， 联立，方程可解得：，， 从而在定直线上. （ii），      【分析】 （1）设动圆圆心为，半径为，由题可知，由，将坐标代入化简即可得出答案； （2）（i）可设，点处切线方程为，分别与曲线的方程联立可求出点，处的切线方程，由此可证得在定直线上.（ii）设直线方程为：，联立抛物线的方程，利用根与系数的关系经过一系列化简求出直线方程，即可求出直线过的定点；联立和曲线整理可将问题转化为含参的一元二次不等式解的问题，分类讨论即可求出的取值范围. (1) 小问详解： 设动圆圆心为，半径为，则由题意可知， 故，将坐标代入可得：，整理得：， 故曲线的方程为：. (2) 小问详解： （i）略 （ii）法一：设，，，由过点 可得：，联立和曲线的方程整理得：， 则有，， 所以 设直线，则由在直线上可得： 设，则同理可得：， 由此可得，为方程两不等实根， 从而有： ，， 由为常数可知：， 所以直线方程为：恒过定点，为常数2. 法二：与法一同理，得，， 由题知过定点，不妨设过定点，则， 记， 则有，即， 同理； ，是方程的两根， ，， 又为常数， 对应系数成比例，常数为2， ，， 令，，，， 故过定点，此时. 法三：设，，，， 则，， 设，斜率分别为，，由，在曲线上可得：，， 两式相减整理得：， 同理可得：从而可知，在曲线上， 设直线方程为：， 代入上面曲线方程整理得：， 从而有，， 由题：为常数， 故有， 所以直线方程为：， 故直线恒过定点，且. 下求取值范围： 法一：联立和曲线整理得： ， 由题可知： 将代入上式得： 同理可得：， 又由前面的分析知：. 故问题转化为：不等式有两个和为2的不同解，求参数范围问题. 1）当时，不等式解为：，显然不存在两个和为2的不同解，不合题意； 2）当时，不等式对应二次函数开口向上，恒成立， 则不等式解集形如，由图可知存在两个和为2的不同解，符合题意. （可在左边区间取个较小的负数，只需让落在右边区间，则这两个数即为满足题意的解） 3）当时，不等式对应二次函数开口向下，恒成立. 则不等式解集形如，要存在两个和为2的不同解，则必有，此时，必然存在， 使得，则只需取，， （否则两根都大于等于1，或两根都小于等于1，均不合题意）， 从而有. 综上，. 法二：设，与联立，得， 由题可知：，即，① 又，故有，② 1）当时，设不等式① 解集为， 不等式② 解集为， 只需取小于或者取大于的数，即符合题意； 2）当时，不等式① 解为：，不等式② 解为：，无交集，不合题意； 3）当时，设不等式① 解集为，则② 式解集为，， 两个解集区间关于对称，若有交集，则必有， 则，所以. 综上，. 31．【答案】2 【详解】设，， ∵， ∴． 又，， ∴，即． 又、与同号， ∴． ∴，即． 根据抛物线对称性可知点，关于轴对称， 由为等边三角形，不妨设直线的方程为， 由 ，解得， ∴． ∵的面积为， ∴， 解得，∴． 答案：2 点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B关于x轴对称，然后在此基础上得到直线直线（或）的方程，通过解方程组得到点（或A）的坐标，求得等边三角形的边长后，根据面积可得． 32．【答案】①     ② 【分析】 设点的坐标为，进而结合距离公式化简整理得点的轨迹方程为，再结合抛物线的定义，转化求解即可. 【详解】 设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $