精品解析：重庆西藏中学校2025-2026学年度上学期半期考试高二数学试题卷

重庆西藏中学校2025-2026学年度上期半期考试 高二数学试题卷 （时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 2. 点落在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 3. 若直线与直线垂直，则实数 A. 3 B. 0 C. D. 4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. ，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为________. 13. 如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则__________. 14. 若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知． （1）求角C的值； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． （1）求证：EF平面BDD1B1； （2）设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1． 18. 已知椭圆的右顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 19. 如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥. （1）当时，求的长； （2）当平面平面时，求平面和平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学校2025-2026学年度上期半期考试 高二数学试题卷 （时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率即得解. 【详解】解：由题得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以. 故选：B 2. 点落在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和符号，分别得出横纵坐标的正负值情况，即可判断点所在象限. 【详解】因为 所以点落在第四象限内， 故选：D. 3. 若直线与直线垂直，则实数 A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线与直线垂直， ∴， 整理得， 解得或．选D． 4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 5. 半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设圆的圆心坐标,再根据直线与圆相切,求出,进而得到圆的标准方程. 【详解】设圆心坐标为，则圆心到直线的距离， 所以， 所以该圆的标准方程为． 故选:C． 6. ，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中，直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】A项：若，，则或，故选项A不正确； B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确； C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确； D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确. 故选：C. 7. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式可判断A；根据椭圆的定义可判断B；根据焦半径的范围可判断C；根据基本不等式和椭圆的定义可判断D. 【详解】椭圆，则， ， . 对于A，离心率，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆焦点在轴上，可知，利用长轴长为短轴长的两倍可构造方程，解方程求得结果. 【详解】椭圆方程可化为： 椭圆焦点在轴上 ， ，即 ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据椭圆方程和几何性质求解参数值的问题，易错点是忽略焦点所在轴，造成求解错误，属于基础题. 13. 如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由面面平行的性质定理得到，再利用相似比求AB的长度. 【详解】因为平面平面，由面面平行的性质定理得， 所以，所以，即，解得， 故答案为：. 14. 若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 如图所示，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 要使得圆上有4个点到直线的距离为，则满足， 又由圆心到直线的距离为， 可得，解答，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【小问1详解】 因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知． （1）求角C的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求解. （2）由（1）及余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，，则，又， 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，而， 因此，又，解得， 所以的面积． 17. 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． （1）求证：EF平面BDD1B1； （2）设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1． 【答案】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图， 因E，F分别是BC，CM的中点， 则有EFBM， 又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1， 所以EF平面BDD1B1． （2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图， 而E是BC的中点， 于是得EGBD， 而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1， 从而得EG平面BDD1B1， 由（1）知EF平面BDD1B1， EFEG＝E，且EF、EG平面GEF， 因此，平面GEF平面BDD1B1， 所以当G是DC的中点时， 平面GEF平面BDD1B1． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可； （2）根据面面平行的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的右顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程. （2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可. 【小问1详解】 由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 联立，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 19. 如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥. （1）当时，求的长； （2）当平面平面时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）要求，可考虑解三角形，因已知，故想到求，结合条件可证即得； （2）利用面面垂直构建平面的垂线，从而建系，求相关量，得各点坐标，分别求出两个平面的法向量，运用两空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 由，，且，平面， 可得平面，又平面，则， 在中，根据勾股定理，. 【小问2详解】 如图，过点作于点， 由代值易得：. 由平面平面，平面平面，平面， 可知平面. 在平面中，过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 有，，，. 设平面的法向量，则， 令，解得其中一个法向量； 设平面的法向量，则， 令，解得其中一个法向量. 于是，， 故平面和平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $